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2024-2025学年河南省平顶山市等3地高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，集合，则( )
A. B. C. D.
2.现有一组数据，，，，，，，若删除一个数后，所得数据的中位数不变，则被删除的数为( )
A. B. C. 或 D. 或
3.已知向量，，且，则实数( )
A. B. C. D.
4.已知，是互不重合的直线，，是互不重合的平面，下列命题正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，，则
C. 若，，则 D. 若，，，则
5.已知向量和满足，，向量在向量上的投影向量为，则( )
A. B. C. D.
6.一个盒子中装有标号为，，，，的张标签，随机地选取两张标签并求标签上的数字之和记不放回地选取且和为的概率为，有放回地选取且和为的概率为，则：的值为( )
A. B. C. D.
7.如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测已知山高，两座山都垂直地面，则山高长度为( )
A.
B.
C.
D.
8.在正三棱锥中，，如图，首先将一半球水平放置于三棱锥内部，其球心与的中心重合，随后将另一小球放置于该半球正上方，使得该小球与正三棱锥的三个侧面均相切，则半球球面面积不包括底面积和小球表面积之和最小时，小球的半径为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则( )
A. 函数的图象关于点对称
B. 的最小值为
C. 直线是函数的一条对称轴
D. 函数步骤正确
10.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用，如图，一个半径为的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车的轴心距离水面的高度为米，设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为单位：在水面下则为负数，若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间单位：之间的关系为则以下说法正确的有( )
A.
B.
C.
D. 盛水筒出水后到达最高点的最小时间为
11.下列命题中正确的是( )
A. 设，
B. 已知，则
C.
D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某圆锥的侧面积为，母线长为，则该圆锥的高为______．
13.甲乙两人进行乒乓球比赛，约定先连胜两局者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛相互独立，则恰好进行了局结束比赛的概率为______．
14.已知，，三点在单位圆上运动，且，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知平面向量，且与的夹角为．
求；
若与的夹角．
16.本小题分
已知为单位向量，且与的夹角为．
求的值；
若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围．
17.本小题分
为了增添学习生活的乐趣，甲、乙两人决定进行一场投篮比赛，每次投个球先由其中一人投篮，若投篮不中，则换另一人投篮；若投篮命中，则由他继续投篮，当且仅当出现某人连续两次投篮命中的情况，则比赛结束，且此人获胜经过抽签决定，甲先开始投篮已知甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，且两人每次投篮的结果均互不干扰．
求甲、乙投篮总次数不超过次时，乙获胜的概率；
求比赛结束时，甲恰好投了次篮的概率．
18.本小题分
在平面直角坐标系中，已知角的终边与单位圆交于点，将角的终边按逆时针方向旋转后得到角的终边，记角的终边与单位圆的交点为．
若，求点的坐标；
若，求的值．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，平面平面，底面是平行四边形，，，，点满足，点是线段的中点．
证明：平面；
若二面角的大小为时，求四棱锥的体积．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.由和的夹角为，
则，；
；
，
所以与的夹角为．
16.，
因为，为单位向量，所以，
又因为与的夹角为，
则，
所以，
所以；
因为向量与的夹角为锐角，
所以且与不同向共线，
因为，
所以，
整理得：，即，解得，
若两向量同向共线，则存在实数，
使得，即，
所以可得，将代入得，解得，
所以当两向量不同向共线时，，
综合，实数的取值范围是．
17.解：根据题意，总次数为时，乙获胜的概率为，
总次数为时，乙获胜的概率为；
所以甲、乙投篮总次数不超过次时，乙获胜的概率为．
比赛结束时，甲恰好投了次篮的概率为．
18.解：，
若，则，，
设，则，，
即
，，
即，，
平方得，
即，
，，
则 ，
由得，，
则．
19.证明：连结，在中，，，，
由余弦定理，即，
此时，，
又平面平面，平面平面，平面，
平面．
如图建系，以为原点，方向为，轴，垂直于平面向上的方向为轴，
设，则，，，，
，，
由，得，即，
由，得，
，，
设是平面的法向量，
则，
取，，，
得，
易知平面的法向量为，
二面角的大小为，
则，
解得，
，
．
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