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2024-2025学年山西省长治一中高一（下）期末考试
数学试卷（B卷）
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数 = + 2 ( ∈ )，且| | = 2，则 =( )
A. 2 B. 2 C. 2 + 2 D. 2 2
2 3 .已知 sin( + 6 ) = 5，则 sin( 6 2 )的值为( )
A. 7 B. 4 425 25 C. 25 D.
7
25
3.已知数据 1， 2，…， 10的中位数为 2，方差为 3，那么数据 2 1 + 3，2 2 + 3，…，2 10 + 3 的中位数
和方差分别为( )
A. 2，3 B. 7，6 C. 7，12 D. 4，12
4 2 .将函数 ( ) = cos(2 + 3 )的图象向右平移 ( > 0)个单位长度后，所得图象对应的函数为奇函数，则
的最小值为( )
A. B. 7 12 6 C. 3 D. 12
5 5 .已知 ∈ [ , 4 ]， ∈ [ 3 , 2 ]，且 = 2 ，则 =( )
A. B. C. 2 D. 3 4 2 3 4
6.已知 ， 为两条不同的直线， ， 为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )
①若 ⊥ ， ⊥ ，则 //
②过直线 外一点，有且只有一个平面与这条直线平行
③若 ⊥ ， ，则 必垂直于面 内的无数条直线
④若 ， 为异面直线且点 ， ，则存在两条直线过点 且与 ， 都相交
A.④ B.③ C.② D.①
7.某校国庆节举办爱国知识竞赛，高一某班有 ， 两名同学组队参加知识竞赛，每轮比赛由 ， 各答题一
次.已知每轮比赛中 2 1答对的概率为3， 答对的概率为2，且 和 答对与否互不影响，各轮结果也互不影响，
则( )
A. 1 5在第一轮比赛中， ， 都没有答对的概率为3 B.在第一轮比赛中，恰有一人答对的概率6
C. 1 1在两轮比赛中， ， 恰好答对三题的概率为3 D.在两轮比赛中， ， 至多答对三题的概率为9
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8.已知函数 ( ) = sin( + )( > 0, | | < 2 )

，且在[ 12 , 12 ]上是单调函数，其图象向左平移2个单位之
后与 ( )的图象关于 轴对称，则 可能的取值为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.欧拉公式 = + ( 为自然对数的底数， 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建
立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.若在复

数范围内关于 的方程 2 + + = 0( , ∈ )的两根为 1， 2，其中 1 = 2 4 ，则( )
A.复数 1对应的点位于第二象限
B. 2 = 1
C. | + | = 2 2
D.若复数 满足| | = 1，则| + 1|的最大值为 2 + 1
10.已知样本数据 1， 2，…， 5的平均数是 3，方差是 2，样本数据 1， 2，…， 5的平均数是 1，方差是
4，则下列结论正确的是( )
A.数据 2 1 + 1，2 2 + 1，…，2 5 + 1 的平均数是 7
B.数据 2 1 1，2 2 1，…，2 5 1 的方差是 16
C.数据 1， 2，…， 5， 1， 2，…， 5的平均数为 3
D.数据 1， 2，…， 5， 1， 2，…， 5的方差为 4
11.在△ 中，| + | = 6，| + | = 3，( + ) = 0，则下列说法正确的是( )
A. = 3 B. ∠ = 3
C. △ 3 3的面积为 2 D. |
+ | = 3 7
三、填空题：本题共 3小题，共 15分。
12.现有一组数据 4，6，3，3，2，4，6，7，4，1，则这组数据的第 70 百分位数为______，方差为______．
13 .已知扇形的弧所对的圆心角为3，且半径为 6 ，则该扇形的弧长为______．
14.在△ 中， △ =
3
2
= 4 3， = 2 ，△ 的外接圆为圆 ， 为圆 上的点，
则 的最大值为______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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15.(本小题 13 分)
在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 = 1， = 3 2， 为钝角，△ 3的面积为2．
(1)求角 ；
(2)求△ 的周长．
16.(本小题 15 分)
某校举办了“趣味数学”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取 100 份成绩(满分 100 分，成绩均为不低于 40
分的整数)作为样本，将样本分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中 的值及样本平均数；
(2)试估计这 100 名学生的分数 ( = 1,2, …, 100)的方差 2，并判断此次得分为 60 分和 80 分的两名同学的

成绩是否进入到了[ , + ]范围内？(用每组的区间的中点代替该组的分数)
17.(本小题 15 分)
△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 2 + 2 = 1， = 1．
(1)若 = 2 2，求 ；
(2)若△ 为钝角三角形，求△ 面积的取值范围．
18.(本小题 17 分)
如图，在三棱台 ′ ′ ′中， = 2 = 4，∠ = 60°， ′ ′ = 1， ′ = 2，三棱台
′ 7 3′ ′的体积为 3 ．
(1)证明： ′ ′ ⊥平面 ′ ′；
(2)求 ′ 与平面 ′ ′所成角的正弦值．
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19.(本小题 17 分)
离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标.设 为多面体 的一个顶点，定义多面体 在点 处的离散曲率为
1 = 1 2 (∠ 1 2 + ∠ 2 3 + + ∠ 1 + ∠ 1)，其中 ( = 1,2, , , ≥ 3)为多面体 的所
有与点 相邻的顶点，且平面 1 2，平面 2 3， ，平面 1 和平面 1为多面体 的所有以 为
公共点的面.已知三棱锥 如图所示．
(1)求三棱锥 在各个顶点处的离散曲率的和；
(2)若 ⊥平面 ， ⊥ ， = = 8 3，三棱锥 在顶点 处的离散曲率为8，求点 到平面
的距离；
(3)在(2) 30的前提下，又知点 在棱 上，直线 与平面 所成角的余弦值为 6 ，求 的长度．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.5 3.2
13.2
14.8
15.(1)由△ 的面积 = 12 =
3
2，
1 3
可得2 × 1 × 3 2 = 2，解得 =
2 3
2 ，结合 > 2，可得 = 4；
(2) 3 因为 = 1， = 3 2， = 4，
由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 = 1 + 18 2 × 1 × 3 2 × ( 22 ) = 25，解得 = 5，
所以△ 的周长 + + = 6 + 3 2．
16.(1)由题意知 0.05 + 0.1 + 0.2 + 0.3 + 10 + 0.1 = 1，解得 = 0.025；
所以该次测试分数的平均数：

= 45 × 0.05 + 55 × 0.1 + 65 × 0.2 + 75 × 0.3 + 85 × 0.25 + 95 × 0.1 = 74(分)．
(2)由频率分布直方图知，方差：
2 = 0.05 × (45 74)2 + 0.1 × (55 74)2 + 0.2 × (65 74)2 + 0.3 × (75 74)2 + 0.3 × (85 74)2 +
0.1 × (95 74) = 169，
所以 = 169 = 13(分)，

所以 = 61(分)， + = 87(分)，
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故得分为 60 分的同学的成绩没有进入到[61,87]内，
得分为 80 分的同学的成绩进入到了[61,87]内．

即得分为 60 分的同学的成绩没有进入到[ , + ]范围，得分为 80 分的同学的成绩进入到[ , + ]
范围了．
17.(1)因为 2 + 2 = 1，所以 2 + 1 2 2 = 1，即 = sin2A.
因为 ∈ (0, )， ≠ 0，所以 = = ，及 = 1，所以 =

4．
因为 = 1， = 2 2，

所以由余弦定理得： 2 = 2 + 2 2 = 1 + 8 2 × 2 2cos 4 = 5，
所以 = 5；
(2) 1 2因为 = 1， = 4，所以 △ = 2 = 4 ．
sin( + ) sin(
+ )
由正弦定理得： = 4 = =
sin +cos 4 4 = 2 2 = 2 + 2 ，
△ < < 3 因为 为钝角三角形，所以2 4或2 < =
3 < 3 4 4，
3
即2 < < 4或 0 < < 4，所以 ∈ ( ∞, 1) ∪ (0,1)，
= 2 2 2所以 2 + 2 ∈ (0, 2 ) ∪ ( 2, + ∞)，
1
所以 △ ∈ (0, 4 ) ∪ (
1
2 , + ∞)．
所以△ 1 1面积的取值范围是(0, 4 ) ∪ ( 2 , + ∞)．
18.(1) ∵ = 2， = 4，∠ = 60°，
由余弦定理得 = 2 + 2 2 60° = 2 3，
∵ 2 + 2 = 2，
∴ ⊥ ．
同理，在三棱台中， ′ ′ ⊥ ′ ′， ′ ′ = 1，
∵ ′ ′ 1， = 2
∴ ′ ′ = 1，∴ ′ ′ = 3， 2
∴ 3△ = 2 3， △ ，′ ′ ′ = 2
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设三棱台 ′ ′ ′的高为 ，
由 棱台 =
1
3 ( △ + △ ′ ′ ′ + △ △ ′ ′ ′)
= 13 (2 3 +
3
2 + 2 3 ×
3
2 ) =
7 3，
3
解得 = 2．
又∵ ′ = 2，故 CC′为三棱台的高，
∴ ′ ⊥平面 ， 平面 ，
∴ ′ ⊥ ， ⊥ ， ∩ ′ = ， ， ′ 平面 ′ ′，
∴ ⊥平面 ′ ′，
又 ′ ′// ，
∴ ′ ′ ⊥平面 ′ ′．
(2)如图，过点 作 ⊥ ′于点 ，
由(1)知 ⊥平面 ′ ′， 平面 ′ ′，
∴ ⊥ ， ∩ ′ = ，
∴ ⊥平面 ′ ′．
连接 ′ ，则∠ ′ 为 ′ 与平面 ′ ′所成角，记为 ，
∵ ′ ⊥平面 ′ ′ ′， ′ ′ 平面 ′ ′ ′，
∴ ′ ⊥ ′ ′，
∵ ′ ′ = 2， ′ = 2，
∴ ′ = 2 2．
在直角梯形 ′ ′中， ′ = 7，sin∠ ′ = 2 7，7
∴ = 4 21，7
∴ = = 42，
′ 7
∴ ′ 与平面 ′ ′所成角的正弦值为 42．7
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19.(1)由离散曲率的定义得：
= 1
1
2 (∠ + ∠ + ∠ )，
= 1 1 2 (∠ + ∠ + ∠ )， = 1
1
2 (∠ + ∠ + ∠ )，
= 1
1
2 (∠ + ∠ + ∠ )，
1
所以 + + + = 4 2 × 4 = 2．
(2)由 ⊥平面 ， 平面 ，得 ⊥ ，
又 ⊥ ， ∩ = ， ， 平面 ，
则 ⊥平面 ，

又 平面 ，所以 ⊥ ，即∠ = 2，
= 1 1又 2 (∠ + ∠ + ∠ )，
3
即8 = 1
1
2 (∠ + 2 + 2 )，
解得∠ = 4，
过点 作 ⊥ 于点 ，
由 ⊥平面 ， 平面 ，得 ⊥ ，
又 ∩ = ， ， 平面 ，则 ⊥平面 ，
因此点 到平面 的距离为线段 的长，
在 △ 中， = ∠ = 8 × 22 = 4 2，
所以点 到平面 的距离为 4 2．
(3)过点 作 / / 交 于点 ，连接 ，如图．
由 ⊥平面 ，则 ⊥平面 ，
故∠ 为直线 与平面 所成的角，
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依题意， = 8， = 2 + 2 = 82 + 82 = 8 2，
= 2 + 2 = 82 + (8 2)2 = 8 3，
sin∠ = = 3则 3 ，cos∠ =

=
6
3 ，
6 3
设 = (0 < ≤ 8 3)，则 = ∠ = 3 ， = ∠ = 3 ，
在△ 中， = 2 + 2 2 ∠ = 64 + 2 2 16 33 3 ，
cos∠ = 30由 6 ，
得 sin∠ = 1 cos2∠ = 66 ，tan∠ =
sin∠ 5
cos∠ = 5 ，
3

因此 tan∠ = =
3 = 5
64+2 2 16 3 5
，
3 3
而 > 0 8 3，解得 = 3 ，
8 3
所以 = 3 ．
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