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第一章《三角形》章节复习卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．现有长为的铁丝，要截成小段（），每段的长度不小于，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则的最大值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
2．某校准备在如图所示的三角形空地上种植花卉，需将其分成面积相等的两块分别种植牡丹和芍药，小敏作出线段来划分，那么是 ABC的（ ）
A．角平分线 B．中线
C．高线 D．以上都不是
3．如图，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在 ABC与中，若，则，这个结论的理由是（　　）
A． B． C． D．
5．在 ABC中，，将 ABC沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是（ ）
A．B．C． D．
6．如图，是的高，，，，则∠DBE=（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
7．已知：如图，点E、A、D、B在同一直线上，交于点O，，增加下列条件不能推导出的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在四边形中，，E为的中点，且，延长交的延长线于点F．若，，则的长为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
9．如图，在 ABC中，，．分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，，作直线交于点，连接．下列说法中，错误的是（ ）
A． B．是的平分线
C． D．
10．如图，等腰直角三角形中，，将绕点B顺时针旋转（），得到，连接，点H在射线上，则的度数（ ）
A．随着的增大而增大 B．随着的增大而减小
C．不变 D．随着的增大，先增大后减小
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
11．若等腰三角形的周长为12，其中一边长为2，则腰长为 ．
12．如图，在中，，，，P、Q是边AC、BC上的两个动点，于点D，于点E．设点P、Q运动的时间是t秒（）．若点P从C点出发沿CA以每秒3个单位的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回到点C停止运动；点Q从点B出发沿BC以每秒1个单位的速度向点C匀速运动，到达点C后停止运动，当 秒时，和全等．
13．如图，在 ABC中，，为边中点，为边上一点，将 ADE沿着翻折，得到，连接．当时，的度数为 ．
14．如图，在锐角三角形中，是边上的高，在，上分别截取线段，，使；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点P，作射线，交于点M，过点M作于点N．若，则 ．
15．如图，在 ABC中，分别以A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于D，E两点；分别以A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于F，G两点；且分别与相交于M，N两点，连接、，若，则 ．
16．如图，在长方形中，，，点是延长线上一点，且，连接，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动．设点运动的时间为，则当和全等时，的值为 ．
17．如图，AD是 ABC的中线，，，，点E、F为垂足，，则BC的长为 cm．
18．如图，，点分别在射线上，，是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为，点在直线上运动时，当的面积最小值为时，则 OMN 的面积为 ．
19．如图，在 ABC中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是 ．
20．如图，已知：，点、、…在射线上，点、、…在射线上，…均为等边三角形，若，则的边长为 ．
三、解答题（本大题共5小题，共40分）
21．（6分）如图， ABC的面积为18，平分，于点D，求的面积．
22．（8分）如图①，在中，，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为．
(1)如图①，当________时，的面积等于 ABC面积的一半；
(2)如图②，在中，，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点Q的运动速度．
23．（8分）如图，在 ABC中，点、分别在边、上，连接、交于点，且．
(1)求证：是等腰直角三角形；
(2)若，，求四边形的面积．
24．（8分）如图所示，已知四边形中，．
(1)求证：；
(2)请直接写出图中所有的全等三角形．
25．（10分）（1）如图1，在 ABC中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，，求证：；
【变式探究】
（2）如图2，在 ABC中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明；
【拓展应用】
（3）小明和科技兴趣小组的同学制作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以 ABC的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高，延长交于点．设的面积为，的面积为，请猜想，大小关系，并说明理由．
参考答案
一、选择题
1．B
【知识点】三角形三边关系的应用、构成三角形的条件
【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，即三角形的两边之和大于第三边，理解题意、列出每段铁丝的长度是解题关键．
根据三角形的三边关系，设最小的长度为，又因任意三小段都不能拼成三角形，得每段长度是，，，，，，，，，，，依此类推，总和不大于即可求解．
【详解】解：段之和为，
若要尽可能的大，则每段的长度尽可能的小，
每段的长度不小于，且其中任意三小段都不能拼成三角形，
这些小段的长度只可能分别是，，，，，，，，，，，
，
，
小段的长度分别为，，，，，，，，，，
的最大值为．
故选：B．
2．B
【知识点】根据三角形中线求面积
【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，根据三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分，即可解题．
【详解】解：将三角形空地分成面积相等的两部分，
是 ABC的中线；
故选：B．
3．C
【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质
【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，掌握全等三角形对应角相等是解题的关键．
先根据全等三角形对应角相等得到，再由三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：C．
4．C
【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS）
【分析】本题考查了直角三角形全等的判定的应用，注意判定两三角形的全等方法有，，，，，选用适当的方法证明两三角形全等是解题的关键．
利用证明，即可求解．
【详解】解：在 ABC与中，
∵，
∴．
故选：C
5．D
【知识点】全等三角形综合问题
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，三角形外角的性质，A、B两个选项都可以利用证明全等，C选项中，先证明，再利用即可证明两个三角形全等，D选项中，根据现有条件不能证明两个三角形全等．
【详解】解：A、如图所示，∵，
∴，故A不符合题意；
B、如图所示，∵，
∴，故B不符合题意；
C、如图所示，∵，，
∴，
又∵，
∴，故C不符合题意；
D、如图所示，同理可得，但是不是对应边，故不能证明两个三角形全等，故D符合题意；
故选：D．
6．B
【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、等边对等角
【分析】证明Rt△BDE≌Rt△ADC，根据全等三角形的性质得到∠DBE＝∠DAC，根据等腰直角三角形的性质求出∠DAB＝∠DBA＝45°，计算即可．
【详解】解：∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△BDE和Rt△ADC中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△ADC（HL），
∴∠DBE＝∠DAC，
在Rt△ADB中，AD＝BD，
∴∠DAB＝∠DBA＝45°，
∵∠BAC＝70°，
∴∠DAC＝70° 45°＝25°，
∴∠DBE＝∠DAC°＝25°，
故选：B．
7．C
【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合）
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，等边对等角，根据题意可证明，，再结合全等三角形的判定定理逐一判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
添加条件，则，即，则可利用证明，故A不符合题意；
添加条件，则可利用证明，故B不符合题意；
添加条件，不可以利用证明，故C符合题意；
添加条件，则可利用证明，故D不符合题意；
故选：C．
8．C
【知识点】线段垂直平分线的性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，以及垂直平分线的判定与性质，准确推导出全等三角形并理解线段垂直平分线的性质是解题关键．由“”可证，可得，，由线段垂直平分线的性质可得．
【详解】解：为的中点，
，
，
，，
在与中，
，
，
，，
，
，，
，
故选：C．
9．D
【知识点】三角形角平分线的定义、含30度角的直角三角形、线段垂直平分线的性质
【分析】本题考查了作垂直平分线，线段垂直平分线的性质，角的直角三角形的性质，先根据垂直平分线的性质判断A选项；然后利用等边对等角得到，即可判断B选项；根据角的直角三角形的性质判断C选项；然后根据高相等的两三角形的面积比等于底的比判断D选项解答即可．
【详解】解：由作图可得垂直平分，
∴，故A选项正确，不符合题意；
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，是的平分线，故B、C选项正确，不符合题意；
∴，故D选项错误，符合题意；
故选：D．
10．C
【知识点】根据旋转的性质求解、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
由旋转的性质可得，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求，由外角的性质可求，即可求解．
【详解】解：过点A作于点M，如图
∵将绕点B顺时针旋转θ（），得到，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴
即的度数是定值，
故选C．
二、填空题
11．5
【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义
【分析】要确定等腰三角形的另外两边长，可根据已知边的长，结合周长公式求解，由于长为2的边已知没有明确是腰还是底边，要分类进行讨论．
【详解】解：∵等腰三角形的周长为12，
∴当2为腰时，它的底长，，不能构成等腰三角形；
当2为底时，它的腰长，能构成等腰三角形，
即腰长为5．
故答案为：5．
12．3或6
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、全等三角形的性质
【分析】分两种情况：①时，点P从C到A运动，则，求得，②时，点P从A到C运动，则，求得．
【详解】解：①时，点P从C到A运动，则，
当时，
则，
即，解得：，
②时，点P从A到C运动，则，
当时，
则，
即，
解得：，
综上所述：当秒或6秒时，．
故答案为：3或6．
13．
【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形折叠中的角度问题、全等三角形的性质、等边三角形的判定和性质
【分析】根据折叠的性质可得，根据及折叠的性质可得为等边三角形，再根据三角形的外角性质求解即可
【详解】在中，，将 ADE沿着翻折，交于点,得到，如图；
∴
∴,
∵，为边中点，
∴,为等边三角形，
∴，
∴，
∵
即
∴.
故答案为：
14．9
【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)
【分析】本题考查了尺规作图-作已知角的平分线，角平分线的性质，根据作图步骤可判断平分，根据角平分线的性质可得出，结合已知即可求解．
【详解】解∶由作图知∶ 平分，
∵，，，
∴，
又，
∴，
∴，
故答案为∶9．
15．
【知识点】三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图)、等边对等角
【分析】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握尺规作图和等腰三角形的性质是解题关键．先得出垂直平分，垂直平分，则，再根据等腰三角形的性质可得，，然后根据三角形的内角和定理可得，根据三角形的内角和定理求解即可得．
【详解】解：由题意得：垂直平分，垂直平分，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
16．或
【知识点】全等三角形的性质
【分析】本题考查了全等三角形的性质，由题意得，，然后分当时和当时两种情况分析即可，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：由题意得，，
如图，当时，
∴，
∴，
∴；
如图，当时，
∴，
∴，
∴；
∴当的值为或秒时，和全等，
故答案为：或秒．
17．12
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、含30度角的直角三角形
【分析】先证明△CDE≌△BDF（AAS），得出DE=DF=EF=3cm，再由，，求得，从而求出∠DCE=30°，由直角三角形的性质得出CD=2DE=6cm，即可由BC=2CD求解．
【详解】解：∵AD是 ABC的中线，
∴．
∵，，
∴，
在和 BDF中，
，
∴(AAS)．
∴．
∵，，
∴，
∴
∴，
∴．
故答案为：12．
18．
【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据成轴对称图形的特征进行求解
【分析】连接，过点作于，根据轴对称的性质可得，，，即得，得到为等腰直角三角形，即得，可知当的面积最小时，点在点位置，即，可得，最后根据三角形面积公式计算即可求解．
【详解】解：如图，连接，过点作于，
由轴对称可得，，，，，
∴，，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
当的面积最小时，点在点位置，即，
解得，
∴，
故答案为：．
19．
【知识点】垂线段最短、含30度角的直角三角形、角平分线的性质定理
【分析】本题考查了角平分线的性质，含角的直角三角形，垂线段最短，解题的关键是正确作出辅助线．
作于点，根据垂线段最短可知，的最小值是线段的长度，根据解含角的直角三角形即可．
【详解】解：如图，作于点，
∵平分，
作点关于的对称点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴的最小值是，
故答案为：．
20．
【知识点】等边三角形的性质、含30度角的直角三角形、两直线平行同位角相等
【分析】考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出进而发现规律是解题关键．
根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出，以及，得出…进而得出答案．
【详解】解：如图所示：
∵是等边三角形，
∴，
∴，
，
∴，
又∵，
，
∵，
，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
，
∴，
∴，
∴，
∴，，，
以此类推：．
故答案是：．
三、解答题
21．解：如图，延长交于点，

平分，，
∴∠BAD=∠EAD，，
在和中，
，
，
，
，，
，
．
22．（1）解：∵在中，，
∴，
∴．
分类讨论：①当点P在上时，不存在；
②当点P在上时，此时，如图，
∴，
∴；
③当点P在上时，此时，如图，
∵的面积等于 ABC面积的一半，
∴，
∴，
∴．
综上可知当或时，的面积等于 ABC面积的一半；
（2）解：∵，
∴只存在两种情况：①当点P位于，点Q位于上时；②当点Q位于，点P位于上时．
设点Q的运动速度为，
①当点P位于，点Q位于上时，此时，，如图，
∵，
∴，，
∴，，
解得：，，
∴此时点Q的运动速度为；
②当点Q位于，点P位于上时，此时，，如图，
∵，
∴，，
∴，，
解得：，，
∴此时点Q的运动速度为．
综上可知点Q的运动速度为或．
23．（1）证明：，
，，
，
，
是等腰直角三角形；
（2）解：，，
，
，
，
四边形的面积．
24．（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和 ADE中
，
∴，
∴．
（2）解：在 ABC和中，
，
∴，
∴，，
在和中，
，
∴．
由（1）有，
综上，图中全等三角形有：、、．
25．（1）证明：∵直线l，直线l，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：，，的数量关系是：，证明如下：
∵是的外角，
∴∠EAB=∠ADB+∠DBA，
∴∠EAC+∠BAC=∠ADB+∠DBA，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴；
（3），大小关系是：，理由如下：
过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示：
∵，
∴∠AGB=∠M=90°，
∴，
∵，
∴∠BAG+∠DAM=90°，
∴∠ABG=∠DAM，
在和中，
，
∴，
∴，
同理可证明：，
∴，
∴，
∵，，
∴．

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