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13.3.2 三角形的外角
基础过关
1.(2024·浙江模拟)将一副直角三角板按如图所示方式摆放，若AB∥EF，则∠1= ( )
A.45° B.50° C.60° D.75°
2.如图,△ABC 中,AD,BE 分别是△ABC的高和角平分线,若∠C=70°,∠AEB=95°,则∠BAD= °.
3.在△ABC中,∠A=60°,高 BE,CF 所在的直线相交于点O,且点O不与点B,C重合,则∠BOC= °.
4.如图,在△ABC中,∠1=∠2=∠3.
(1)证明:∠BAC=∠DEF;
(2)若∠BAC=70°,∠DFE=50°,求∠ABC的度数.
能力提升
5.(2024春·姜堰区月考)如图,∠ABD,∠ACD的平分线交于点P,若∠A=50°,∠D=10°,则∠P的度数为 ( )
A.15° B.20° C.25° D.30°
6.如图,BE是△ABC的外角∠CBD的平分线,且BE交AC的延长线于点E.若∠A=30°,∠E=20°,则∠ACB的度数是 ( )
A.50° B.60° C.70° D.80°
7.如图，在△ABC中，在AB上存在一点D，使得 的角平分线AE交CD 于点F.△ABC 的外角∠BAG的平分线所在的直线MN 与BC 的延长线交于点M，若 35°,则∠CFE= °.
8.如图,△ABC中,∠B=50°,点D,E分别在边BC,AB上, 的平分线与 的平分线交于点 F,则∠AFD= 度.
9.如图,AD是△ABC的角平分线,∠ACB>∠B,P为线段AD 上一点, 交BC的延长线于点E.
(1)若∠B=30°,∠ACB=80°,求∠E的度数;
(2)试猜想∠E 与∠B，∠ACB之间的数量关系，并证明你的结论.
拓展延伸
10.在△ABC中,BD平分∠ABC交AC于点D,E是线段AC上的动点(不与点D重合),过点E作EF∥BC交射线BD于点F，∠CEF的平分线所在直线与射线BD 交于点G.
(1)如图，点E在线段AD 上运动.
①若∠ABC=40°,∠C=60°,则∠BGE的度数是 ;
②若∠A=70°,则∠BGE的度数是 ;
③探究∠BGE与∠A之间的数量关系，并说明理由.
(2)若点E在线段DC 上运动，∠BGE与∠A之间的数量关系与(1)③中的数量关系是否相同 若不相同，请直接写出∠BGE与∠A之间的数量关系，无需说明理由.
1. D 2.40 3.60或 120
4.(1)证明:∵∠BAC=∠1+∠CAE,∠DEF=∠3+∠CAE,∠1=∠3,∴∠BAC=∠DEF.
(2)解:∵∠ABC=∠2+∠ABD,∠1=∠2,
∴∠ABC=∠1+∠ABD=∠EDF.
由(1)可知∠DEF=∠BAC=70°,
∴∠ABC=∠1+∠ABD=∠EDF=180°-∠DEF-∠DFE=180°-70°-50°=60°,∴∠ABC=60°.
5. B 6. C 7.55 8.155
9.解:(1)∵∠B+∠ACB+∠BAC=180°,∠B=30°,∠ACB=80°,∴∠BAC=180°-30°-80°=70°.
∵AD平分∠BAC,∴∠1=∠2=35°,
∴∠3=∠1+∠B=35°+30°=65°.
∵PE⊥AD,∴∠3+∠E=90°,∴∠E=90°-65°=25°.
(2)∠ACB-∠B=2∠E.
证明:∵∠B+∠ACB+∠BAC=180°,
∴∠BAC=180°-∠B-∠ACB.
∵AD平分∠BAC,
∵PE⊥AD,∴∠3+∠E=90°, ∴90°+ ∠B= 即∠ACB-∠B=2∠E.
10.(1)①50° ②55°
③解:∵∠ABC+∠C=180°-∠A,EF∥BC,
∴∠C=∠DEF,∴∠ABC+∠DEF=180°-∠A.
∵BD平分∠ABC,EG平分∠CEF,
∵EF∥BC,∴∠EFG=∠CBD,
(2)解:不相同.

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