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2024-2025学年河北省保定市定州中学高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.为预估某棋手三次对弈的胜局情况，进行随机模拟实验：在一局比赛中，设定随机数、、、表示对弈获胜，、、、、、表示对弈失败计算机模拟生成组随机数：，每组随机数代表三次对弈结果据此估计，该棋手三次对弈恰有两次获胜的概率为( )
A. B. C. D.
2.已知为虚数单位，复数，若，则实数的值为( )
A. B. C. D.
3.如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，其中，，则平面图形的面积为( )
A.
B.
C.
D.
4.在某市举办的“非遗技艺传承考核”中，名候选人的考核成绩从小到大排列如下：，，，，，，，，，，，，，，则这人考核成绩的上四分位数是( )
A. B. C. D.
5.在中，若，则( )
A. B. C. D.
6.已知函数在一个周期内的图象如图所示，且其图象过点则( )
A.
B.
C.
D.
7.已知正四棱台的上、下底面边长分别为，，该正四棱台的所有顶点都在球的球面上，且球心是下底面的中心，则该正四棱台的体积为( )
A. B. C. D.
8.已知平面向量与向量在上的投影向量均为，若，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.有一组样本数据，，，，的平均数为，现加入一个新数据，且，组成一组新的样本数据，，，，，与原样本数据相比，新的样本数据可能( )
A. 平均数不变 B. 众数的个数减少 C. 极差变小 D. 中位数变小
10.在年世界园艺博览会上，某展馆展出了盆花卉经统计，花朵为红色的花卉有盆，花瓣层数超过层的花卉有盆，花朵为红色且花瓣层数超过层的花卉有盆设事件为“随机选取一盆花卉，该花卉花朵为红色”，事件为“随机选取一盆花卉，该花卉花瓣层数超过层”，事件为“随机选取一盆花卉，该花卉花瓣层数不超过层”，事件为“随机选取一盆花卉，该花卉花朵不是红色且花瓣层数不超过层”，则下列说法正确的是( )
A. 事件与事件相互独立 B. 事件与事件相互独立
C. 事件与事件互为对立事件 D. 事件与事件既不互斥也不对立
11.如图，正方体的棱长为，，，分别是，，的中点，是线段上的动点包括端点，则下列说法中正确的是( )
A. 直线与所成角的余弦值的最大值为
B. 三棱锥的体积为定值
C. 存在点，使，，，四点共面
D. 三棱锥的外接球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.欧拉是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式，从而建立了三角函数和指数函数之间的关系请你根据欧拉公式将复数表示成为虚数单位的形式______．
13.在“城市文化创意大赛”中，对参赛的团队作品评分后发现，创意类作品组共个作品的平均得分和方差分别为和，传统融合类作品组共个作品的平均得分和方差分别为和则据此估算这两类作品中所有参赛作品得分的方差为______．
附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为，，；，，，记两组数据总体的样本
平均数为，则总体样本方差为．
14.在锐角中，内角，，的对边分别为，，，若，，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，圆锥中，、为底面圆的两条直径，，为的中点，设圆的半径为，圆锥高为，且，圆锥的体积为．
求圆锥的表面积；
求异面直线与所成角的正切值．
16.本小题分
在以“未来城市生活”为主题的科技嘉年华活动中，主办方精心打造了个沉浸式体验项目甲、乙、丙三位科技爱好者分别参与体验，甲成功通关了个项目；乙成功通关了个项目；丙成功通关了个项目．
已知，若丙成功通关的项目中有个属于太空生活舱体验类别，若从丙成功通关的项目中任选一个，求选到太空生活舱体验类项目的概率；
任选一个项目，求甲、乙两人中恰有一人成功通关的概率；
任选一个项目，若甲、乙、丙三人中至少有一人成功通关的概率为，求的值．
17.本小题分
某宠物医院为了解客户对宠物医院服务的满意程度，医院对位客户进行了服务评价调查，满分为分根据客户的评分数据评分都在之间，将其按照、、、、、划分为组，其频率分布直方图如图所示求图中的值，并估算本次服务评价调查的平均得分；同一组中的数据用该组区间的中点值作代表
若宠物医院准备对给出高评价将评分从高到低排序，排在前的视为高评价的客户赠送宠物护理礼包，那么获得宠物护理礼包的客户评分至少要达到多少分？
若通过分层随机抽样的方式从“评分最低组”和“评分最高组”中抽取人，再从这人中随机抽取位客户进行回访，求进行回访的人都来自“评分最高组”的概率．
18.本小题分
如图，在平面凸四边形中，对角线与相交于点，，，，．
求的值；
求；
求四边形的面积．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，平面，点在棱上．
求；
若平面，求三棱锥的体积；
若二面角的大小为，求．
参考答案
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15.由题意可知，圆锥的体积，
即，
又因为，
解得，
所以圆锥的母线长，
所以该圆锥的表面积为；
连接，因为，分别为的中点，所以，
所以为异面直线与所成角或其补角，
因为，，，，平面，
所以平面，
又因为平面，所以，
在中，，，
所以，
所以异面直线与所成角的正切值为．
16.由题意得丙成功通关的项目中有个是太空生活舱体验类，
而丙成功体验了个项目，所以概率．
设“任选一个项目甲成功通关”，“任选一个项目乙成功通关”．
则，，故，，
则甲、乙两人中恰有一人成功通关的概率为．
即任选一个项目，甲、乙两人中恰有一人成功通关的概率为．
设“任选一个项目丙成功通关”，“甲、乙、丙三人中至少有一人成功通关”，
所以 ，，则．
所以，解得．
17.由，解得；
，
所以本次服务评价调查的平均得分为分．
设获得宠物护理礼包的客户评分至少要达到分，
因为，对应的频率分别为，，
所以，解得，
故获得宠物护理礼包的客户评分至少要达到分．
因为和的频率比为：：，
所以“评分最高组”抽取的人数为，“评分最低组”抽取的人数为，
设“评分最高组”中的人分别用，，，表示；“评分最低组”中的人分别为，表示．
从中抽取两人进行回访的所有结果为，，，，，，，，，，，，，，，共种．
进行回访的两人均来自“评分最高组”的所有结果为，，，，，，共种，
故进行回访的两人都来自“评分最高组”的概率为．
18.因为，且，
所以，为的平分线，可得；
由可知，所以，
因为，
可得，
所以，解得；
取中点，连接，因为，所以，
由，可得，
所以．
19.证明：因为平面，平面，所以平面平面，
又因为，平面，平面平面，所以平面，
又因为平面，所以，所以三角形为直角三角形，
所以，即．
连接与交于点，连接，
因为平面，平面，平面平面，
所以，可知为的中点，而平面，平面，因此，
在三角形中，，，，
所以，，，
所以
．
根据题意知平面，过点作的平行线交于点，
所以平面，再作为垂足，
由于平面，因此，而，，平面，
因此平面，而平面，因此，
所以为二面角的平面角，，
根据第二问可知，因此三角形是等腰直角三角形，
同理三角形也是等腰直角三角形，从而，
在三角形中，，，所以，
设，，那么且，
所以，所以．
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