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2.4 一元二次方程根与系数的关系
一、单选题
1．（2023九上·叙州期中）甲、乙两位同学在解一道二次项系数是1的一元二次方程时，甲同学看错了常数项，得到方程的两根是8和2，乙同学写错了一次项系数，得到方程的两根为和，则原来的方程是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2023九上·广水期中）已知一元二次方程的两根分别为m，n，则的值是（　　）
A．5 B．3 C． D．
3．（2019九上·海珠期末）已知 是关于 的方程 的两根，且满足 ，那么 的值为（　　）
A． B． C． D．
4．（2024九上·景德镇期中）如果一个三角形两边的长分别等于一元二次方程的两个实数根，那么这个三角形的第三边长可能是（　　）
A．19 B．18 C．17 D．16
5．（2023九上·沭阳月考）若m，n是一元二次方程的两个根，则的值是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．12
6．（2019九上·景县期中）设a、β是方程x2+x-2012=0的两个实数根，则a2+2a+β的值为（　　）
A．2010 B．2011 C．2012 D．2013
7．（2025八下·永康月考）设直角三角的两条直角边，是方程的两个根，则该直角三角形的斜边为(　　)
A． B． C． D．
8．（2020九上·南昌月考）已知：x1，x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根，且x1+x2=3，x1x2=1，则a、b的值分别是（　　）
A．a=﹣3，b=1 B．a=3，b=1
C． ，b=﹣1 D． ，b=1
9．（2024九上·贵州期末）已知关于的一元二次方程的两个实数根是，，且，则的值是（　　）
A． B． C． D．
10．（2024八下·丰泽期末）如图，直线与反比例函数交于，两点，若，则的值为（　　）
A．8 B． C．6 D．
二、填空题
11．（2022九上·台山期中）若是方程的两个根，则多项式的值为 　 　．
12．（2023九上·梁园期末）已知、是一元二次方程的两个实数根，则的值为　 　．
13．（2024八下·崇川月考）一元二次方程x2－6x＋5＝0的两根分别是x1、x2，则x1·x2的值是　 　.
14．若关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则( 2m(m--1)的值为　 　.
15．（2019·苏州模拟）关于x的方程2x2＋mx＋n＝0的两个根是﹣2和1，则nm的值为　 　．
16．（2024·杭州模拟）韦达是法国杰出的数学家，其贡献之一是发现了多项式方程根与系数的关系，如一元二次方程的两实数根分别为，则方程可写成，即，容易发现根与系数的关系：．设一元三次方程三个非零实数根分别，现给出以下结论：
①，②；③；④，其中正确的是　 　（写出所有正确结论的序号）．
三、计算题
17．（2023九上·富平期末）关于的一元二次方程，方程的两根分别为，且，求的值．
18．（2023·立山模拟）已知关于x的一元二次方程．
（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；
（2）若方程两实数根分别为和，且满足，求实数m的值．
四、解答题
19．（2023九下·惠东模拟）已知关于 的一元二次方程
（1）若这个方程有两个不相等的实数根， 求 的取值范围；
（2）当 时， 求方程的两个根
20．（2025八下·藤县期中）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，．
（1）求的取值范围；
（2）若，求的值．
21．（2023九上·武汉月考）关于的一元二次方程有一个根是，求的值及方程的另一个根.
22．（2024·宁波竞赛）设a>b>c>0，已知关于a的方程x2-（a+b+c）x+ab+bc+ca=0.
（1）若方程有实根，求证：a，b，c不能成为一个三角形的三条边长；
（2）若方程有实根x0，求证：b+c（3）当方程的两个实根分别为6，9时，求正整数a，b，c的值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
2．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
3．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
4．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；三角形三边关系
5．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
6．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
7．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；勾股定理
8．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
9．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
10．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；反比例函数与一次函数的交点问题
11．【答案】-1
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
12．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
13．【答案】5
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
14．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
15．【答案】16
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
16．【答案】①③
【知识点】分式的加减法；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
17．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
18．【答案】（1）解：∵有实数根，
∴，
即：，
∴．
（2）解：，，
当，则，
即，
，
解得：，，
∵，
∴不符合题意，舍去，
∴．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
19．【答案】（1）m的取值范围为m＜且m≠0；
（2）x1=0，x2=．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
20．【答案】（1）
（2）3
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
21．【答案】解：设方程的另一个根为t，
根据根与系数的关系得2＋t＝ b，2t＝8，
解得t＝4，b＝-6，
答：b的值为-6，方程的另一个根为4．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
22．【答案】（1）解：由方程有实根得，
即
-b-c)-
由 得 即
所以 a， b，c不能成为一个三角形的三边
（2）解：设 则且
由 (1) 知
所以二次方程的实根x0都在l 与a之间，
即
（3）解：由根与系数关系有 ， ab+ bc+ ca=54，
得 -108=117<112
由 (2) 知a>9， 故得
∴a= 10.
∴b+c=5， bc=4，
由b>c，
解得
∴
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
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