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2024-2025学年河南省漯河市普通高中高一下学期期末教学质量监测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数的虚部为
A. B. C. D.
2.数据，，，，，的第分位数是
A. B. C. D.
3.如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，，，则原四边形的面积为
A. B. C. D.
4.社会实践课上，老师让甲、乙两同学独立地完成某项任务，已知两人能完成该项任务的概率分别为，，则此项任务被甲、乙两人完成的概率为
A. B. C. D.
5.若函数为奇函数，则
A. B. C. D.
6.天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为我们通过设计模拟实验的方法求概率．由计算机产生的随机数，当出现随机数，，时，表示天下雨，利用计算产生组随机数：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，则这三天中恰有两天下雨的概率近似为
A. B. C. D.
7.将一个直角边长分别为，的直角三角形绕其较长直角边所在的直线旋转一周得到一个圆锥，则该圆锥外接球的表面积为
A. B. C. D.
8.已知为函数图象上的一点，其中为不超过的最大整数，则函数零点的个数为
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚反面向上”，事件“第二枚正面向上”，则下列说法正确的是
A. 与互斥 B. C. 与对立 D. 与相互独立
10.设为菱形所在平面外一点，与交于，为上异于，的一点，则( )
A.
B. 与异面
C. 若为的中点，则平面
D. 若，则平面
11.已知的面积为，，为的平分线，则
A. B.
C. 的最大值为 D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知平面向量，，若与垂直，则__________．
13.非零复数的共轭复数为，若，则__________．
14.如图，在中，，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，，则的最小值为__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，，，．
若，求的值；
若与的夹角是钝角，求的取值范围．
16.本小题分
已知函数的部分图象如图所示．
求的解析式及单调递增区间；
将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数图象，若不等式对任意成立，求的取值范围．
17.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，已知，且，．
若，求；
若的面积，求内切圆的周长．
18.本小题分
人工智能的广泛应用，给人们的生活带来了便捷．随着的开源，促进了技术的共享和进步．某网站组织经常使用的人进行了知识竞赛．从参赛者中随机选出人作为样本，并将这人按成绩分组：第组，第组，第组，第组，第组，得到的频率分布直方图如图所示．
求；
求样本数据的中位数与第百分位数；
已知直方图中成绩在内的平均数为，方差为，内的平均数为，方差为，求成绩在内的平均数与方差．
19.本小题分
如图，四棱锥中，平面平面，是边长为的等边三角形，，，点在棱上，且．
求证：平面；
已知．
若二面角的正切值为，求三棱锥的体积；
若，设直线与平面所成的角为，若，求的取值范围．
参考答案
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14.
15.解：因为，，，
若，则，
解得或，
当时，，，，，
当时，，，，；
若与的夹角是钝角，则且与不共线，
当与共线时，，即，
所以且，
故的范围为且
16.解：由函数的部分图象知，，
，所以，
由，得，；
解得，；
又，所以，，
令，；
解得，；
所以的单调递增区间为，；
将函数的图象向左平移个单位长度，
得函数的图象，
所以，
不等式可化为，
时，，，
由题意，令，解得，
所以的取值范围是．
17.解：，．
由，得，，又，，，．
，设内切圆的半径为，则由，得，，
内切圆的周长为．
18.解：由，得．
前三组频率之和为，所以样本数据的中位数为．
样本数据的第百分位数落在第三组，第百分位数为．
由题意，成绩在，内的人数分别为，．
设内数据的平均数为，方差为，内数据的平均数为，方差为，总平均数为，方差为，
依题意，，，，，
则，
．
所以，成绩在内的平均数为，方差为．
19.证明：连接交于点，连接，
因为，，所以由相似三角形的性质，可得，
又，所以，，
因为平面，平面，所以平面；
解：取的中点，取的中点，连接，，，则，，
因为，所以，
因为是边长为的等边三角形，所以，，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以．
又，所以平面，
因为平面，
所以，
所以为二面角的平面角．
在中，，
所以．
在中，，
所以；
过作交于，连接，
由于平面，所以平面，
则为与平面所成角，即，．
由，，，
得，
因为，所以，，
所以，
所以，
故的取值范围为
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