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2024-2025 学年福建省福州一中高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知 = 1 + 4 ( 是虚数单位)，则 的共轭复数 在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.一组数据分别为 1，2，3，4，5，6，7，8，则这组数据的 80%分位数是( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
3.在如图所示的两种分布形态中( )
A. (1)中的中位数大于平均数
B. (1)中的众数大于平均数
C. (2)中的众数小于中位数
D. (2)中的中位数大于平均数
4.已知△ ′ ′ ′是水平放置的△ 的直观图， ′ ′ = 4， ′ ′ = 3，∠ ′ ′ ′ = 45°，则△
的面积为( )
A. 12 B. 6 2 C. 6 D. 3 2
5.设 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是( )
A.若 // ， ，则 // B.若 // ， // ，则 //
C.若 ⊥ ， ⊥ ，则 // D.若 ⊥ ， // ，则 ⊥
6.若连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子，则点数之和不大于 10 的概率是( )
A. 1 11 5 112 B. 12 C. 6 D. 6
7.已知在三棱锥 中， ⊥ ， = = = = 2，则三棱锥 外接球的体积为( )
A. 8 2 B. 8 C. 2 2 3 3 D. 2 2
8.中国古代数学瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几
何体为上、下底面均为扇环形的柱体(扇环是指圆环被扇形截得的部分).现有一
2
个如图所示的曲池，其中 1 ⊥底面 ，底面扇环所对的圆心角为 3，扇环
对应的两个圆的半径之比为 1：2， = 1， 1 = 1， 是 1 1的中点，则异
面直线 与 1 所成角的余弦值为( )
A. 2 B. 24 8 C.
5 2
8 D.
2 5
5
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的是( )
A.一组数据 0，1，2，2，3，3，3，4，5 的众数是 3
B.已知随机事件 和 ，若 ( ) = 0.3， ( ) = 0.4， ( ) = 0.12，则 和 相互独立
C.若学校田径队有 49 名运动员，其中男运动员有 28 人，现进行比例分配的分层随机抽样，从全体运动员
中抽出一个容量为 14 的样本，则女运动员应抽取 8 人

D.已知样本数据 1， 2， 3， ， 的平均数为 ，方差为 2，若样本数据 1 + 2， 2 + 2， 3 + 2， ，

+ 2( > 0)的平均数为 4 ，方差为 9 2，则平均数 = 2
10.已知下面给出的四个图都是正方体， ， 为顶点， ， 分别是所在棱的中点，则满足直线 ⊥ 的图
形有( )
A. B. C. D.
11.已知空间四边形 中， = = 1， = 2，且∠ = 120°，∠ = 45°，设∠ = ，设
与平面 所成角为 ，二面角 的平面角为 ，则( )
A. 3 = B. > 45° C. = 32 D.
3
的最小值为 3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知事件 与事件 发生的概率分别为 ( ) = 0.3， ( ) = 0.5，且 ( ∩ ) = 0.1，则 ( ∪ ) = ______．
13.用透明塑料制作一个由圆柱和圆台组合而成的封闭容器，并往容器内部灌入一些水.图 1 和图 2 为该容
器在不同放置方式下的轴截面，其尺寸(单位： )如图所示.若如图 1 放置该容器时，其圆台部分恰好充满
水，则如图 2 倒立放置该容器时，圆柱部分水面高度 为______ ．
14.若棱长为 的正四面体的内部有一个棱长为 2 的正方体可任意转动，则 的最小值为______．
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知在直三棱柱 1 1 1中， 1 = 2 = 2 = 2， ⊥ ， 为棱 1 的中点， 为线段 1 的中
点．
(1)求证： 1 //平面 ；
(2)求三棱锥 的体积．
16.(本小题 15 分)
2
某高校的社团招聘面试中有 4 道难度相当的题目，李明答对每道题目的概率都是3 .若每位面试者共有四次
答题机会，一旦累计 2 次答对抽到的题目，则该面试者面试通过，否则面试者就一直抽题到第 4 次为止.假
设每位面试者对抽到的不同题目能否答对是独立的.设事件 表示“李明第 次答对题目”，试用 分别表示
以下问题中的事件，并求对应的事件概率．
(1)求李明第三次答题通过面试的概率；
(2)求李明最终通过面试的概率．
17.(本小题 15 分)
如图，在三棱锥 中， ⊥平面 ， ⊥ ．
(1)求证：平面 ⊥平面 ；
(2)若 ⊥ ， ⊥ ．
①求证： ⊥平面 ；②若 = ， 与平面 所成角的正切值为 2，求二面角 的正切
值．
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18.(本小题 17 分)
某校高一年级对一个教学单元进行阶段测试，满分为 100 分.现通过简单随机抽样，从中抽取 100 名学生的
成绩作为样本进行质量分析，进行适当分组后，画出如图所示的频率分布直方图．
(1)请根据频率分布直方图，求出图中 的值.在本次测试中，拟将排在前 20%的学生成绩，定为优胜成绩，
试估计优胜成绩的分数线；
(2)在按比例分配分层随机抽样中，从成绩在[70,90)内的学生中抽取 5 人，再从这 5 人中随机挑出两人进行
卷面问题分析，求两人中至少有一人成绩来自[70,80)的概率；
(3)已知在[70,80)内的学生成绩的平均数为 75，方差为 6，在[80,90)内的学生成绩的平均数为 85，方差为
1，求在[70,90)内的学生成绩的平均数和方差(请先推导必要的公式，再代值计算)．
19.(本小题 17 分)
如图，在三棱台 1 1 1 中，2 1 = 2 1 1 = 2 1 = = 2 ．
(1)过 1 1且平行于 1的平面分别交 ， 于 ， ，求证： 1 // 1 .
(2)若三棱台 1 1 1 的体积为
14 3，底面△ 是以 为直角顶点的等腰直角三角形，平面 1 1 ⊥3
平面 ．
①求三棱台 1 1 1 的表面积；
②设 = 1( ∈ [0,1])，求异面直线 与 1 1所成角的余弦值的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.0.7
13.353
14.6 2
15.(1)证明：取 中点 ，连接 ， ，
因为 是 1 中点，所以 是△ 1的中位线，
所以 // 11，且 = 2 1，
因为直三棱柱 1 1 1，
所以侧棱 1 ⊥底面 ，且 1// 1，
因为 是 1中点，所以 1 //
1
1，且 1 = 2 1，
所以 1 // ，且 1 = ，
所以四边形 1 是平行四边形， 1 // ，
1 平面 ， 平面 ，
所以 1 //平面 ．
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(2)因为 1 / /平面 ，所以 到平面 的距离等于 1到平面 的距离，
因为 是 1中点，所以 1到平面 的距离等于 到平面 的距离，
所以 = 1 = = ，
因为 ⊥ ， 1 = 2， = 1， = = 1，
1 1 1×1 1所以 = 3 △ = 3 × 2 × 1 = 6，
1所以三棱锥 的体积为6．
16.(1)根据题意，设 =“李明第三次答题通过面试”，即前 2 次答题中一对一错，第三次答题正确，
则 ( ) = 12 ×
2 × (1 2 2 83 3 ) × 3 = 27；

(2)根据题意，设 =“李明最终通过面试”，则 =“李明没有通过面试”，

事件 ，即 4 次答题中，李明最多答对 1 题，

则 ( ) = (1 23 )
4 + 1 × 2 2 3 14 3 × (1 3 ) = 9，

故 ( ) = 1 ( ) = 1 1 = 89 9．
17.(1)证明：因为 ⊥面 ， 面 ，
所以 ⊥ ，
又 ⊥ ， ∩ = ， 面 ， 面 ，
所以 ⊥面 ，
又 面 ，
所以平面 ⊥面 ．
(2)①证明：由(1)知平面 ⊥面 ，平面 ∩面 = ，
又 面 ， ⊥ ，
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所以 ⊥面 ，
又 面 ，
所以 ⊥ ，
又 ⊥ ， ∩ = ， 面 ， 面 ，
所以 ⊥面 ．
③由①知 ⊥面 ， 面 ，
所以 ⊥ ，
所以二面角 的平面角为∠ ，
又 ⊥面 ， 面 ，
所以 ⊥ ，
因为 与平面 所成角的正切值为 2，
所以 tan∠ = = 2，
所以设 = ，则 = 2 ，则 = 2 ，
= = 2 6所以 = ，( 2 )2+ 2 3
又 = 12 =
1 ( 2 )2 + ( 2 )22 = ，
在 △ 中， = 2 2 = 2 ( 63 )
2 = 33 ，
6
所以 tan∠ = = 3 3 = 2，
3
所以二面角 的正切值为 2．
18.(1)根据题意可得(0.01 + 0.015 + 0.02 + + 0.025) × 10 = 1，解得 = 0.03；
因为各组的频率依次为 0.1，0.15，0.2，0.3，0.25，
80% 90 + 0.8 0.1 0.15 0.2 0.3所以第 分位数为 0.025 = 92；
所以拟将排在前 20%的学生成绩，定为优胜成绩，则估计优胜成绩的分数线为 92 分；
(2)因为[70,80)，[80,90)两组的频率之比为 0.2：0.3 = 2：3，
所以在[70,80)，[80,90)两组中分别抽 2 人，3 人，
所以再从这 5 人中随机挑出两人进行卷面问题分析，
2
[70,80) 1 3 = 7则两人中至少有一人成绩来自 的概率为
2
；
5 10

(3)设两层的分层抽样，第一层的数据为 ， = 1，2，… ，均值为 ，方差为 21；
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第二层的数据为 ， = 1，2，… ，均值为 ，方差为 22；
1 则 = ，
2 = 1 ( )2 1； = 2 1 1 =1 =1 ， 2 = =1 ( )
2，

设两层总的均值为 ，方差为 2，

= =1 + =1 = +

则 + + = + +

+ ；


( )2 + ( )2
2 = =1 =1 +
2 =1 [ ( )+ ( )] + =1 [ ( )+ ( )]2= +


=1 ( )2 +2( )

=1 ( )+ ( )2=

+
2 =1 ( ) + 2( ) =1 ( )+ ( )2+ +
2 1 + ( )2 22 + ( )2= + + +
= + [
2
1 + ( )2] +
2 2
+ [ 2 + ( ) ]，
因为在[70,80)内的学生成绩的平均数为 75，方差为 6，在[80,90)内的学生成绩的平均数为 85，方差为 1，
又[70,80)与[80,90)的频率之比为 0.2：0.3 = 2：3，
2 3
所以根据上面证明的结论可得在[70,90)内的学生成绩的平均数为5 × 75 + 5 × 85 = 81(分)，
2
所以方差为5 × [6 + (75 81)
2] + 3 25 × [1 + (85 81) ] = 27．
19.(1)证明：由题设， 1/ /平面 1 1， 1 平面 1 1，
且平面 1 1 ∩平面 1 1 = 1，
所以 1// 1同理可得 1// 1，则 1 // 1 ；
(2)①由题设 = = 2 ， 1 = 1 1 = 1 = 又底面△ 是等腰直角三角形，
所以 1 1 = 1 1 = 且△ 1 1 1也是等腰直角三角形，
则 1 1 = 2 ， = 2 2 ，
1 2
则 = 2 × 2 × 2 = 2
2 1 ， 1 1 1 = 2 × × = 2，又平面 1 ⊥平面 ，
则等腰梯形 的高，即为棱台的高 = 2 ( 2 )2 = 31 2 2 ，
1 3 2 2
所以棱台的体积 = 3 × 2 × (2
2 + 2 2 × 14 32 + 2 ) = 3 ，
可得 = 2，所以 △ = 8
1
， △ 1 1 1 = 2， 1 1 = 2 × 3 × (2 + 4) = 3 3；
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由 ⊥ ， 平面 ，平面 1 ∩平面 = ，
则 ⊥平面 1，由 1 平面 1，
则 ⊥ 1结合棱台的结构特征易知 1 1 ⊥ 1，
所以四边形 1 1为直角梯形，
则 21 = + (2 )2 = 2 且
1 3 2
1 1 = 2 × × ( + 2 ) = 2 = 6，
对于梯形 2 21 1，设其高为 ，则 + 2 + 2 2 2 = 2 2 ，
所以 2 2 + 2 2 2 = 2 ，可得 3 2 2 2 + 2 2 2 2 2 2 = 2 2，
所以 4( 2 2)(2 2 2) = 4 4 4 2 2 + 4 2 = 7 7 14，可得 28 = 2即 = 2 ，
1 14
所以 1 1 = 2 × 2 × (2 2 + 4 2) = 3 7，
综上，三棱台 1 1 1 的表面积为 16 + 3 3 + 3 7；

②由 1 1/ / ，则异面直线 与 1 1所成角为∠ 或其补角，又 = 1( ∈ [0,1])，
其中 = 0，即 ， 重合时∠ = 90°，
结合棱台的结构知 从 → 过程中∠ 逐渐变小，当 ， 1重合时∠ 最小，
此时 = 1 = 2 = 2 2， = 1，
sin∠ = = 71 4 ，所以 cos∠
3
1 = ，
1 4
故 = 1 = 32 + 8 2 × 4 2 × 2 2 ×
3
4 = 4，
2 2 2
则 cos∠ = 1+ 1 8+16 16 21 2 = 2×2 2×4 =1 4
，
故∠ 2的余弦值范围是[0, 4 ]．
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