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山东省威海市威海经济技术开发区2023-2024学年八年级下学期5月期中数学试题
1．（2024八下·威海经济技术开发期中）下列各式计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A：不是同类二次根式，无法合并，故A计算不正确；
B：，故B计算不正确；
C：，故C计算正确；
D：，故D计算不正确．
故答案为：C．
【分析】根据二次根式的加减乘除运算法则，分别进行运算，即可得出正确选项．
2．（2024八下·威海经济技术开发期中）下列方程中，是一元二次方程的（　　）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、，当a=0时，是一元一次方程，故A不符合题意；
B、，方程整理后为：-4x+3=0，未知数的最高次数是1，是一元一次方程，故B不符合题意；
C、，符合一元二次方程的定义，故C符合题意；
D、不是整式方程，不符合一元二次方程的定义，故D不符合题意．
故答案为：C。
【分析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，根据以上四个条件，对各选项分别进行识别，即可得出答案。
3．（2024八下·威海经济技术开发期中）若实数a，b在数轴上的对应点如图，则化简的结果为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】整式的加减运算；二次根式的性质与化简；化简含绝对值有理数；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴
故答案为：D．
【分析】根据数轴可得，从而得出，然后根据二次根式以及绝对值的性质进行化简，即可得出答案．
4．（2024八下·威海经济技术开发期中）春节期间电影《热辣滚烫》上映的第一天票房约为3亿元，第二、三天单日票房持续增长，三天累计票房亿元，若第二、三天单日票房增长率相同，设平均每天票房的增长率为 x，则根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设平均每天票房的增长率为 x，
根据题意得，，
故答案为：D．
【分析】设平均每天票房的增长率为 x，则可以表示出第二天的票房为亿元，第三天的票房为亿元，再根据3天的累计票房为亿元，即可列出一元二次方程．
5．（2024八下·威海经济技术开发期中）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮就会有台电脑被感染．设每轮感染中平均一台电脑可感染台，下面所列方程正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解： 设每轮感染中平均一台电脑可感染台，
根据题意得，，
故答案为：D．
【分析】设每轮感染中平均一台电脑可感染台，则第一轮感染台，第二轮感染台，故而得出方程，即可得出答案．
6．（2024八下·威海经济技术开发期中）已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是（　　）
A．4045 B．4044 C．2022 D．1
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：解：∵，是方程的两个实数根，
∴，，
故答案为：A
【分析】根据一元二次方程根与系数关系可得，，，则。
7．（2024八下·威海经济技术开发期中）已知下列各图中的四边形是平行四边形，根据各图中保留的作图痕迹，能得到菱形的有（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：①∵四边形为平行四边形，
∴，，
根据作图可知，垂直平分，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵AF⊥BE，
∴四边形ABFE为菱形，故①符合题意；
②根据作图可知，AF平分∠BAD，但没有相关痕迹确定EF的位置，故不能判定四边形ABFE为菱形，故②不符合题意；
③根据作图可知，，，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形，故③符合题意；
④根据作图痕迹无法确定E、F的位置，EF不一定垂直平分AC，四边形ABFE不一定为菱形，故④不符合题意，
综上分析可知，正确的只有2个，故B正确．
故答案为：B．
【分析】由平行四边形的对边平行得AD∥BC，AB∥CD，由作图痕迹得AF垂直平分BE，则BO=OE，从而用AAS判断出△AOE≌△FOB，由全等三角形的对应边相等得AE=BF，再由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形ABFE是平行四边形，最后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可判断图①；根据作图可知，AF平分∠BAD，但没有相关痕迹确定EF的位置，故不能判定四边形ABFE为菱形，据此可判断图②；由作图痕迹可得AB=BF=AE，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形ABFE是平行四边形，最后根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，可判断图③；根据作图痕迹无法确定E、F的位置，EF不一定垂直平分AC，四边形ABFE不一定为菱形，据此判断图④.
8．（2024八下·威海经济技术开发期中）我国南宋著名数学家秦九韶也提出了利用三角形三边长a，b，c求三角形面积的“秦九韶公式”，即．已知在中，，，，则b边上的高为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的混合运算；二次根式的应用；三角形的面积；求代数式的值-化简代入求值
【解析】【解答】解：由题意得，，，，
，
∴b边上的高为，
故答案为：A．
【分析】 根据题意把，，代入中，并进行二次根式的化简，即可求得的面积，再利用面积公式即可求得 b边上的高 。
9．（2024八下·威海经济技术开发期中）如果关于 的一元二次方程 有下列说法：①若 ，则 ；②若方程两根为-1和2，则 ；③若方程 有两个不相等的实根，则方程 必有两个不相等的实根；④若 ，则方程有两个不相等的实根，其中结论正确的是有（　　）个。
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：①若 ，方程 有一根为1，又 ，则 ，正确；
②由两根关系可知， ，整理得： ，正确；
③若方程 有两个不相等的实根，则 ，可知 ，故方程 必有两个不相等的实根，正确；
④由 ， ，所以④正确.
故答案为： .
【分析】① ，即系数和为0，说明原方程有一根是1， ，说明原方程为一元二次方程，一元二次方程有根，就有两个，△ ；②已知方程两根的值，可利用两根关系的式子变形，得出结论；③判断方程的根的情况，只要看根的判别式△ 的值的符号就可以了；④把 代入 得到 ，根据判别式的意义可得到方程有两个不相等的实根.
10．（2024八下·威海经济技术开发期中）将两张全等的等腰直角三角形纸片与和一张正方形纸片按照如图所示的方式拼成一个平行四边形，同时形成了剩余部分（即，，，），若只知道阴影部分的面积，则不能直接求出（　　）
A．的面积
B．的面积
C．平行四边形的面积
D．剩余部分的面积之和与正方形面积和
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定与性质；正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵与是等腰直角三角形，四边形是正方形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
设阴影部分的面积为，
则：，
∵平行四边形，
∴，
∴和全等，
∴，
∴，
故的面积可求；
∴，
延长交于点，则四边形为矩形，
∴，
∴，
故平行四边形的面积可求；
∴剩余部分的面积之和与正方形面积和等于，可求；
故只有的面积无法求出；
故选：A．
【分析】连接，根据等腰直角三角形的两底角是45°，正方形的四个角都是90°，正方形的对角线平分对角得出，根据内错角相等，两直线平行得出，根据平行线之间的距离出处相等得出，推得，设阴影部分的面积为，即可求出的面积，延长交于点，则四边形为矩形，进而可求出平行四边形的面积，用平行四边形的面积减去阴影部分的面积即可求出剩余部分的面积之和与正方形面积和，即可得出结论．
11．（2024八下·威海经济技术开发期中） 若函数在实数范围内有意义，则的取值范围是　 　 ．
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵函数在实数范围内有意义，
∴，
解得：x≥4且x≠3，
∴x≥4.
故答案为：x≥4.
【分析】根据二次根式被开方数大于或等于0，分母不等于0，解之即可得答案.
12．（2024八下·威海经济技术开发期中）化简的结果是　 　．
【答案】6
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：，
，
，
，
故答案为：．
【分析】首先根据二次根式有意义的条件求得，从而得出，然后再根据二次根式的性质进行化简，即可得出答案。
13．（2024八下·威海经济技术开发期中）若 ，则 　 　．
【答案】6
【知识点】因式分解法解一元二次方程；换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
∴ 或
又∵ ，
∴
【分析】将 看作一个整体，然后采用十字相乘法进行因式分解，可解出答案.
14．（2024八下·威海经济技术开发期中）如图，四边形为正方形，点E是的中点，将正方形沿折叠，得到点B的对应点为点F，延长交线段于点P，若，则的长度为　 　．
【答案】2
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；正方形的性质；正方形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：连接AP，如图所示，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC＝AD＝6，∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∵点E是BC的中点，
∴BE＝AB＝3，
由折叠性质可得：AF=AB=6，EF=BE＝AB＝3， ∠AFE＝∠B＝90°，
∴AD＝AF，∠AFP＝∠D＝90°，
在Rt△AFP和Rt△ADP中，
，
∴Rt△AFP≌Rt△ADP（HL），
∴PF＝PD，
设PF＝PD＝x，则CP＝CD PD＝6 x，EP＝EF＋FP＝3＋x，
在Rt△PEC中，根据勾股定理得：EP2＝EC2＋CP2，
∴（3＋x）2＝32＋（6 x）2，解得x＝2，则DP的长度为2，
故答案为：2．
【分析】首先根据折叠性质得出EF=BE=EC=3，再根据HL通过证明Rt△AFP≌Rt△ADP，可得出PF＝PD，然后设PF＝PD＝x，即可得出CP＝6 x，EP＝3＋x，然后在Rt△CEP中，根据勾股定理可得出关于x的方程（3＋x）2＝32＋（6 x）2，解方程即可求得结果。
15．（2024八下·威海经济技术开发期中）如图，在边长为的正方形中，将绕点按逆时针方向旋转，使点落在点的位置，连接，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】二次根式的混合运算；勾股定理；正方形的性质；旋转的性质；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过点作于，于，则，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵将绕点按逆时针方向旋转，使点落在点的位置，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】过点作于，于，则得四边形为矩形，可得，，然后在Rt中，根据含30°锐角的直角三角形的性质即勾股定理可得出AM和B'M，进而得到B'N和CN，再利用勾股定理即可求解，．
16．（2024八下·威海经济技术开发期中）如图，在平行四边形中，，，将线段沿着直线上下平移得到线段，连接，，则的最小值是　 　．
【答案】13
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题；平移的性质
【解析】【解答】解：连接，∵平行四边形，
∴，，
由平移性质得：，，
四边形为平行四边形，
，
，
作关于直线的对称点，连接，，交延长线于，
由对称性得：，，，
，
，，
，
，，
∵，
，
，
的最小值为，
故答案为：
【分析】首先根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形为平行四边形，进而得出，再作关于直线的对称点，由对称性得，再由，求出，，由勾股定理求出即可．
17．（2024八下·威海经济技术开发期中）适当的方法解方程：
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）解：，
∵，，，
∴，
∴ 此方程无解；
（2）解：，原方程可变为：，
分解因式得：，
∴或，
解得：，．
（3）解：，分解因式得：，
∴或，
解得：，．
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）用公式法解方程，首先明确一元二次方程中各项的系数，然后求出根的判别式，即可得出 此方程无解；
（2）首先把原方程整理成一般形式，然后用因式分解法，即可求得方程的解；
（3）用提公因式法把方程的左边进行因式分解，即可球的方程的解。
18．（2024八下·威海经济技术开发期中）如图，正方形ABCD的面积为8，正方形ECFG的面积为32．
（1）求正方形ABCD和正方形ECFG的边长；
（2）求阴影部分的面积．
【答案】（1）解：∵正方形ABCD的面积为8，正方形ECFG的面积为32，
∴正方形ABCD的边长为，正方形ECFG的边长为．
（2）阴影部分的面积为：
【知识点】三角形的面积；几何图形的面积计算-割补法；平行四边形的面积；算术平方根的实际应用
【解析】【分析】（1）根据正方形的面积公式直接开平方求出算术平方根，即可得出正方形的边长；
（2）根据图形可知：，即可得出阴影部分的面积．
19．（2024八下·威海经济技术开发期中）已知关于的方程
（1）求证：无论取任何实数，该方程总有实数根；
（2）若等腰三角形的三边长分别为，其中，并且恰好是此方程的两个实数根，求此三角形的周长．
【答案】（1）证明：∵，
无论取任何实数，方程总有实数根；
（2）解：当时，，方程为，
解得：，
此时三边长为，周长为；
当或时，把代入方程得：，
解得：，此时方程为：，
解得：，
此时三边长为不能组成三角形，
综上所述，的周长为
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【分析】（1）根据二次方程判别式，可得方程总有实数根.
（2）分情况讨论：当时，求出方程的解，进而得到三角形周长；当或时，把代入方程求出k的值，进而求出周长即可．
20．（2024八下·威海经济技术开发期中）某学校计划用一片空地建一个形状为矩形的劳动教育场地，其中一面靠墙（墙可利用的最大长度为），另外三面用木栅栏建围栏，计划建造的矩形场地面积为，已知现有的木栅栏材料总长为．
（1）为了方便学生出行，学校决定与墙平行一面开的门，则矩形场地的边长分别为多少？
（2）在（1）条件下，如图修三条等宽的硬化小路便于师生通行，小路的占用面积为，则修建的小路宽为多少？
【答案】（1）解：设与墙垂直的一面为米，另一面则为米，
根据题意得：，
整理得：，
解得或，
当时，（舍去）；
当时，；
答：长为10米，宽为8米；
（2）解：设宽为米，根据题意得：，
即，
解得：（舍去），，
答：小路的宽为1米．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设与墙垂直的一面为米，然后可得另两面则为米，然后根据矩形面积计算公式，列出方程求解即可；
（2）设小路的宽为米，则可得出：，解方程求出方程的解，并根据题意，舍去a=13，即可得出，即 修建的小路宽为 1米．
21．（2024八下·威海经济技术开发期中）宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时宾馆会住满；当每间房每天的定价加10元时，就会空一间房，如果有游客居住，宾馆还需对居住的每间房每天支出20元的费用．
（1）当定价为200元时，会空______间房，每天的利润是______元．
（2）如果每间房当天的定价比房间住满时的房价增加元时，宾馆______间房有游客居住（用含的代数式表示）；
（3）若宾馆每天想获得的利润为10890元，应该将每间房每天定价为多少元？
【答案】（1）
（2）
（3）设房价定为元，
根据题意，得．
整理，得，
解得．
答：应该将每间房每天定价为350元
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】 （1）解：当定价为200元时，(间)．
元，
故答案为：；
（2）解：当每间房当天的定价比房间住满时的房价增加元时，宾馆会空闲间房，
∴此时宾馆间房有游客居住．
故答案为：．
【分析】（1）利用“当每间房每天的定价加10元时，就会空一间房”和“利润=(定价-每天支出20元的费用）×房间数”计算即可．（2）利用有游客居住的房间数增加的价格，列代数式即可；
（3）利用总利润每间房的定价有游客居住的房间数，得到关于的一元二次方程，解题即可．
22．（2024八下·威海经济技术开发期中）我们已经学习了图形的平移、轴对称、旋转三种图形变化，它们都是全等变化，变化中蕴含着不变．在图形与几何知识的学习中，以图形变化的视角观察图形，会帮助我们更加直观的理解问题，进而找到解决问题的路径．已知，如图1，点M、N分别是正方形的边、上的点，且．
（1）小明观察图形发现，，，于是将绕点B顺时针旋转，得到图2，连接，进一步推理发现，请你参考小明的思路，写出证明过程；
（2）如图3，若点M、N分别在边、的延长线上，其余条件不变，连接，试探究线段、、之间的数量关系，并写出证明过程．
【答案】（1）证明：在正方形中，，，将绕点B顺时针旋转，则与重合，则，
∴，，，，则、、在同一直线上，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2），证明：在正方形中，，，
将绕点B逆时针旋转，则与重合，则，
∴，，，，则、、在同一直线上，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；含30°角的直角三角形；正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）利用旋转的性质即可得到，进而得出AN=CN'，再根据SAS可证得，进而得出MN=MN’，然后通过等量代换即可得出结论；
（2）利用旋转的性质得到，进而得出AM'=CM，再根据SAS可证得，进而得出MN=M'N然后通过等量代换，即可得出结论
23．（2024八下·威海经济技术开发期中）如图，中，，过点作的平行线与的平分线交于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）连接与交于点，过点作交的延长线于点，连接，若，，求的长．
【答案】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD，
∴AD=BC，
又AD∥BC，
∴ 四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=BC，
∴ 四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵DE⊥BC，
∴∠DEC=90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴点O是BD的中点，BC=DC=5，
∴BD=2EO=，
设CE=x，
在中，=52-x2，
在Rt中，=-（5+x）2， ∴52-x2=-（5+x）2，
∴x=3，
即CE的长为3；
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；菱形的判定与性质；角平分线的概念；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）首先根据平行线的性质得出∠ADB=∠DBC，再由角平分线的性质得出∠ABD=∠DBC，进而得出∠ABD=∠ADB，根据等角对等边即可得出AB=AD，进而等量代换为AD=BC，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，可得四边形是平行四边形，进而根据AB=BC，即可得出四边形ABCD是菱形；
（2）首先根据菱形的四条边相等，得出BC=DC=5，且点O是BD得中点，再根据直角三角形斜边上的中线可得出BD=2EO=，然后设，则，由勾股定理求得，从而列得关于x的方程，求解即可．
24．（2024八下·威海经济技术开发期中）问题情境：小红同学在学习了正方形的知识后，进一步进行以下探究活动：在正方形的边上任意取一点G，以为边长向外作正方形，将正方形绕点B顺时针旋转．
特例感知：
（1）当在上时，连接相交于点P，小红发现点P恰为的中点，如图①．针对小红发现的结论，请给出证明；
（2）小红继续连接，并延长与相交，发现交点恰好也是中点P，如图②，根据小红发现的结论，请判断的形状，并说明理由；
规律探究：
（3）如图③，将正方形绕点B顺时针旋转，连接，点P是中点，连接，，，的形状是否发生改变？请说明理由．
【答案】证明：（1）连接，，，如图，
∵四边形，都是正方形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即点P恰为的中点；
（2）是等腰直角三角形，理由如下：
∵四边形，都是正方形，
∴
∴，
∴是等腰直角三角形；
（3）的形状不改变，
延长至点M，使，连接，
∵四边形、四边形都是正方形，
∴，，
∵点P为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
设交于点H，交于点N，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形．
【知识点】正方形的性质；旋转的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）连接，，，根据正方形的每条对角线平分一组对角及角的构成求出，从而可用“SAS”判断出，由全等三角形的对应边相等得，由等边对等角得，再利用同角的余角相等求出，由等角对等边推出，则PD=PF，根据中点定义即可得出结论；
（2）根据正方形的每条对角线平分一组对角得到，推出，得到是等腰直角三角形；
（3）延长EP至点M，使，连接MA、MD，首先利用那个SAS判断出，由全等三角形的性质得到，由内错角相等，两直线平行，DM∥EF，由平行于同一直线的两条直线互相平行得；设DF交BC于点H，交BG于点N，由二直线平行，内错角相等，得到，由二直线平行，同位角相等得到；根据角的构成、等量代换、三角形内角和定理、周角定义进及同角的补角相等而得到，再用SAS证明，得到，，证得，再由，根据等腰三角形的三线合一的性质求出，即可证得是等腰直角三角形．
1 / 1山东省威海市威海经济技术开发区2023-2024学年八年级下学期5月期中数学试题
1．（2024八下·威海经济技术开发期中）下列各式计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024八下·威海经济技术开发期中）下列方程中，是一元二次方程的（　　）．
A． B．
C． D．
3．（2024八下·威海经济技术开发期中）若实数a，b在数轴上的对应点如图，则化简的结果为（　　）
A． B． C． D．
4．（2024八下·威海经济技术开发期中）春节期间电影《热辣滚烫》上映的第一天票房约为3亿元，第二、三天单日票房持续增长，三天累计票房亿元，若第二、三天单日票房增长率相同，设平均每天票房的增长率为 x，则根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024八下·威海经济技术开发期中）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮就会有台电脑被感染．设每轮感染中平均一台电脑可感染台，下面所列方程正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2024八下·威海经济技术开发期中）已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是（　　）
A．4045 B．4044 C．2022 D．1
7．（2024八下·威海经济技术开发期中）已知下列各图中的四边形是平行四边形，根据各图中保留的作图痕迹，能得到菱形的有（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
8．（2024八下·威海经济技术开发期中）我国南宋著名数学家秦九韶也提出了利用三角形三边长a，b，c求三角形面积的“秦九韶公式”，即．已知在中，，，，则b边上的高为（　　）
A． B． C． D．
9．（2024八下·威海经济技术开发期中）如果关于 的一元二次方程 有下列说法：①若 ，则 ；②若方程两根为-1和2，则 ；③若方程 有两个不相等的实根，则方程 必有两个不相等的实根；④若 ，则方程有两个不相等的实根，其中结论正确的是有（　　）个。
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2024八下·威海经济技术开发期中）将两张全等的等腰直角三角形纸片与和一张正方形纸片按照如图所示的方式拼成一个平行四边形，同时形成了剩余部分（即，，，），若只知道阴影部分的面积，则不能直接求出（　　）
A．的面积
B．的面积
C．平行四边形的面积
D．剩余部分的面积之和与正方形面积和
11．（2024八下·威海经济技术开发期中） 若函数在实数范围内有意义，则的取值范围是　 　 ．
12．（2024八下·威海经济技术开发期中）化简的结果是　 　．
13．（2024八下·威海经济技术开发期中）若 ，则 　 　．
14．（2024八下·威海经济技术开发期中）如图，四边形为正方形，点E是的中点，将正方形沿折叠，得到点B的对应点为点F，延长交线段于点P，若，则的长度为　 　．
15．（2024八下·威海经济技术开发期中）如图，在边长为的正方形中，将绕点按逆时针方向旋转，使点落在点的位置，连接，则的长为　 　．
16．（2024八下·威海经济技术开发期中）如图，在平行四边形中，，，将线段沿着直线上下平移得到线段，连接，，则的最小值是　 　．
17．（2024八下·威海经济技术开发期中）适当的方法解方程：
（1）
（2）
（3）
18．（2024八下·威海经济技术开发期中）如图，正方形ABCD的面积为8，正方形ECFG的面积为32．
（1）求正方形ABCD和正方形ECFG的边长；
（2）求阴影部分的面积．
19．（2024八下·威海经济技术开发期中）已知关于的方程
（1）求证：无论取任何实数，该方程总有实数根；
（2）若等腰三角形的三边长分别为，其中，并且恰好是此方程的两个实数根，求此三角形的周长．
20．（2024八下·威海经济技术开发期中）某学校计划用一片空地建一个形状为矩形的劳动教育场地，其中一面靠墙（墙可利用的最大长度为），另外三面用木栅栏建围栏，计划建造的矩形场地面积为，已知现有的木栅栏材料总长为．
（1）为了方便学生出行，学校决定与墙平行一面开的门，则矩形场地的边长分别为多少？
（2）在（1）条件下，如图修三条等宽的硬化小路便于师生通行，小路的占用面积为，则修建的小路宽为多少？
21．（2024八下·威海经济技术开发期中）宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时宾馆会住满；当每间房每天的定价加10元时，就会空一间房，如果有游客居住，宾馆还需对居住的每间房每天支出20元的费用．
（1）当定价为200元时，会空______间房，每天的利润是______元．
（2）如果每间房当天的定价比房间住满时的房价增加元时，宾馆______间房有游客居住（用含的代数式表示）；
（3）若宾馆每天想获得的利润为10890元，应该将每间房每天定价为多少元？
22．（2024八下·威海经济技术开发期中）我们已经学习了图形的平移、轴对称、旋转三种图形变化，它们都是全等变化，变化中蕴含着不变．在图形与几何知识的学习中，以图形变化的视角观察图形，会帮助我们更加直观的理解问题，进而找到解决问题的路径．已知，如图1，点M、N分别是正方形的边、上的点，且．
（1）小明观察图形发现，，，于是将绕点B顺时针旋转，得到图2，连接，进一步推理发现，请你参考小明的思路，写出证明过程；
（2）如图3，若点M、N分别在边、的延长线上，其余条件不变，连接，试探究线段、、之间的数量关系，并写出证明过程．
23．（2024八下·威海经济技术开发期中）如图，中，，过点作的平行线与的平分线交于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）连接与交于点，过点作交的延长线于点，连接，若，，求的长．
24．（2024八下·威海经济技术开发期中）问题情境：小红同学在学习了正方形的知识后，进一步进行以下探究活动：在正方形的边上任意取一点G，以为边长向外作正方形，将正方形绕点B顺时针旋转．
特例感知：
（1）当在上时，连接相交于点P，小红发现点P恰为的中点，如图①．针对小红发现的结论，请给出证明；
（2）小红继续连接，并延长与相交，发现交点恰好也是中点P，如图②，根据小红发现的结论，请判断的形状，并说明理由；
规律探究：
（3）如图③，将正方形绕点B顺时针旋转，连接，点P是中点，连接，，，的形状是否发生改变？请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A：不是同类二次根式，无法合并，故A计算不正确；
B：，故B计算不正确；
C：，故C计算正确；
D：，故D计算不正确．
故答案为：C．
【分析】根据二次根式的加减乘除运算法则，分别进行运算，即可得出正确选项．
2．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、，当a=0时，是一元一次方程，故A不符合题意；
B、，方程整理后为：-4x+3=0，未知数的最高次数是1，是一元一次方程，故B不符合题意；
C、，符合一元二次方程的定义，故C符合题意；
D、不是整式方程，不符合一元二次方程的定义，故D不符合题意．
故答案为：C。
【分析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，根据以上四个条件，对各选项分别进行识别，即可得出答案。
3．【答案】D
【知识点】整式的加减运算；二次根式的性质与化简；化简含绝对值有理数；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴
故答案为：D．
【分析】根据数轴可得，从而得出，然后根据二次根式以及绝对值的性质进行化简，即可得出答案．
4．【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设平均每天票房的增长率为 x，
根据题意得，，
故答案为：D．
【分析】设平均每天票房的增长率为 x，则可以表示出第二天的票房为亿元，第三天的票房为亿元，再根据3天的累计票房为亿元，即可列出一元二次方程．
5．【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解： 设每轮感染中平均一台电脑可感染台，
根据题意得，，
故答案为：D．
【分析】设每轮感染中平均一台电脑可感染台，则第一轮感染台，第二轮感染台，故而得出方程，即可得出答案．
6．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：解：∵，是方程的两个实数根，
∴，，
故答案为：A
【分析】根据一元二次方程根与系数关系可得，，，则。
7．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：①∵四边形为平行四边形，
∴，，
根据作图可知，垂直平分，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵AF⊥BE，
∴四边形ABFE为菱形，故①符合题意；
②根据作图可知，AF平分∠BAD，但没有相关痕迹确定EF的位置，故不能判定四边形ABFE为菱形，故②不符合题意；
③根据作图可知，，，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形，故③符合题意；
④根据作图痕迹无法确定E、F的位置，EF不一定垂直平分AC，四边形ABFE不一定为菱形，故④不符合题意，
综上分析可知，正确的只有2个，故B正确．
故答案为：B．
【分析】由平行四边形的对边平行得AD∥BC，AB∥CD，由作图痕迹得AF垂直平分BE，则BO=OE，从而用AAS判断出△AOE≌△FOB，由全等三角形的对应边相等得AE=BF，再由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形ABFE是平行四边形，最后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可判断图①；根据作图可知，AF平分∠BAD，但没有相关痕迹确定EF的位置，故不能判定四边形ABFE为菱形，据此可判断图②；由作图痕迹可得AB=BF=AE，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形ABFE是平行四边形，最后根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，可判断图③；根据作图痕迹无法确定E、F的位置，EF不一定垂直平分AC，四边形ABFE不一定为菱形，据此判断图④.
8．【答案】A
【知识点】二次根式的混合运算；二次根式的应用；三角形的面积；求代数式的值-化简代入求值
【解析】【解答】解：由题意得，，，，
，
∴b边上的高为，
故答案为：A．
【分析】 根据题意把，，代入中，并进行二次根式的化简，即可求得的面积，再利用面积公式即可求得 b边上的高 。
9．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：①若 ，方程 有一根为1，又 ，则 ，正确；
②由两根关系可知， ，整理得： ，正确；
③若方程 有两个不相等的实根，则 ，可知 ，故方程 必有两个不相等的实根，正确；
④由 ， ，所以④正确.
故答案为： .
【分析】① ，即系数和为0，说明原方程有一根是1， ，说明原方程为一元二次方程，一元二次方程有根，就有两个，△ ；②已知方程两根的值，可利用两根关系的式子变形，得出结论；③判断方程的根的情况，只要看根的判别式△ 的值的符号就可以了；④把 代入 得到 ，根据判别式的意义可得到方程有两个不相等的实根.
10．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定与性质；正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵与是等腰直角三角形，四边形是正方形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
设阴影部分的面积为，
则：，
∵平行四边形，
∴，
∴和全等，
∴，
∴，
故的面积可求；
∴，
延长交于点，则四边形为矩形，
∴，
∴，
故平行四边形的面积可求；
∴剩余部分的面积之和与正方形面积和等于，可求；
故只有的面积无法求出；
故选：A．
【分析】连接，根据等腰直角三角形的两底角是45°，正方形的四个角都是90°，正方形的对角线平分对角得出，根据内错角相等，两直线平行得出，根据平行线之间的距离出处相等得出，推得，设阴影部分的面积为，即可求出的面积，延长交于点，则四边形为矩形，进而可求出平行四边形的面积，用平行四边形的面积减去阴影部分的面积即可求出剩余部分的面积之和与正方形面积和，即可得出结论．
11．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵函数在实数范围内有意义，
∴，
解得：x≥4且x≠3，
∴x≥4.
故答案为：x≥4.
【分析】根据二次根式被开方数大于或等于0，分母不等于0，解之即可得答案.
12．【答案】6
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：，
，
，
，
故答案为：．
【分析】首先根据二次根式有意义的条件求得，从而得出，然后再根据二次根式的性质进行化简，即可得出答案。
13．【答案】6
【知识点】因式分解法解一元二次方程；换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
∴ 或
又∵ ，
∴
【分析】将 看作一个整体，然后采用十字相乘法进行因式分解，可解出答案.
14．【答案】2
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；正方形的性质；正方形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：连接AP，如图所示，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC＝AD＝6，∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∵点E是BC的中点，
∴BE＝AB＝3，
由折叠性质可得：AF=AB=6，EF=BE＝AB＝3， ∠AFE＝∠B＝90°，
∴AD＝AF，∠AFP＝∠D＝90°，
在Rt△AFP和Rt△ADP中，
，
∴Rt△AFP≌Rt△ADP（HL），
∴PF＝PD，
设PF＝PD＝x，则CP＝CD PD＝6 x，EP＝EF＋FP＝3＋x，
在Rt△PEC中，根据勾股定理得：EP2＝EC2＋CP2，
∴（3＋x）2＝32＋（6 x）2，解得x＝2，则DP的长度为2，
故答案为：2．
【分析】首先根据折叠性质得出EF=BE=EC=3，再根据HL通过证明Rt△AFP≌Rt△ADP，可得出PF＝PD，然后设PF＝PD＝x，即可得出CP＝6 x，EP＝3＋x，然后在Rt△CEP中，根据勾股定理可得出关于x的方程（3＋x）2＝32＋（6 x）2，解方程即可求得结果。
15．【答案】
【知识点】二次根式的混合运算；勾股定理；正方形的性质；旋转的性质；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过点作于，于，则，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵将绕点按逆时针方向旋转，使点落在点的位置，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】过点作于，于，则得四边形为矩形，可得，，然后在Rt中，根据含30°锐角的直角三角形的性质即勾股定理可得出AM和B'M，进而得到B'N和CN，再利用勾股定理即可求解，．
16．【答案】13
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题；平移的性质
【解析】【解答】解：连接，∵平行四边形，
∴，，
由平移性质得：，，
四边形为平行四边形，
，
，
作关于直线的对称点，连接，，交延长线于，
由对称性得：，，，
，
，，
，
，，
∵，
，
，
的最小值为，
故答案为：
【分析】首先根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形为平行四边形，进而得出，再作关于直线的对称点，由对称性得，再由，求出，，由勾股定理求出即可．
17．【答案】（1）解：，
∵，，，
∴，
∴ 此方程无解；
（2）解：，原方程可变为：，
分解因式得：，
∴或，
解得：，．
（3）解：，分解因式得：，
∴或，
解得：，．
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）用公式法解方程，首先明确一元二次方程中各项的系数，然后求出根的判别式，即可得出 此方程无解；
（2）首先把原方程整理成一般形式，然后用因式分解法，即可求得方程的解；
（3）用提公因式法把方程的左边进行因式分解，即可球的方程的解。
18．【答案】（1）解：∵正方形ABCD的面积为8，正方形ECFG的面积为32，
∴正方形ABCD的边长为，正方形ECFG的边长为．
（2）阴影部分的面积为：
【知识点】三角形的面积；几何图形的面积计算-割补法；平行四边形的面积；算术平方根的实际应用
【解析】【分析】（1）根据正方形的面积公式直接开平方求出算术平方根，即可得出正方形的边长；
（2）根据图形可知：，即可得出阴影部分的面积．
19．【答案】（1）证明：∵，
无论取任何实数，方程总有实数根；
（2）解：当时，，方程为，
解得：，
此时三边长为，周长为；
当或时，把代入方程得：，
解得：，此时方程为：，
解得：，
此时三边长为不能组成三角形，
综上所述，的周长为
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【分析】（1）根据二次方程判别式，可得方程总有实数根.
（2）分情况讨论：当时，求出方程的解，进而得到三角形周长；当或时，把代入方程求出k的值，进而求出周长即可．
20．【答案】（1）解：设与墙垂直的一面为米，另一面则为米，
根据题意得：，
整理得：，
解得或，
当时，（舍去）；
当时，；
答：长为10米，宽为8米；
（2）解：设宽为米，根据题意得：，
即，
解得：（舍去），，
答：小路的宽为1米．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设与墙垂直的一面为米，然后可得另两面则为米，然后根据矩形面积计算公式，列出方程求解即可；
（2）设小路的宽为米，则可得出：，解方程求出方程的解，并根据题意，舍去a=13，即可得出，即 修建的小路宽为 1米．
21．【答案】（1）
（2）
（3）设房价定为元，
根据题意，得．
整理，得，
解得．
答：应该将每间房每天定价为350元
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】 （1）解：当定价为200元时，(间)．
元，
故答案为：；
（2）解：当每间房当天的定价比房间住满时的房价增加元时，宾馆会空闲间房，
∴此时宾馆间房有游客居住．
故答案为：．
【分析】（1）利用“当每间房每天的定价加10元时，就会空一间房”和“利润=(定价-每天支出20元的费用）×房间数”计算即可．（2）利用有游客居住的房间数增加的价格，列代数式即可；
（3）利用总利润每间房的定价有游客居住的房间数，得到关于的一元二次方程，解题即可．
22．【答案】（1）证明：在正方形中，，，将绕点B顺时针旋转，则与重合，则，
∴，，，，则、、在同一直线上，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2），证明：在正方形中，，，
将绕点B逆时针旋转，则与重合，则，
∴，，，，则、、在同一直线上，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；含30°角的直角三角形；正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）利用旋转的性质即可得到，进而得出AN=CN'，再根据SAS可证得，进而得出MN=MN’，然后通过等量代换即可得出结论；
（2）利用旋转的性质得到，进而得出AM'=CM，再根据SAS可证得，进而得出MN=M'N然后通过等量代换，即可得出结论
23．【答案】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD，
∴AD=BC，
又AD∥BC，
∴ 四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=BC，
∴ 四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵DE⊥BC，
∴∠DEC=90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴点O是BD的中点，BC=DC=5，
∴BD=2EO=，
设CE=x，
在中，=52-x2，
在Rt中，=-（5+x）2， ∴52-x2=-（5+x）2，
∴x=3，
即CE的长为3；
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；菱形的判定与性质；角平分线的概念；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）首先根据平行线的性质得出∠ADB=∠DBC，再由角平分线的性质得出∠ABD=∠DBC，进而得出∠ABD=∠ADB，根据等角对等边即可得出AB=AD，进而等量代换为AD=BC，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，可得四边形是平行四边形，进而根据AB=BC，即可得出四边形ABCD是菱形；
（2）首先根据菱形的四条边相等，得出BC=DC=5，且点O是BD得中点，再根据直角三角形斜边上的中线可得出BD=2EO=，然后设，则，由勾股定理求得，从而列得关于x的方程，求解即可．
24．【答案】证明：（1）连接，，，如图，
∵四边形，都是正方形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即点P恰为的中点；
（2）是等腰直角三角形，理由如下：
∵四边形，都是正方形，
∴
∴，
∴是等腰直角三角形；
（3）的形状不改变，
延长至点M，使，连接，
∵四边形、四边形都是正方形，
∴，，
∵点P为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
设交于点H，交于点N，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形．
【知识点】正方形的性质；旋转的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）连接，，，根据正方形的每条对角线平分一组对角及角的构成求出，从而可用“SAS”判断出，由全等三角形的对应边相等得，由等边对等角得，再利用同角的余角相等求出，由等角对等边推出，则PD=PF，根据中点定义即可得出结论；
（2）根据正方形的每条对角线平分一组对角得到，推出，得到是等腰直角三角形；
（3）延长EP至点M，使，连接MA、MD，首先利用那个SAS判断出，由全等三角形的性质得到，由内错角相等，两直线平行，DM∥EF，由平行于同一直线的两条直线互相平行得；设DF交BC于点H，交BG于点N，由二直线平行，内错角相等，得到，由二直线平行，同位角相等得到；根据角的构成、等量代换、三角形内角和定理、周角定义进及同角的补角相等而得到，再用SAS证明，得到，，证得，再由，根据等腰三角形的三线合一的性质求出，即可证得是等腰直角三角形．
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