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浙教版2025年八年级上册《三角形的初步认识》单元测试卷
满分120分 时间100分钟
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（共30分）
1．已知是直角三角形，那么这个直角三角形三个内角的比可以是（ ）
A． B． C． D．
2．下列命题是假命题的是（ ）
A．相等的角是对顶角 B．垂线段最短
C．两点之间线段最短 D．同位角相等，两直线平行
3．如图中三角形的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图，点在上，，，则的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
5．如图，在中，是高，是角平分线，是中线，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，已知，那么添加下列一个条件后不能证明的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，在中，，，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线，交边于点，连接，则的周长为（ ）
A．13 B．12 C．11 D．10
8．如图，在中，，是的角平分线，于点，，周长为，则的长是（ ）

A． B． C． D．
9．如图，是三条角平分线的交点，的面积记为，的面积记为，的面积记为，且，则的值可能为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
10．如图，、分别是的高和角平分线，与相交于，平分交于，交于，连接交于，且．有下列结论：①；②；③；④．其中，正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二、填空题（共24分）
11．把“对顶角相等”，改写成“如果……那么……”的形式
12．如图所示，将沿所在的直线平移到的位置，则 ，图中与 ，与 ，与 是对应角．
13．如图，已知，则的度数为 ．
14．如图，已知，，添加一个条件，使得，这个条件可以是 （填写一个即可）．
15．如图，在中，的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E．已知的周长为，则的长为 ．
16．如图，将纸片沿折叠，点的对应点为．若，则 °．
三、解答题（共66分）
17．（8分）如图，在中，，是边的垂直平分线，交于点D，交于点E，连接，且平分．
(1)求的度数；
(2)若，求的长．
18．（8分）如图，在中，是高，，．
(1)画出的角平分线，分别交，于点，．（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
(2)求的度数．
19．（8分）如图，在上各取一点E，D，使，连接，相交于点O，连接，．求证：
(1)
(2)．
20．（8分）小华和爸妈在五一假期期间去方特游乐园乘坐了海盗船，如图，已知海盗船的转轴B到地面的距离，小华在乘坐的过程中，当海盗船的船头摆动到最高点A处时，于点C，此时点C到地面的距离，当船头从A处摆动到处时，，求点到的距离．
21．（10分）如图1，线段相交于点，连接，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、．试解答下列问题．
(1)如图1，试说明：．
(2)如图2，若，，求的度数．
(3)在图2中，若，，直接写出的度数（用含的代数式表示）．
22．（12分）如图①，在中，，，过点C在外作直线l，于点M，于点N．
(1)试说明：；
(2)如图②，将（1）中条件改为（），，请问（1）中的结论是否还成立？请说明理由.
(3)如图③，在中，点D为上一点，，，，，请直接写出的长．
23．（12分）如图，在中，，高、相交于点，，且．
(1)请说明的理由；
(2)动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动设点的运动时间为秒，当的面积为时，求的值；
(3)在（2）的条件下，点是直线上的一点，且当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求的值．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A C C B D A B D B
1．B
【分析】本题考查了三角形的内角和定理和直角三角形的定义，求出每一个内角的度数是解题的关键．
根据三角形内角和定理求出每一个内角度数即可判断．
【详解】解：选项A：，三个角相等，每个角为，均为锐角，无直角，不符合条件，排除．
选项B：，总份数为，对应角度分别为：，，存在90°角，且另两角之和为，符合条件．
选项C：，总份数为，对应角度分别为：，，，均为锐角，无直角，排除．
选项D：总份数为，对应角度分别为：，，，均为锐角，无直角，排除．
综上，正确答案为B．
故选：B．
2．A
【分析】本题主要考查了判断命题的真假．根据对顶角，垂线段最短，两点之间线段最短，平行线的判定，逐项判断，即可求解．
【详解】解：A．相等的角不一定是对顶角，例如平行线中的同位角相等，但并非对顶角，故A是假命题，故本选项符合题意；
B．垂线段最短是垂线段定理，是真命题，故本选项不符合题意；
C．两点之间线段最短是基本事实，是真命题，故本选项不符合题意；
D．同位角相等则两直线平行，是平行线判定定理，是真命题，故本选项不符合题意．
故选：A
3．C
【分析】根据三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段“首尾”顺次连接所组成的封闭图形来判断即可得到．
【详解】解：图中的三角形有，，，共有3个．
故选：C．
【点睛】本题考查三角形，解题的关键是理解三角形的概念：三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段“首尾”顺次连接所组成的封闭图形．
4．C
【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键；
根据，可得，再由可得结果．
【详解】解：，
，
又，
，
故选：C．
5．B
【分析】本题考查了中线、角平分线和中线的定义，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．分别根据三角形的中线意义和性质可判断B和D；根据三角形高的定义，直角三角形两锐角互余判断A；根据三角形角平分线的意义可判断C．
【详解】解：∵是中线，
∴，故D选项不正确，不符合题意；
∴，故B选项正确，符合题意；
∵是高，
∴，
∴，故A选项不正确，不符合题意；
∵是角平分线，
∴，故C选项不正确，不符合题意；
故选：B．
6．D
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，已知，，再根据全等三角形的判定定理逐一判断即可．
【详解】解：添加条件，结合条件，，可以利用证明，故A不符合题意；
添加条件，结合条件，，可以利用证明，故B不符合题意；
添加条件，结合条件，，可以利用证明，故C不符合题意；
添加条件，结合条件，，不可以利用证明，故D符合题意；
故选：D．
7．A
【分析】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图和性质．先判断出垂直平分，再根据线段垂直平分线的性质可得，然后根据三角形的周长公式求解即可得．
【详解】解：由题意得：垂直平分，
∴，
∵，，
∴的周长为，
故选：A．
8．B
【分析】本题考查的是角平分线的性质，根据角平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
【详解】解：∵是的角平分线，，，
∴，
∵的周长为，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：．
9．D
【分析】根据题意，得、和的边上的高相等，设这个相等的高长为，得到，，，利用三角形的三边关系定理解答即可．
本题考查了角的平分线的性质定理，三角形三边关系定理，三角形的面积公式，熟练掌握性质和定理是解题的关键．
【详解】解：∵是三条角平分线的交点，
∴、和的边上的高相等，设这个相等的高长为，
∵的面积记为，的面积记为，的面积记为，
∴，，
∴，，，
由三角形三边关系得，
∴，
∴，
又∵，
∴可能的值10，
选项D符合题意，选项A、B、C不符合题意．
故选：D．
10．B
【分析】根据是的高，，结合是的角平分线， 平分，得到即可得到，判断①正确；先证明再证明即可，可判定②正确；根据得到，结合得到，结合，等量代换即可得到，可判定④正确；；延长交于点N，得到，得到，可以判断③错误，解答即可．
【详解】解：∵是的高，
∴，
∴，
∵是的角平分线， 平分，
∴，
∴，
故①正确；
∵是的高，，
∴，
∵，
∴，
∵平分，是的角平分线，
∴，，
∴，
∵
∴，
∴，
∵
∴，
故②正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故④正确；
延长交于点N，
∵
∴，
∴，
∴，
∵，是钝角，
∴，
∴，
故不成立，
故③错误，
故选：B
【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理的应用，角的平分线的意义，同一三角形中，大角对大边，直角三角形的特征量，熟练掌握三角形全等的判定和性质，直角三角形的特征量，三角形内角和定理是解题的关键．
11．如果两个角是对顶角，那么这两个角相等
【分析】本题考查了把一个命题写成“如果 那么 ”的形式，命题中的条件是两个角相等，放在“如果”的后面，结论是这两个角的补角相等，应放在“那么”的后面即可．
【详解】解：把命题“对顶角相等”改写成“如果 那么 ”的形式为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
12． /
【分析】此题考查平移的性质，全等三角形的性质，根据平移的性质及全等三角形的性质解答即可，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
【详解】解：将沿所在的直线平移到的位置，则 ，与，与，与是对应角．
故答案为：≌，．
13．/度
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，掌握全等三角形的对应角相等成为解题的关键．
先根据三角形内角和定理求得，然后根据全等三角形的对应角相等即可解答．
【详解】解：∵在中，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
14．（答案不唯一）
【分析】此题主要考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL、注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
要使得．由条件可得到，，再加条件，可以用证明其全等．
【详解】解：添加条件；
即：，
，
，
，
，
在和中，
故答案为：（答案不唯一）．
15．
【分析】本题考查线段垂直平分的性质，由线段垂直平分线的性质推出，，得到的周长．
【详解】解：∵垂直平分，垂直平分，
∴，，
∴的周长．
故答案为：．
16．68
【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和，对顶角，熟练掌握折叠的性质解题的关键．由折叠的性质得，，，根据三角形内角和，，求得，据此求解即可．
【详解】解：由折叠的性质得，，，
根据对顶角相等，，
，
，
，
，
，，
．
故答案为：68．
17．(1)
(2)
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等边对等角、直角三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由线段垂直平分线的性质可得，由等边对等角结合角平分线的定义可得，再由三角形内角和定理计算即可得解；
（2）由直角三角形的性质得出，从而可得，即可得解．
【详解】（1）解：∵是边的垂直平分线，
∴，
∴，
∵平分．
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵是边的垂直平分线，
∴，
∴．
18．(1)见解析
(2)
【分析】此题考查作图—作角平分线及三角形内角和定理的应用，三角形外角的性质，解题关键在于根据题意作出图形．
（1）利用基本作图（作已知角的角平分线）作平分即可；
（2）先求，再根据角平分线求出，进而利用三角形外角的性质根据求出结论．
【详解】（1）如图所示，即为所求．
（2）∵，，
∴
∵是的平分线
∴
∵是边上的高
∴
∴．
19．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用公共边，结合证明即可．
（2）利用证明即可得到结论．
本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握判定定理是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵，
∴．
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
20．
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，实际问题中，构造需要的全等三角形是解本题的关键．先过点作于点，再证明，可得从而可得答案．
【详解】解：如图，过点作于点，
，
，
，
在与中
，
，
，
，
．
21．(1)见解析
(2)；
(3)
【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理的应用、角平分线的定义等知识，掌握利用三角形的内角和定理解决“8字形”中的角度问题是解题的关键．
（1）利用三角形的内角和定理与对顶角相等可得结论；
（2）由（1）可得， ，再两式相加，结合角平分线的定义可得，再把，代入计算即可得到答案；
（3）由（1）可得，，再两式相加，结合角平分线的定义可得．
【详解】（1）证明：∵，
又∵，
∴；
（2）解：由（1）可得，①，
②，
∵和的平分线和相交于点，
∴，，
由①+②，得，
即，
又∵，，
∴，
∴；
（3）解：由（1）得①，
② ，
∵和的平分线和相交于点，
∴，，
由，得，
∵，，
∴．
22．(1)见解析
(2)成立，见解析
(3)8
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，一线三等角模型证明全等，解题关键是熟悉一线三等角模型．
（1）先证明，再根据全等三角形的性质得出，，从而根据，可得；
（2）先判定成立，再说理由，先证明，再根据全等三角形的性质得出，，结合，可得；
（3）先证明，再根据全等三角形的性质得出，，根据，，，可求得．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵，，
∴
∴
∴，
又，
，
，，
，
；
（2）成立，
理由：，，
，
又∵，，
，
，，
又，
；
（3），，，
，
又，，
，
，，
，，，
．
23．(1)见解析
(2)当的面积为时，的值为或
(3)或时，与全等
【分析】（1）根据原理证明即可；
（2）由题意，，当点在线段上时，，
当点在延长线上时，，根据三角形的面积列式解答即可．
（3）分类解答即可．
本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形面积计算，分类证明全等，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：是高，
，
是高，
，
，，
，
在和中，
，
．
（2）解：由知，
，
，
，
由题意，，
当点在线段上时，，
，
解得：；
当点在延长线上时，，
，
解得：；
综上，当的面积为时，的值为或．
（3）解：存在．理由如下：
如图中，当时，
，，
．
，
，
解得，
如图中，当时，
，，
．
，
，
解得，
综上所述，或时，与全等．

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