资源简介

2.2　双曲线的简单几何性质
课时目标
1.掌握双曲线的简单几何性质(范围、焦点、渐近线、离心率等).
2.能用双曲线的简单性质求标准方程.会求双曲线的离心率、渐近线等.
1.双曲线的几何性质
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
图形
范围 ____________，且y∈R ____________，且x∈R
对称性 对称轴：________　对称中心：______
顶点 ________，________ ________，________
实轴和虚轴 实轴：线段A1A2，长：______
虚轴：线段B1B2，长：______
实半轴长：，虚半轴长：
焦点 (±，0) (0，±)
焦距 |F1F2|＝2c
渐近线 y＝________ y＝________
离心率 e＝______，e∈________
微点助解
(1)由＝1＋知，当|x|无限增大时，|y|也随之无限增大，所以双曲线是不封闭的曲线.
(2)双曲线的顶点只有两个，即实轴的两个端点，虚轴的两个端点并不在双曲线上.另外，实轴长不一定大于虚轴长，这要和椭圆中长轴长和短轴长区别开来.
(3)e＝＝＝，决定双曲线的开口大小，越大，双曲线的开口就越大，所以越大，e越大，双曲线开口越大；越小，e越小，双曲线的开口就越小.
2.双曲线几何性质的拓展
(1)双曲线上到中心距离最小的点是双曲线的顶点.
(2)焦半径公式：双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上的点P(x0，y0)相对左、右焦点F1，F2的焦半径分别为|PF1|＝|ex0＋a|，|PF2|＝|ex0－a|(绝对值内看焦点，左加右减，去绝对值看支，左负右正).
①当点P在左支上，即x0≤－a时，|PF1|＝－(ex0＋a)，|PF2|＝－(ex0－a)；
②当点P在右支上，即x0≥a时，|PF1|＝ex0＋a，|PF2|＝ex0－a.
(3)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，若点P在双曲线的左支上，则|PF1|最小＝c－a，|PF2|最小＝c＋a；
若点P在双曲线的右支上，则|PF1|最小＝c＋a，|PF2|最小＝c－a.
[基点训练]
1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)双曲线－＝1与－＝1(a>0，b>0)的形状相同.(　 )
(2)等轴双曲线的渐近线方程与双曲线方程有关.(　 )
(3)离心率是的双曲线为等轴双曲线.(　 )
(4)双曲线－＝1的渐近线方程是3x±2y＝0.(　 )
2.[多选]已知双曲线C：－＝1，则下列选项正确的是(　 )
A.C的焦点坐标为(±4,0)
B.C的顶点坐标为(0，±3)
C.C的离心率为
D.C的虚轴长为2
3.如图，直角坐标系中有4条圆锥曲线Ci(i＝1,2,3,4)，其离心率分别为ei.则4条圆锥曲线的离心率的大小关系是(　 )
A.e2B.e1C.e2D.e1题型(一)　由双曲线的标准方程研究其几何性质
[例1]　求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程.
听课记录：
[变式拓展]
将本例中双曲线方程换为“nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)”，结论不变，如何求解？
由双曲线的方程研究几何性质的步骤
(1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类问题的关键.
(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值.
(3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质.　　
[针对训练]
1.[多选]已知双曲线方程为x2－8y2＝32，则(　 )
A.实轴长为8 B.虚轴长为4
C.焦距为6 D.离心率为
题型(二)　由双曲线的几何性质求其标准方程
[例2]分别求适合下列条件的双曲线的标准方程.
(1)一个焦点为(0,13)，且离心率为；
(2)渐近线方程为y＝±x，且经过点A(2，－3).
听课记录：
求双曲线的标准方程的方法
(1)根据双曲线的几何性质求标准方程，一般是先定型(焦点在哪个轴上)，再定量(确定a2，b2的值).
(2)巧设双曲线方程
①如果已知双曲线的方程为标准形式，但是不知焦点所处的位置，可把双曲线方程设为mx2－ny2＝1(m，n同号)，然后由条件求m，n.
②与双曲线－＝1具有共同渐近线的双曲线的方程可设为－＝λ(λ≠0)，再结合其他条件求出λ的值即可得到双曲线方程.　　
[针对训练]
2.已知双曲线的虚轴长为4，离心率与椭圆＋＝1的离心率互为倒数，且焦点所在轴相同，则该双曲线的方程为(　 )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
3.已知双曲线的一个焦点为(，0)，渐近线方程为x±y＝0，则该双曲线的标准方程为(　 )
A.－x2＝1 B.y2－＝1
C.x2－＝1 D.－y2＝1
题型(三)　双曲线的渐近线
[例3]　点(3,0)到双曲线－＝1的一条渐近线的距离为(　 )
A. B.
C. D.
听课记录：
求双曲线的渐近线方程的基本步骤
(1)利用条件求出a与b的值或建立a与b的等量关系；
(2)确定双曲线焦点的位置；
(3)写出双曲线的渐近线方程：当双曲线的焦点在x轴上时，渐近线方程为y＝±x；当双曲线的焦点在y轴上时，渐近线方程为y＝±x.　　
[针对训练]
4.已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，离心率e＝2，则双曲线C的渐近线方程为______________.
5.已知双曲线C：－y2＝1(m>0)的一条渐近线为x＋my＝0，则C的焦距为______.
题型(四)　双曲线的离心率
[例4]　已知双曲线－＝1(a>b>0)两条渐近线的夹角为，则此双曲线的离心率为(　 )
A.2 B.
C. D.－
听课记录：
[例5]　已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若以线段F1F2为直径的圆与直线ax－by＋2ac＝0有交点，则双曲线C的离心率取值范围为__________.
听课记录：
[方法技巧]　求双曲线离心率的常用方法
直接法 已知a，c可直接利用e＝求解，已知a，b(或已知渐近线方程)可利用e＝求解
方程法 若无法求出a，b，c的具体值，但根据条件可确定a，b，c之间的关系，可通过b2＝c2－a2，将关系式转化为关于a，c的齐次方程，借助于e＝，转化为关于e的方程求解
不等关系法 求双曲线离心率的取值范围，关键是根据条件得到不等关系，并想办法转化为关于a，b，c的不等关系
[针对训练]
6.过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为A.若∠AFO＝2∠AOF(O为坐标原点)，则该双曲线的离心率为(　 )
A.　　 B.　　
C.2　　 D.或2
7.双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作倾斜角为45°的直线交双曲线右支于点P，若PF2⊥x轴，则双曲线的离心率为　(　 )
A.－1 B.
C.±1 D.＋1
2.2　双曲线的简单几何性质
课前环节
1.x≤－a或x≥a　y≤－a或y≥a　坐标轴　原点　A1(－a,0)　A2(a,0)　A1(0，－a)　A2(0，a)　2a　2b　a　b　±x 　±x　　(1，＋∞)
[基点训练]
1.(1)√　(2)×　(3)√　(4)√
2.选BCD　因为a2＝9，b2＝7，所以a＝3，b＝，c＝＝4.因为焦点在y轴上，所以C的焦点坐标为(0，±4)，故A错误；顶点为(0，±3)，故B正确；离心率为，故C正确；虚轴长为2，故D正确.
3.选C　根据双曲线离心率大于1，椭圆离心率在(0,1)之间，则e3，e4都大于e1，e2，根据椭圆越接近圆，则其离心率越接近0，故e2e3，综上e2?课堂环节
[题型(一)]
[例1]　解：将9y2－4x2＝－36化为标准方程为－＝1，即－＝1，∴a＝3，b＝2，c＝.因此顶点坐标为A1(－3,0)，A2(3,0)，焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)，实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x＝±x.
[变式拓展]
解：把方程nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)化为标准方程为－＝1(m＞0，n＞0)，
由此可知，a＝，b＝，c＝，
焦点坐标为(，0)，(－，0)，
离心率e＝＝＝，
顶点坐标为(－，0)，(，0)，
实轴长为2a＝2，虚轴长为2b＝2.
所以渐近线方程为y＝± x，即y＝±x.
[针对训练]
1.选ABD　双曲线方程x2－8y2＝32化为标准方程为－＝1，得a＝4，b＝2，c＝6，所以双曲线的实轴长为8，虚轴长为4，焦距为12，离心率为，故选ABD.
[题型(二)]
[例2]　解：(1)依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c＝13，又＝，∴a＝5，b＝＝12，故其标准方程为－＝1.
(2)法一　∵双曲线的渐近线方程为y＝±x，
若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则＝.　①
∵A(2，－3)在双曲线上，∴－＝1.　②
联立①②，无解.
若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则＝.　③
∵A(2，－3)在双曲线上，∴－＝1.　④
联立③④，解得a2＝8，b2＝32.
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
法二　由双曲线的渐近线方程为y＝±x，可设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)，
∵A(2，－3)在双曲线上，
∴－(－3)2＝λ，即λ＝－8.
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
[针对训练]
2.选C　因为椭圆＋＝1的焦点在y轴上，离心率e＝，所以所求双曲线的焦点也在y轴上，离心率e＝2, 即＝2，所以c2＝4a2，又因为双曲线的虚轴长为4, 即2b＝4，所以b＝2, 即c2－a2＝3a2＝4，所以a2＝，所以所求双曲线的方程为－＝1.
3.选D　由题意得，双曲线的焦点在x轴上，且c＝，＝，再由c2＝a2＋b2，解得a2＝2，b2＝1，该双曲线的标准方程为－y2＝1，故选D.
[题型(三)]
[例3]　选A　双曲线－＝1的渐近线方程是±＝0，即3x±4y＝0.由点到直线的距离公式，得点(3,0)到渐近线3x±4y＝0的距离为＝.故选A.
[针对训练]
4.解析：∵e＝＝2，∴c＝2a，又c2＝a2＋b2，∴4a2＝a2＋b2，b2＝3a2，b＝a，∴双曲线C的渐近线方程为y＝±x＝±x.
答案：y＝±x
5.解析：易得双曲线C的渐近线方程为y＝± x，又知C的一条渐近线方程为y＝－x，则＝，解得m＝3.故C的方程为－y2＝1.所以C的焦距为4.
答案：4
[题型(四)]
[例4]　选C　∵双曲线－＝1(a>b>0)的渐近线方程为y＝±x，∴由双曲线－＝1(a>b>0)两条渐近线的夹角为，可得＝tan＝.∴双曲线的离心率为e＝＝＝.
[例5]　解析：以线段F1F2为直径的圆的方程是x2＋y2＝c2，与直线ax－by＋2ac＝0有交点，则圆心到直线的距离d＝＝2a≤c，所以双曲线的离心率e＝≥2.
答案：[2，＋∞)
[针对训练]
6.选B　在Rt△OAF中，因为∠AFO＝2∠AOF，所以∠AOF＝30°，则tan 30°＝＝，所以e＝＝ ＝＝，故选B.
7.选D　由题意得|F1F2|＝|PF2|，
－＝1(a>0，b>0)中，令x＝c得－＝1，解得y＝±，
故|PF2|＝，因为|F1F2|＝2c，所以＝2c，
结合b2＝c2－a2可得c2－2ac－a2＝0，
方程两边同时除以a2，得e2－2e－1＝0，
解得e＝1±，负值舍去，故离心率为＋1.(共78张PPT)
2.2
双曲线的简单几何性质
(强基课—梯度进阶式教学)
课时目标
1.掌握双曲线的简单几何性质(范围、焦点、渐近线、离心率等)．
2．能用双曲线的简单性质求标准方程．会求双曲线的离心率、
渐近线等．
CONTENTS
目录
1
2
3
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
课时跟踪检测
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
1．双曲线的几何性质
x≤－a或x≥a
y≤－a或y≥a
对称性 对称轴：________　对称中心：______
顶点 ，_______ ，_________
实轴和虚轴 实轴：线段A1A2，长：___
虚轴：线段B1B2，长：___
实半轴长： ，虚半轴长：__
坐标轴
原点
A1(－a,0)
A2(a,0)
A1(0，－a)
A2(0，a)
续表
2a
2b
a
b
续表
(1，＋∞)
2．双曲线几何性质的拓展
(1)双曲线上到中心距离最小的点是双曲线的顶点．
①当点P在左支上，即x0≤－a时，|PF1|＝－(ex0＋a)，|PF2|＝－(ex0－a)；
②当点P在右支上，即x0≥a时，|PF1|＝ex0＋a，|PF2|＝ex0－a.
基点训练
答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√
√
√
√
顶点为(0，±3)，故B正确；
3．如图，直角坐标系中有4条圆锥曲线Ci(i＝1,2,3,4)，其离心率分别为ei.则4条圆锥曲线的离心率的大小关系是(　 )
A．e2C．e2√
解析：根据双曲线离心率大于1，椭圆离心率在(0,1)之间，则e3，e4都大于e1，e2，根据椭圆越接近圆，则其离心率越接近0，故e2e3，综上e2课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
[例1]　求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程．
题型(一)　由双曲线的标准方程研究其几何性质
将本例中双曲线方程换为“nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)”，结论不变，如何求解？
变式拓展
由双曲线的方程研究几何性质的步骤
(1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类问题的关键．
(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值．
(3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质．　
方法技巧
针对训练
√
√
√
题型(二)　由双曲线的几何性质求其标准方程
联立①②，无解．
联立③④，解得a2＝8，b2＝32.
求双曲线的标准方程的方法
(1)根据双曲线的几何性质求标准方程，一般是先定型(焦点在哪个轴上)，再定量(确定a2，b2的值)．
(2)巧设双曲线方程
①如果已知双曲线的方程为标准形式，但是不知焦点所处的位置，可把双曲线方程设为mx2－ny2＝1(m，n同号)，然后由条件求m，n.
方法技巧
针对训练
√
所以c2＝4a2，又因为双曲线的虚轴长为4,
√
题型(三)　双曲线的渐近线
√
方法技巧
针对训练
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题型(四)　双曲线的离心率
√
[2，＋∞)
方法技巧
求双曲线离心率的常用方法
不等 关系法 求双曲线离心率的取值范围，关键是根据条件得到不等关系，并想办法转化为关于a，b，c的不等关系
续表
针对训练
√
√
解析：由题意得
结合b2＝c2－a2可得c2－2ac－a2＝0，
方程两边同时除以a2，得e2－2e－1＝0，
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解析：由已知得左焦点的坐标为(－5,0)，右顶点的坐标为(3,0)，所以左焦点与右顶点之间的距离等于8.
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解析：由题意得(m2＋n)(3m2－n)＞0，解得－m2＜n＜3m2.又由该双曲线两焦点间的距离为4，得m2＋n＋3m2－n＝4，即m2＝1，所以－1＜n＜3.故选AB.
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3．中心在原点，焦点在x轴上，且一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线的方程是(　 )
A．x2－y2＝8 B．x2－y2＝4
C．y2－x2＝8 D．y2－x2＝4
解析：令y＝0，得x＝－4，∴等轴双曲线的一个焦点为(－4,0)，
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9．已知双曲线的两个焦点分别是F1(－4,0)，F2(4,0)，点P是双曲线左支上的一点，|PF2|－|PF1|＝4.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)写出该双曲线的实半轴长和虚半轴长、离心率、渐近线方程．
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10．求中心在原点，适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1)顶点在x轴上，两顶点间的距离是10，且经过点(10,3)；
(2)一个焦点坐标为(5,0)，一条渐近线方程为3x－4y＝0.
因为两顶点间的距离是10，且经过点(10,3)，
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设a＝4k，b＝3k，k>0，则c2＝a2＋b2 52＝(4k)2＋(3k)2，
解得k＝1，
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由双曲线的图象可知左、右两支上距离最近的两点为左、右顶点，即最短距离为6，故D正确．
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因为过点(3，－1)，所以9－1＝λ，即λ＝8，所以双曲线的方程为x2－y2＝8.
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(1)求与双曲线C有共同的渐近线，且实轴长为6的双曲线的标准方程；
(2)P为双曲线C右支上一动点，点A的坐标是(4,0)，求|PA|的最小值．
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2课时跟踪检测(二十)　双曲线的简单几何性质
A级——综合提能
1.双曲线－＝1的左焦点与右顶点之间的距离等于(　 )
A.6 B.8
C.9 D.10
2.[多选]已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值可以是(　 )
A.1 B.2
C.3 D.4
3.中心在原点，焦点在x轴上，且一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线的方程是(　 )
A.x2－y2＝8 B.x2－y2＝4
C.y2－x2＝8 D.y2－x2＝4
4.已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为C的右支上一点.若＝，则双曲线C的渐近线方程为(　 )
A.3x±2y＝0 B.2x±3y＝0
C.x±2y＝0 D.2x±y＝0
5.[多选]已知椭圆C1：＋y2＝1(m>0且m≠1)与双曲线C2：－y2＝1(n>0)的焦点重合，e1，e2分别为椭圆C1，双曲线C2的离心率，则(　 )
A.0
C.m>n D.当n＝1时，m＝3
6.已知双曲线－＝1的离心率e＝，实半轴长为4，则双曲线的方程为____________.
7.中心在坐标原点，离心率为的双曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为________.
8.已知点B1，B2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)虚轴的两个端点，过B1且垂直于y轴的直线与双曲线交于P，Q两点，若△PQB2为正三角形，则该双曲线的离心率e为__________.
9.已知双曲线的两个焦点分别是F1(－4,0)，F2(4,0)，点P是双曲线左支上的一点，|PF2|－|PF1|＝4.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)写出该双曲线的实半轴长和虚半轴长、离心率、渐近线方程.
10.求中心在原点，适合下列条件的双曲线的标准方程.
(1)顶点在x轴上，两顶点间的距离是10，且经过点(10,3)；
(2)一个焦点坐标为(5,0)，一条渐近线方程为3x－4y＝0.
B级——应用创新
11.[多选]已知双曲线C：－＝－1的焦点分别为F1，F2，则下列结论正确的是(　 )
A.渐近线方程为3x±4y＝0
B.双曲线C与椭圆＋＝1的离心率互为倒数
C.若双曲线C上一点P满足|PF1|＝2|PF2|，则△PF1F2的周长为28
D.若从双曲线C的左、右支上任取一点，则这两点的最短距离为6
12.(2023·全国甲卷)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，C的一条渐近线与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1交于A，B两点，则|AB|＝(　 )
A. B.
C. D.
13.已知F1，F2分别是双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点.若双曲线E上存在一点P使得|＋2|＝b，则双曲线E的离心率的取值范围为________.
14.已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(3，－1)，点M(3，m)在双曲线上.求：
(1)双曲线的方程；
(2)1·；
(3)△F1MF2的面积.
15.已知双曲线C：－＝1.
(1)求与双曲线C有共同的渐近线，且实轴长为6的双曲线的标准方程；
(2)P为双曲线C右支上一动点，点A的坐标是(4,0)，求|PA|的最小值.
课时跟踪检测(二十)
1．选B　由已知得左焦点的坐标为(－5,0)，右顶点的坐标为(3,0)，所以左焦点与右顶点之间的距离等于8.
2．选AB　由题意得(m2＋n)(3m2－n)＞0，解得－m2＜n＜3m2.又由该双曲线两焦点间的距离为4，得m2＋n＋3m2－n＝4，即m2＝1，所以－1＜n＜3.故选AB.
3．选A　令y＝0，得x＝－4，∴等轴双曲线的一个焦点为(－4,0)，∴c＝4，a2＝b2＝c2＝×16＝8，即双曲线方程为x2－y2＝8.
4．选C　设双曲线C的半焦距为c(c>0)．由题可知|F1F2|＝2c，|PF1|－|PF2|＝2a，则＝＝，所以＝＝，所以＝，所以C的渐近线方程为x±2y＝0.
5．选BC　因为椭圆C1，双曲线C2的焦点相同，所以m>1，m2－1＝n2＋1，所以m2＝n2＋2，所以m>n，当n＝1时，m＝，故A、D错误，C正确．因为(e1e2)2＝·＝·＝＝1＋>1，所以e1>，故B正确．
6．解析：由已知可得解得b＝3，所以双曲线方程为－＝1.
答案：－＝1
7．解析：∵＝，∴＝＝，∴＝，∴＝，∴＝.又∵双曲线的焦点在y轴上，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x，∴所求双曲线的渐近线方程为y＝±x.
答案：y＝±x
8．解析：如图所示，依题意Q点纵坐标为b，把y＝b代入双曲线方程可得x＝±a，
所以点Q的坐标为(a，b)，
又Rt△B2B1Q中，tan∠B1B2Q＝＝＝，
则＝，e＝＝＝.
答案：
9．解：(1)由题意可得，c＝4，a＝2，则b＝＝2，且焦点在x轴上，所以双曲线的标准方程为－＝1.
(2)由(1)可知，该双曲线的实半轴长为2，虚半轴长为2，离心率为e＝＝2，渐近线方程为y＝±x.
10．解：(1)设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，因为两顶点间的距离是10，且经过点(10,3)，
则解得
则双曲线方程为－＝1.
(2)因为一个焦点坐标为(5,0)，可设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，且c＝5，
由一条渐近线方程为3x－4y＝0，
可得y＝x，则＝，
设a＝4k，b＝3k，k>0，则c2＝a2＋b2 52＝(4k)2＋(3k)2，解得k＝1，
则a＝4，b＝3，所以双曲线方程为－＝1.
11．选CD　由题意可得C：－＝1，故渐近线为3y＝±4x，故A错误；易知双曲线和椭圆的离心率分别为e1＝＝，e2＝＝，显然它们不互为倒数，故B错误；由双曲线的定义可知||PF1|－|PF2||＝2×3＝6，若|PF1|＝2|PF2|，则||PF1|－|PF2||＝|PF2|＝6，|PF1|＝12，又|F1F2|＝2×＝10，故△PF1F2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝6＋12＋10＝28，故C正确；由双曲线的图象可知左、右两支上距离最近的两点为左、右顶点，即最短距离为6，故D正确．
12．选D　根据双曲线的离心率e＝＝，得c＝a，即c2＝5a2，即a2＋b2＝5a2，所以b2＝4a2，＝4，所以双曲线的渐近线方程为y＝±2x，易知渐近线y＝2x与圆相交．
法一　由得5x2－16x＋12＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝.所以|AB|＝|x1－x2|＝ ＝，故选D.
法二　因为圆心(2,3)到渐近线y＝2x的距离d＝＝，所以|AB|＝2＝2＝，故选D.
13．解析：如图所示，＋2＝2，所以2||＝b，所以||＝，又因为||≥||＝a，即≥a，即b≥2a，所以离心率e＝＝≥＝，所以双曲线的离心率的取值范围为[，＋∞)．
答案：[，＋∞)
14．解：(1)因为e＝，所以可设双曲线的方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．因为过点(3，－1)，所以9－1＝λ，即λ＝8，所以双曲线的方程为x2－y2＝8.
(2)由(1)可设F1(－4,0)，F2(4,0)，所以1＝(－4－3，－m)，＝(4－3，－m)，
所以·＝(－4－3)×(4－3)＋m2＝2＋m2，因为M点在双曲线上，所以18－m2＝8，即m2＝10，所以1·＝12.
(3)△F1MF2的底
|F1F2|＝8，
由(2)知m＝±，
所以△F1MF2的高
h＝|m|＝，
所以S＝×8×＝4.
15．解：(1)由题可设所求双曲线的方程为
－＝λ(λ≠0)，
①当λ>0时，方程为－＝1，
令4λ＝2得λ＝，
即双曲线方程为－＝1，即－＝1.
②当λ<0时，方程为－＝1，
令－3λ＝2得λ＝－3，
即双曲线方程为－＝1.
所以双曲线的标准方程为
－＝1或－＝1.
(2)设P点的坐标为(x0，y0)(x0≥2)，则满足－＝1，
|PA|＝＝＝
＝＝ ，
则当x0＝时，|PA|有最小值为.

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