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2024-2025学年山西省长治一中高一（下）期末考试
数学试卷（B卷）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，且，则( )
A. B. C. D.
2.已知，则的值为( )
A. B. C. D.
3.已知数据，，，的中位数为，方差为，那么数据，，，的中位数和方差分别为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
4.将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数为奇函数，则的最小值为( )
A. B. C. D.
5.已知，，且，则( )
A. B. C. D.
6.已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )
若，，则
过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行
若，，则必垂直于面内的无数条直线
若，为异面直线且点，，则存在两条直线过点且与，都相交
A. B. C. D.
7.某校国庆节举办爱国知识竞赛，高一某班有，两名同学组队参加知识竞赛，每轮比赛由，各答题一次已知每轮比赛中答对的概率为，答对的概率为，且和答对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则( )
A. 在第一轮比赛中，，都没有答对的概率为 B. 在第一轮比赛中，恰有一人答对的概率
C. 在两轮比赛中，，恰好答对三题的概率为 D. 在两轮比赛中，，至多答对三题的概率为
8.已知函数，且在上是单调函数，其图象向左平移个单位之后与的图象关于轴对称，则可能的取值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.欧拉公式为自然对数的底数，为虚数单位是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”若在复数范围内关于的方程的两根为，，其中，则( )
A. 复数对应的点位于第二象限
B.
C.
D. 若复数满足，则的最大值为
10.已知样本数据，，，的平均数是，方差是，样本数据，，，的平均数是，方差是，则下列结论正确的是( )
A. 数据，，，的平均数是
B. 数据，，，的方差是
C. 数据，，，，，，，的平均数为
D. 数据，，，，，，，的方差为
11.在中，，，，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. 的面积为 D.
三、填空题：本题共3小题，共15分。
12.现有一组数据，，，，，，，，，，则这组数据的第百分位数为______，方差为______．
13.已知扇形的弧所对的圆心角为，且半径为，则该扇形的弧长为______．
14.在中，，，的外接圆为圆，为圆上的点，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，为钝角，的面积为．
求角；
求的周长．
16.本小题分
某校举办了“趣味数学”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取份成绩满分分，成绩均为不低于分的整数作为样本，将样本分成六段：，，，，得到如图所示的频率分布直方图．
求频率分布直方图中的值及样本平均数；
试估计这名学生的分数的方差，并判断此次得分为分和分的两名同学的成绩是否进入到了范围内？用每组的区间的中点代替该组的分数
17.本小题分
的内角，，的对边分别为，，，已知，．
若，求；
若为钝角三角形，求面积的取值范围．
18.本小题分
如图，在三棱台中，，，，，三棱台的体积为．
证明：平面；
求与平面所成角的正弦值．
19.本小题分
离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面已知三棱锥如图所示．
求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和；
若平面，，，三棱锥在顶点处的离散曲率为，求点到平面的距离；
在的前提下，又知点在棱上，直线与平面所成角的余弦值为，求的长度．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.由的面积，
可得，解得，结合，可得；
因为，，，
由余弦定理得，解得，
所以的周长．
16.由题意知，解得；
所以该次测试分数的平均数：
分．
由频率分布直方图知，方差：
，
所以分，
所以分，分，
故得分为分的同学的成绩没有进入到内，
得分为分的同学的成绩进入到了内．
即得分为分的同学的成绩没有进入到范围，得分为分的同学的成绩进入到范围了．
17.因为，所以，即A.
因为，，所以，及，所以．
因为，，
所以由余弦定理得：，
所以；
因为，，所以．
由正弦定理得：
，
因为为钝角三角形，所以或，
即或，所以，
所以，
所以．
所以面积的取值范围是．
18.，，，
由余弦定理得，
，
．
同理，在三棱台中，，，
，
，，
，，
设三棱台的高为，
由
，
解得．
又，故CC为三棱台的高，
平面，平面，
，，，，平面，
平面，
又，
平面．
如图，过点作于点，
由知平面，平面，
，，
平面．
连接，则为与平面所成角，记为，
平面，平面，
，
，，
．
在直角梯形中，，，
，
，
与平面所成角的正弦值为．
19.由离散曲率的定义得：
，
，，
，
所以．
由平面，平面，得，
又，，，平面，
则平面，
又平面，所以，即，
又，
即，
解得，
过点作于点，
由平面，平面，得，
又，，平面，则平面，
因此点到平面的距离为线段的长，
在中，，
所以点到平面的距离为．
过点作交于点，连接，如图．
由平面，则平面，
故为直线与平面所成的角，
依题意，，，
，
则，，
设，则，，
在中，，
由，
得，，
因此，
而，解得，
所以．
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