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2024-2025学年河南省漯河市普通高中高二下学期期末教学质量监测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.
A. B. C. D.
2.某校开展安全知识竞赛，每个参赛选手从道题其中选择题道，填空题道中不放回地依次抽取道题作答，则在第一次抽到选择题的条件下，第二次抽到填空题的概率
A. B. C. D.
3.小强每天骑自行车上学．假设他每次骑车到校所用时间单位：分钟服从正态分布，则 【附：，】
A. B. C. D.
4.哪吒之魔童闹海在全球热映创下中国电影多项记录，影片的角色受到海内外观众的喜爱．现将敖丙、敖闰、申公豹、太乙真人个卡通模型和个相同的哪吒模型从左到右排成一排，则两个哪吒模型相邻的概率为
A. B. C. D.
5.在等差数列中，，则
A. B. C. D.
6.在四棱锥中，平面平面，为正三角形，为梯形，，，，，，则直线与平面所成角的正弦值为
A. B. C. D.
7.随机变量的分布列如下表，若，则
A. B. C. D.
8.已知点，，是：与轴的交点，为动点，以为直径的圆与相内切，则面积的最大值为
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，为平面上的动点，定义运算：，其中．
A. 若运算为加法，则点的轨迹为椭圆 B. 若运算为减法，则点的轨迹为双曲线
C. 若运算为乘法，则点的轨迹为直线 D. 若运算为除法，则点的轨迹为圆
10.已知，则
A.
B.
C.
D.
11.甲、乙两人投篮，每人只能在下列两种方式中选一种．方式：投篮次，每次投中得分，未投中不得分，累计计分．方式：选手最多投次，如果第一次投中可进行第二次投篮，如果第二次投中可进行第三次投篮，如果某次未投中，则投篮终止，且每投中一次得分，未投中不得分，累计计分．已知甲、乙两人每次投中的概率均为，且各次投篮相互独立．甲选择方式投篮，乙选择方式投篮．则下列说法正确的是
A. 当时，甲得分的概率为
B. 当时，甲至少得分的概率为
C. 当时，乙最多得分的概率为
D. 当时，乙得分的期望大于甲得分的期望
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.随机变量，若，则__________．
13.曲线在处的切线方程为__________．
14.某校名学生高一人，高二人，高三人在数学竞赛中获奖．人站成一排合影留念，同年级的同学不相邻的站法有__________种．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知为抛物线：的焦点，为上的一点，且，斜率为的直线与交于，两点，设直线，的斜率分别为，．
求抛物线的方程；
求证为定值．
16.本小题分
人工智能的广泛应用，给人们的生活带来了便捷．随着的开源，促进了技术的共享和进步．某校社团十分关注学生的使用，若将经常使用的人称为“达人”，偶尔使用或不使用的人称为“非达人”以该社团随机抽取名学生进行调查，得到如下数据：
达人 非达人 合计
男
女
合计
补全列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为“达人”与性别有关联？
现从抽取的“达人”中，按性别采用分层抽样的方法抽取人，然后从人中随机抽取人，记人中女“达人”的人数为，求的分布列与数学期望．
附：，．
17.本小题分
某制药公司研发一种新药，需要开展临床用药试验．随机征集了一部分志愿者作为样本参加试验，并得到一组数据，其中，表示连续用药天，相应的临床药效指标值．已知该组数据中与之间具有线性相关关系，令，经计算得到下面一些统计量的值：
，，，，，．
求关于的经验回归方程；
该公司要用甲与乙两套设备同时生产该种新药，已知设备甲的生产效率是设备乙的倍，设备甲生产药品的不合格率为，设备乙生产药品的不合格率为，且设备甲与乙生产的药品是否合格相互独立．
从该公司生产的新药中随机抽取一件，求所抽药品为不合格品的概率；
在该新药产品检验中发现有三件不合格品，求其中恰有二件是设备乙生产的概率．
参考公式：对于一组数据，其回归方程中，斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，．
18.本小题分
对于函数，若实数满足，则称为的不动点．已知函数．
若的极小值小于，求的取值范围；
当时，求函数的不动点的个数，并证明所有不动点之和等于零．
19.本小题分
第届联合国大会通过决议，将春节确定为联合国假日．某大学举办中国传统节日知识竞赛，每位大学生随机抽取问题并依次作答，其中每个问题的回答相互独立．若答对一题记分，答错一题记分．已知学生甲答对每个问题的概率为，答错的概率为．
学生甲随机抽取题，记总得分为，求的分布列与数学期望；
若学生甲已答过的题累计得分为分的概率为，求与．
参考答案
1.
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3.
4.
5.
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7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：依题意，得
所以，抛物线的方程为；
设，
联立得，
由，得，
设，，则，，
由知，，
．
所以为定值．
16.列联表如下：
达人 非达人 合计
男
女
合计
零假设“达人”与性别无关，
根据列联表可得，，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此认为成立，
因此认为“达人”与性别无关．
在“达人”中按性别分层抽样抽取人，其中，男“达人”抽取人，女“达人”抽取人，
的所有可能取值为，，．
则，，．
所以，的分布列如下：
所以的数学期望．
17.解：，．
，
，
所以关于的线性回归方程为：．
所以关于的回归方程为．
设事件随机抽取一件药品来自设备甲生产，事件随机抽取一件药品来自设备乙生产，事件随机抽取一件该公司生产的药品为不合格品．
因为设备甲的生产效率是设备乙的倍，所以，，
则，所以．
故所抽药品为不合格品的概率为．
，即所抽药品为不合格品，该药品来自设备乙生产的概率为，
所以三件不合格品中恰有二件是设备乙生产的概率为．
18.解：，
当时，，
当时，，
所以，在上递减，在
，上递增，．
由，得．
故的取值范围为
当时，，
依题意方程，即的解就是函数的不动点．
令，，
令，则，
当时，，当时，，
所以，在上递减，在上递增，
又，，且当时，．
所以，存在唯一，，使．
当时，，即所以，在上递减，
当时，，即，所以，在上递增．
所以，
因为，即，也即，
所以，．
又，．
根据零点存在定理，在，，
内各仅有一个零点，所以，有且仅有两个零点．
即函数有两个不动点．
设是的零点，则，
又，
所以也是的零点故所有零点之和等于零．
即函数所有不动点之和等于零．
19.解：的可能取值为，，，．
，
，
，
．
的分布列为
所以，．
，，
当时，，
即，
所以，数列为常数列．
又，
所以，
则，
所以，是以为首项，为公比的等比数列，
，即．
当时，上式也成立．
．
所以

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