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3.1.3 函数的奇偶性
1.定义在R上的函数是偶函数的一个必要不充分条件为( )
A. B. C. D.
2.若函数为奇函数，则必有( )
A. B. C. D.
3.已知奇函数的定义域为R，且，则( )
A.0 B.1 C.2 D.
4.设函数的定义域为R，且为偶函数，为奇函数，则( )
A. B. C. D.
5.设函数，则( )
A.是奇函数，且在单调递增 B.是奇函数，且在单调递减
C.是偶函数，且在单调递增 D.是偶函数，且在单调递减
6.设函数，则下列函数中为奇函数的是( )
A. B. C. D.
7.（多选）已知函数和的定义域均为R，若是奇函数，是偶函数，且，则下列各式正确的是( )
A. B. C. D.
8.（多选）已知函数的定义域是R，对任意的实数x、y满足，且，当时，，则下列结论正确的是( )
A. B.
C.函数为R上的增函数 D.函数为奇函数
9.（多选）已知是定义在R上的不恒为零的函数，对于任意都满足，则下列说法正确的是( )
A. B.
C.是奇函数 D.若，则
10.若函数是奇函数，则______.
11.若函数为偶函数，则实数__________.
12.定义域为R的函数满足条件：
①，，，恒有；
②；
③，
则不等式的解集是_____________.
13.已知是定义在R上的函数，对、都有，且满足.
(1)判断函数的奇偶性，并证明之；
(2)证明：；
(3)求的值.
14.已知函数.
(1)判断函数的奇偶性，并证明；
(2)讨论函数在区间上的单调性.
15.已知函数.
(1)判断的奇偶性，并用定义证明；
(2)判断在区间上的单调性，并用函数单调性定义证明.
答案以及解析
1.答案：B
解析：由偶函数的定义知，为充要条件，因此为充要条件，故CD错误；
对于选项A：若函数为，则，故A错误；
对于选项B：由函数是偶函数可以得到，反之不成立，故B正确.故选：B.
2.答案：B
解析：为奇函数，，又，.故选：B
3.答案：A
解析：因为是定义在R上的奇函数，所以.令，得.故选：A
4.答案：B
解析：函数的定义域为R，且为奇函数，，即，且.设，则，.①
又为偶函数，.②结合①②，得，.故选B.
5.答案：A
解析：函数的定义域为，关于原点对称，，函数为奇函数.
又函数在上单调递增，在上单调递减，函数在上单调递增.故选A.
6.答案：B
解析：解法一：，其图象的对称中心为，将的图象沿x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向上平移1个单位长度可得函数的图象，其关于对称，所以函数是奇函数，故选B.
解法二：选项A，，此函数既不是奇函数，也不是偶函数；
选项B，，此函数为奇函数；
选项C，，此函数既不是奇函数，也不是偶函数；
选项D，，此函数既不是奇函数，也不是偶函数，故选B.
7.答案：ACD
解析：由题意有，，
又，所以，，所以，又得，令得，故A正确，B错误；
由，令有，故C正确；
，令得，又，令得，
所以，故D正确.故选：ACD.
8.答案：ACD
解析：对于A选项，对任意的实数x、y满足，
令可得，解得，A对；
对于B选项，令，可得，即，解得，再令可得，B错；
对于D选项，令，由，可得，即，且，令，则，即，
所以，函数为奇函数，D对；
对于C选项，由题意可知，当时，，当时，，即时，，故当时，，
任取、且，则，
即函数在R上为增函数，C对.故选：ACD.
9.答案：ACD
解析：因为，所以令，得，故A正确；
令，得，所以，
令，得，所以，故B错误；
令，得，又，所以，
所以函数是奇函数，故C正确；
令，得，又，，所以，故D正确；故选：ACD.
10.答案：
解析：函数是奇函数，，当时，，，而当时，，则，
当时，，，而当时，，则，，所以，，.故答案为：
11.答案：2
解析：由题意可知，即，展开可得，即对于都成立，所以，即.故答案为：2.
12.答案：
解析：①，，，，恒有，所以在上单调递增；
②，，所以是偶函数；所以在上递减；
③；不等式可转化为或，
所以不等式的解集是.故答案为：
13.答案：(1)是定义R在的偶函数；证明见解析
(2)证明见解析
(3)
解析：(1)因为是定义在R上的函数，
对、都有
令得，可得，
再令得，所以是定义R在的偶函数.
(2)令得，
再令得，
两式相加得，这里不恒为零，
故，即，
又因为函数为偶函数，则，
所以，所以函数是周期为8的周期函数.
(3)由(2)知，，，，，
所以，，
令得；
令，得，又，
得到；
令得，
所以
.
14.答案：(1)奇函数，证明见解析；
(2)答案见解析.
解析：(1)为奇函数，证明如下：
由解析式知，当时，函数定义域为，，
，所以为奇函数.
当时，函数定义域为R，且，
所以为奇函数，
综上，为奇函数.
(2)令，则
，而，，即，
当时，，此时在上单调递减；
当时，，此时在上单调递增；
15.答案：(1)是偶函数，证明见解析
(2)在区间在上单调递减，证明见解析
解析：(1)函数是偶函数.证明如下：
由函数，可得其定义域为，关于原点对称，
且，即，
所以是定义域上的偶函数.
(2)函数在区间在上单调递减.
证明如下：设，
则.
因为，可得，，，
所以，即，
所以在区间上单调递减函数.

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