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2024-2025学年福建省福州一中高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知是虚数单位，则的共轭复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.一组数据分别为，，，，，，，，则这组数据的分位数是( )
A. B. C. D.
3.在如图所示的两种分布形态中( )
A. 中的中位数大于平均数
B. 中的众数大于平均数
C. 中的众数小于中位数
D. 中的中位数大于平均数
4.已知是水平放置的的直观图，，，，则的面积为( )
A. B. C. D.
5.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
6.若连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子，则点数之和不大于的概率是( )
A. B. C. D.
7.已知在三棱锥中，，，则三棱锥外接球的体积为( )
A. B. C. D.
8.中国古代数学瑰宝九章算术中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上、下底面均为扇环形的柱体扇环是指圆环被扇形截得的部分现有一个如图所示的曲池，其中底面，底面扇环所对的圆心角为，扇环对应的两个圆的半径之比为：，，，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的是( )
A. 一组数据，，，，，，，，的众数是
B. 已知随机事件和，若，，，则和相互独立
C. 若学校田径队有名运动员，其中男运动员有人，现进行比例分配的分层随机抽样，从全体运动员中抽出一个容量为的样本，则女运动员应抽取人
D. 已知样本数据，，，，的平均数为，方差为，若样本数据，，，，的平均数为，方差为，则平均数
10.已知下面给出的四个图都是正方体，，为顶点，，分别是所在棱的中点，则满足直线的图形有( )
A. B. C. D.
11.已知空间四边形中，，，且，，设，设与平面所成角为，二面角的平面角为，则( )
A. B. C. D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知事件与事件发生的概率分别为，，且，则 ______．
13.用透明塑料制作一个由圆柱和圆台组合而成的封闭容器，并往容器内部灌入一些水图和图为该容器在不同放置方式下的轴截面，其尺寸单位：如图所示若如图放置该容器时，其圆台部分恰好充满水，则如图倒立放置该容器时，圆柱部分水面高度为______．
14.若棱长为的正四面体的内部有一个棱长为的正方体可任意转动，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知在直三棱柱中，，，为棱的中点，为线段的中点．
求证：平面；
求三棱锥的体积．
16.本小题分
某高校的社团招聘面试中有道难度相当的题目，李明答对每道题目的概率都是若每位面试者共有四次答题机会，一旦累计次答对抽到的题目，则该面试者面试通过，否则面试者就一直抽题到第次为止假设每位面试者对抽到的不同题目能否答对是独立的设事件表示“李明第次答对题目”，试用分别表示以下问题中的事件，并求对应的事件概率．
求李明第三次答题通过面试的概率；
求李明最终通过面试的概率．
17.本小题分
如图，在三棱锥中，平面，．
求证：平面平面；
若，．
求证：平面；若，与平面所成角的正切值为，求二面角的正切值．
18.本小题分
某校高一年级对一个教学单元进行阶段测试，满分为分现通过简单随机抽样，从中抽取名学生的成绩作为样本进行质量分析，进行适当分组后，画出如图所示的频率分布直方图．
请根据频率分布直方图，求出图中的值在本次测试中，拟将排在前的学生成绩，定为优胜成绩，试估计优胜成绩的分数线；
在按比例分配分层随机抽样中，从成绩在内的学生中抽取人，再从这人中随机挑出两人进行卷面问题分析，求两人中至少有一人成绩来自的概率；
已知在内的学生成绩的平均数为，方差为，在内的学生成绩的平均数为，方差为，求在内的学生成绩的平均数和方差请先推导必要的公式，再代值计算．
19.本小题分
如图，在三棱台中，．
过且平行于的平面分别交，于，，求证：
若三棱台的体积为，底面是以为直角顶点的等腰直角三角形，平面平面．
求三棱台的表面积；
设，求异面直线与所成角的余弦值的取值范围．
参考答案
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15.证明：取中点，连接，，
因为是中点，所以是的中位线，
所以，且，
因为直三棱柱，
所以侧棱底面，且，
因为是中点，所以，且，
所以，且，
所以四边形是平行四边形，，
平面，平面，
所以平面．
因为平面，所以到平面的距离等于到平面的距离，
因为是中点，所以到平面的距离等于到平面的距离，
所以，
因为，，，，
所以，
所以三棱锥的体积为．
16.根据题意，设“李明第三次答题通过面试”，即前次答题中一对一错，第三次答题正确，
则；
根据题意，设“李明最终通过面试”，则“李明没有通过面试”，
事件，即次答题中，李明最多答对题，
则，
故．
17.证明：因为面，面，
所以，
又，，面，面，
所以面，
又面，
所以平面面．
证明：由知平面面，平面面，
又面，，
所以面，
又面，
所以，
又，，面，面，
所以面．
由知面，面，
所以，
所以二面角的平面角为，
又面，面，
所以，
因为与平面所成角的正切值为，
所以，
所以设，则，则，
所以，
又，
在中，，
所以，
所以二面角的正切值为．
18.根据题意可得，解得；
因为各组的频率依次为，，，，，
所以第分位数为；
所以拟将排在前的学生成绩，定为优胜成绩，则估计优胜成绩的分数线为分；
因为，两组的频率之比为：：，
所以在，两组中分别抽人，人，
所以再从这人中随机挑出两人进行卷面问题分析，
则两人中至少有一人成绩来自的概率为；
设两层的分层抽样，第一层的数据为，，，，均值为，方差为；
第二层的数据为，，，，均值为，方差为；
则，；，，
设两层总的均值为，方差为，
则；
，
因为在内的学生成绩的平均数为，方差为，在内的学生成绩的平均数为，方差为，
又与的频率之比为：：，
所以根据上面证明的结论可得在内的学生成绩的平均数为分，
所以方差为．
19.证明：由题设，平面，平面，
且平面平面，
所以同理可得，则；
由题设，又底面是等腰直角三角形，
所以且也是等腰直角三角形，
则，，
则，，又平面平面，
则等腰梯形的高，即为棱台的高，
所以棱台的体积，
可得，所以，，；
由，平面，平面平面，
则平面，由平面，
则结合棱台的结构特征易知，
所以四边形为直角梯形，
则，
对于梯形，设其高为，则，
所以，可得，
所以，可得即，
所以，
综上，三棱台的表面积为；
由，则异面直线与所成角为或其补角，又，
其中，即，重合时，
结合棱台的结构知从过程中逐渐变小，当，重合时最小，
此时，，
，所以，
故，
则，
故的余弦值范围是．
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