资源简介

2024-2025 学年江西师大附中高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知 ∈ ，若( + 1) + ( 1) ( 为虚数单位)是纯虚数，则 =( )
A. 2 B. 1 C. 1 D. 2
2.空间中四点可确定的平面有( )
A. 1 个 B. 3 个
C. 4 个 D. 1 个或 4 个或无数个
3.如图，△ ′ ′ ′是△ 水平放置的直观图， = 3， = 4，则△
的周长为( )
A. 10 + 2 13 B. 15 C. 12 D. 10
4.设 ， 为两条直线， ， 为两个平面，下列说法正确的是( )
A.若 // ， ⊥ ，则 // B.若 ⊥ ， // ，则 //
C.若 // ， // ，则 // D.若 ⊥ ， ， ∩ = ， ⊥ ，则 ⊥
5.在平行四边形 中， = 4， = 2，∠ = 60°， = 3 ，则 =( )
A. 1 B. 32 C. 2 D. 3
6.已知向量 = ( 1, 3)， = (2, 3)， 与 的夹角为 ，则 sin( 2 + ) =( )
A. 3 5 B. 5 5 C. 5 7 D. 5 77 7 14 14
7.如图，正方体 1 1 1 1的棱长为 1，过点 作平面 1 的垂线，垂足为
点 ，下列结论错．误．的是( )
A.平面 1 //平面 1 1 B. ⊥平面 1 1
C. 1点 是△ 1 的垂心 D.三棱锥 1 1 1的体积为6
8.已知函数 ( ) = ( > 0)，则下列说法正确的是( )
A.当 = 3 时， ( )在[0, 4 ]上单调递增
B. 若函数 ( )的图象向左平移4个单位长度后得到函数 ( ) = 2 的图象，则 的最小值为 5
C. 若函数| ( )|的最小正周期为4，则 = 8
D.当 = 2 时，若关于 的方程 ( ) = 1 的两个不相等实根为 1， 2，则| 1 2| = 2
第 1页，共 9页
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A.若| | > | |，则 > B.若 = ，则 //
C.若 // ， // ，则 // D.若 = ， = ，则 =
10.如图，在正四棱锥 (底面 为正方形， 在底面的投影是正方形的中心)中，下列说法正确
的是( )
A. ⊥
B. 与 所成角等于 与 所成角
C.若平面 ∩平面 = ，则 //
D.点 在平面 的射影一定在△ 内部
11.锐角△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ( 2 + 2 2) = 4 ，sin2 + sin2 +
sin2 = 2 + ，则下列正确的有( )
A. = 2 B. = 6
C. 2 + 2 2 3 = 2 D. 3△ = 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 1 .已知锐角 满足 cos( + 3 ) = 3，则 sin( 6 ) =______．
13.如图，在一个圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，
顶点是圆柱下底面中心.若圆柱的轴截面是边长为 2 的正方形，则圆锥的侧
面展开图面积为______．
14.已知正方形 的边长为 2，将△ 沿对角线 折起，使平面 ⊥平
面 得到如图所示的三棱锥 .若 为 的中点， ， 分别为线段 ，
上的动点(不包括端点)，且 = = ，则当三棱锥 体积的最
大值时， = ______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
如图所示，四边形 为菱形， ⊥平面 ， ⊥平面 ．
第 2页，共 9页
(1)求证：平面 //平面 ；
(2)若 = 2 ∠ = ， 3， = 1，求直线 与 所成角的余弦值．
16.(本小题 15 分)
如图，在直三棱柱 1 1 1中，点 在 上， ⊥ 1 ， = ．
(1)求证：平面 1 ⊥平面 1 1 ；
(2)求证： 1 //平面 1D.
17.(本小题 15 分)
已知正方体 1 1 1 1， 、 分别为 和 1 上的点，且 ⊥ ， ⊥ 1C.
(1)求证： // 1；
(2)设 ∩ 1 = ，求证： ， ， 三点共线．
18.(本小题 17 分)

在锐角△ 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 = 2 ．
第 3页，共 9页
(1)求角 的大小；
(2)若 = 2，求 的取值范围；
(3)若点 为△ 所在平面内一点，且满足( + ) = ( + ) = 0，求sin2∠ cos2∠
的取值范围．
19.(本小题 17 分)
离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标.设 为多面体 的一个顶点，定义多面体 在点 处的离散曲率为
= 1
1
2 (∠ 1 2 + ∠ 2 3 + + ∠ 1 + ∠ 1)，其中 ( = 1,2, , , ≥ 3)为多面体 的所
有与点 相邻的顶点，且平面 1 2，平面 2 3， ，平面 1 和平面 1为多面体 的所有以 为
公共点的面.已知三棱锥 如图所示．
(1)求三棱锥 在各个顶点处的离散曲率的和；
(2)若 ⊥平面 ， ⊥ ， = = 8，三棱锥 3在顶点 处的离散曲率为8，求点 到平面
的距离；
(3) 30在(2)的前提下，又知点 在棱 上，直线 与平面 所成角的余弦值为 6 ，求 的长度．
第 4页，共 9页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.13
13. 5
14.16
15.(1)证明：由题意 ⊥平面 ， ⊥平面 ，则 // ，
又∵ 平面 ， 平面 ，∴ //平面 ，
∵四边形 为菱形，∴ // ，
又∵ 平面 ， 平面 ，∴ //平面 ，
又∵ ， 平面 ， ∩ = ，∴平面 //平面 ；
(2)连接 ，由四边形 为菱形，∴ // ，
∴得∠ 就是直线 与 所成角，由 = 2，∠ = 3， = 1，
则得 = = 2，
又∵ ⊥平面 ， 平面 ，∴ ⊥ ，
∴ cos∠ = 2 2 5 = = ，22+1 5
第 5页，共 9页
∴直线 与 所成角的余弦值为2 5．
5
16.证明：(1)在直三棱柱中， 1 ⊥平面 ， 平面 ，
所以 1 ⊥ ，又因为 ⊥ 1 ，且 1 ∩ 1 = 1，
所以 ⊥平面 1 1，
而 平面 1 ，
所以平面 1 ⊥平面 1 1 ；
(2)连接 1 ，设 1 ∩ 1 = ，连接 ，
由题意可得 为 1 的中点，
又(1)可得 ⊥ ，而 = ，
所以 为 的中点，可得 // 1 ，
又因为 1 平面 1 ， 平面 1 ，
所以 1 //平面 1D.
17.证明：(1)如图，连接 1，
∵ ⊥ 1 ， ⊥ ， ∩ 1 = ，
∴ ⊥平面 1 ，
又在正方体 1 1 1 1中，连接 1，
∵ 1 ⊥ 1， 1 ⊥ 1 1， 1 ∩ 1 1 = 1，
∴ 1 ⊥平面 1 1，
又 1 平面 1 1，
第 6页，共 9页
∴ 1 ⊥ 1，
同理可得 1 ⊥ 1，
又∵ 1 ∩ 1 = 1，
∴ 1 ⊥平面 1 ，
∴ // 1，得证；
(2)由题意可得 < 1，
又∵由(1)知 // 1，
∴直线 1 和 必相交，不妨设 ∩ 1 = ，
则 ∈ 1 ，
又∵ 1 平面 1 1 ，
∴ ∈平面 1 1 ，
同理 ∈平面 ，
∵平面 1 1 ∩平面 = ，
∴ ∈ ，
∴ 、 1F、 三条直线交于一点，得证．
18.(1) 因为 = 2 ，

所以 =

2 ，
所以 (2 ) =
所以 2 = sin( + ) = ，
= 1 所以 2，所以 = 3；
(2) 2 由(1)可知 + = 3，
又 = 2 ，且 = ，
2 (2 3 ) = = 3 + 所以 = 1 + 3 ，
0 < <
又锐角△ 2 ∈ ( 中， ，解得 , )，
0 < = 2 6 23 < 2
所以 ∈ (0, 3) ∈ ( , 6 2 ), ∈ (0, 3)，
所以 ∈ (1,4)；
第 7页，共 9页
2 2
(3)因为( + ) = ( + ) ( ) = = 0，
所以| | = | |，
2 2
同理( + ) = ( + ) ( ) = = 0，所以| | = | |，
所以| | = | | = | |，
所以 为△ 的外心，所以∠ = 2 ，∠ = 2 ，且 + = 2 3，
所以sin2∠ cos2∠ = sin22 cos2[2( 2 3 )] =
1
2 cos(4

3 )，
又由(2)可知 ∈ ( , 6 2 ), 4
∈ ( , 5 3 3 3 ), cos(4

3 ) ∈ [ 1,
1
2 ]，
1 1 1
所以 2 cos(4 3 ) ∈ ( 4 , 2 ]．
19.(1)由离散曲率的定义得：
= 1
1
2 (∠ + ∠ + ∠ )，
1 = 1 2 (∠ + ∠ + ∠ )，
1
= 1 2 (∠ + ∠ + ∠ )，
= 1
1
2 (∠ + ∠ + ∠ )，
1
所以 + + + = 4 2 × 4 = 2．
(2)由 ⊥平面 ， 平面 ，得 ⊥ ，
又 ⊥ ， ∩ = ， ， 平面 ，
则 ⊥平面 ，
又 平面 ，所以 ⊥ ，即∠ = 2，
又 = 1
1
2 (∠ + ∠ + ∠ )，
3 = 1 1 即8 2 (∠ + 2 + 2 )，
解得∠ = 4，
过点 作 ⊥ 于点 ，
由 ⊥平面 ， 平面 ，得 ⊥ ，
又 ∩ = ， ， 平面 ，则 ⊥平面 ，
因此点 到平面 的距离为线段 的长，
在 △ 中， = ∠ = 8 × 22 = 4 2，
第 8页，共 9页
所以点 到平面 的距离为 4 2．
(3)过点 作 // 交 于点 ，连接 ，如图．
由 ⊥平面 ，则 ⊥平面 ，
故∠ 为直线 与平面 所成的角，
依题意， = 8， = 2 + 2 = 82 + 82 = 8 2，
= 2 + 2 = 82 + (8 2)2 = 8 3，
则 sin∠ = = 3 6 3 ，cos∠ = = 3 ，
设 = (0 < ≤ 8 3)，则 = ∠ = 63 ， = ∠ =
3
3 ，
在△ 中， = 2 + 2 2 ∠ = 64 + 2 2 16 33 3 ，
由 cos∠ = 306 ，
得 sin∠ = 1 cos2∠ = 66 ，tan∠ =
sin∠ 5
cos∠ = 5 ，
3
因此 tan∠ = 3 5 = = ，64+2 2 16 3 53 3
而 > 0 8 3，解得 = 3 ，
8 3
所以 = 3 ．
第 9页，共 9页

展开更多......

收起↑