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浙江省杭州市联谊学校2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题
1．（2024高一下·杭州月考）已知，则的虚部为（　　）
A．2 B．4 C．-2 D．
【答案】A
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的加减运算
【解析】【解答】解：因为，所以，则的虚部为2.
故答案为：A.
【分析】根据复数的加减运算求得z，再根据复数的概念判断即可.
2．（2024高一下·杭州月考）设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10xn的方差为（　　）
A．0.01 B．0.1 C．1 D．10
【答案】C
【知识点】极差、方差与标准差
【解析】【解答】因为数据 的方差是数据 的方差的 倍，
所以所求数据方差为
故答案为：C
【分析】根据新数据与原数据关系确定方差关系，即得结果.
3．（2024高一下·杭州月考）设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：如图所示：
A、设平面为平面，平面为平面，为，则，则，故A错误；
B、设平面为平面，平面为平面，为，则，则，故B错误；
C、过作平面与平面交于直线，，则，，可得，则，故C正确；
D、设平面为平面， 为， 为，则，则，故D错误.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件借助正方体的几何特征，结合点、线、面的位置关系判断即可.
4．（2024高一下·杭州月考）已知向量满足，则向量在向量方向上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为，，
所以，得出，
所以，向量在向量方向上的投影向量为.
故选：C.
【分析】利用数量积求向量的模的公式和数量积的运算法则，从而得出的值，再结合数量积求投影向量的方法，进而得出向量在向量方向上的投影向量.
5．（2024高一下·杭州月考）函数的最小正周期等于（　　）
A．π B． C． D．
【答案】A
【知识点】二倍角的正弦公式；含三角函数的复合函数的周期
【解析】【解答】
，
所以最小最周期.
故答案为：A
【分析】根据二倍角公式以及辅助角公式对式子进行变形即可得到结果.
6．（2024高一下·杭州月考）已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（　　）
A．－4 B．4 C．5 D．8
【答案】C
【知识点】函数单调性的性质；基本不等式在最值问题中的应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】由的解集为，
则，且，是方程的两根，
由根与系数的关系知，
解得，，当且仅当时等号成立，
故， 设，
函数在上单调递增，
所以，
所以的最小值为5。
故答案为：C
【分析】由的解集为，则，且，是方程的两根，再利用韦达定理得出a的值，再结合均值不等式求最值的方法得出b的最小值，故， 设，，再利用函数的单调性求出函数的最小值，进而得出的最小值。
7．（2024高一下·杭州月考）已知圆锥的轴截面为为该圆锥的顶点，该圆锥内切球的表面积为，若，则该圆锥的体积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】球内接多面体；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设圆锥的轴截面的内切圆与PA相切于点，如图所示：
若， 则，
因为圆锥内切球的表面积为，所以内切球的半径，
则圆锥的高为，圆锥的底面半径为，
故该圆锥的体积.
故答案为：A.
【分析】由题意，利用内切圆的性质，求得圆锥的底面半径和高，结合体圆锥积公式求解即可.
8．（2024高一下·杭州月考）在中，角所对的边分别是，若，边上的高为，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；三角形中的几何计算
【解析】【解答】，
则利用余弦定理得，化简有，
因为AC边上的高为，则，所以，
，当且仅当取等号，
，所以，所以，
，则，
，所以∠ABC的最大值为.
故答案为：B.
【分析】利用余弦定理得到，再结合面积公式得出，运用余弦定理以及基本不等式得出，进而求三角函数不等式，确定的范围.
9．（2024高一下·杭州月考）下列命题为真命题的是（　　）
A．复数对应的点在第二象限
B．若为虚数单位，则
C．在复数集中，方程的两个解分别为和
D．复平面内满足条件的复数z所对应的点Z的集合是以点为圆心，2为半径的圆
【答案】B,C
【知识点】虚数单位i及其性质；复数的基本概念
【解析】【解答】因为复数对应的点为，第四象限，所以A错误；
，所以B正确；
因为，
则方程有两个虚数根，即为和，所以C正确；
因为复平面内满足条件的几何意义是点为圆心，2为半径的圆面，所以D错误.
故答案为：BC
【分析】
利用复数的定义可判断A；利用对数的运算得到B；利用复数方程的根可判断C，利用复数的几何意义得到不等式的几何意义得到D的正误.
10．（2024高一下·杭州月考）在中，分别为的对边，则下列叙述正确的是（　　）
A．若，则是等腰三角形．
B．若为锐角三角形且外心为且，则．
C．若，则解此三角形的结果有一解．
D．“为锐角三角形”是“”的充分不必要条件．
【答案】A,B,D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面向量的基本定理；解三角形；正弦定理的应用
【解析】【解答】A：由于，
利用正弦定理有，所以，
又，所以，
则，所以，
则是等腰三角形，所以A正确；
B：因为，所以，
化简得，即，
画出图像，设为的中点，所以，所以，则B，P，D三点共线，
由于P是的外心，则BD垂直平分AC，则，所以B正确；
C：因为，由正弦定理，则，
因为，则，并且，则或，
则三角形的有两解，C错误；
D：当为锐角三角形，则，所以，
变形，又因为在内单调递增，
所以，所以充分性应立；
当，取符合题意，但是为直角三角形，所以必要性不成立；
所以“为锐角三角形”是“”的充分不必要条件，D正确．
故答案为：ABD．
【分析】利用正弦定理有，变形得，得到A正确；利用图像，化简得B，P，D三点共线，得到B项正确；利用正弦定理，求得三角形的结果有两解，进行判断C；根据为锐角三角形，有，结合正弦函数的单调性和充分、必要条件的判定，判断D．
11．（2024高一下·杭州月考）如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，点P在线段BC1上运动时，下列命题正确的是（　　）
A．三棱锥A D1PC的体积不变
B．直线CP与直线AD1的所成角的取值范围为
C．直线AP与平面ACD1所成角的大小不变
D．二面角P AD1 C的大小不变
【答案】A,B,D
【知识点】异面直线所成的角；二面角及二面角的平面角；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】A：由于，面，面，则平面，
则BC1上任意一点到平面AD1C的距离相等，因为，则三棱锥A﹣D1PC的体积没有变化，所以A对；
B：由于，并且P在直线BC1上运动，则直线CP与直线AD1的所成角是直线CP与直线BC1的所成角，并且为等腰直角三角形，所以B正确；
C：点P在直线BC1上运动时，直线AB与平面AD1C所成的角和直线AC1与平面AD1C所成的角不相等，所以错误；
D：当点P在直线BC1上运动时，平面BAD1C1，所以二面角P﹣AD1﹣C的大小不受影响，所以D正确.
故答案为：ABD.
【分析】A：根据题意得到平面，则BC1上任意一点到平面AD1C的距离相等，由此可判断；B：根据，有直线CP与直线AD1的所成角即为直线CP与直线BC1的所成角，所以得到结果；C：点P在直线BC1上运动时，直线AB与平面AD1C所成的角和直线AC1与面AD1C所成的角不相等即可判断C；D：当点P在直线BC1上运动时，平面BAD1C1，即二面角P﹣AD1﹣C的大小不受影响，所以D正确.

12．（2024高一下·杭州月考）若，则　 　.
【答案】1
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则；换底公式及其推论
【解析】【解答】由于，则有，
则.
故答案为：1.
【分析】利用指数与对数的互化化简出，利用对数运算性质化简运算即可得到结果.
13．（2024高一下·杭州月考）从某果树上随机摘下11个水果，其直径为（单位：，则这组数据的第六十百分位数为　 　.
【答案】20
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】第六十百分位数的位置为，即取第7位数20，
故第六十百分位数为20.
故答案为：20.
【分析】利用百分位数的定义运算即可.
14．（2024高一下·杭州月考）已知函数()在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围为　 　.
【答案】
【知识点】函数零点存在定理；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】由于函数（），则周期为，
根据题意，所以
而()在区间上有且仅有一个零点，
所以，结合，所以，
所以，且，
取，，求出，则；
取，，求得，则；
取，，化简得，为空集，
所以，实数的取值范围是.
故答案为：.
【分析】根据题意，所以，利用其区间上有且仅有一个零点，得到，并且，化简出，利用特殊值法对k值进行代入，，即可得到结果.
15．（2024高一下·杭州月考）在疫情防护知识竞赛中，对某校的2000名考生的参赛成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，，，，，，60分以下视为不及格.观察图形中的信息，回答下列问题：
（1）求分数内的频率，并计算本次竞赛中不及格考生的人数；
（2）从频率分布直方图中，分别估计本次竞赛成绩的众数和中位数.
【答案】（1）根据图象可得：，
所以，则分数内的频率为.
所以不及格考生的人数为：（人）.
（2）由于成绩在的频率最大，并且，则众数为75分；
假设中位数为，所以，所以，则有中位数为分.
【知识点】频率分布直方图
【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图中的面积之和等于1，求出分数在内的频率，进而求出结果；
（2）利用面积最大区域中间数据估计众数，利用中位数的定义求中位数.
（1）由频率分布直方图得：，
解得，所以分数内的频率为.
本次竞赛中不及格考生的人数为：（人）.
（2）由题意得：因为成绩在的频率最大，又，所以众数为75分；
设中位数为，则，解得，所以中位数为分.
16．（2024高一下·杭州月考）如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点E为线段PD的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）求三棱锥的体积
【答案】（1）证明：连结，交于点O，如图示：
因为底面是正方形，且O是正方形对角线交点，所以O为中点，
又因为为线段的中点，所以，
又因为平面，平面，所以平面；
（2）证明：因为，为线段的中点，平面，所以，
在正方形中，，则平面，
又因为平面，所以，
又因为且两直线在平面内，所以平面；
（3）解：三棱锥的体积：.
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）连结，交于点O，连结，可得，再由线面平行的判定证明即可；
（2）由，E为线段PD的中点，得，再由平面，得，由线面垂直的判定证明即可；
（3）利用等体积法求解即可.
（1）连结，交于点O，
如图示：
∵O是正方形对角线交点，∴O为中点，
由已知E为线段的中点，∵，
又平面，平面，
∴平面；
（2）∵，E为线段的中点，
∵平面，∴，
在正方形中，，
∴平面，又平面，
∴，又且两直线在平面内，
∴平面；
（3）三棱锥的体积
.
17．（2024高一下·杭州月考）已知，如图，在中，点满足在线段BC上且，点是AD与MN的交点，.
（1）分别用来表示和
（2）求的最小值
【答案】（1）由于，
则，
又，
则.
（2）根据（1）可得，
又由于，，
则，
又三点共线，
则，，
则，
当且仅当，所以时等号成立，
所以的最小值为.
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的基本定理
【解析】【分析】（1）利用平面向量基本定理，以及向量的线性运算进行化简即可得到结果.
（2）利用三点共线的系数和为1，结合基本不等式中“1”进行化简即可得到结果.
（1）因为，
所以，
因为，
所以.
（2）由（1），
因为，，
所以，
因为三点共线，
所以，，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
故的最小值为.
18．（2024高一下·杭州月考）在中，对应的边分别为，已知向量，且为边上一点，，且.
（1）求；
（2）求面积的最大值.
【答案】（1）由题意，又，
则，
变形得，
所以，
则，
又，
则，
而，并且，则，所以.

（2）由于，
则，
两边平方得：，
化简得，当且仅当时取等号.
因为，所以，
则.
故面积的最大值为.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用垂直向量得数量积为0，进行代值化简即可得到结果
（2）由于，两边平方结合基本不等式得到，结合面积公式求解即可得到结果.
（1）因为，且，
所以，
利用二倍角公式和边化角可得：，
即，
所以，
因为，
所以，
又因为，所以，所以，即.
（2）因为，
所以，
两边平方得：，
所以，当且仅当时取等号.
由，可得：，
所以.
所以面积的最大值为.
19．（2024高一下·杭州月考）如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，侧面是正三角形，侧面底面是棱的中点，.
（1）证明：平面；
（2）若二面角为，求异面直线与所成角的正切值.
【答案】（1）因为四棱锥中，并且为矩形，所以，
又因为面面，面面平面，
所以平面，并且平面，所以，
又因为三角形是正三角形，是的中点，所以，
而平面，故平面.
（2）如图，
在面内，过点作，垂足为，所以，
因为面面，并且为交线，所以底面，而底面，
所以，过作，垂足为，连接，并且，
平面，所以平面，
又因为平面，所以，
所以即为二面角的平面角，并且=，
在中，，所以，
因为 ，所以为平行四边形，所以，
又因为，所以（或其补角）是异面直线与所成角，
由（1）知平面，所以为直角三角形，，
故异面直线与所成角的正切值为.
【知识点】异面直线所成的角；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】（1）根据面面垂直的性质，线面垂直的性质进行证明即可得到结果.
（2）作出二面角的平面角，进而求出，再利用异面直线所成角的定义求出其正切值.
（1）在四棱锥中，由底面为矩形，得，
由侧面底面，侧面底面平面，
得平面，又平面，则，
又侧面是正三角形，是的中点，则，
又平面，所以平面.
（2）如图，
在平面内，过点作，垂足为，显然，
由侧面底面，交线为，得底面，底面，
则，过作，垂足为，连接，显然，
平面，则平面，而平面，因此，
则即为二面角的平面角，其大小为，
在中，，则，
由，得四边形为平行四边形，则，
由，得（或其补角）为异面直线与所成角，
由（1）知平面，则为直角三角形，，
所以异面直线与所成角的正切值为.
1 / 1浙江省杭州市联谊学校2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题
1．（2024高一下·杭州月考）已知，则的虚部为（　　）
A．2 B．4 C．-2 D．
2．（2024高一下·杭州月考）设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10xn的方差为（　　）
A．0.01 B．0.1 C．1 D．10
3．（2024高一下·杭州月考）设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
4．（2024高一下·杭州月考）已知向量满足，则向量在向量方向上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
5．（2024高一下·杭州月考）函数的最小正周期等于（　　）
A．π B． C． D．
6．（2024高一下·杭州月考）已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（　　）
A．－4 B．4 C．5 D．8
7．（2024高一下·杭州月考）已知圆锥的轴截面为为该圆锥的顶点，该圆锥内切球的表面积为，若，则该圆锥的体积为（　　）
A． B． C． D．
8．（2024高一下·杭州月考）在中，角所对的边分别是，若，边上的高为，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．
9．（2024高一下·杭州月考）下列命题为真命题的是（　　）
A．复数对应的点在第二象限
B．若为虚数单位，则
C．在复数集中，方程的两个解分别为和
D．复平面内满足条件的复数z所对应的点Z的集合是以点为圆心，2为半径的圆
10．（2024高一下·杭州月考）在中，分别为的对边，则下列叙述正确的是（　　）
A．若，则是等腰三角形．
B．若为锐角三角形且外心为且，则．
C．若，则解此三角形的结果有一解．
D．“为锐角三角形”是“”的充分不必要条件．
11．（2024高一下·杭州月考）如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，点P在线段BC1上运动时，下列命题正确的是（　　）
A．三棱锥A D1PC的体积不变
B．直线CP与直线AD1的所成角的取值范围为
C．直线AP与平面ACD1所成角的大小不变
D．二面角P AD1 C的大小不变
12．（2024高一下·杭州月考）若，则　 　.
13．（2024高一下·杭州月考）从某果树上随机摘下11个水果，其直径为（单位：，则这组数据的第六十百分位数为　 　.
14．（2024高一下·杭州月考）已知函数()在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围为　 　.
15．（2024高一下·杭州月考）在疫情防护知识竞赛中，对某校的2000名考生的参赛成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，，，，，，60分以下视为不及格.观察图形中的信息，回答下列问题：
（1）求分数内的频率，并计算本次竞赛中不及格考生的人数；
（2）从频率分布直方图中，分别估计本次竞赛成绩的众数和中位数.
16．（2024高一下·杭州月考）如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点E为线段PD的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）求三棱锥的体积
17．（2024高一下·杭州月考）已知，如图，在中，点满足在线段BC上且，点是AD与MN的交点，.
（1）分别用来表示和
（2）求的最小值
18．（2024高一下·杭州月考）在中，对应的边分别为，已知向量，且为边上一点，，且.
（1）求；
（2）求面积的最大值.
19．（2024高一下·杭州月考）如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，侧面是正三角形，侧面底面是棱的中点，.
（1）证明：平面；
（2）若二面角为，求异面直线与所成角的正切值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的加减运算
【解析】【解答】解：因为，所以，则的虚部为2.
故答案为：A.
【分析】根据复数的加减运算求得z，再根据复数的概念判断即可.
2．【答案】C
【知识点】极差、方差与标准差
【解析】【解答】因为数据 的方差是数据 的方差的 倍，
所以所求数据方差为
故答案为：C
【分析】根据新数据与原数据关系确定方差关系，即得结果.
3．【答案】C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：如图所示：
A、设平面为平面，平面为平面，为，则，则，故A错误；
B、设平面为平面，平面为平面，为，则，则，故B错误；
C、过作平面与平面交于直线，，则，，可得，则，故C正确；
D、设平面为平面， 为， 为，则，则，故D错误.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件借助正方体的几何特征，结合点、线、面的位置关系判断即可.
4．【答案】C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为，，
所以，得出，
所以，向量在向量方向上的投影向量为.
故选：C.
【分析】利用数量积求向量的模的公式和数量积的运算法则，从而得出的值，再结合数量积求投影向量的方法，进而得出向量在向量方向上的投影向量.
5．【答案】A
【知识点】二倍角的正弦公式；含三角函数的复合函数的周期
【解析】【解答】
，
所以最小最周期.
故答案为：A
【分析】根据二倍角公式以及辅助角公式对式子进行变形即可得到结果.
6．【答案】C
【知识点】函数单调性的性质；基本不等式在最值问题中的应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】由的解集为，
则，且，是方程的两根，
由根与系数的关系知，
解得，，当且仅当时等号成立，
故， 设，
函数在上单调递增，
所以，
所以的最小值为5。
故答案为：C
【分析】由的解集为，则，且，是方程的两根，再利用韦达定理得出a的值，再结合均值不等式求最值的方法得出b的最小值，故， 设，，再利用函数的单调性求出函数的最小值，进而得出的最小值。
7．【答案】A
【知识点】球内接多面体；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设圆锥的轴截面的内切圆与PA相切于点，如图所示：
若， 则，
因为圆锥内切球的表面积为，所以内切球的半径，
则圆锥的高为，圆锥的底面半径为，
故该圆锥的体积.
故答案为：A.
【分析】由题意，利用内切圆的性质，求得圆锥的底面半径和高，结合体圆锥积公式求解即可.
8．【答案】B
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；三角形中的几何计算
【解析】【解答】，
则利用余弦定理得，化简有，
因为AC边上的高为，则，所以，
，当且仅当取等号，
，所以，所以，
，则，
，所以∠ABC的最大值为.
故答案为：B.
【分析】利用余弦定理得到，再结合面积公式得出，运用余弦定理以及基本不等式得出，进而求三角函数不等式，确定的范围.
9．【答案】B,C
【知识点】虚数单位i及其性质；复数的基本概念
【解析】【解答】因为复数对应的点为，第四象限，所以A错误；
，所以B正确；
因为，
则方程有两个虚数根，即为和，所以C正确；
因为复平面内满足条件的几何意义是点为圆心，2为半径的圆面，所以D错误.
故答案为：BC
【分析】
利用复数的定义可判断A；利用对数的运算得到B；利用复数方程的根可判断C，利用复数的几何意义得到不等式的几何意义得到D的正误.
10．【答案】A,B,D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面向量的基本定理；解三角形；正弦定理的应用
【解析】【解答】A：由于，
利用正弦定理有，所以，
又，所以，
则，所以，
则是等腰三角形，所以A正确；
B：因为，所以，
化简得，即，
画出图像，设为的中点，所以，所以，则B，P，D三点共线，
由于P是的外心，则BD垂直平分AC，则，所以B正确；
C：因为，由正弦定理，则，
因为，则，并且，则或，
则三角形的有两解，C错误；
D：当为锐角三角形，则，所以，
变形，又因为在内单调递增，
所以，所以充分性应立；
当，取符合题意，但是为直角三角形，所以必要性不成立；
所以“为锐角三角形”是“”的充分不必要条件，D正确．
故答案为：ABD．
【分析】利用正弦定理有，变形得，得到A正确；利用图像，化简得B，P，D三点共线，得到B项正确；利用正弦定理，求得三角形的结果有两解，进行判断C；根据为锐角三角形，有，结合正弦函数的单调性和充分、必要条件的判定，判断D．
11．【答案】A,B,D
【知识点】异面直线所成的角；二面角及二面角的平面角；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】A：由于，面，面，则平面，
则BC1上任意一点到平面AD1C的距离相等，因为，则三棱锥A﹣D1PC的体积没有变化，所以A对；
B：由于，并且P在直线BC1上运动，则直线CP与直线AD1的所成角是直线CP与直线BC1的所成角，并且为等腰直角三角形，所以B正确；
C：点P在直线BC1上运动时，直线AB与平面AD1C所成的角和直线AC1与平面AD1C所成的角不相等，所以错误；
D：当点P在直线BC1上运动时，平面BAD1C1，所以二面角P﹣AD1﹣C的大小不受影响，所以D正确.
故答案为：ABD.
【分析】A：根据题意得到平面，则BC1上任意一点到平面AD1C的距离相等，由此可判断；B：根据，有直线CP与直线AD1的所成角即为直线CP与直线BC1的所成角，所以得到结果；C：点P在直线BC1上运动时，直线AB与平面AD1C所成的角和直线AC1与面AD1C所成的角不相等即可判断C；D：当点P在直线BC1上运动时，平面BAD1C1，即二面角P﹣AD1﹣C的大小不受影响，所以D正确.

12．【答案】1
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则；换底公式及其推论
【解析】【解答】由于，则有，
则.
故答案为：1.
【分析】利用指数与对数的互化化简出，利用对数运算性质化简运算即可得到结果.
13．【答案】20
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】第六十百分位数的位置为，即取第7位数20，
故第六十百分位数为20.
故答案为：20.
【分析】利用百分位数的定义运算即可.
14．【答案】
【知识点】函数零点存在定理；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】由于函数（），则周期为，
根据题意，所以
而()在区间上有且仅有一个零点，
所以，结合，所以，
所以，且，
取，，求出，则；
取，，求得，则；
取，，化简得，为空集，
所以，实数的取值范围是.
故答案为：.
【分析】根据题意，所以，利用其区间上有且仅有一个零点，得到，并且，化简出，利用特殊值法对k值进行代入，，即可得到结果.
15．【答案】（1）根据图象可得：，
所以，则分数内的频率为.
所以不及格考生的人数为：（人）.
（2）由于成绩在的频率最大，并且，则众数为75分；
假设中位数为，所以，所以，则有中位数为分.
【知识点】频率分布直方图
【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图中的面积之和等于1，求出分数在内的频率，进而求出结果；
（2）利用面积最大区域中间数据估计众数，利用中位数的定义求中位数.
（1）由频率分布直方图得：，
解得，所以分数内的频率为.
本次竞赛中不及格考生的人数为：（人）.
（2）由题意得：因为成绩在的频率最大，又，所以众数为75分；
设中位数为，则，解得，所以中位数为分.
16．【答案】（1）证明：连结，交于点O，如图示：
因为底面是正方形，且O是正方形对角线交点，所以O为中点，
又因为为线段的中点，所以，
又因为平面，平面，所以平面；
（2）证明：因为，为线段的中点，平面，所以，
在正方形中，，则平面，
又因为平面，所以，
又因为且两直线在平面内，所以平面；
（3）解：三棱锥的体积：.
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）连结，交于点O，连结，可得，再由线面平行的判定证明即可；
（2）由，E为线段PD的中点，得，再由平面，得，由线面垂直的判定证明即可；
（3）利用等体积法求解即可.
（1）连结，交于点O，
如图示：
∵O是正方形对角线交点，∴O为中点，
由已知E为线段的中点，∵，
又平面，平面，
∴平面；
（2）∵，E为线段的中点，
∵平面，∴，
在正方形中，，
∴平面，又平面，
∴，又且两直线在平面内，
∴平面；
（3）三棱锥的体积
.
17．【答案】（1）由于，
则，
又，
则.
（2）根据（1）可得，
又由于，，
则，
又三点共线，
则，，
则，
当且仅当，所以时等号成立，
所以的最小值为.
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的基本定理
【解析】【分析】（1）利用平面向量基本定理，以及向量的线性运算进行化简即可得到结果.
（2）利用三点共线的系数和为1，结合基本不等式中“1”进行化简即可得到结果.
（1）因为，
所以，
因为，
所以.
（2）由（1），
因为，，
所以，
因为三点共线，
所以，，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
故的最小值为.
18．【答案】（1）由题意，又，
则，
变形得，
所以，
则，
又，
则，
而，并且，则，所以.

（2）由于，
则，
两边平方得：，
化简得，当且仅当时取等号.
因为，所以，
则.
故面积的最大值为.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用垂直向量得数量积为0，进行代值化简即可得到结果
（2）由于，两边平方结合基本不等式得到，结合面积公式求解即可得到结果.
（1）因为，且，
所以，
利用二倍角公式和边化角可得：，
即，
所以，
因为，
所以，
又因为，所以，所以，即.
（2）因为，
所以，
两边平方得：，
所以，当且仅当时取等号.
由，可得：，
所以.
所以面积的最大值为.
19．【答案】（1）因为四棱锥中，并且为矩形，所以，
又因为面面，面面平面，
所以平面，并且平面，所以，
又因为三角形是正三角形，是的中点，所以，
而平面，故平面.
（2）如图，
在面内，过点作，垂足为，所以，
因为面面，并且为交线，所以底面，而底面，
所以，过作，垂足为，连接，并且，
平面，所以平面，
又因为平面，所以，
所以即为二面角的平面角，并且=，
在中，，所以，
因为 ，所以为平行四边形，所以，
又因为，所以（或其补角）是异面直线与所成角，
由（1）知平面，所以为直角三角形，，
故异面直线与所成角的正切值为.
【知识点】异面直线所成的角；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】（1）根据面面垂直的性质，线面垂直的性质进行证明即可得到结果.
（2）作出二面角的平面角，进而求出，再利用异面直线所成角的定义求出其正切值.
（1）在四棱锥中，由底面为矩形，得，
由侧面底面，侧面底面平面，
得平面，又平面，则，
又侧面是正三角形，是的中点，则，
又平面，所以平面.
（2）如图，
在平面内，过点作，垂足为，显然，
由侧面底面，交线为，得底面，底面，
则，过作，垂足为，连接，显然，
平面，则平面，而平面，因此，
则即为二面角的平面角，其大小为，
在中，，则，
由，得四边形为平行四边形，则，
由，得（或其补角）为异面直线与所成角，
由（1）知平面，则为直角三角形，，
所以异面直线与所成角的正切值为.
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