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复习讲义
第一篇 考点精讲
专题五 四边形
微专题（九） 与四边形有关的综合题
类型一 与折叠有关的四边形综合题
方法解读 解决这类问题要抓住折叠的本质,理解折叠前后的图形是全等
图形，从而实现线段和角的转化，为解决问题提供条件.下面是以矩形
为例的关于折叠的相关图示及结论.
折叠 图形 如图1、图2、图3，将矩形沿折叠，，分别为 ，
上的点
_________________________________________________________________________________________
图1
图2
图3
图形 分析 及相 关结 论 如图1、图2、图3，，
如图1、图2，角平分线（）遇平行线 时出现等腰三角形 ， 为等腰三角形
如图1、图2，对称点的连线被对称轴垂直平分 折痕 垂直平分，从而可知四边形 为菱形
（图1、图2），（图1、图2），
（图2）， （图3）等都是直角三角形，在这些直角三角形中，可利用勾股定理求相关线段的长
续表
方法应用
图4
1.（2025·山东济南·中考模拟）如图4，将菱形纸片
沿过点的直线折叠，使点落在射线 上的
点处，折痕交于点.若 ，
，则 _________.
提示：过点作于点 .由菱形的性质，得
， .从而得
.由折叠的性质，得
.所以 .
在中， .在
中， .故
.
图4
2.教材变式［人教版八下第64页活动一变式］探究与证明
【动手操作】如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作 ，
， 等大小的角，那么可以采用下面的方法： 如图5，对折矩形
纸片，使与重合，得到折痕 ，把纸片展平；再一次折叠
纸片，使点落在上的点处，折痕为 .
【观察猜想】
【答案】（答案不唯一）
图5
（1）图5中等于 的角是_______
（写出一个角即可）；等于 的角是_______
（写出一个角即可）.
【推理验证】
（2）请证明（1）中的猜想结论.
图34
证明：如图34，连接 .
由折叠的性质，得，，垂直平分
，即 是等边三角形.
.
∴ .
3.（2025·内蒙古通辽·中考模拟）综合与实践课上，老师让同学们以“正方形
的折叠”为主题开展数学活动，有一名同学操作过程如下：
操作一，对折正方形纸片，使与重合，得到折痕 ，
把纸片展平；
操作二，在上取一点，沿折叠，使点 落在正方形内部的点
处，把纸片展平，连接，，延长交于点，连接 ．
（1）如图6，当点在上时，____ .
30
图6
提示：由折叠的性质知，， ， . .
图7
（2）改变点在上的位置（点不与点， 重合）,如图7，判断与 的数量关系，并说明理由．
解： .
理由：由折叠的性质，得， .
.
四边形是正方形， ， . 在 和R中，，，
．
类型二 与旋转有关的四边形综合题
方法解读 解决这类问题时,需仔细观察图形旋转前后相关的线段之间的
数量关系、位置关系,相关的角的变化及角与角之间的关系,从中提炼出
基本图形和常用模型,如当旋转角为 时，通常会形成等腰直角三角形
或正方形，需结合三角形的性质、特殊四边形的判定与性质、全等
（相似）三角形的判定与性质、勾股定理等知识求解.
方法应用
4.如图8，为正方形内一点， ，将绕点 按顺时针方向旋转 ，得到（点，的对应点分别为点， ）.延长交于点，连接 .
图8
（1）试判断四边形 的形状，并说明理由.
解：四边形 是正方形.
理由：由旋转的性质，得 ， .
,,在同一直线上，∴ .
图8
四边形 是矩形.
由旋转的性质，得
四边形 是正方形.
（2）如图9，已知，请猜想线段与 的数量关系并加以证明.
图9
解：.
理由：过点作 于点，则 ， .
∵ ，
四边形 是正方形， , .
∴ .
.
图9
在和中，, ,，∴
.
由旋转的性质，得 .
由（1）得，四边形是正方形.
∴ .
图10
5.（2024·山西·中考节选）综合与探究
【图形呈现】如图10，四边形 为菱形，过点作于
点，过点 作于点 .
【猜想证明】
（1）判断四边形 的形状，并说明理由.
解：四边形为矩形.
理由： ，， ， .
四边形为菱形， ， .
∴ 四边形 为矩形.
【深入探究】
图11
（2）将图11中的绕点 逆时针旋转，
得到，点，的对应点分别为， .如图
11，当线段经过点时， 所在直线分别与
线段，交于点，.猜想线段与 的
数量关系，并说明理由.
图11
解：.
理由： 四边形 为菱形， ， .
由旋转的性质，得，
， .
在和中， ，，，∴
，即 .
类型三 与动点有关的四边形综合题
方法解读 解决这类问题的基本策略是“化动为静”，要抓住图形中的等
量关系和各个元素的变化情况，要特别注意一些不变的量、不变的关系
或特殊关系，将其化动为静，由特殊情形（特殊点、特殊值、特殊位置、
特殊图形等）逐步过渡到一般情形，即选取动点运动路径中的任意一个
位置形成静态图形，再由静态图形的性质得出题设中变量间的关系.
方法应用
图12
6.（2024·山东威海·中考节选）如图12，在菱形
中，， ， 为对角
线上的动点，以为边作 ，
交射线于点，连接，.点从点 出发，
沿方向以每秒的速度运动至点 处停止.设
的面积为，点的运动时间为 .
图12
（1）求证： .
证明：设与相交于点
四边形 为菱形， ，， .
在和中，, , ，
， .
，∴ .
又 ，
.
（2）求与的函数解析式，并写出自变量 的取值范围.
图12
解：过点作于点，则 .
，
四边形 为菱形， ， ， ，即 .
，∴ ，
∴ .
∴
∵ ， .
微专题练习（九） 与四边形有关的综合题
类型一 与折叠有关的四边形综合题
图1
1.（2025·四川攀枝花·模拟）如图1，将矩形沿 折叠，
使点落在边上的点处，过点作交于点 ，
连接.给出以下结论：；②四边形 是菱
形；；④当，时， 的长
为 .其中正确的是________.（填序号）
图46
提示：由，得 .由折叠的性质，
得，， .从而得
.所以 .故①正确.由此可得，
，所以四边形 是菱形.故
②正确.如图46，连接，交于点 .由菱形的性质，
得，.由 ，
，得.所以，即 .由
此可得，.故③错误.如图46，过点
作于点，则四边形 是矩形，
.由，得 ，
即.解得或
（舍去）.因为， ，所以
. 由， ，
得.从而得.所以， 即
.所以 .由此可得，
.故④正确.
图46
2.（2024·山东潍坊·中考）如图2，在矩形中，，点 ，
分别在边，上.将沿折叠，点的对应点 恰好落在对角
线上；将沿折叠，点的对应点恰好也落在对角线 上.
连接， .
图2
图2
（1）求证： .
证明： 四边形是矩形， ， ， //
.
由折叠的性质，得， ，， .
， .
.
在和 中，, ，，
.
（2）求证：四边形 为平行四边形.
图2
解：由（1）知 ，， ，
四边形 为平行四边形.
类型二 与旋转有关的四边形综合题
图3
3.（2024·吉林·中考）如图3，在平面直角坐标系
中，点的坐标为，点的坐标为 .以
，为边作矩形.若将矩形绕点
顺时针旋转 ，得到矩形，则点 的坐
标为( ).
C
A. B. C. D.
4.（2024·海南·中考）如图4，菱形的边长为2， ，
边在数轴上，将绕点顺时针旋转，点落在数轴上的点 处.若点
表示的数是3，则点 表示的数是( ).
图4
A.1 B. C.0 D.
图4
【答案】D
提示：过点C作的垂线，垂足为点 .由菱形的性质，得，平分 ，.所以 . 从而得 .所以.因为 ，所以 .由此可得，.所以. 所以 .又点表示的数是3，故点A表示的数是 .
5.（2025·湖南衡阳·中考改编）
【问题探究】
（1）如图5（见下页），在正方形中，对角线，相交于点 .
在线段上任取一点（端点除外），连接， .
图5
①将线段绕点逆时针旋转，使点落在的延长线上的点处.当点 在线段上的位置发生变化时， 的大小是否发生变化？请说明理由.
图5
解：的大小不发生变化， .
理由：如图47，过点作， ，垂足分别为点，
四边形是正方形， ， .
， .
在和 中，，，
， ，
即 .
②探究与 的数量关系，并说明理由.
图5
图47
解：.
理由：如图47，过点 作交于点，垂足为点，过点 作于点，垂足为点
四边形 是正方形， ， ， 垂直平分
，四边形 是矩形，
，
，
图47
， ，
， ，
.
【迁移探究】
（2）如图6，将正方形换成菱形，且 ，其他条件不变.试探究与 的数量关系，并说明理由.
图6
解：.
理由： 四边形 是菱形， ， ， ，
是等边三角形， 垂直平分
，
，∴ .
图48
如图48，过点作交于点 ，过点作交于点，则四边形 是平行四边形， ， ， ，，都是等边三角形.
.
过点作 于点，则，，
.
类型三 与动点有关的四边形综合题
图7
6.（2024·广东·中考）如图7，菱形 的面积为
24，是的中点，是上的动点.若 的面积
为4，则图中阴影部分的面积为____.
小锦囊 观察图形可发现，
.连接 ，
由是的中点，易得.连接，通过分析 的
面积和的面积的数量关系来得到与 的数量关系，从而计算
出 的面积.
图7
提示：连接，.因为是 的中点，所以
.同理可得
.因为 ，所以
.所以 .所以
.故
．
答案：10
7.（2025·甘肃庆阳·模拟）探究与证明
【图形呈现】
图8
（1）如图8，四边形是正方形，是对角线 上
一点.求证： .
证明：（方法一） 四边形 是正方形， ， .
在和中，， ，，
.
（方法二）连接 交于点， 四边形是正方形， ，，即 垂直平分 .
【深入探究】
图9
（2）如图9，在正方形中，是对角线 上一
点，，，垂足分别为点， ，连接
，猜想与 的数量关系，并证明你的猜想.
猜想： .
证明：由（1）可知，
，， .
四边形是矩形.
.
【拓展应用】
（3）如图10，在正方形中，，是对角线 上一点，过点
作于点，于点.则 的最小值为_____.
图10
提示：如图49，连接， 四边形是正方形，
，，.由勾股定理，得 .同
（2）可得，四边形是矩形，则.当时， 最小，
最小值为.故的最小值为 .
图49

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