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2024-2025学年山东省泰安市高一下学期期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，复数对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.某校高一年级有男生人，女生人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从该校高一年级学生中抽出一个容量为的样本．如果样本按比例分配，那么男生，女生应分别抽取的人数为
A. ； B. ； C. ； D. ；
3.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列选项正确的是
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
4.已知向量，不共线，且向量与共线，则实数的值为
A. 或 B. 或 C. 或 D.
5.已知圆台的一个底面周长是另一个底面周长的倍，母线长为，圆台的侧面积为，则圆台较小底面的半径为
A. B. C. D.
6.在中，，，则
A. B. C. D.
7.甲，乙两人练习射击，击中目标的概率分别为和，若甲，乙两人各射击一次，则目标恰好被击中一次的概率为
A. B. C. D.
8.如图，正方体中，，，，，，分别为
棱，，，，，的中点，为的中点，连接，
，对于空间任意两点，，若线段上不存在线段与上的
点，则称，两点“可透视”，则与点“可透视”的是
A. 点 B. 点
C. 点 D. 点
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列选项正确的是
A. 从装有两个红球和三个黑球的袋子中任取两个球，则事件“恰好有一个黑球”与事件“恰好有两个黑球”互斥
B. 用简单随机抽样方法从含有个个体的总体中抽取一个容量为的样本，个体被抽到的概率是
C. 数据，，，，的平均数为，方差，则数据，，，的标准差为
D. 若事件与事件是相互独立事件，则
10.已知向量，，，则下列选项正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，则
C. 若向量与的夹角为钝角，则
D. 若，，则向量在向量方向上的投影向量为
11.三棱锥中，为中点，，，，，则下列选项正确的是
A. B. 直线与平面所成角的正弦值为
C. 直线与所成角为 D. 过的平面与三棱锥的外接球的截面面积最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，，则 ．
13.如图，圆锥的底面直径和高均为，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下几何体的表面积为 ．
14.在中，内角，，的对边分别为，，，为的面积，为的中点，且，，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
为倡导文明健康生活方式，年月，国家卫健委发布了体重管理指导原则，指导医疗卫生人员开展体重管理工作，当地卫生管理部门对某校全体高一男生进行了体重调查，将数据统计成如下频率分布表及频率分布直方图．
分组 频数 频率
？
？
合计 ？
求，，，，的值；
估计高一男生体重的第百分位数；
估计高一男生体重的平均数．
16.本小题分
袋子中有个大小质地完全相同的球，其中个红球，个黄球．
若这个球分别标有数字，，，，，现从袋中每次任取一个球，每次取出后不放回，连续取两次，求两个小球所标数字之和为的倍数的概率；
若从中摸出一个球，观察颜色后放回，再摸出一个球，求两球颜色恰好不同的概率．
17.本小题分
已知中，内角，，所对的边为，，，其中，，的面积为．
求角的大小；
如图，点在边的延长线上，若，，求的长．
18.本小题分
复向量是指元素为复数的向量，即把有序复数对看作一个向量，记作我们把两复向量，的数量积记作对于，，，，，，满足如下运算法则：
，
复向量的模
已知为虚数单位，，，，，．
求复向量，的模；
证明：若，，则；
对两个复向量与，若，则称与平行．是否存在，使与平行，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
在中，，，，是边上的动点不与、重合，过点作的平行线交于点，将沿折起，点折起后的位置记为，得到四棱锥，如图所示．
证明：平面；
若为中点，且平面平面，求二面角的余弦值；
若为中点，是否存在点，，使得，若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．
参考答案
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15.解：，，又，
因为前组的频率之和为前组的频率之和为， 所以第百分位数， 则解得，
由频率分布直方图得，某校高一男生体重的平均数为
16.解：不放回连续取两次的样本空间，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
记“两数之和为的倍数”为事件，则事件，，，，，，，，
设个球记为，，，，，则有放回地取出两个的样本空间，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
记“两球颜色恰好不同的概率”为事件，则，，，，，，，，，，，
17.解：面积，
即，
，
在中，由余弦定理
，
，
由正弦定理，，
，
，，
；
由，，
，
，
，，，
，
．
18.解：，
，，
，
，
，，
；
设，，，，，，
设，则，
，
，
；
，，
，，
，
，
若与平行，
则，
，
即，
，
不存在实数，使得与平行．
19.解：，平面，
平面，所以平面．
在中，由余弦定理
，
，，
，，
在翻折过程中，，，
为二面角的平面角，
平面平面 ，
，又，
且，平面，，
平面，为中点，
，
作于，连接，则在平面的射影为，
平面，
且，平面，，
平面，，平面，
，，
为二面角的平面角，
设，
，，，又，，
，，
，
二面角的余弦值为．
，，，平面，
，平面．
平面，平面平面，
过作于，
平面平面，
平面，平面，
平面，．
又，当且仅当，
显然，在线段延长线上如图，
作于，则和都是等腰直角三角形，
为中点，，
设，则，，
，，即，
，故存在，使得，
其中，在平面上射影为，
在延长线上，且．

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