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2024-2025学年江西师大附中高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，若为虚数单位是纯虚数，则( )
A. B. C. D.
2.空间中四点可确定的平面有( )
A. 个 B. 个
C. 个 D. 个或个或无数个
3.如图，是水平放置的直观图，，，则的周长为( )
A. B. C. D.
4.设，为两条直线，，为两个平面，下列说法正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，，，则
5.在平行四边形中，，，，，则( )
A. B. C. D.
6.已知向量，，与的夹角为，则( )
A. B. C. D.
7.如图，正方体的棱长为，过点作平面的垂线，垂足为点，下列结论错误的是( )
A. 平面平面 B. 平面
C. 点是的垂心 D. 三棱锥的体积为
8.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 当时，在上单调递增
B. 若函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则的最小值为
C. 若函数的最小正周期为，则
D. 当时，若关于的方程的两个不相等实根为，，则
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，，则 D. 若，，则
10.如图，在正四棱锥底面为正方形，在底面的投影是正方形的中心中，下列说法正确的是( )
A.
B. 与所成角等于与所成角
C. 若平面平面，则
D. 点在平面的射影一定在内部
11.锐角的内角，，的对边分别为，，，已知，，则下列正确的有( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知锐角满足，则______．
13.如图，在一个圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，顶点是圆柱下底面中心若圆柱的轴截面是边长为的正方形，则圆锥的侧面展开图面积为______．
14.已知正方形的边长为，将沿对角线折起，使平面平面得到如图所示的三棱锥若为的中点，，分别为线段，上的动点不包括端点，且，则当三棱锥体积的最大值时， ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图所示，四边形为菱形，平面，平面．
求证：平面平面；
若，，，求直线与所成角的余弦值．
16.本小题分
如图，在直三棱柱中，点在上，，．
求证：平面平面；
求证：平面D.
17.本小题分
已知正方体，、分别为和上的点，且，C.
求证：；
设，求证：，，三点共线．
18.本小题分
在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且．
求角的大小；
若，求的取值范围；
若点为所在平面内一点，且满足，求的取值范围．
19.本小题分
离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面已知三棱锥如图所示．
求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和；
若平面，，，三棱锥在顶点处的离散曲率为，求点到平面的距离；
在的前提下，又知点在棱上，直线与平面所成角的余弦值为，求的长度．
参考答案
1.
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10.
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13.
14.
15.证明：由题意平面，平面，则，
又平面，平面，平面，
四边形为菱形，，
又平面，平面，平面，
又，平面，，平面平面；
连接，由四边形为菱形，，
得就是直线与所成角，由，，，
则得，
又平面，平面，，
，
直线与所成角的余弦值为．
16.证明：在直三棱柱中，平面，平面，
所以，又因为，且，
所以平面，
而平面，
所以平面平面；
连接，设，连接，
由题意可得为的中点，
又可得，而，
所以为的中点，可得，
又因为平面，平面，
所以平面D.
17.证明：如图，连接，
，，，
平面，
又在正方体中，连接，
，，，
平面，
又平面，
，
同理可得，
又，
平面，
，得证；
由题意可得，
又由知，
直线和必相交，不妨设，
则，
又平面，
平面，
同理平面，
平面平面，
，
、F、三条直线交于一点，得证．
18.因为，
所以，
所以
所以，
所以，所以；
由可知，
又，且，
所以，
又锐角中，，解得，
所以，
所以；
因为，
所以，
同理，所以，
所以，
所以为的外心，所以，，且，
所以，
又由可知，
所以．
19.由离散曲率的定义得：
，
，，
，
所以．
由平面，平面，得，
又，，，平面，
则平面，
又平面，所以，即，
又，
即，
解得，
过点作于点，
由平面，平面，得，
又，，平面，则平面，
因此点到平面的距离为线段的长，
在中，，
所以点到平面的距离为．
过点作交于点，连接，如图．
由平面，则平面，
故为直线与平面所成的角，
依题意，，，
，
则，，
设，则，，
在中，，
由，
得，，
因此，
而，解得，
所以．
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