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3.4 导数的综合应用（精练题组版）
题组一 判断零点的个数
1．（2025·辽宁·一模）已知函数．
(1)讨论函数在区间上的单调性；
(2)证明：函数在上有两个零点．
【答案】(1)在单调递增，在单调递减．
(2)证明见解析
【解析】（1）由函数，可得，
当时，令，可得，
故当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以在单调递增，在单调递减．
（2），
则，
当时，故，此时在单调递增，
当时，记，则，
由于，则故，因此在单调递减，由于，故存在唯一的使得，
当单调递增，当单调递减，
综上知：在单调递增，在单调递减，
且，
因此在上有两个零点.
2．（2025·甘肃白银·三模）已知函数.
(1)若在上单调递增，求的取值范围；
(2)讨论的单调性；
(3)若在上有个零点，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3).
【解析】（1）依题意得对恒成立，
即对恒成立，
所以，即的取值范围是.
（2）由题知，的定义域为，
又，
当时，在上单调递增.
当时，令，得，令，得，
则在上单调递减，在上单调递增.
综上，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（3）由（2）知，当时，在上单调递增，
则在上至多有个零点，则不符合题意.
当时，要使得在上有个零点，
则，即，
且，
设函数，
则，
所以在上，单调递增，
在上，单调递减，
所以.
由，得.
即的取值范围为.
3．（2024山东日照·阶段练习）已知函数．
（1）若讨论的单调性；
（2）当时，讨论函数的极值点个数．
【答案】（1）增区间为，减区间为；（2）答案见解析．
【解析】（1）由题意，函数定义域为，
可得，
令，可得，
因为所以，所以在上为增函数，
又因为，所以，，，，
所以的增区间为，的减区间为．
（2）①当时，由（1）可知在上有唯一极小值，
所以极值点个数为1个．
②当时，则，得，
当时，，时，，
所以，
令，．
因为，所以，即在上单调递减，
所以，
所以（ⅰ）当时，，在上恒成立，即
在上恒成立，所以无极值点．
（ⅱ）当时，，，即
易知，
所以存在唯一使得，且当时，，当时，，则在处取得极大值；
又，所以当时，，当时，，
即在处取得极小值；故此时极值点个数为2，
综上所述：
当时，的极值点个数为0；
当时，的极值点个数为2；
当时，的极值点个数为1．
4．（24-25·陕西咸阳·阶段练习）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论函数的极值点个数．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【解析】（1）当时，，切点为．
，斜率，
所求切线方程为，即；
（2）函数的定义域为，
，令，则，
，令，解得，
当时，，即在上单调递减，
当时，，即在上单调递增，
，
①当时，，函数单调递增，函数无极值点；
②当时，，
，即，因此函数在上有唯一零点，
当时，，因此函数在上有唯一零点，
当时，，即函数在上单调递增；
当时，，即函数在上单调递减；
当时，，即函数在上单调递增．
又当时，函数有两个极值点．
综上，当时，函数无极值点；当时，函数有两个极值点．
5．（2025·湖南郴州·三模）已知函数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)当时，求在上的最小值；
(3)当时，讨论的零点个数.
【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为.
(2).
(3)答案见解析
【解析】则，
当时，，当时，，
故的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）当时，，
令，则，
所以在上单调递增，
所以当时，，
所以在上单调递减，所以当时，.
（3）令，得，即，
所以.
令，则，即①，
当时，由，得在上恒成立，
所以在上单调递减，故方程①的解的个数即为的零点个数.
令，则，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，
，当时，，且当时，.
因为，所以.
当，即时，方程①有两个不同的解，的零点个数为2；
当或，即或时，方程①只有一个解，的零点个数为
，即时，方程①无解，的零点个数为0.
综上，当时，的零点个数为2；
当或时，的零点个数为1；
当时，的零点个数为0.
6．（2025·山东·模拟预测）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)判断函数的零点个数并说明理由；
(3)若对于，曲线与曲线有且仅有一个交点，求的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3).
【解析】（1）函数，定义域为，则，
若，则，故函数在上单调递减，
若，则 得；得，
故函数在上单调递减，在上单调递增，
综上，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）当时，函数在上单调递减，且，
故函数仅有一个零点；
由（1）可知，当时，函数在上单调递减，
又因为，
所以函数在内仅有一个零点，即仅有一个零点；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
且的最小值为，
若，则，故函数没有零点；
若，则，故函数仅有一个零点；
若，则，
取，则，
又因为函数在上单调递减，所以函数在内仅有一个零点，
取且，可知，
令，则在上恒成立，
所以函数在上单调递增，
因，所以，
又因为函数在上单调递增，
所以函数在内仅有一个零点，
故当时，函数有两个零点，
综上，当时，函数的零点个数是；
当或时，函数的零点个数是1；
当时，函数的零点个数是.
（3）曲线与曲线的交点个数，
即方程的正数解的个数，
令，则当时，与一一对应，
则原问题等价转化为对于，方程有且仅有一正数解，
令，则，
若函数存在极值点，则在极值点附近两侧单调性相反，
则必存在，使得方程有至少两个不同的解，
所以函数在上不存在极值点，
结合，对于二次函数，其图象开口向上，
所以对于，
即，即在恒成立，
因为，所以对于成立，
转化为，
因为，当且仅当时取等号，
所以，
又当时，有成立，
，，函数在上单调递增，
则方程有且仅有一解.
综上，的取值范围是.
7．（2025·山东·模拟预测）已知函数．
(1)当时，求在区间上的最值；
(2)讨论的零点个数．
【答案】(1)．
(2)答案见解析
【解析】（1）由题意得的定义域为，
当时，．
当时，单调递减；
当时，单调递增，
所以在处取得极小值，也即最小值，为．
因为，
，
所以在处取得最大值1．
综上，．
（2）令，得．
令，则．
当时，在上恒成立，所以在区间上单调递增．
又，故此时有唯一零点．
当时，．
令，得，所以在区间上单调递减；
令，得，所以在区间上单调递增．
所以．
令，则．
令，则．
当时，单调递增；
当时，单调递减．又，
所以当时，．
①当，即时，，此时有唯一零点．
②当，即时，．
因为，所以在区间上有唯一零点．
，
令，则，
所以，
则，
所以在区间上单调递减，
则．
又，
所以在区间上存在唯一零点，故在区间上有两个零点．
③当，即时，，
由函数零点存在定理可得在区间上有唯一零点，
故在区间上各有一个零点．
综上，当或时，有一个零点；当且时，有两个零点．
题组二 已知零点个数求参数
1．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知函数.
(1)当时，求证：最大值小于；
(2)若有两个零点，求实数k的取值范围.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【解析】（1）当时，，
先证明：，令，其中，
则，
当时， ，
所以 在上单调递增，即，
则不等式在上恒成立，
再证明：，令，其中，
则，
则当时， ，当时， ，
所以在上递增，在上递减，
即，
则不等式在上恒成立，
所以有，证毕；
（2）由得：，
构造函数，由，因为，所以，
即函数在上单调递增，
由，根据单调性可得：
再构造，则，
则当时， ，当时， ，
所以在上递减，在上递增，即
当时，由，可知，
当，由对数函数没有一次函数增长得快，可知，
而函数有两个零点等价于直线与函数有两个交点，根据数形结合可得：.
2．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若且函数在上没有零点，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）当时，；
易知，则；
因此切线方程为，
即；
（2）设函数，；
显然；
令，其中，即；
当时，，
则时，，，此时在上单调递减；
当时，，，此时在上单调递增；
因此，可知，因此在上存在零点，不合题意；
当时，由可得；
所以，使得；
可得时，，此时单调递增；
当时，，此时单调递减；
当时，，此时单调递增；
所以要使函数在上没有零点，只需，解得，
所以实数a的取值范围为.
3．（23-24 云南昆明·阶段练习）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)设，若存在零点，求实数的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【解析】（1）由，
当时，，函数在上单调递增，
当时，令，解得，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
综上，当时，函数在上单调递增，
当时，函数在上单调递增，在上单调递减．
（2）令，得，
令，
则，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取最小值，
因为存在零点，即方程有实数根，
所以．
即实数的取值范围为．
4．（2025·山东临沂·一模）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数在上恰有两个零点，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由，得，
则，
所以曲线在点处的切线方程为，即；
（2）令，则，
令，
则，
令，则，令，则，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，
，当时，，
当时，，
如图，作出函数的大致图象，
因为函数在上恰有两个零点，
所以函数的图象恰有两个交点，
所以的取值范围为.
5．（2025·湖南邵阳·一模）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数有2个零点，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2).
【解析】（1）由题意知，，
令，则，.
故，，即切点为，
所求切线方程为，即.
（2）由题意得，
当时，，故函数没有零点；
当时，令，得.
令，则，，
因为有2个零点，所以和有2个交点，
令，.
令，得.
当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
，当时，；当时，；
当时，；当时，且.
实数的取值范围为.
6．（2025·广西 ）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程.
(2)若函数有两个零点，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）当时，，所以,
，，
所以曲线在点处的切线方程为，
即；
（2），
由得，
的图象有2个交点，
令，
，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，所以，
且时，，，
所以时，，所以的大致图象如下，
所以若函数有两个零点，
则，
所以实数的取值范围为.
7．（2025·河南开封·二模）已知函数，．
(1)当时，求在处的切线方程；
(2)若有唯一的零点，求的值．
【答案】(1)；
(2).
【解析】（1）当时，，，
所以，
所以在处的切线方程为，
即．
（2）函数的定义域为，
，
令，则，
即在单调递增，当时，，当时，，
所以，使得，即，
且当时，即单调递减，
且当时，即单调递增，
所以在处取得极小值，
又当时，时，，
故若有唯一的零点，则必有，
即，消去可得，
即，又因为，即，
由②式可得：，即，
将代入可得，即，
综上可知，若有唯一的零点，则.
8．（2025·山东日照·二模）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若方程有3个不同的实数解，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）当时，的定义域为，
所以，，
又因为，所以切点为，
所以曲线在点处的切线方程为：，
化简可得：.
（2）令，
函数的定义域为，
．
①当时，，函数在区间上单调递减，
函数至多一个零点，不合题意；
②当时，设函数，，
当时，，即对任意的恒成立，即，
所以函数在区间上单调递增，函数至多一个零点，不合题意；
当时，因为，所以方程有两个实数根、，
且满足，，
不妨设，则，、的情况如下：
增 极大值 减 极小值 增
所以函数的单调递增区间是、，单调递减区间是．
因为，所以为的一个零点．
又，，且，
所以存在唯一实数，使得．
又，，且，
所以存在唯一实数，使得．
所以函数有个不同的零点，方程有3个不同的实数解，
综上，的取值范围为．
9．（2025·江西萍乡·二模）已知函数．
(1)证明：函数有且只有一个极值点；
(2)若关于的方程在区间上恰有两个实数根，求实数的取值范围．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【解析】（1）因为，所以，
显然在上单调递增．且．
故根据零点存在性定理知在上有且仅有一个零点，且在上，，在上，，
则在上单调递减，在上单调递增，即在上有且只有一个极值点.
（2）设，则，记，
当时，恒成立，则函数在上单调递增，
此时在上至多存在一个零点，不合题意，
当时，函数的对称轴为，则函数在上单调递减，
（i）当时，恒成立，即恒成立，
则函数在上单调递增，此时函数在上至多存在一个零点，不合题意；
（ii）当时，恒成立，即恒成立，则函数在上单调递减，
此时函数在上至多存在一个零点，不合题意；
（iii）当时，，，故存在，使得，即，
则函数在上单调递增，在上单调递减，又由于，
则，若要满足题设，只需，解得,
又因为，所以取值范围是.
综上所述，实数的取值范围为.
10．（2025·湖南·模拟预测）已知函数.
(1)求的图象在处的切线方程；
(2)设，若在区间上有且只有两个零点，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）函数 ，则，
所以的图象在处的切线斜率为，
所以切线方程为，
化简得，.
（2）由已知可得，若在区间上有且只有两个零点，
则在区间上有且只有1个零点.
，
则，
令，
则，
因为在区间上恒成立，
所以在区间上单调递增，
所以的最小值的最大值，
①当时，有，则恒成立，
则在区间上单调递增，
所以，
所以在区间上无零点，舍去；
②当时，成立，
则在区间上单调递减，
所以，
所以在区间上无零点，舍去；
③当时，有，
又在区间上单调递增，
根据零点存在定理可得，，使得，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
又，要使在区间上有且只有一个零点，
只需，解得，
又，所以.
题组三 恒（能）成立求参数
1．（2025·吉林长春）已知函数.
(1)当时，求的单调区间与极值；
(2)若在上有解，求实数a的取值范围.
【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增，极小值，无极大值；
(2)
【解析】（1）当时，，所以
当时；当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时函数有极小值，无极大值；
（2）当，在上有解，即在上有解，
即在上有解，
令，则
由（1）知时，即，
当时；当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，，所以，
综上可知，实数a的取值范围是.
2．（2025·河北保定·一模）已知函数.
(1)当时，求的极值；
(2)若关于的不等式有实数解，求的取值范围.
【答案】(1)的极大值为，无极小值
(2)
【解析】（1）当时，，
则，
令，得；令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值为，无极小值.
（2）由题得2a），
当时，，不符合题意；
当时，令，得；
令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以
由
得，解得；
当时，令，得；令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
由，
得，解得.
综上，的取值范围为.
3．（2025·江西鹰潭·二模）已知函数
(1)求函数在处的切线方程；
(2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；
【答案】(1)；
(2)．
【解析】（1），，而，，
所以在处的切线方程为：
（2）由题意得：恒成立，
因为，所以问题等价于在时恒成立，
令，，，
当时，，为增函数；当时，
，为减函数，则函数，故．
4．（24-25 广东广州·阶段练习）已知函数，.
(1)当时，求的极值点；
(2)讨论的单调性；
(3)若函数在上恒小于0，求a的取值范围.
【答案】(1)极大值点，无极小值点；
(2)当时，函数单调递减；当时，函数在上单调递增，在上单调递减；
(3).
【解析】（1）当时，，定义域为.
，
令，得,
当时，，单调递增；当时，，单调递减.
在时取得极大值，无极小值.
所以的极大值点是，无极小值点.
（2），则，，
当时，恒成立，函数单调递减；
当时，，
，，函数单调递增，
，，函数单调递减.
综上所述：当时，函数单调递减；当时，函数在上单调递增，在上单调递减.
（3）函数在上恒小于0，等价于.
由（2）知，
当时，函数单调递减，故恒成立，故符合题意；
当时，若，即，函数在上单调递减，
故，成立，故符合题意；
若，即，函数在上单调递增，在上单调递减，
故，即，解得，故；
若，即，函数在上单调递增，
故，解得，
故无解.
综上所述：.
5．（2025·四川自贡·二模）已知函数，.
(1)若存在极小值，且极小值为，求；
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1），，
当时，，所以函数无极值，
当时，由，得，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以的极小值为，解得.
（2）由，得，即，，
设，，
则，
当时，，即单调递减，
当时，，即单调递增，
所以，则，
所以的取值范围为.
6 ．（2025·陕西渭南·二模）已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积.
(2)若函数有两个零点，求实数的取值范围.
(3)若不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【解析】（1）当时，，所以.
又，所以，则切线方程为.
令得，令得，
所以切线与坐标轴围成三角形的面积为.
（2）由得，显然不是方程的解，所以.
设函数，
则，
令得或；令得或.
所以在上单调递增，在和单调递减，在上单调递增.
又当时，，当时，，
当时，，当时，.
所以的大致图象如图：
若函数有两个零点，则直线与函数的图象有两个交点，
由图象可知，或，即的取值范围为.
（3）由得，
显然当时，不等式恒成立.
当时，有恒成立，由（2）可得；
当时，有恒成立，由（2）可得.
综上，，即的取值范围为.
7．（2025·重庆·模拟预测）已知函数 ，
(1)当 时，讨论 的单调性;
(2)若 时， 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1)函数在上单调递增，在上单调递减
(2)
【解析】（1）当时，（），
则有，
考虑函数，因为，
令，，
由可得：，
由可得：，
所以在上单减，在上单增，
因为，所以，
则函数在上单增，
因为，
则有时，，时，，
所以时，， 时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减．
（2）当时，成立，
则有成立，
记，则在成立，
，
记，
①当时，，
当时，，，在单调递减，
当时，，，在单调递增，
故，不满足条件；
②当时，在成立，
故在单调递减，，满足条件；
③当时，，由②知，此时
综上，．
题组四 隐零点
1.（2024·广东深圳）已知函数.
（1）求函数在上的零点之和；
（2）证明：在上只有1个极值点.
【答案】（1）（2）详见解析
【分析】（1）得到或，据此计算答案.
（2）求导设，则，判断函数在上单调递减，在上单调递增，又，，得到答案.
【解析】（1）解：令，得或，
即或，即或
所以在上的零点之和为
（2）证明设，，
，，
当时，，则为增函数.
因为，，所以，
所以当时，；当时，，
从而的上单调递减，在上单调递增
又，，所以必存在唯一的，使得，
当时，；当时，
故在上只有1个极值点
2．（2024·江苏宿迁）已知函数
(1)若求的极值；
(2)若恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】(1)的极小值为，无极大值
(2)
【解析】（1）当，
令，解得，
则当单调递减，当单调递增，
故的极小值为，无极大值；
（2）由题意可得
令则
当时，则时，，不合题意；
当时，设，
，，
所以存在时，，
因为，所以在上单调递增，
所以当，；当，，
则当，；当，，
则在单调递减，在单调递增，
所以
因为，所以，即
故解得
3．（2023·山西·校联考模拟预测）已知，函数.
(1)若是增函数，求的取值范围；
(2)证明：当，且时，存在三条直线是曲线的切线，也是曲线的切线.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）的定义域为
令，
令，得；令，得，
故在上单调递减，在上单调递增，
从而，故的取值范围是.
（2）设曲线的切点为，
则曲线在点处的切线方程为.
联立，得，
必有，
记函数，由题，
故当时，.
记，
令，得；令，得，
故在上单调递减，在上单调递增.
当，且时，，
当时，，故存在，使得，
当，或时，；当时，，
故在上单调递增，在上单调递减.
由，得，代入并整理得：
同理，
记，由（1）知为增函数，
，
，
又，当时，，
有三个零点，
存在三条直线是曲线的切线，也是曲线的切线.
所述，实数a的取值范围
4．（24-25高三下·甘肃白银·阶段练习）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程.
(2)证明：无极值.
(3)若对任意恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【解析】（1），
则.
因为，所以曲线在点处的切线方程为.
（2）令的导数为.
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
所以，
所以在上为增函数，故无极值.
（3）由，得.
设，则，
的导数为，
所以为增函数，所以.
当时，，，则为增函数，则，所以符合题意.
当时，，
设，，则在上单调递减，在上单调递增，
所以，这与矛盾，所以不符合题意.
综上，的取值范围是.
5．（2025·安徽蚌埠·二模）已知函数.
(1)若，求的极值；
(2)若对任意的恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)极大值为，无极小值.
(2).
【解析】（1）若，则，所以，
令，解得，令，解得，令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值为，无极小值.
（2）对任意的恒成立，即对任意的恒成立，
令，所以，
令，所以
，当时，，又，所以，
所以在上恒成立，
所以即在区间上单调递增，
所以，所以在区间上单调递增，
所以，符合题意；
当时，令，解得，
则即在区间上单调递减；
所以当时，，所以在区间上单调递减，
所以当时，，不符合题意；
当时，又，所以，所以即在区间上单调递减，
所以，所以在区间上单调递减，所以，不符合题意.
综上，的取值范围为.
题组五 不等式的证明
1．（2025·河北邯郸·模拟预测）已知函数，．
(1)讨论函数的单调性；
(2)求函数的最小值；
(3)当时，证明：．
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)证明见解析
【解析】（1）函数的定义域为，，
当时，由得，由，得，
此时，函数的减区间为，增区间为；
当时，由得，由，得或，
此时，函数的减区间为、，增区间为；
当时，由得或，由可得，
此时，函数的减区间为，增区间为、.
综上，当时，函数的减区间为，增区间为；
当时，函数的减区间为、，增区间为；
当时，函数的减区间为，增区间为、.
（2）函数的定义域为，，
由，得，由，得，
即在上单调递减，在上单调递增，
在处取得最小值．
（3）当时，等价于，
即，即，
即，即，
，只需证明，
当，时，，只需证明，
由（1）知，时，在处取得最小值，
综上所述，原不等式成立．
2．（2025高三·全国·专题练习）设函数，．
(1)当时，不等式恒成立，求的取值范围；
(2)当，时，求证：．
【答案】(1)．
(2)证明见解析
【解析】（1）当时，．
设函数，
则．
令，则，
故函数在上单调递减．
因为，
所以当时，，即；
当时，，即，
所以在上单调递增，在上单调递减．
所以．
因为恒成立，
所以，所以．
（2）因为，，所以．
令，则在上单调递减．
又，，
所以在上有唯一零点，设为，即．
当时，，所以单调递增；
当时，，所以单调递减，
所以当时，．
因为函数在上单调递增，
所以，则．
所以．
3．（2025·河南·二模）已知，且曲线在点处的切线方程为.
(1)求的值；
(2)设的导函数为，求的单调区间；
(3)证明：当时，.
【答案】(1)
(2)单调递增区间为，单调递减区间为；
(3)证明见解析
【解析】（1）因为，所以，
因为曲线在点处的切线方程为，
所以，解得；
（2）由（1）可得，所以，
则，定义域为，
所以，
因为，令，即，解得；
令，即，解得，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为；
（3）由（2）可知在上单调递增，
又，，
又，
所以，即，
所以，使得，
所以当时，即，所以在上单调递减；
当时，即，所以在上单调递增；
又，，
所以，
所以当时，.
4．（2025·甘肃白银·二模）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若，且在上单调递增，求的取值范围；
(3)证明：当时，.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【解析】（1）当时，，则，
，则，
故曲线在点处的切线方程为，即.
（2）令，
则，
因为，所以，
所以恒成立，
所以是上的增函数.
因为在上单调递增，
所以在上恒成立，
所以只需，又，
故.
（3））因为，所以要证，
只需证，
令，该二次函数的图象的对称轴为直线，
令，则，
令，则，，则，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以在上单调递增.
问题可转化为证明，即证，
即证.
令，
则，
令，
则，
所以在上单调递减，且，
所以当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，即，证毕.
题组六 极值点偏移
1．（2025·广东佛山·一模）已知函数，其中．
(1)当时，讨论关于的方程的实根个数；
(2)当时，证明：对于任意的实数，都有．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【解析】（1）当时，
方程解的个数，转化为与有交点的个数，
的定义域为，
令得，令得，
故在上单调递减，在上单调递增，
当时，，当时，，且，
当时，方程有0个解，
当或时，方程有1个解，
当时，方程有2个解.
（2）要证，即证，
由于，故只需证，
不妨设，即证，
两边同时除以并化简，即证，
令，则，设，
，由(1)知在上单调递增，
故，故在上单调递增，
所以，从而命题得证.
2．（24-25 内蒙古乌兰察布·阶段练习）已知函数，为实数.
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)求函数的单调区间；
(3)若函数在处取得极值，是函数的导函数，且，，证明：.
【答案】(1)
(2)单调递增区间为，单调递减区间为
(3)证明见解析
【解析】（1）当时，，，
，故，
故函数在处的切线方程为，即；
（2）定义域为，
，
令，解得，令，解得，
故的单调递增区间为，单调递减区间为；
（3）由题意得，解得，
故，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
可知函数在处取得极值，故符合题意，
因为，，
令，，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
且当时，恒成立，，当时，，
画出的图象如下：
故，
令，，
，
因为，所以，，
故在上单调递减，
又，故在上恒成立，
即，，
因为，所以，所以，
其中，故，
其中，，在上单调递增，
所以，即.
3．（24-25高三上·山东潍坊·期末）已知函数，.
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)若，求的取值范围；
(3)若有两个实数解，，证明：.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【解析】（1），，，
所以在处的切线方程为，
即；
（2）由可知，，，
即在上恒成立，
设，，
当时，，在单调递减；
当时，，在单调递增，
所以时，取得最小值，最小值为，
由题意知，即，故的取值范围为；
（3）方程有两实数解，，
即有两实数解，不妨设，
由（2）知方程要有两实数解，则，即，
同时，，，
，
则，在单调递减，
欲证，即证，，
等价于，即，
等价于，
整理得①，
令，①式为，
又在单调递增，
故①式等价于，即，
令，，
当时，，在单调递增，
又，，即，
所以，则.
4．（2025·山西临汾·二模）已知函数，其中.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)求的单调区间；
(3)当时，设的两个零点为，求证：.
【答案】(1)
(2)单调递增区间为，单调递减区间为
(3)证明见解析
【解析】（1）当时，，
则，即，
故所求切线方程为.
（2）由，，
则，
令，则；
令，则，
故的单调递增区间为，单调递减区间为.
（3）当时，，
由（2）知在上单调递增，在上单调递减，
又是的一个较小的零点，不妨设，
要证，只需证，
因为，且在上单调递减，
从而只需证即可.
，
令，
在上单调递增.
，即证，即证.
5．（2025·河南·二模）已知函数.
(1)当时，若不等式恒成立，求的取值范围；
(2)若有两个零点，，且.
（i）求的取值范围；
（ii）证明：.
【答案】(1)
(2)（i），（ii）证明见解析
【解析】（1）设，
则，令，则，
所以在上单调递增，从而.
①当，即时，，则在上单调递增，从而，符合题意；
②当，即时，，则一定存在，使得当时，，则在上单调递减，从而，合题意．
综上所述，的取值范围为．
（2）（i）由题意知，的定义域为．
当时，，所以在上单调递增，
从而在上至多有一个零点．7分当时，令，得．
当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增．
所以是的极小值点，也是最小值点，
即．，则．
所以当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，
所以是的极大值点，也是的最大值点．
即，从而．
一方面，由（1）可知，取，当时，，即，
即，易知当时，也成立．
所以当时，．所以，即，从而．
因为，所以在内有一个零点.
另一方面，由（1）知，．
又，
所以
，
所以在区间内有一个零点．
综上所述，的取值范围是．
（ii）证明：由，得，
所以，即．
要证成立，只需证，
即证，即证．令，则．
即证，即证．
设，则，
所以在区间上单调递增，所以，即式成立．
所以不等式成立.
题组七 放缩法证明不等式
1．（2025·云南昆明·模拟预测）已知数列的首项.
(1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)若恒成立，求实数的取值范围；
(3)证明：.
【答案】(1)证明见解析，
(2)
(3)证明见解析
【解析】（1）因为，所以，
又因为，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，
所以.
（2）因为，
所以等价于，
即，令，则，
所以当时，，
所以为减函数，
而，
又因为恒成立，所以，
所以实数的取值范围为.
（3）令，所以，
所以在上单调递减，所以，
所以当时，，
所以，
又因为，
所以，
所以，
将上式累加，得：，
所以，
所以.
2．（2025·江苏泰州·模拟预测）已知函数
(1)当时，求函数的极值;
(2)对于任意的正整数
(ⅰ)不等式恒成立，求整数M的最小值;
(ⅱ)证明：为自然对数的底数
【答案】(1)有极小值，无极大值
(2)ⅰ2；ⅱ证明见解析
【解析】（1）当时，，
则，
由得，
x 2
- 0 +
↘ 极小值 ↗
因此，当时，有极小值，无极大值.
（2）(ⅰ)当时，，，
则，由得，
当时，，所以在上单调递增;
当时，，所以在上单调递减;
所以即，当且仅当时取等号.
所以，
所以，
所以，
当时，，
所以
所以整数M的最小值为
(ⅱ)设，，
则，
所以在上单调递增，
所以，即，，
由(ⅰ)知，，
所以，，
令，得，
所以，
所以.
3．（2025·全国·模拟预测）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)证明：.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【解析】（1）当时，，，，
则，所以，
所以曲线在点处的切线方程为，即；
（2）因为，恒成立，所以恒成立.
令，则，
令，则且不恒为0，
即在上单调递减，则，
所以当时，且不恒为0，
所以在区间上单调递减，故，所以，
综上，实数的取值范围为；
（3）取，由（2）得当时，，所以.
取，则有，
即，
所以，，，，
将上述式子相加得，得证.
4．（2025·天津红桥·一模）已知函数，．
(1)求函数在点处的切线方程；
(2)当时，，求实数a的取值范围；
(3)已知，证明：．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【解析】（1）因为，
则函数在点处的切线斜率为，
又，
所以函数在点处的切线方程；
（2）设，，
所以当时，单调递减，
当时，单调递增，
则函数，所以，
当时，，即，
当时，取，观察的其中的一个零点为，
由于，
而，得，
即，不合题意，
综上所述，实数的取值范围是；
（3）当时，由（2）得，
则，所以，即，则，
令，得，所以，即，
又，
令，则，且不恒为零，
所以在上单调递增，即，则，
所以，
即
．
5．（2025·河北·三模）洛必达法则对导数的研究产生了深远的影响.洛必达法则：给定两个函数，当时，.已知函数，.
(1)证明：在区间上单调递减；
(2)对于恒成立，求实数的取值范围；
(3)，证明：（附：）.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【解析】（1），
令，则，
令，则，
若，则单调递减，单调递减，，在上单调递减，
若，则单调递增，，即
存在唯一，使得，且在上，单调递减，在上，单调递增，
且，
在区间上单调递减，且在上连续，
综上，在区间上单调递减.
（2）当时，，成立.当时，由可得，
令，
由（1）可知在上单调递减，.
由洛必达法则：，
.
（3）当且时，，令，
则，令，则，
在上单调递增，，
即在上单调递增，（当时取等号），
，
，
，
，
即.
6．（2025·江苏宿迁·二模）已知函数，．
(1)证明：有唯一零点；
(2)记的零点为．
（i）数列中是否存在连续三项按某顺序构成等比数列，并说明理由；
（ii）证明：．
【答案】(1)证明见解析
(2)（i）不存在，理由见解析；（ii）证明见解析
【解析】（1）当时，，所以在上无零点，
因为，所以在上单调递增，
所以在上至多一个零点，
当时，有唯一零点1．
当时，因为，，
所以函数有唯一零点，得证，
（2）（i）由（1）知，，且，
两边取自然对数，得，（*）
所以，
两式相减，得，
所以．
因为函数在上单调递增，
所以，所以数列单调递增．
假设数列中存在，，成等比数列，则，
所以．
由（*）式得，，代入上式，得
，
．（**）
因为，所以，
又，所以方程（**）无解．
所以数列中不存在连续三项按某顺序构成等比数列．
（ii）先证明：时，，（***）
设，则，
所以当时，，单调递减：
当时，，单调递增，
所以，当且仅当时，等号成立．
由（***）式知，，
所以，所以，
所以．
在（***）式中，令，得，
当且仅当，即时等号成立，
所以，
所以，，当且仅当时等号成立．
当时，在（***）式中，令，得，
所以时，
．
当时，成立．
所以，得证．中小学教育资源及组卷应用平台
3.4 导数的综合应用（精练题组版）
题组一 判断零点的个数
1．（2025·辽宁·一模）已知函数．
(1)讨论函数在区间上的单调性；
(2)证明：函数在上有两个零点．
2．（2025·甘肃白银·三模）已知函数.
(1)若在上单调递增，求的取值范围；
(2)讨论的单调性；
(3)若在上有个零点，求的取值范围.
3．（2024山东日照·阶段练习）已知函数．
（1）若讨论的单调性；
（2）当时，讨论函数的极值点个数．
4．（24-25·陕西咸阳·阶段练习）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论函数的极值点个数．
5．（2025·湖南郴州·三模）已知函数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)当时，求在上的最小值；
(3)当时，讨论的零点个数.
6．（2025·山东·模拟预测）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)判断函数的零点个数并说明理由；
(3)若对于，曲线与曲线有且仅有一个交点，求的取值范围.
7．（2025·山东·模拟预测）已知函数．
(1)当时，求在区间上的最值；
(2)讨论的零点个数．
题组二 已知零点个数求参数
1．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知函数.
(1)当时，求证：最大值小于；
(2)若有两个零点，求实数k的取值范围.
2．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若且函数在上没有零点，求实数a的取值范围．
3．（23-24 云南昆明·阶段练习）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)设，若存在零点，求实数的取值范围．
4．（2025·山东临沂·一模）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数在上恰有两个零点，求的取值范围.
5．（2025·湖南邵阳·一模）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数有2个零点，求实数的取值范围.
6．（2025·广西 ）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程.
(2)若函数有两个零点，求实数的取值范围.
7．（2025·河南开封·二模）已知函数，．
(1)当时，求在处的切线方程；
(2)若有唯一的零点，求的值．
8．（2025·山东日照·二模）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若方程有3个不同的实数解，求a的取值范围．
9．（2025·江西萍乡·二模）已知函数．
(1)证明：函数有且只有一个极值点；
(2)若关于的方程在区间上恰有两个实数根，求实数的取值范围．
10．（2025·湖南·模拟预测）已知函数.
(1)求的图象在处的切线方程；
(2)设，若在区间上有且只有两个零点，求的取值范围.
题组三 恒（能）成立求参数
1．（2025·吉林长春）已知函数.
(1)当时，求的单调区间与极值；
(2)若在上有解，求实数a的取值范围.
2．（2025·河北保定·一模）已知函数.
(1)当时，求的极值；
(2)若关于的不等式有实数解，求的取值范围.
3．（2025·江西鹰潭·二模）已知函数
(1)求函数在处的切线方程；
(2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；
4．（24-25 广东广州·阶段练习）已知函数，.
(1)当时，求的极值点；
(2)讨论的单调性；
(3)若函数在上恒小于0，求a的取值范围.
5．（2025·四川自贡·二模）已知函数，.
(1)若存在极小值，且极小值为，求；
(2)若，求的取值范围.
6 ．（2025·陕西渭南·二模）已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积.
(2)若函数有两个零点，求实数的取值范围.
(3)若不等式恒成立，求实数的取值范围.
7．（2025·重庆·模拟预测）已知函数 ，
(1)当 时，讨论 的单调性;
(2)若 时， 恒成立，求实数 的取值范围.
题组四 隐零点
1.（2024·广东深圳）已知函数.
（1）求函数在上的零点之和；
（2）证明：在上只有1个极值点.
2．（2024·江苏宿迁）已知函数
(1)若求的极值；
(2)若恒成立，求实数a的取值范围.
3．（2023·山西·校联考模拟预测）已知，函数.
(1)若是增函数，求的取值范围；
(2)证明：当，且时，存在三条直线是曲线的切线，也是曲线的切线.
4．（24-25高三下·甘肃白银·阶段练习）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程.
(2)证明：无极值.
(3)若对任意恒成立，求的取值范围.
5．（2025·安徽蚌埠·二模）已知函数.
(1)若，求的极值；
(2)若对任意的恒成立，求的取值范围.
题组五 不等式的证明
1．（2025·河北邯郸·模拟预测）已知函数，．
(1)讨论函数的单调性；
(2)求函数的最小值；
(3)当时，证明：．
2．（2025高三·全国·专题练习）设函数，．
(1)当时，不等式恒成立，求的取值范围；
(2)当，时，求证：．
3．（2025·河南·二模）已知，且曲线在点处的切线方程为.
(1)求的值；
(2)设的导函数为，求的单调区间；
(3)证明：当时，.
4．（2025·甘肃白银·二模）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若，且在上单调递增，求的取值范围；
(3)证明：当时，.
题组六 极值点偏移
1．（2025·广东佛山·一模）已知函数，其中．
(1)当时，讨论关于的方程的实根个数；
(2)当时，证明：对于任意的实数，都有．
2．（24-25 内蒙古乌兰察布·阶段练习）已知函数，为实数.
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)求函数的单调区间；
(3)若函数在处取得极值，是函数的导函数，且，，证明：.
3．（24-25高三上·山东潍坊·期末）已知函数，.
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)若，求的取值范围；
(3)若有两个实数解，，证明：.
4．（2025·山西临汾·二模）已知函数，其中.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)求的单调区间；
(3)当时，设的两个零点为，求证：.
5．（2025·河南·二模）已知函数.
(1)当时，若不等式恒成立，求的取值范围；
(2)若有两个零点，，且.
（i）求的取值范围；
（ii）证明：.
题组七 放缩法证明不等式
1．（2025·云南昆明·模拟预测）已知数列的首项.
(1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)若恒成立，求实数的取值范围；
(3)证明：.
2．（2025·江苏泰州·模拟预测）已知函数
(1)当时，求函数的极值;
(2)对于任意的正整数
(ⅰ)不等式恒成立，求整数M的最小值;
(ⅱ)证明：为自然对数的底数
3．（2025·全国·模拟预测）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)证明：.
4．（2025·天津红桥·一模）已知函数，．
(1)求函数在点处的切线方程；
(2)当时，，求实数a的取值范围；
(3)已知，证明：．
5．（2025·河北·三模）洛必达法则对导数的研究产生了深远的影响.洛必达法则：给定两个函数，当时，.已知函数，.
(1)证明：在区间上单调递减；
(2)对于恒成立，求实数的取值范围；
(3)，证明：（附：）.
6．（2025·江苏宿迁·二模）已知函数，．
(1)证明：有唯一零点；
(2)记的零点为．
（i）数列中是否存在连续三项按某顺序构成等比数列，并说明理由；
（ii）证明：．
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