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第24章 解直角三角形 单元测试
一、单选题
1．如图，在中，，，点D在的延长线上，且，连接，E为中点，则的长是（ ）
A． B． C． D．2
2．如图，矩形的对角线交于点．若，，则的长为（ ）
A．6 B．4 C． D．8
3．如图，在网格中每个小正方形边长为1，若点A、B、C均在格点上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，直线经过正方形的顶点B，过点A作于点E，，F为直线上一点，且，连接，若，则的面积为（ ）
A． B． C．8 D．
5．如图，已知，，，，是平面内的一个动点，且，连接，点是的中点，连接，则的最大值与最小值的差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图，两张宽度均为的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重合部分构成的四边形的周长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，中，点D在边上，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．如图是某景区一段索道示意图，点A、B之间的距离为30米，，则缆车从点A到点B的过程中竖直上升的高度（的长）为（ ）
A．60米 B．45米 C．30米 D．15米
9．如图，一艘轮船在小岛的北偏东方向距小岛80海里的处，沿正西方向航行2小时后到达小岛的北偏西的处，则该船行驶的速度为（ ）海里/小时
A． B． C．40 D．20
10．已a、b、c分别为△ABC中的对边，若关于x的方程有两个相等的实根且，则的形状为（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
二、填空题
11．甲乙两人约好一起去江边垂钓．如图，钓鱼竿的长为，露在水面上的鱼线的长为，把鱼竿逆时针转动到的位置，此时露在水面上的鱼线的长度是 ．（精确到，参考数据：）
12．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东方向上的B处．这时A，B两处相距 海里．（结果取整数，参考数据：，，）
13．若，则 ．
14．如图，在中，，，的垂直平分线交于，交于，若，则的长为 ．
15．如图，在菱形中，，对角线相交于点是对角线上的一动点，作于点，于点，给出下面四个结论：①为等边三角形；②；③；④上述结论中，正确结论的序号有 ．
三、解答题
16．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A，B，E是格点，是网格线上一点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成如下两个问题；
(1)如图1，过点作，使；在上确定点，使；
(2)如图2，过点作于；过点作且．
17．在正方形中，，分别是线段，延长线上的点，连接，，交于点，若于点．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，连接，若，求的值；
(3)如图3，连接，，，若，直接写出的值（用含的代数式表示）____________．
18．超速行驶是交通事故的重要原因．合肥市交警在某高速路段进行测速，观测点P位于某古建筑旁，距公路垂直距离为米．一辆新能源汽车由南向北匀速行驶，测得从A处到B处用时秒．已知，，求到的距离，并判断该新能源汽车是否超过该路段千米/小时的限速．（参考数据：，，结果取整数）
19．探究学习：
阅读材料：已知直角三角形斜边上的中线具有以下性质：“直角三角形斜边上的中线长等于斜边长的一半，即：如图1，中，，若，则”，请运用这个性质解决下列问题：
如图2，在中，点为边中点，直线绕定点旋转，若点在直线a的异侧，直线于点直线于点，连接
(1)延长交于点（如图3）
①求证
②求证
(2)若直线绕点A旋转到图4的位置时，点在直线的同侧，其他条件不变，此时还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
20．学校大扫除，为保证学生安全，要求学生只能站在地面，用长杆擦玻璃器对玻璃进行清洁，小明负责擦教室玻璃．擦玻璃器长米．且此时点，，，，，，均在同一平面．（参考数据：，，）
(1)如图，当擦玻璃器端，位于玻璃上沿时，擦玻璃器与玻璃夹角为，此时端距地面的距离为米（即米）．求玻璃上沿到地面的距离；（结果精确到米）
(2)如图，已知玻璃上沿和下沿的距离米，当擦玻璃器端位于玻璃下沿时，端距地面的距离为米（即米），求此时擦玻璃器与玻璃夹角的度数约为多少度．
《第24章 解直角三角形 单元测试-2025—2026学年苏科版数学九年级上册》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B B B C C B D B D
1．B
【分析】此题考查了勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是掌握以上知识点．
首先勾股定理求出，，然后利用直角三角形斜边中线的性质求解即可．
【详解】∵中，，，
∴
∵
∴
∵E为中点
∴．
故选：B．
2．B
【分析】本题考查矩形的性质，以及直角三角形中所对的直角边与斜边关系，解题关键是知道直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半．
由及矩形性质，可得，即可求解．
【详解】解：在矩形中，，
又，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
故选：B．
3．B
【分析】本题考查求角的余弦值，勾股定理，连接，根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，再根据余弦函数的定义求解．
【详解】解：如图，连接，
由格点及勾股定理知：，，，
，
，
是直角三角形，，
∵，
．
故选：B．
4．B
【分析】本题考查了正方形的性质，30度角的直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先过点作，结合正方形的性质得，因为，，得，证明，结合30度角的直角三角形的性质以及勾股定理得，最后由三角形面积公式进行列式计算，即可作答．
【详解】解：过点作，如图所示：
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
则，
∴，
则，
∴，
∵，
∴，
∴则的面积为．
故选：B．
5．C
【分析】本题考查了三角形中位线定理以及圆的相关知识，通过构造辅助三角形，结合圆的性质，利用中位线的性质求解的长度，再由点E的位置求解最值问题是解决本题的关键．
先由勾股定理可求解的长度，由距离不变确定点D的运动轨迹，再通过连接辅助线构造三角形，分别求解三角形的两边长度，再由三角形的三边关系求解即可．
【详解】解：连接，取的中点记作点F，连接，，
因为，，，
所以，
因为点F为的中点，
由直角三角形斜边中线定理可知，，
因为点是的中点，点F为的中点，，
所以在中，由中位线的性质可知，
因为是平面内的一个动点，且，
所以点D的运动轨迹是以C为圆心，3为半径的圆，
所以当点B，E，F三点共线，且点E在线段的延长线上时，取得最大值，
即，
当点B，E，F三点共线，且点E在线段上时，取得最小值，
即，
所以的最大值与最小值的差为．
故选：C．
6．C
【分析】本题主要考查了菱形的判定，勾股定理，直角三角形的性质，一元二次方程的应用，作，作，根据题意说明四边形是平行四边形，再根据面积相等说明四边形是菱形，然后根据勾股定理求出边长，即可得出答案．
【详解】解：如图所示，过点C作，过点B作，分别交于点E，F，
根据题意，得：，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是菱形，
在中，，
∴，
根据勾股定理得：，
即，
解得：，负值舍去，
∴，
∴四边形的周长为．
故选：C．
7．B
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理．取的中点E，连接，根据直角三角形的性质可得，从而得到，，结合三角形外角的性质可得，然后三角形内角和定理可得的度数，即可求解．
【详解】解：如图，取的中点E，连接，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：B
8．D
【分析】本题考查了含30度角的直角三角形，根据 30度角所对的直角边等于斜边一半求解即可．
【详解】解：在中，，米，
则米，
故选：D．
9．B
【分析】本题考查了直角三角形的性质，等角对等边，掌握直角三角形的性质，等角对等边是解题的关键．
过点A作于点D，则，根据海里，得，在中，根据勾股定理得海里，根据，得，根据海里，得海里，可得海里，即可得行驶速度．
【详解】解：如图所示，过点A作交于点D，
∴，
∵海里，
∴在中，海里，
（海里），
∵，，
∴，
∵，
∴海里，
∴海里，
则该船行驶的速度为：（海里/小时）．
故选：B
10．D
【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质和一元二次方程判别式与根的关系，由于关于x的方程有两个相等的实根，所以判别式，解可得，即；又已知，可得，故．根据这两个条件可以判断的形状为等腰直角三角形．
【详解】解：∵关于x的方程有两个相等的实根，
∴，
化简，得，
即．
∴；
又∵，
∴，
故，
∴，
所以的形状为等腰直角三角形．
故选：D．
11．
【分析】本题考查了解直角三角形——特殊角的三角函数的应用，解题关键是能利用三角函数值求出角，以及利用特殊角的三角函数值求出线段的长．
先求出，在求出，最后利用特殊角的三角函数值直接求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
12．112
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用-方向角问题．正确作出辅助线构造直角三角形成为解题的关键．
过点P作于点C，然后分别在和中，解直角三角形求出，即可求解．
【详解】解：如图，过点P作于点C，
根据题意得：，，海里，
在中，，海里，
∴海里，
，
在中，，
∴海里，
∴海里，
即A，B两处相距112海里．
故答案为：112．
13．
【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，根据题意画出图形，由，则，设，，求出，再通过余弦定义即可求解，掌握三角函数概念是解题的关键．
【详解】解：如图，，
∵，
∴，
设，，
∴，
∴，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了含角的直角三角形，勾股定理．由线段垂直平分线的性质及三角形外角的性质可求解，，再利用含角的直角三角形的性质可求解，再利用勾股定理可求解的长．
【详解】解：的垂直平分线交于，交于，
，，
，
，
根据勾股定理．
故答案为：．
15．①③④
【分析】此题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，理解菱形的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质，灵活运用含有角的直角三角形的性质，三角形的面积公式及勾股定理进行计算是解决问题的关键．
①根据菱形性质得，，再根据等边三角形的判定即可对结论①进行判断；
②设，则，利用含有角的直角三角形性质及勾股定理得，，由此可对结论②进行判断；
③根据及四边形的内角和等于得，再根据得，由此可对结论③进行判断；
④连接，设，则，，，，进而得，，，再根据，得，由此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案．
【详解】解：①四边形是菱形，，
，，，，，，
是等边三角形，故结论①正确；
②设，则，
在中，，
，
，
由勾股定理得：，
又，
，故结论②不正确；
③，，
，
根据四边形的内角和等于得：，
，
，故结论③正确，
④连接，如图所示：
设，则，，，
，
，，
，，
，
，
又，
，故结论④正确，
综上所述：正确结论的序号有①③④．
故答案为：①③④．
16．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查的是格点作图题、全等三角形的判定与性质及正切的定义，
（1）取格点，连接，根据，可证，则，可得，则；取中点，连接交于点H，则；
（2）取格点G，连接交格线于点O，连接并延长交于点T，则四边形是矩形，得出；取格点N，连接并延长交格线于点P，连接，可得，，则，所以，同（1）得，则；
【详解】（1）解：如下图即为所求作：
（2）解：如下图即为所求作：
17．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）先证明，再结合正方形的性质证明即可；
（2）设，则，，证明，，求解，，，，如图，连接，证明，可得；
（3）证明，，再证明，可得，证明，可得，设，则，求解，证明，设，则，再进一步求解即可.
【详解】（1）证明：在正方形中，，，
而，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴，，
∵，
设，则，，
在中，，
∴，，
∴，
如图，连接，
∵正方形，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴；
（3）解：∵，，
∴，，
由（1）知，
∴，，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
∵，，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，本题的难度大，作出合适的辅助线，确定需要的相似三角形是解本题的关键.
18．到的距离为米，该新能源汽车没有超过该路段千米/小时的限速．
【分析】本题考查锐角三角函数，解直角三角形的实际应用，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值．
解直角三角形，可得和，作差即可得到的距离，结合题意计算速度，与千米/小时的限速作比较即可．
【详解】解：由题可知，和均为直角三角形，，
∵，米，
∴（米），
∵，米，
∴（米），
∴（米），
∴从处到处的速度为（千米/小时），
∵，
∴该新能源汽车没有超过限速，
答：到的距离为米，该新能源汽车没有超过该路段千米/小时的限速．
19．(1)①见解析；②见解析
(2)成立，理由见解析
【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质，直角三角形斜边中点的性质，理解题意，熟练掌握运用全等三角形的判定和性质是解题关键．
（1）①根据题意得出，，再由全等三角形的判定证明即可；②利用全等三角形的性质及题中的条件即可证明；
（2）延长交于点F，方法同（1）证明即可．
【详解】（1）证明：① ，，
∴，
∴，
∵点为边中点，
∴，
∵，
∴；
②由①得，
∴，
∵，
∴．
（2）成立，理由如下：
延长交于点F，如图所示，
，，
∴，
∴，
∵点为边中点，
∴，
∵，
∴；
∴，
∵，
∴．
20．(1)米
(2)
【分析】本题考查的知识点是解直角三角形的应用、矩形的判定与性质、根据特殊角三角函数值求角的度数，解题关键是熟练掌握解直角三角形的应用．
（1）过点作，垂足为，推出是直角三角形，结合解直角三角形的相关运算即可求出，证明四边形是矩形后可得，则；
（2）过点作，垂足为，证明四边形是矩形可得，求出后，结合特殊角的三角函数值可得此时擦玻璃器与玻璃夹角的度数．
【详解】（1）解：过点作，垂足为，
，
，
是直角三角形，
在中，，，
，
（米），
在四边形中，，
四边形是矩形，
，
（米）；
（2）解：过点作，垂足为，
，
，
在四边形中，，
四边形是矩形，
，
，
（米），
在中，，
，
约为．
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（北京）股份有限公司

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