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复习讲义
第二篇 专题突破
专题二 阅读与理解
类型一 新定义（概念）型阅读理解题
新定义（概念）型阅读理解题常以两种形式出现：一是新定义运
算类题，这类问题往往会给出解题示例，解题时需要读懂新定义运算
的规则和方法，并仿照示例进行求解；二是新定义一个几何图形，并
运用定义的几何图形的性质去解决问题，解这类题的关键是理解新几
何图形的内涵及外延，并能够迁移运用.
典题精析
图1
例1 （2024·北京·中考节选）在平面直角坐标系
中，的半径为1.对于的弦 和不在直线
上的点，给出如下定义：若点关于直线
的对称点在上或其内部，且 ，
则称点是弦的“ 可及点”.如图1，点 ，
.
（1）在点，，，中，点____是弦的“ 可及点”，
其中____ .
图1
45
提示：如图89，分别作出点，， 关于直线的对称点，显然只有点关于直线 的对称点在 上.根据网格图的特点可知， .
思路点拨（1）结合新定义和网格图的特点，分别作出点，，关于直线 的对称点，看它们是否在内或上，若其对称点在 内或上，则可确定该点是弦的“ 可及点”，再计算角度.
图89
（2）若点是弦的“ 可及点”，则点 的横坐标的最大值为_ ____.
图1
思路点拨 （2）由新定义可知， ，因此点在以为直径的圆周上（不包含， 两点）. 以的中点为圆心，的长为半径作，作轴交于点 ，此时点 的横坐标最大.
图90
提示：由点是弦的“ 可及点”，得 .如图90，以的中点为圆心、 的长为半径作，则点在的弦 上方的半圆上运动（不包含，两点）.当轴时，点 的横坐标最大.由， ，得.从而得.由点， ，得，.因此点的横坐标为.故点 的横坐标的最大值为 .
针对训练
1.（2024·广东广州·中考）定义新运算： 例如：
，.若，则 的
值为_ ______.
或
提示：当时，，解得或 （不合题意，舍
去）；当时，，解得.综上所述，的值为或 .
2.中考预测题 定义：在平面直角坐标系中，对于任意一个函数，将原函数中的自变量替换为 ，从而形成一个新的函数，这个新函数叫作原函数的“绝对函数”.
例如，函数的“绝对函数”是 ，即
函数 的图象如图2，它的“绝对函数” 的图象如图3.
图2
图3
（1）在图4的平面直角坐标系中画出 的“绝对函数”的图象.
图4
解：的“绝对函数”是，即 它的图象如图91所示.
图91
（2）按照上述定义，的“绝对函数”是_______.在 的“绝对函数”
的图象上取一点，点关于轴的对称点为， 是平面直角坐标系的
原点，则 的面积是___.
6
图92
提示：的“绝对函数”是 ，画出它的图象如图92所示.点关于轴的对称点为，设点 ，则.从而可得，，到 轴的距离为.故 的面积是 .
（3）已知的“绝对函数”的图象与直线 有四
个交点，求 的取值范围.
图93
解： 的“绝对函数”的图象如图93所示.
对于，令，得 .
所以的“绝对函数”的图象与 轴的交点是.
当直线经过时，直线 与 的“绝对函数”的图象有三个交 点，此时.
将直线向下平移，当直线 与函数的图象只有一个交点时，方程 有两个相等的实数根.
则有，解得 .
因此当的“绝对函数”的图象与直线 有四个交点时，的取值范围是 .
图93
类型二 新知识型阅读理解题
新知识型阅读理解题是指给出一些新知识（如中点坐标公式、两
点间的距离公式、点到直线的距离公式、三角函数的和差公式、圆和
椭圆方程等），让学生通过对材料的自学理解，去解决新问题的一类
试题.解这类问题，不要被材料中的“陌生面孔”所吓倒，虽然知识陌
生，但是理解之后再解题，难度通常不大，读懂题目中介绍的新知识
（包括公式、方法和解题思路）是解题的关键.
典题精析
例2 （2025·湖南娄底·中考）从个不同元素中取出 个元素的
所有组合的个数，叫作从个不同元素中取出 个元素的组合数，用符
号表示，（，， 为正整数）.例如
，，则 等于( ).
A. B. C. D.
思路点拨 根据的定义，先求出 的值，再分别求出各选项中的
值，进行比较，即可得解.
提示： 根据题意，得
.选项A中，
；选项B中， ；选项C中，
；选项D中， .
【答案】C
针对训练
图5
3.（2025·湖南常德·中考）沈括的《梦溪笔谈》是我国
古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会
圆术”，如图5，是以点为圆心、 长为半径的圆
弧，点是弦的中点，点在上， .“会圆
术”给出的长的近似值的计算公式： .
当， 时， ____（结果保留一位小数）.
图5
提示：连接.由，，得 ，
.因为是弦的中点，点
在上，，所以，且，， 三点
在同一直线上， .由此可得，
.所以 .
又，故 .
答案：0.1
类型三 新方法型阅读理解题
新方法型阅读理解题一般是提供一个解题过程或解题方法，要求
在理解解题过程、解题方法的基础上，作出大胆的猜想，并利用材料
提供的方法进行解答.这类问题主要考查的是阅读理解能力和迁移模仿
能力.解题的关键是读懂材料中的解题过程或解题策略，探索新的问题
的解题方法.
典题精析
例3 （2025·郴州·中考）阅读材料：
整体代值是数学中常用的方法.例如：已知 ，求代数式
的值.可以这样解：
.
根据阅读材料，解决问题：若是关于 的一元一次方程
的解，则代数式 的值是____.
思路点拨 先根据方程的解的意义，把的值代入，得出与 之间的等量
关系.再将所求代数式用完全平方公式和乘法法则化简，然后用整体代
值求解.
提示：将代入，得 .由此可得，
.
答案：14
针对训练
图6
4.中考预测题 阅读理解：为计算 的值，我们可以构建 （如图6），使得 ， ， ，，，延长使 ，连接，可得到
A. B. C. D.
所以 .类比这种方法，可以计算出 的值为 ( ).
图94
提示：如图94，在中， ，
，延长使，连接 ，
则 .设 ，则
，从而得
【答案】B
.在 中，
.
5.（2025·四川凉山·中考）阅读与理解
【阅读材料】如图7，四边形是矩形， 是等腰直角三角
形，记为 ，为 ，若，则 .
证明：设， ，
.
易证 .
， .
， .
.
当 时，若，则 .
同理可证，当 时，若，则 .
【解决问题】根据上述材料，解答下列问题：
如图8，直线与反比例函数的图象交于点 ，
与轴交于点.将直线绕点顺时针旋转 后的直线与轴交于点 ，
过点作轴于点，过点作轴于点， .
图7
图8
（1）求反比例函数 的解析式.
图7
图8
解：设， ，
， .
解得或
或 （此时点在第四象限，不符合题意，舍去）.
将代入 ，得3.
解得
反比例函数的解析式为 .
（2）直接写出， 的值.
图7
图8
提示：在中，令，得.解得 点 的坐标为，即.由（1）知， ，
.∵ ， . ，∴ . .
【答案】， .
（3）求直线 对应的函数解析式.
图7
图8
解：由（2）知， .
， ，
.
，即 .
设直线对应的函数解析式为，将， 代入，得
解得
直线对应的函数解析式为 .
专题练习二 阅读与理解
类型一 新定义（概念）型阅读理解题
1.（2024·甘肃·中考）定义一种新运算 ，规定运算法则为：
，均为整数，且 .例如：
，则 ___.
8
提示： .
2.（2024·河南·中考）【阅读材料】
在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验.请运用
已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究.定义：至少有一组邻边相等且
对角互补的四边形叫作邻等对补四边形.
【操作判断】
（1）用分别含有 和 角的直角三角尺拼出如图1所示的4个四边
形，其中属于邻等对补四边形的有____（填相应字母）.
图1
【性质探究】
（2）根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质.下面研究与对角
线相关的性质.
图2
如图2，四边形 是邻等对补四边形，
， 是它的一条对角线.
①写出图中相等的角，并说明理由.
图116
解：.
理由：如图116，延长 至点，使，连接
四边形 是邻等对补四边形， .
∵ ， .
在和中，，，，
，
∴ .
图2
②已知，， ，求
的长（用含，， 的代数式表示）.
解：如图116，过作于点
， .
， .
在中，， .
图116
【拓展应用】
（3）如图3，在中， ，， ，分别在边
，上取点，，使四边形 是邻等对补四边形.当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出 的长.
图3
提示： ，，，
四边形是邻等对补四边形， .
.
如图117，当时， ，，
，即. ，
. .根据（2）的结论，得 .
如图118，当时，连接.在和 中，
，， ，不
符合题意，故舍去.
图117
图118
如图119，当时，设，则 .由
，得，即. ，. .根据（2）的结论，得.
当时，如图120，连接.同 可得.则 ，不符合题意，故舍去.综上所述，的长为或 .
图119
图120
【答案】的长为或 .
类型二 新知识型阅读理解题
图4
3.数学文化（2025·江苏常州·中考）如图4，第十四届国际
数学教育大会 会徽的主题图案有着丰富的数学
元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的图形
是用我国古代的计数符号写出的八进制数3 745.八进制是以8作为进位
基数的数字系统，有 共8个基本数字.八进制数3 745换算成十进制
数是，表示 的举办
年份.
（1）八进制数3 746换算成十进制数是_______.
2 022
图4
提示： .
（2）小华设计了一个进制数143，换算成十进制数是120，则 的值是___.
9
图4
提示：根据题意，得.解得 ，
（不符合题意，舍去）.故 的值是9.
图5
4.（2025·山东青岛·模拟）
【阅读材料】我们已经知道两点之间的距离，点到
直线的距离和两条平行线间的距离，那么我们如何在平
面直角坐标系中求这些距离呢？
如图5，在平面直角坐标系中，， 两点的坐标分
为，，由勾股定理，得 .
所以，两点间的距离为 .这样就可以求
出平面直角坐标系中任意两点之间的距离.
图5
我们用下面的公式可以求出平面直角坐标系中任意一点到某条直线的距离：已知点和直线，则点到直线 的距离可以用公式 计算.
例如：求点到直线 的距离.
解： 直线可变形为，其中， .∴ 点到直线的距离为 .
图5
【解决问题】
（1）已知，，线段 的长为______.
提示：由， ，得.故线段 的长为 .
图5
（2）求点到直线 的距离，并说明
点与直线 的位置关系.
解：直线可变形为 ，其中，
， ，即点到直线的距离为
点 在直线 上.
图5
（3）已知直线与直线 平行，
求这两条直线的距离.
解：令，，点 在直线上.
直线 可变形为
，其中，
点 到直线的距离为.
直线与直线的距离为 .
类型三 新方法型阅读理解题
5.（2025·常州·中考）
【材料阅读】我们知道， ，展开移项
得，当 时，取到等号；我们可以利用它解决形如
“（，为常数且 ）”的最小值问题.
例如：求式子 的最小值.
解：，当时，即 时，式子有最小值，最小
值为4.
图6
【学以致用】在一次踏青活动中，某数学兴趣
小组围绕着一个有一面靠墙（墙的长度为 ）的
矩形篱笆花园（如图6）的面积 和篱笆总长
与的长度 之间的关系进行了研究分析.
（1）当该矩形花园的面积为，篱笆总长为时，求 的值.
解：当为 时，， ，即 .
解得，.
当时， ，不符合题意，舍去.
当时，，符合题意.故 .
图6
（2）已知篱笆总长为 .
①写出关于的函数解析式，并写出 的取值范围.
解：当为时，， .
又
∴ .
②当取何值时， 有最大值？最大值是多少？
解：
，， 当时， 有最大值，最大值为50.
图6
图7
（3）当面积为时，关于 的函数解析式为
，数学兴趣小组的小明同学利用数学软件作
出了其函数图象，如图7所示，点 为图象的最低点，观
察图象并结合材料，当自变量的取值范围为多少时，
随 的增大而减小？
解：结合材料，得，即.
当 ，即（负值已舍去）时，有最小值，最小值为 点 的坐标为
且， .
综上所述，当时， 随 的增大而减小.

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