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复习讲义
第一篇 吃透考点
专题三 函数
微专题（三） 与反比例函数有关的图形面积问题
类型一 有一边与坐标轴平行或重合
模型剖析 在反比例函数的图象上任取一点，点 的坐标
为，且 与坐标轴平行.
（1）当与轴平行，且点为 轴上任一点时，
如图1，则；当与 轴平
行，且点为 轴上任一点时，如图2，则
.其中， .
（2）在反比例函数 图象的另一支上任取一点，当 轴时，如图3，则；当 轴时，如图4，则.其中，, .
模型应用
图5
1.（2023·黑龙江·中考）如图5， 是等腰三角
形，过原点，底边轴，双曲线过, 两
点.过点作轴交双曲线于点.若 ，
则 的值是( ).
A. B. C. D.
小锦囊 设点，.只要用，表示出点,的坐标，就可由点,, 的
坐标表示出的直角边长，再根据 ，列方程求解.
图8
提示：如图8，过点A作于点.设点B的坐标为
，.因为过原点，交双曲线于A，B两点.所以A，B两点关于原点对称，所以，.因为 ，，所以.因为轴，所以, .所以
【答案】C
，.所以,.因为轴，所以
，.所以 .所以，
所以 .
图6
2.如图6 ，点在反比例函数 的
图象上，过点作轴交反比例函数 的
图象于点，作轴交反比例函数 的图
象于点，连接 .
（1）求 的值.
解：将代入，得.解得 .
图6
（2）求 的面积.
解：设点，，因为轴， // 轴，点 ,在反比例函数 的图象上，所以，，， .
， .
所以 .
类型二 边不与坐标轴平行或重合
模型剖析
在反比例函数的图象上任取一点.
（1）点的坐标为，与坐标轴交于点.当点 在轴上时，如图7， ；当点在轴上时，如图8， .其中， .
图7
图8
（2）在反比例函数图象的同一支上任取一点 ，如图9，分别过点，作轴于点，轴于点 ，则，所以 ；同理，若向轴作垂线，如图10，则有
.其中，， .
图9
图10
模型应用
3.（2025·湖北黄石·中考模拟）如图11，点，和， 在反比例函数
的图象上，其中．过点作轴于点 ，则
的面积为__.若的面积为，则 ___．
图11
图9
提示：因为点，所以 ．如图9，
过点作轴的垂线，垂足为点 ，则
.根据 的几何意义
可知，，所以 ．又
的面积为，且，，，，所以 ，
即．解得或．又，所以 ．
模型应用
3.（2025·湖北武昌·中考模拟）如图11，点，和， 在反比例函数
的图象上，其中．过点作轴于点 ，则
的面积为__.若的面积为，则 _____．
图11
2
图12
4.（2024·广西南宁·模拟）如图12，一次函数
的图象与反比例函数
的图象交于第二、四象限的点和点 ，
过点作轴的垂线，垂足为点， 的面积为4.
（1）求， 的值.
解：因为 的面积为4，且图象分布在第二、四象限，所以.
解得.
所以反比例函数的解析式为.将 ，代入，得， .
（2）结合图象直接写出当时， 的取值范围.
图12
解：当时，或 .
图12
（3）求 的面积.
解：设直线与轴的交点为.将 ，代入，得 解得
故直线 对应的函数解析式为.
令，得.
所以点 的坐标 为.
从而得，因为， ，所以 .
微专题练习（三） 与反比例函数有关的图形面积问题
类型一 有一边与坐标轴平行或重合
图1
1.（2024·甘肃兰州·中考节选）如图1 ，反比例函数
的图象与一次函数 的图象交
于点，是反比例函数图象上的一点，
轴于点，交一次函数的图象于点 ，连接
.当时，求 的面积.
解：将代入，得.
所以.
将代入 ，得.
所以，.
由此可得，.
因为，所以点 到的距离为.
所以 .
图1
图2
2.（2024·江西·中考模拟）如图2，已知直线
与反比例函数 的图象交于
点，与轴交于点，过点作 轴的平行
线交反比例函数的图象于点 .
（1）求直线 对应的函数解析式和反比例函数的解析式.
解：因为直线与反比例函数的图象交于点 ，所以，，即.
所以直线 对应的函数解析式为，反比例函数的解析式为 ．
图2
（2）连接，求 的面积．
解：因为直线与轴交于点 ，当时，，所以.
因为 轴，直线与反比例函数的图象交于点 ，所以点的纵坐标为1.
所以，即 .
所以.
所以.所以 ．
类型二 边不与坐标轴平行或重合
图3
3.（2024·浙江宁波·模拟）如图3，一次函数
的图象与反比例函数 的图象交于点
，，点是轴上的点.若 的面
积是10，则点 的坐标是______________.
图3
提示：由点，在反比例函数 的
图象上，得.解得 ，
.所以.用待定系数法可求得直线
对应的函数解析式为.设直线与 轴交
于点，则.设点的坐标为 .由
，得 ，即
.解得或.所以或 .
或
图4
4.（2025·山东济宁·中考模拟）如图4，正比例函数
和反比例函数 的图象交于点
．
（1）求反比例函数的解析式.
解：因为正比例函数的图象经过点 ，
所以.
解得.所以.
又因为反比例函数 的图象经过点，所以.
解得.所以反比例函数的解析式为 .
（2）将直线向上平移3个单位长度后，与轴交于点 ，与
的图象交于点，连接,，求 的面积.
图4
图5
解：如图5，将直线 向上平移3个单位长度后，其函数解析式为，当时， ，所以点的坐标为.
设直线 对应的函数解析式为，将， 代入，得 解得 所以直线 对应的函
数解析式为.解方程组 得
（舍去），
所以点 的坐标为.
过点作轴于点，交于点 .
在中，当时， ，所以.
所以 ．
图5

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