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13.3.1 三角形的内角 (二)
基础过关
1.在一个直角三角形中，一个锐角是40°，另一个锐角是 ( )
A.70° B.50° C.30° D.10°
2.(2024秋 阳泉期中)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D.若∠A=35°,则∠BCD的度数为 ( )
A.40° B.35° C.30° D.25°
3.(2023春·南京期末)直角三角形中两个锐角的差为20°，则较小的锐角度数是 °.
4.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是边AB 上的高,∠1=32°,求∠2,∠B,∠A的度数.
能力提升
5.具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是 ( )
A.∠A+∠B=∠C B.∠A-∠B=∠C
C.∠A:∠B:∠C=1:2:3 D.∠A=∠B=3∠C
6.如图,△ABC与△CDE均为直角三角形,AB交CD 于点F,∠ACB=∠CDE=90°,∠B=30°,∠E=45°,∠ECB=α,则∠CFB= ( )
A.α+90° B.α+45° C.105°-α
7.有一道题:“如图,在△ABC中,∠C=90°,将△ABC沿DE 折叠,使得点B落在边AC上的点F 处,若∠CFD=60°,且△AEF中有两个内角相等,求∠A 的度数.”嘉嘉的答案是∠A=40°,淇淇说：“嘉嘉考虑得不全面，∠A 还应该有另外一个值.”下列判断正确的是 ( )
A.淇淇说得不对,∠A 就是40° B.淇淇说得对，且∠A 的另一个值是 50°
C.淇淇说得对，且∠A 的另一个值是55° D.两人都不对，∠A应有三个不同值
8.在直角三角形ABC中,∠A:∠B:∠C=2:m:4,则m的值是 .
9.(2024春·泰州期中)若三角形中一个内角的度数是另一个内角度数的2倍，我们把这样的三角形称为“和谐三角形”.已知直角△ABC是“和谐三角形”，则该三角形两个锐角的度数分别 为 .
10.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,BE平分∠ABC,AD、BE 相交于点F.
(1)若∠CAD=36°,求∠AEF的度数;
(2)试说明:∠AEF=∠AFE.
拓展延伸
11.(2024春·建湖县期中)【定义】如果两个角的差为36°，就称这两个角互为“黄金角”，其中一个角叫作另一个角的“黄金角”.
例如： ，则α和β互为“黄金角”，即α是β的“黄金角”，β也是α的“黄金角”.
(1)已知∠1和∠2互为“黄金角”,且∠1>∠2,若∠1和∠2互余,则∠1= .
(2)如图①,在△ABC中,∠ACB=90°,过点C作AB 的平行线CM,∠ABC的平分线分别交AC,CM于D,E两点.
①若∠A>∠BEC,且∠A和∠BEC互为“黄金角”,则∠A= ;
②如图②,过点C作AB 的垂线,垂足为F,BD与CF 相交于点N.若∠DCN与∠CDN互为“黄金角”，求∠A 的度数.
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1. B 2. B 3.35
4.解:在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠1=32°,
∴∠2=90°-∠1=90°-32°=58°.
∵CD是边AB上的高,
∴∠BDC=∠ADC=90°,
∴∠A=90°-∠1=90°-32°=58°,∠B=90°-∠2=90°-58°=32°.
5. D 6. C 7. B 8.2 或6 9.45°,45°或 30°,60°
10.(1)解:∵AD⊥BC,∴∠ABD+∠BAD=90°.
∵∠BAC=90°,∴∠BAD+∠CAD=90°,
∴∠ABD=∠CAD=36°.
∵BE平分
∴∠AEF=90°-∠ABE=72°.
(2)证明:∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠CBE.
∵∠ABE+∠AEF=90°,∠CBE+∠BFD=90°,
∴∠AEF=∠BFD,
∵∠AFE=∠BFD,∴∠AEF=∠AFE.
11.(1)63°
(2)①54°
②解:设∠DCN=x.
∵∠DCN 与∠CDN 互为“黄金角”,
∴∠CDN=x+36°或∠CDN=x-36°.
当∠CDN=x+36°时,
∵∠ACB=90°,
∴∠CBN=90°-∠CDN
=90°-(x+36°)
=54°-x.
∵BE平分∠ABC,∴∠ABC=2∠CBD=108°-2x.
∵CF⊥AB,∴∠A=90°-∠DCN=90°-x.
∵∠A+∠ABC=90°,∴90°-x+108°-2x=90°,解得x=36°,∴∠A=90°-36°=54°.
当∠CDN=x--36°时,
∵∠ACB=90°,
∴∠CBD=90°-∠CDN
=90°--(x--36°)
=126°-x.
∵BE平分∠ABC,∴∠ABC=2∠CBN=252°-2x.
∵CF⊥AB,∴∠A=90°-∠DCN=90°-x.
∵∠A+∠ABC=90°,
∴90°-x+252°-2x=90°,
解得x=84°,
∴∠A=90°-84°=6°.
综上所述,∠A=54°或∠A=6°.

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