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河南省焦作市2024-2025学年下学期八年级 期末数学学情调研试题
一、单选题
1．下列体育运动图标中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若，则下列不等式变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如果把分式中的x和y都变为原来的5倍，那么分式的值（ ）
A．变为原来的5倍 B．变为原来的25倍 C．变为原来的 D．不变
6．如图，的对角线与相交于点O，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，点D是边的中点，平外，于E，已知，，则的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
8．若为任意整数，则的值总能（ ）
A．被整除 B．被整除 C．被整除 D．被整除
9．生活中常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案．用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．下列图形中不能与正三角形镶嵌整个平面的是（　　）
A．正方形 B．正五边形 C．正六边形 D．正十二边形
10．如图，边长为1的正六边形ABCDEF放置于平面直角坐标系中，边AB在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形ABCDEF绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转60°，那么经过第2025次旋转后，顶点D的坐标为（　　）

A．（，） B．（，） C．（，） D．（，）
二、填空题
11．要使分式有意义，请写出一个满足条件的x的值 ．
12．若关于x的一元一次不等式组无解，则m的取值范围是 ．
13．如图，在平面直角坐标系中，直线和相交于点A，若不等式的解集为，则点A的坐标为 ．
14．若关于x的分式方程有增根，则k的值为 ．
15．如图，中，，，D是的中点，将绕点A逆时针旋转得，连接，当时，的长为 ．
三、解答题
16．（1）分解因式：
（2）解不等式组
17．先化简，再求值：，选择一个适当的数作为x的值代入求值．
18．【阅读材料】
配方法是数学中一种重要的思想方法．它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
①用配方法分解因式
例1：分解因式．
解：
②用配方法求值
例2：已知，求的值．
解：原方程可化为：，即．
，，
，，
．
请根据上述材料解决下列问题：
(1)用配方法分解因式；
(2)已知的三边长分别为，且满足，求边c的取值范围．
19．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，．
(1)将先向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度得到，画出；
(2)将绕点B逆时针旋转得到，画出；
(3)从（1）中的两个三角形的六个顶点中任意选择四个顶点顺次连接可以得到______个平行四边形，写出其中一个平行四边形的面积______．
20．如图，在中，，，D为的中点，，垂足为E，过点B作交的延长线于点F，连接．
(1)求证：；
(2)连接，试判断的形状，并说明理由．
21．如图，四边形是平行四边形，是对角线．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作的平分线交于点E；
(2)在（1）的条件下，若F是上一点，且，求证：平分；
(3)在（1）（2）的条件下，若，，则______．
22．2025年2月7日至2月14日第9届亚洲冬季运动会在哈尔滨举行，吉祥物“滨滨”和“妮妮”深受大众喜爱．某商场购进一批“滨滨”和“妮妮”吉祥物的布偶共300件，其中购进“滨滨”布偶用了4000元，购进“妮妮”布偶用了12000元，已知每件“妮妮”的进价是“滨滨”的1.5倍．
(1)求每件“滨滨”和“妮妮”布偶的进价分别是多少元？
(2)如果两款吉祥物布偶按进价的1.5倍标价销售，“滨滨”很快售完，那么“妮妮”至少售出多少件后，剩余的按五折优惠售出，才能使两款吉祥物布偶全部售完的总利润不低于5750元．（不考虑其他因素）
23．某数学兴趣小组发现平行四边形（邻边不相等）的对角平分线互相平行．
合作探究：同学们讨论时，甲同学提出一组对角平分线互相平行的四边形是平行四边形；乙同学说“不对，应该是一组对角相等，且这一组对角的平分线互相平行的四边形是平行四边形”．
（1）哪位同学的意见正确？________．（填写序号：①甲正确②乙正确③都不正确）
（2）如果你认为哪位同学的意见正确，请就下面的图形写出已知条件并给予证明；如果认为两个人的说法都不正确，请说明理由．
已知：如图，四边形中，________，．
求证：四边形是平行四边形．
拓展探究：同学们改变条件，继续研究，请帮助同学们计算下面的问题：
（3）一组对角互补，且这一组对角的平分线互相平行的四边形相邻三边的长依次是、2、，这个四边形的面积是___________．
参考答案
1．B
解：A．该运动图标不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．该运动图标是中心对称图形，故此选项符合题意；
C．该运动图标不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D．该运动图标不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：B．
2．C
解：不等式基本性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，，两边同时加，
，A选项错误．
不等式基本性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，，两边同时除以（正数），
，B选项错误．
不等式基本性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，，两边先乘（正数），得；
又不等式基本性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，两边再减，
，C选项正确．
不等式基本性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，，两边乘（负数），
，D选项错误．
故选：C．
3．B
解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B
4．B
解： 是把整式积化为多项式，属于整式乘法，不是因式分解，
A选项错误．
是多项式，是几个整式积的形式，且符合平方差公式，是把多项式化为整式积，
是因式分解，B选项正确．
右边不是几个整式积的形式，
不是因式分解，C选项错误．
是把整式积化为多项式，属于整式乘法，不是因式分解，
D选项错误．
故选： ．
5．A
解：将原分式中的和分别用，代替，得：
新分式，
故新分式的值变为原分式的值的5倍，
故选A．
6．B
解：∵是平行四边形，
∴，
故选B．
7．D
解：延长交于点．
平分，
；
又，
；
且（公共边），
．
，（全等三角形对应边相等）．
∵，，
．
是中点，是中点，
是的中位线（三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段 ）．
根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，
．
综上，的长为，
故选： ．
8．C
解：
，
∵为任意整数，
∴是整数，
∴的值总能被整除，
故选：C ．
9．B
A选项，2个正方形与3个正三角形能进行平面镶嵌，因为2×90°+3×60°＝360°，不符合题意；
B选项，正五边形不能与正三角形进行平面镶嵌，因为正五边形的内角和108°．108°的整数倍与60°的整数倍的和不等于360°，符合题意；
C选项，2个正六边形与2个三角形能进行平面镶嵌，因为2×120°+2×60°＝360°，不符合题意；
D选项，2个正十二边形与1个正三角形能进行平面镶嵌，因为2×150°+1×60°＝360°，不符合题意；
故选：B．
10．A
解：如图，连接，．
在正六边形中，，，，
，
在中，，，
，
，
，
，，
将正六边形绕坐标原点顺时针旋转，每次旋转，
次一个循环，
，
经过第2025次旋转后，顶点的坐标与第三次旋转得到的的坐标相同，
与关于原点对称，
，，
经过第2025次旋转后，顶点的坐标，，
故选：A．

11．2（答案不唯一）
解：要使分式有意义，
即，则．
故x可以为2．
故答案为：2（答案不唯一）．
12．
解：∵关于x的一元一次不等式组无解，
∴，即m的取值范围是，
故答案为．
13．
解：∵不等式的解集为，
∴点A的坐标为，
将代入可得，
∴点A的坐标为，
故答案为：．
14．1
解：关于的分式方程去分母得，
，
关于的分式方程的增根是，
，
故答案为：1．
15．或
解：∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
∵点D为的中点，
∴，
∴，
根据旋转可知：，
当点在点B的左侧时，过点A作于点E，如图所示：
则，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴；
当点在点B的右侧时，过点B作于点E，过点作于点F，如图所示：
则，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
∴；
综上分析可知：或．
故答案为：或．
16．（1）；（2）
解：（1）
（2），
由①得，
由②得
则不等式组的解集是：
17．，当时，原式
解：原式，
又因为，，
所以，
所以当时，原式
18．(1)
(2)
（1）解：
；
（2）解：原方程可化为，即，
，，
，，
，
边c的取值范围为；
19．(1)见解析
(2)见解析
(3)3；
（1）解：如图，即为所求：
（2）解：如图，即为所求：
（3）解：根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得从（1）中的两个三角形的六个顶点中任意选择四个顶点顺次连接可以得到3个平行四边形，分别为，，，
，
，
．
故答案为：3；．
20．(1)见解析
(2)是等腰三角形，理由见解析
（1）证明：∵在中，，，
．
又，
，
，
又，
，
，
，
又为的中点，
，
，
在和中，
，
，
，
又，
，
；
（2）解：是等腰三角形，理由如下：
由（1）知：，
，
是等腰直角三角形，且是的平分线，
垂直平分，
，
，
，
是等腰三角形．
21．(1)见解析
(2)见解析
(3)
（1）解：如图，即为所求；
（2）证明：，
，
，
四边形是平行四边形，
，，，
，
在和中，
，
，
，，
，
平分；
（3）解：如图，
，，
，
平分，
，
，，
，
，
故答案为：．
22．(1)每件“滨滨”布偶的进价是40元，每件“妮妮”布偶的进价是60元
(2)150件
（1）解：设每件“滨滨”布偶的进价是x元，则每件“妮妮”布偶的进价是1.5x元
根据题意，得
解得．
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
．
答：每件“滨滨”布偶的进价是40元，每件“妮妮”布偶的进价是60元
（2）解：设“妮妮”布偶售出m件后，剩余的按五折优惠售出．根据题意，得
解得：
∴至少售出150件，利润才能不低于5750元
23．（1）②；（2）分别是，的平分线，且；证明见解析；（3）或
解：（1）一组对角平分线互相平行的四边形是平行四边形说法不正确，如图所示：
四边形中，分别是，的平分线，且，但四边形不是平行四边形，故甲同学说法不正确；
“一组对角相等，且这一组对角的平分线互相平行的四边形是平行四边形”，因此乙同学说法正确；理由见解析（2）；
（2）已知：如图，四边形中，分别是，的平分线，且，．
求证：四边形是平行四边形．
证明：∵分别是，的平分线，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形；
（3）如图，四边形中，，、分别平分、，且，，，，连接，
∵、分别平分、，
∴，
，
∵，
∴，
，
∴，
，
∴，
如图，连接，
在中，根据勾股定理得：
，
在中，根据勾股定理得：
，
∴
；
如图，四边形中，，、分别平分、，且，，，，连接，
同理可得：，
在中，根据勾股定理得：
，
在中，根据勾股定理得：
，
∴
；
综上分析可知：四边形的面积为：或．

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