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参考答案与试题解析
1．C．
2．C．
3．A．
4．A．
5．C．
6．A．
7．A．
8．D．
9．A．
【解答】解：①抛物线开口方向向下，则a＜0．
抛物线对称轴位于y轴右侧，则a、b异号，即ab＜0．
抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0
所以abc＜0．
故①错误；
②∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，即2a+b＝0，
故②正确；
③∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴函数的最大值为：a+b+c，
∴当m≠1时，a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm，
故③错误；
④∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧，
∴当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
故④错误；
⑤∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）顶点坐标为（1，n）．
∴n＝a+b+c，
∵a＜0．
∴二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）最大值为n，
∴ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根，
故⑤正确．
综上所述，正确的有②⑤．
10．B
【解答】解：①连接AC，并延长AC，与BD的延长线交于点H，如图，
∵M，C是半圆上的三等分点，
∴∠BAH＝30°，
∵BD与半圆O相切于点B．
∴∠ABD＝90°，
∴∠H＝60°，
∵∠ACP＝∠ABP，∠ACP＝∠DCH，
∴∠PDB＝∠H+∠DCH＝∠ABP+60°，
∵∠PBD＝90°﹣∠ABP，
若∠PDB＝∠PBD，则∠ABP+60°＝90°﹣∠ABP，
∴∠ABP＝15°，
∴P点为的中点，这与P为上的一动点不完全吻合，
∴∠PDB不一定等于∠ABD，
∴PB不一定等于PD，故①错误；
②∵M，C是半圆上的三等分点，
∴∠BOC＝180°＝60°，
∵直径AB＝8，
∴OB＝OC＝4，
∴的长度＝＝π，故②正确；
③∵∠BOC＝60°，OB＝OC，
∴∠ABC＝60°，OB＝OC＝BC，
∵BE⊥OC，
∴∠OBE＝∠CBE＝30°，
∵∠ABD＝90°，
∴∠DBE＝60°，故③错误；
④∵M、C是的三等分点，
∴∠BPC＝30°，
∵∠CBF＝30°，
∴∠CBF＝∠BPC，
∵∠BCF＝∠PCB，
∴△BCF∽△PCB，故④正确；
⑤∵△BCF∽△PCB，
∴＝，
∴CF CP＝CB2，
∵CB＝OB＝OC＝AB＝4，
∴CF CP＝16，故⑤正确．
综上所述：正确结论有②④⑤，共3个．
二．填空题（共5小题）
11．　（x+3y）（x﹣3y）　．
12．　20　．
13． 　1　．
14．　y＝　．
【解答】解：∵点A是反比例函数y＝﹣的图象上，
∴S△OAC＝|k|＝1，
∵线段OB是由线段OA绕点O顺时针旋转90°得到的，
∴OA＝OB，∠AOB＝90°，
又∵∠AOC+∠OAC＝90°，∠AOC+∠BOD＝180°﹣90°＝90°，
∵∠ACO＝∠ODB＝90°，
∴△AOC≌△OBD（AAS），
∴S△OBD＝S△AOC＝1＝|k|，
又∵k＞0，
∴k＝2，
∴过点B的反比例函数关系式为y＝，
故答案为：y＝．
15．　49﹣15　．
【解答】解：如图，延长CM至G，使GM＝CM，连接AG，过E作EH⊥BC，交BC的延长线于点H，
∵M为AD的中点，
∴AM＝DM，
在△AMG和△DMC中，
，
∴△AMG≌△DMC（SAS），
∴AG＝DC，∠G＝∠DCM，
∴AG∥DC，
∴∠CAG+∠ACD＝180°，
∵∠ACD＝60°，
∴∠CAG＝120°，
∵DC＝CE＝42，
∴AG＝CE＝42，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠BCD＝∠ACE＝90°﹣∠ACD＝30°，
∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°+30°＝120°，
∴∠CAG＝∠BCE，
在△BCE和△CAG中，
，
∴△BCE≌△CAG（SAS），
∴∠CBE＝∠ACG，BE＝CG＝2CM，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACH＝90°，
∴∠ECH＝90°﹣∠ACE＝60°，
∵EH⊥BC，
∴∠EHC＝90°，
在Rt△CHE中，∠HEC＝90°﹣∠ECH＝30°，CE＝42，
∴CH＝CE＝21，
∴EH＝＝＝21，BH＝BC+CH＝70+21＝91，
∴BE＝＝＝98，
∴CG＝98，
∴CM＝CG＝49，
∵∠BCM+∠ACG＝∠ACB＝90°，
∴∠BCM+∠CBE＝90°，
∴∠BNC＝90°，
∴CN⊥BE，
∴S△BCE＝BE CN＝BC EH，
∴CN＝＝＝15，
∴MN＝CM﹣CN＝49﹣15，
故答案为：49﹣15．
三．解答题（共7小题）
16．【解答】解：原式＝2+4×﹣2+1
＝2+2﹣2+1
＝3．
17．【解答】解：（1+）÷
＝
＝
＝，
当x＝﹣1时，原式＝＝．
18．【解答】（1）解：根据题意得：总人数为：3÷15%＝20（人），
表示“D等级”的扇形的圆心角为；
C等级所占的百分比为，
所以m＝40，
故答案为：20，72，40．
（2）解：等级B的人数为20﹣（3+8+4）＝5（人），
补全统计图，如图所示：
（3）解：根据题意，列出表格，如下：
男 女1 女2
男 女1、男 女2、男
女1 男、女1 女2、女1
女2 男、女2 女1、女2
共有6种等可能结果，其中恰是一男一女的有4种，
所以恰是一男一女的概率为．
19．【解答】解：（1）根据表格数据描点连线绘制函数图象如下：
（2）解：由图象可得，当﹣1＜x＜3时，0＜y＜4；
（3）解：设二次函数解析式为y＝ax2+bx+c，
把（﹣1，0），（0，3），（1，4）分别代入，得，
解得：，
∴次函数解析式为y＝﹣x2+2x+3，
当y＝﹣5时，则﹣x2+2x+3＝﹣5，
解得：x1＝﹣2，x2＝4，
∴二次函数y＝﹣x2+2x+3与直线y＝﹣5的交点坐标为（﹣2，﹣5），（4，﹣5），如图，
∴二次函数的函数值不大于﹣5时，自变量x的取值范围为x≤﹣2或x≥4．
20．【解答】解：（1）设一件甲种商品的进价是x元，则一件乙种商品的进价为（20﹣x）元，
根据题意得：＝，
解得x＝5，
经检验，x＝5是原方程的解，也符合题意，
∴20﹣x＝20﹣5＝15，
答：一件甲种商品的进价是5元，一件乙种商品的进价为15元；
（2）设购进甲种商品m件，则购进乙种商品（80﹣m）件，
∵进货的总资金不超过1000元，
∴5m+15（80﹣m）≤1000，
解得m≥20，
设这两种商品全部售完后所获利润为w元，
w＝（12﹣5）m+（25﹣15）（80﹣m）＝﹣3m+800，
∵﹣3＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴m＝20时，w取最大值，最大值为﹣3×20+800＝740（元），
此时80﹣m＝60，
答：购进甲种商品60件，购进乙种商品20件，所获利润最大，最大利润740元．
21．【解答】解：（1）①P在x轴正半轴时，如图1，设点Q为⊙O与x轴正半轴的交点，
∵点O为坐标原点，⊙O的半径是，点P是点A关于⊙O的“倍距点”，
∴AQ＝2，PA＝2QA＝4，
∴点P离开原点O的距离＝4＝3，
∴点P的坐标是（3，0），
故答案为：（3，0）；
②若∠PAO＝30°时，如图2，作QM⊥x轴于M，PN⊥x轴于N，连接OQ，
∴∠QMA＝∠PNA＝90°，
∵∠PAO＝∠PAO，
∴△AQM∽△APN，
∴，
∵点O为坐标原点，⊙O的半径是，点P是点A关于⊙O的“倍距点”，PA＝2QA，
∴OA＝OQ＝，，
∴∠AQO＝∠PAO＝30°，
∴∠QOM＝60°，
∴∠OQM＝30°，
在Rt△OQM中，OQ＝，∠OQM＝30°，
∴QM＝OQ cos∠OQM＝ cos30°＝，OM＝OQ sin∠OQM＝ sin30°＝，
∴AM＝OA+OM＝，
∴由比例式得：AN＝3，PN＝3，
∴ON＝AN﹣AO＝3﹣＝2，
∴P（2，3）；
（2）存在符合条件的点P．如图3，
∵一次函数y＝x+4的图象分别与x轴、y轴交于D、E，
∴令y＝0，则x+4＝0，令x＝0，则y＝4，
解得x＝﹣4，
∴D（﹣4，0），E（0，4），
∴OD＝4，OE＝4，
∵y轴⊥x轴，
∴∠EOD＝90°，
∴tan∠EDO＝＝＝，
∴∠EDO＝30°，
取AD的中点G（，0），过点G作GH∥DE交y轴于点H，
则直线GH的解析式为y＝x+，
当⊙T与直线GH相切时，一次函数y＝x+4的图象上存在唯一一点P，使点P是点A关于⊙T的“倍距点”，
设切点为L1或L2，连接T1L1，T2L2，
则∠GL1T1＝∠GL2T2＝90°，
∵GH∥DE，
∴∠OGH＝∠EDO＝30°，
∴AT1＝L1T1＝GT1，L2T2＝GT2，AT2＝L2T2，
∵AT1＝﹣﹣t，AT2＝t+，GT1＝t+，GT2＝t+，
∴﹣﹣t＝×（t+）或t+＝×（t+），
解得：t＝﹣或．
22．【解答】解：（1）延长GO交CD于H点，
∵正方形ABCD与正方形AEFG的顶点A重合，
∴CD∥BA，FG∥AE，GF＝AG，
∴CD∥FG，
∴∠HCO＝∠GFO，
∵CF的中点O，
∴CO＝OF，
在△COH与△FOG中，
，
∴△COH≌△FOG（ASA），
∴HO＝OG，CH＝GF，
∴CH＝AG，
∵HD＝CD﹣CH，DG＝AD﹣AG，
∴HD＝DG，
∴OD⊥OG，∠HDO＝∠GDO＝45°，
∴OD＝OG，
故答案为：OD⊥OG，OD＝OG；
（2）两个结论仍然成立，理由如下：
连接DG，作CI∥GF交AB于点I，延长GO交CI于点J，连接DJ，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，CD＝AD，∠ADC＝∠BAD＝90°，
∴∠DCI+∠CIA＝180°，
∵CI∥GF，
∴∠JCO＝∠GFO，
∵O为CF的中点，
∴CO＝FO，
∵∠COJ＝∠FOG，
∴△COJ≌△FOG（ASA），
∴JO＝GO，CJ＝FG，
在正方形AEFG中，AG＝FG，FG∥AE，
∴CJ＝AG，CI∥AE，
∴∠CIA＝∠IAE，
在正方形ABCD与正方形AEFG中，∠BAD＝∠EAG＝90°，
∴∠DAG+∠IAE＝180°，
∴∠DCI＝∠DAG，
∵CD＝AD，
∴△DCJ≌△DAG（AAS），
∴∠CDJ＝∠ADG，DJ＝DG，
∵∠CDJ+∠JDA＝∠CDA＝90°，
∴∠ADG+∠JDA＝∠JDG＝90°，
∴△JDG为等腰直角三角形，
∵O为JG的中点，
∴DO⊥JG，DO＝OG＝JG，
∴DO⊥OG，DO＝OG；
（3）DO的长为或，理由如下：
连接DG，当AG在直线BA上方时，可知∠DAG＝60°，取AD的中点P，连接GP，
∵AB＝4，AE＝2，
∴AP＝2，
∴AP＝AE，
∵∠DAG＝60°，
∴△APG为等边三角形，
∴DP＝PG，
∴∠PDG＝∠PGD＝30°，
∴∠AGD＝90°，
根据勾股定理可得：DG＝，
由（2）可知：DO＝，
连接DG，当AG在直线BA下方时，过点G作GR⊥DA交DA的延长线于点R，
∴∠DRG＝90°，
∵∠BAG＝150°，
∴∠GAR＝60°，
∴AR＝1，RG＝，
根据勾股定理可得：DG＝，
由（2）可知：DO＝，
综上所述，DO的长为或．2023-2024学年翠园中学九年级上学期11月月考
一．选择题（ 每题3分，共30分）
1．﹣5的绝对值是（　　）
A． B． C．+5 D．﹣5
2．5G是第五代移动通信技术，5G网络理论下载速度可以达到每秒1300000KB以上．用科学记数法表示1300000是（　　）
A．13×105 B．1.3×105 C．1.3×106 D．1.3×107
3．下列图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．下列运算正确的是（　　）
A．（ab）2＝a2b2 B．a3+a2＝a5
C．a3 a2＝a6 D．2（a﹣b）＝2a﹣b
5．某校开展安全知识竞赛，进入决赛的有6名同学，他们的成绩分别是：100，99，90，99，88，97．这6名同学的决赛成绩的中位数和众数分别是（　　）
A．99，99 B．90，98 C．98，99 D．94.5，99
6．不等式组的解集是（　　）
A．x＜ B．＜x＜9 C．x＞ D．x＜9
7．如图，AB∥CD，EF交AB于点G，EM平分∠CEF，∠FGB＝60°，则∠GME的度数为（　　）
A．60° B．55° C．50° D．45°
8．某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费435元，其中篮球的单价比足球的单价多3元，求篮球的单价和足球的单价．设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，依题意可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
9．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．其中顶点坐标为（1，n）．下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③m为任意实数，则a+b＞am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤关于x的方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根，其中结论正确的个数有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10．如图，AB为半圆O的直径，M，C是半圆上的三等分点，AB＝8，BD与半圆O相切于点B．点P为上一动点（不与点A，M重合），直线PC交BD于点D，BE⊥OC于点E，延长BE交PC于点F，则下列结论正确的个数有（　　）
①PB＝PD；②的长为π；③∠DBE＝45°；④△BCF∽△PCB；⑤CF CP为定值．
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
二．填空题（每题3分，共15分）
11．因式分解：x2﹣9y2＝　 　．
12．工厂质检人员为了检测其产品的质量，从同一批次共1000件产品中随机抽取50件进行检检测出次品1件，由此估计这一批产品中的次品件数是　 　．
13．若关于x的方程x2+bx+c＝0的一个根是﹣1．则b﹣c的值为 　 　．
14．如图，已知点A是反比例函数y＝﹣的图象上的一个动点，连接OA若将线段OA绕点O顺时针旋转90°得到线段OB，则点B所在图象的函数表达式为 　 　．
14题 15题
15．如图，等腰直角△ABC与等腰直角△CDE，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC＝70，DC＝CE＝42，连接AD、BE．若∠ACD＝60°，M为AD中点，CM交BE于点N，则MN的长为 　 　．
三．解答题（ 共55分）
16．计算：（）﹣1+4cos45°﹣+（2023﹣π）0．
17．先化简，再求值（1+）÷
，其中x＝﹣1．
18．我市某中学举行“中国梦 我的梦”的演讲比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A，B，C，D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完整，请你根据统计图解答下列问题．
（1）参加比赛的学生人数共有 　 　名，在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角为 　 　度，图中m的值为 　 　；
（2）补全条形统计图；
（3）组委会决定从本次比赛中获得A等级的学生中，选出两名去参加市中学生演讲比赛，已知A等级中男生只有1名，请用画树状图或列表的方法求出所选学生恰是一男一女的概率．
19．已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示：
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … 0 3 4 3 0 …
（1）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
（2）当﹣1＜x＜3时，直接写出函数值y的取值范围；
（3）求该二次函数的函数值不大于﹣5时，自变量x的取值范围．
20．某商场计划购进甲、乙两种商品，已知一件甲种商品的进价与一件乙种商品的进价之和为20元，用50元购进甲种商品的件数与用150元购进乙种商品的件数相同．
（1）求甲种、乙种两种商品的进价分别是多少元？
（2）商场计划购进甲、乙两种商品共80件，且此次进货的总资金不超过1000元，已知甲种商品的售价为12元，乙种商品售价为25元，试问该商场如何进货可使这两种商品全部售完后所获利润最大？最大利润是多少？
21．对于⊙C与⊙C上一点A，若平面内的点P满足：射线AP与⊙C交于点Q，且PA＝2QA，则称点P为点A关于⊙C的“倍距点”．已知平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是（﹣，0）．
（1）如图1，点O为坐标原点，⊙O的半径是，点P是点A关于⊙O的“倍距点”．
①若点P在x轴正半轴上，直接写出点P的坐标是 　 　；
②若点P在第一象限，且∠PAO＝30°，求点P的坐标；
（2）设点T（t，0），以点T为圆心，TA长为半径作⊙T，一次函数y＝x+4的图象分别与x轴、y轴交于D、E，若一次函数y＝x+4的图象上存在唯一一点P，使点P是点A关于⊙T的“倍距点”，求t的值．
22．综合与实践
在综合实践课上，同学们以“正方形的旋转”为主题开展学习数学活动．
操作判断
（1）操作一：将正方形ABCD与正方形AEFG的顶点A重合，点G在正方形ABCD的边AD上，如图1，连接CF，取CF的中点O，连接DO，OG．操作发现，DO与OG的位置关系是 　 　；DO与OG的数量关系是 　 　；
（2）操作二：将正方形AEFG绕顶点A顺时针旋转，（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；
拓展应用
（3）若AB＝4，AE＝2，当∠BAG＝150°时，请直接写出DO的长．

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