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阶段质量评价(二)　圆锥曲线
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.焦点坐标为(－1,0)的抛物线的标准方程是(　 )
A.y2＝－2x　　　　　　　 B.x2＝2y
C.x2＝－4y D.y2＝－4x
2.若双曲线C：－＝1的焦距为8，则该双曲线的渐近线方程为(　 )
A.y＝±x B.y＝±x
C.y＝±x D.y＝±x
3.椭圆＋＝1(a>b>0)的长轴长是短轴长的2倍，则离心率e＝(　 )
A. B.
C. D.
4.已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的顶点为O，点A(x0，2)在抛物线C上，且F为抛物线C的焦点，若|AF|＝3|OF|，则p＝(　 )
A. B.1
C. D.2
5.与圆x2＋y2＝1及圆x2＋y2－8x＋12＝0都外切的圆P的圆心在(　 )
A.一个椭圆上 B.一个圆上
C.一条直线上 D.双曲线的一支上
6.直线3x－4y＝0与双曲线－＝1的交点个数是(　 )
A.0 B.1
C.2 D.3
7.已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝120°，|PF1|＝4|PF2|，则C的离心率为(　 )
A. B.
C. D.
8.已知椭圆E：＋＝1上，过左焦点F1的直线l与椭圆E交于A，B两点(点A位于x轴上方)，若＝2，则直线l的斜率k的值为(　 )
A. B.±
C. D.±
二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9.直线y＝x－2与抛物线C：y2＝2x相交于A，B两点，下列说法正确的是(　 )
A.抛物线C的准线方程为y＝－
B.拋物线C的焦点为
C.若O为原点，则∠AOB＝90°
D.若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋1
10.已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦点与抛物线x2＝4y的焦点之间的距离为2，且C的离心率为，则下列说法正确的有(　 )
A.C的渐近线方程为y＝±x
B.C的标准方程为x2－＝1
C.C的顶点到渐近线的距离为
D.曲线y＝ex＋－1经过C的一个焦点
11.已知椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P(x0，y0)是椭圆C上异于左、右顶点的一点，则下列说法正确的是(　 )
A.△PF1F2的周长为2＋4
B.△PF1F2面积的最大值为2
C.若A(1,0)，则|PA|的最小值为－1
D.的最小值为－
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上)
12.已知双曲线的两条渐近线方程为x±y＝0，并且经过点A(，1)，则该双曲线的标准方程是__________________.
13.已知△ABC的周长为20，且顶点B(0，－4)，C(0,4)，则顶点A的轨迹方程是_______________.
14.设a>b>0，椭圆＋＝1的离心率为e1，双曲线－＝1的离心率为e2，若e1e2<1，则的取值范围是__________.
四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，点A1，A2是双曲线C的左、右顶点，点P在双曲线C上.
(1)若|A1A2|＝4b，点P(2，－1)，求双曲线C的方程；
(2)当P异于点A1，A2时，直线PA1与PA2的斜率之积为2，求双曲线C的渐近线方程.
16.(15分)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，一个焦点到该渐近线的距离为1.
(1)求C的方程；
(2)是否存在直线l，经过点M(1,4)且与双曲线C交于A，B两点，M为线段AB的中点？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由.
17.(15分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若点N(0，)在椭圆上，且△NF1F2为等边三角形.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点F1且斜率为k的直线l与椭圆C交于A，B两点，若∠AF2B为钝角，求k的取值范围.
18.(17分)已知点P与点F(2,0)的距离比它到直线x＋4＝0的距离小2，若记点P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，且OA⊥OB.求证直线l过定点，并求出该定点的坐标.
19.(17分)已知椭圆Γ：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，上、下顶点分别为B2，B1，|B1B2|＝2，四边形A1B1A2B2的周长为8.
(1)求椭圆Γ的方程；
(2)设点F为椭圆Γ的左焦点，点T(－3，m)，过点F作TF的垂线交椭圆Γ于点P，Q，连接OT与PQ交于点H.试判断是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.
阶段质量评价(二)
1．选D　焦点坐标为(－1,0)，则抛物线开口向左，焦点在x轴上，故抛物线的标准方程是y2＝－4x.
2．选D　由题意可知9＋m＝2 m＝7，即C：－＝1，令－＝0 y＝±x.
3．选B　因为椭圆＋＝1(a>b>0)的长轴长是短轴长的2倍，所以2a＝2×2b，则a＝2b，所以e＝＝＝＝.
4.选C　因为点A(x0,2)在抛物线上，|AF|＝3|OF|，所以x0＋＝，所以x0＝p，所以A(p，2)，所以4＝2p2，解得p＝.
5.选D　由x2＋y2－8x＋12＝0，得(x－4)2＋y2＝4，画出圆x2＋y2＝1与(x－4)2＋y2＝4的图象如图，设圆P的半径为r, ∵圆P与圆O和圆M都外切，∴|PM|＝r＋2，|PO|＝r＋1，则|PM|－|PO|＝1<4，∴根据双曲线定义知点P在以O，M为焦点的双曲线的左支上．
6．选A　法一　联立
得－＝1，方程组无解，说明直线与双曲线没有交点．
法二　由－＝0，得3x±4y＝0，所以双曲线的渐近线方程为3x±4y＝0，因为直线3x－4y＝0是双曲线－＝1的一条渐近线，因此交点个数为0.
7．选A　如图所示，
根据题意可设|PF2|＝m，|PF1|＝4m，m>0，易知|F1F2|＝2c.由余弦定理可知cos∠F1PF2＝＝＝－，可得c2＝m2，即c＝m.由双曲线定义可知|PF1|－|PF2|＝3m＝2a，即a＝.所以离心率e＝＝.
8．选C　由椭圆方程可得F1(－1,0)，设直线l的方程为x＝my－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程组可得(3m2＋4)y2－6my－9＝0，则y1＋y2＝，y1y2＝，由＝2得(－1－x1，－y1)＝2(x2＋1，y2)，则－y1＝2y2，代入上式得y2＝，－2y＝，解得m2＝，则m＝±，则直线的斜率为±，又点A位于x轴上方，所以斜率为.
9.选BC　由C：y2＝2x，则其焦点为F，准线方程为x＝－，A错误，B正确；联立直线与拋物线方程得y2－2y－4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2，y1y2＝－4，而x1x2＝＝4，由·＝x1x2＋y1y2＝0，即⊥，故C正确；显然直线y＝x－2不过焦点F，由拋物线定义有|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，所以|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋1>|AB|，D错误．
10．选ABD　设抛物线x2＝4y的焦点为F(0,1)，双曲线C的一个焦点坐标为F1(c,0)(c>0)，由题意可知|FF1|＝2，所以有＝2 c＝或c＝－(舍去)，又因为C的离心率为，所以e＝＝ a＝1 b＝＝＝.因为a＝1，b＝ ，所以C的渐近线方程为y＝±x，故A正确；因为a＝1，b＝，所以C的标准方程为x2－＝1，故B正确；设C的一个顶点坐标为(1,0)，它到渐近线x－y＝0的距离为＝，根据双曲线和渐近线的对称性可知，C的顶点到渐近线的距离为，故C不正确；当x＝－时，y＝e－＋－1＝0，而(－，0)恰好是双曲线的一个焦点，故D正确．
11．选ABD　由椭圆方程＋y2＝1可知，a＝，b＝1，c＝2，所以△PF1F2的周长l＝|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝2a＋2c＝2＋4，故A正确；因为点P(x0，y0)是椭圆C上异于左、右顶点的一点，所以0<|y0|≤1，所以△PF1F2的面积S△PF1F2＝|F1F2||y0|＝2|y0|≤2，当|y0|＝1，即y0＝±1时，此时点P位于短轴端点，△PF1F2的面积最大，最大为2，故B正确；由A(1,0)，点P(x0，y0)，且＋y＝1，因为|PA|＝＝＝ ，当x0＝时，|PA|取最小值，且最小值为，故C错误；的几何意义为P(x0，y0)与点M(－4,0)两点连线的斜率，设为k，由得(1＋5k2)x2＋40k2x＋80k2－5＝0，Δ＝(40k2)2－4(5k2＋1)·(80k2－5)＝20(1－11k2)≥0，解得－≤k≤，
如图，当直线y＝k(x＋4)与椭圆C相切时，kmin＝－，
所以的最小值为－，故D正确．
12．解析：依题意可设双曲线方程为mx2－ny2＝1，m，n>0.由渐近线方程为x±y＝0可得n＝2m，将点A(，1)代入可得6m－n＝1，解得m＝，n＝，所以双曲线标准方程为－＝1.
答案：－＝1
13．解析：因为|BC|＝8，所以|AB|＋|AC|＝12>8，则顶点A的轨迹是椭圆，其中2a＝12，a＝6，c＝4，b2＝20，则顶点A的轨迹方程是＋＝1(x≠0)．
答案：＋＝1(x≠0)
14．解析：记椭圆、双曲线的半焦距分别为c1，c2，由题意知c＝a2－b2，c＝b2＋a2－2b2＝a2－b2，则椭圆与双曲线共焦点，设c1＝c2＝c，则e1＝，e2＝，∴e1e2＝，∵e1e2<1，∴＝＝－<1.设＝t>0，则t－<1，解得00，且a>b>0，∴>，故的取值范围是.
答案：
15．解：(1)由题意有解得所以双曲线C的方程为－y2＝1.
(2)设点P(x0，y0)，则－＝1，
即＝，又A1(－a,0)，A2(a,0)，
则有k·k＝·＝＝＝2，所以＝，
所以渐近线方程为y＝±x.
16．解：(1)令－＝0 y＝±x，
所以＝1，又由题意可知双曲线的焦点(c,0)到渐近线的距离d＝＝1 c2＝2＝a2＋b2 a2＝b2＝1，
所以双曲线的标准方程为x2－y2＝1.
(2)假设存在，由题意知，该直线的斜率存在，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的斜率为k，
则x1＋x2＝2，y1＋y2＝8，
又有x－y＝1，x－y＝1，
两式相减得x－x－y＋y＝0，
即(y1＋y2)(y1－y2)＝(x1＋x2)(x1－x2)，
即＝1，所以4k＝1，
解得k＝，
所以直线l的方程为y－4＝(x－1)，
即x－4y＋15＝0，联立
得(4y－15)2－y2－1＝15y2－120y＋224＝0 Δ＝1202－60×224＝60×(240－224)>0，
即直线l：x－4y＋15＝0与双曲线C有两个交点，满足条件，所以存在直线l，其方程为
x－4y＋15＝0.
17．解：(1)由题意可知N(0，)为椭圆的上顶点，即b＝，
又△NF1F2为正三角形，设椭圆的焦距为2c，所以＝tan 60° c＝1，a＝＝2，故椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)由(1)知F1(－1,0)，F2(1,0)，
不妨设l：y＝kx＋k，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立
(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0，则
易知＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)，
由∠AF2B为钝角可得·＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2＝(k2＋1)x1x2＋(k2－1)(x1＋x2)＋(k2＋1)<0，
化简得7k2－9<0 k∈，
又k＝0时，∠AF2B为平角，不符合题意舍去，故k∈∪.
18．解：(1)∵点P与点F(2,0)的距离比它到直线x＋4＝0的距离小2，∴点P与点F(2,0)的距离和点P到直线x＋2＝0的距离相等，
由抛物线定义知，点P的轨迹是以F(2,0)为焦点，x＋2＝0为准线的抛物线，
即曲线C的方程为y2＝8x.
(2)证明：设l：x＝ty＋m(m≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得y2－8ty－8m＝0，则Δ＝64t2＋32m>0，即m>－2t2.
∴y1y2＝－8m，x1x2＝＝m2，
∵OA⊥OB，∴·＝x1x2＋y1y2＝m2－8m＝m(m－8)＝0.
∵m≠0，∴m＝8，即l：x＝ty＋8.
当y＝0时，x＝8，∴l恒过定点(8,0)．
19．解：(1)由椭圆性质可知，
A1(－a,0)，A2(a,0)，B2(0，b)，B1(0，－b)，
所以由题意可知 ＋＝1，
即椭圆方程为＋＝1.
(2)由(1)可知F(－2,0)，
当m＝0时，则H，F重合，此时由椭圆的对称性可知|PH|＝|QH|，则＝1.
当m≠0时，
则kTF＝＝－m kPQ＝，
由T(－3，m)，可知直线OT为y＝－x，设直线PQ：my＝x＋2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，点H纵坐标为yH，易知此时y1≠y2≠yH，
联立直线PQ与椭圆方程
可得(m2＋3)y2－4my－2＝0，
所以y1＋y2＝，
联立直线PQ与OT方程
y＝，即yH＝，
所以＝＝＝1，
综上可知为定值1.

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