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3.1.2 函数的单调性
1.设函数的定义域为R，对任意的，，且，都有不等式，，则不等式的解集是( )
A. B. C. D.
2.若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.已知函数的定义域为，满足，且，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
4.已知函数在R上是单调函数，则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.函数的定义域为R，且对于任意，均有成立，若，则正实数a的取值范围为( )
A. B.
C. D.
6.若函数是R上的减函数，，则下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
7.（多选）已知是R上的增函数，那么实数a的值可以是( )
A. B. C. D.
8.（多选）已知函数满足对任意，都有成立，则实数a的取值可以是( )
A. B.1 C.2 D.3
9.（多选）若函数在R上是单调函数，则a的取值可能是( )
A.0 B.1 C. D.3
10.已知是定义在R上的增函数，，，则不等式的解集为_________.
11.已知是R上的增函数，则a的取值范围是_______________.
12.已知，函数.若存在，使得，则实数a的最大值是_________.
13.已知函数的定义域为，对任意正实数，都有，且当时，.
(1)求的值；
(2)试判断的单调性，并证明；
(3)若，求x的取值范围.
14.已知函数.
(1)求的定义域；
(2)证明：在上单调递减.
15.已知函数.
（1）求函数的定义域；
（2）判断在上的单调性.
答案以及解析
1.答案：B
解析：因为，所以在R上单调递减，又因为，所以当时，，当时，，当时，代表x，同号，
所以等式的解集是.故选：B.
2.答案：C
解析：当时，为单调递增函数，不符合题意，当时，均为单调递增函数，故为单调递增函数，不符合题意，当时，在单调递增，在单调递减，故在上单调递减，则，故选：C
3.答案：C
解析：由题设，在定义域上单调递减，且，所以，在上，在上，所以，当时，当时，当时，由，可得解集为.故选：C
4.答案：D
解析：因为在上是单调递减函数，若在R上是单调函数，则，是减函数，所以或，所以.故选：D.
5.答案：B
解析：由题意，，，不失一般性不妨假设，
则，所以在R上单调递减，又，所以，
解不等式得，则正实数a的取值范围为.故选：B.
6.答案：D
解析：A选项，，当时，，所以；当时，，所以，故A中不等式不一定成立.
B选项，当时，，所以；当时，，所以，故B中不等式不一定成立.
C选项，当时，，所以，故C中不等式不成立.
D选项，，则，所以，故D中不等式一定成立.故选D.
7.答案：AC
解析：当时，，若单调递增，则，解得，
当时，，若单调递增，则，解得，
又，解得，综上可知，，可得AC符合.故选AC.
8.答案：CD
解析：由对任意，，可得函数在定义域上单调递减，
则，即，可得，结合选项可知AB错误，CD正确.故选：CD.
9.答案：BC
解析：当时，增函数，
所以当时，也为增函数，
所以解得.故选：BC
10.答案：
解析：由可得.因为，所以不等式，即为.因为是定义在R上的增函数，所以，解得.故不等式的解集为.故答案为：.
11.答案：
解析：根据题意，可得，解得.所以a的取值范围是.故答案为：.
12.答案：
解析：.令，则，设，
则可化为.当时，，不符合题意.当时，，有解，，.当时，，有解，，解得，与矛盾，舍去.综上可知，，即a的最大值为.
13.答案：(1)
(2)在上单调递减，证明见解析
(3)
解析：(1)令，得，解得；
(2)在上单调递减，证明如下：不妨设，
所以，
又，所以，
所以，所以，
即，
所以在上单调递减；
(3)由(2)知在上单调递减，
若，即，
所以，解得或，
即x的取值范围是.
14.答案：(1)
(2)证明见解析
解析：(1)因为，解得.
所以的定义域为.
(2)，，且，
则.
因为，所以，，，，
所以，即，所以，
故在上的单调递减.
15.答案：（1）
（2）在上单调递增
解析：（1）函数的定义域为.
（2）任取，且，
则.
，且，，，
，，
故在上单调递增.

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