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2024-2025学年北京市海淀区华大学附属中学高一下学期期末考试
数学试题
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，则( )
A. B.
C. D.
2.已知复数，则的实部为( )
A. B. C. D.
3.设实数满足，则( )
A. B.
C. D.
4.已知平面向量若，则( )
A. B. C. D.
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.下列函数中，存在极小值的是( )
A. B.
C. D.
7.已知数列为等比数列，为其前项和，“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.圭表如图是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿称为“表”和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺称为“圭”当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角即为，夏至正午太阳高度角即为，圭面上冬至线与夏至线之间的距离即的长为，则表高即的长为( )
A. B. C. D.
9.如图所示，已知正方形的中心为点，其边长为分别以为圆心，为半径作圆若动点分别在圆，圆，圆，圆上，则的最大值为( )
A. B. C. D.
10.已知的定义域为，对于任意的，总有，成立，且在单调递减则下列选项错误的是( )
A. B.
C. 为偶函数 D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.函数的定义域是 ．
12.使等式成立的一个的值为 ．
13.已知平面向量满足，则 ．
14.已知
当时，函数的极值点的个数为 ；
若，使得，则的取值范围为 ．
15.已知数列的各项均为正数，，且对于任意的有恒成立给出下面四个结论：
；
存在，使得单调递增；
若，则对于任意的，都有；
若对于任意成立，则为常数列．
其中正确命题的序号为 ．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知数列为等差数列，公差为整数，，且成等比数列．
求的通项公式；
记，求数列的前项和．
17.本小题分
已知函数．
求的单调递增区间及最小正周期；
设，若集合恰有两个元素，求的取值范围．
18.本小题分
已知函数的图象与轴交于点曲线在点处的切线交轴于点．
当时，求的方程；
当时，过作轴于点，求面积的最大值．
19.本小题分
在中，．
求的大小；
从以下三个条件中选择一个条件作为已知，使存在，求的面积．
，，．
注：如果选择的条件不符合要求，得分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分
20.本小题分
已知函数．
若曲线在处的切线与轴垂直，求的值；
讨论的单调性；
若存在，使得的解集为，直接写出的取值范围．
21.本小题分
已知是无穷数列，，设其中表示中的最大值，表示中的最小值定义．
若，求的值；
已知为正数，求证：“”为“是公差为的等差数列”的充要条件；
设各项均为整数，，且若为正整数，，总有，判断是否存在最大值若存在，求的最大值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.答案不唯一．
13.
14.
15.
16.由题意得，
，即，即，
代入，得到，解得，或舍，
则，所以．
，
则．

17.
．
因此的最小正周期．
设．
解得．
因此的单调递增区间为．
方法一：令，于是，
因此，解得．
因为集合恰有两个元素，
所以，即．
方法二：因为，所以．
若集合恰有两个元素，
则，解得．
即．

18.由题可知，解得
时，故切线方程；
过点的切线方程，
，所以．
故．
令，则时，
．
极大值
，故面积最大值为，当时取到．

19.由正弦定理，，
．
，故．
不存在；
，
故．
由有，故．
故．
由余弦定理，，
于是，解得负值舍去．
因为，所以，
解得负值舍去．
故．

20.由题可得，
由曲线在处的切线与轴垂直，可得，
因此．
由题知定义域为，且，
当时，对任意，
令，则，列表如下：
极小值
所以的增区间为，减区间为；
当时，由，可得，且，列表如下：
极大值 极小值
所以的增区间为和，减区间为；
当时，，
令，可得，列表如下：
所以在上单调递增；
当时，令，可得，且，列表如下：
极大值 极小值
所以的增区间为和，减区间为，
综上所述：当时，的增区间为，减区间为；
当时，的增区间为和，减区间为；
当时，在上单调递增；
当时，的增区间为和，减区间为．
．

21.；
，；
；
充分性若是公差为的等差数列，由为正数知递增，故，
所以充分性得证．
必要性假设，要证明是公差为的等差数列．
先证明递增，证明如下：
因为，注意到，
所以对任意成立因此递增．
由递增得，所以，
即所以是公差为的等差数列必要性得证．
由条件，．
中没有最小值否则，假设中最小的项为，则，，矛盾．
定义数列如下：由于中没有最小值，数列是无穷数列．
对任意的正整数否则，若有，则
，矛盾
假设总有，则否则，若，则全为非负数另一方面，，所以，矛盾
构造：定义数列如下：
可验证：．
综上，的最大值为．

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