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预习衔接.夯实基础 方差
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 昆山市期中）已知一组数据26，36，36，3■，41，其中一个两位数的个位数字被墨水涂污，则下列统计量中仍能计算结果的是（　　）
A．平均数 B．方差 C．中位数 D．众数
2．（2024秋 秦淮区期中）已知一组数据1，2，3，4，5的平均数是，方差是，另一组数据2，3，4，5，6的平均数是，方差是，则下列说法正确的是（　　）
A．，
B．，
C．，
D．，
3．（2024秋 宝丰县期末）对甲、乙、丙、丁四名射击选手进行射击测试，每人射击10次，平均成绩均为9.5环，方差如表所示：则四名选手中成绩最稳定的是（　　）
选手 甲 乙 丙 丁
方差 1.34 0.16 2.56 0.21
A．甲 B．乙 C．两 D．丁
4．（2024秋 长沙期中）如图是长沙市一中现代舞蹈社团20名成员的年龄分布统计表，数据不小心被撕掉一块，仍能够分析得出关于这20名成员年龄的统计量是（　　）
A．平均数 B．方差 C．中位数 D．众数
5．（2024秋 南京期中）小明在处理一组数据“12，12，28，15，■”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在20～30之间，则“■”在范围内无论为何值都不影响这组数据的（　　）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 阜宁县期中）数据﹣1、0、1、2、3、7的极差是　 　．
7．（2024秋 历下区期中）“科学用眼，保护视力”是青少年珍爱生命的具体表现．某班50名同学的视力检查数据如表所示，其中有两个数据被墨汁遮盖了，以下关于视力的统计量中可以确定的是 　 　（填写正确的序号）．
视力 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0
人数 3 3 6 9 12 10
①平均数
②众数
③方差
8．（2024 朝阳区校级一模）农科院计划为某地选择合适的甜玉米种子．选择种子时，甜玉米的产量和产量的稳定性是农科院所关心的问题．为了解甲、乙两种玉米的相关情况，农科院各用10块自然条件相同的试验田进行试验，得到数据如图．则甲、乙两种甜玉米产量的方差大小关系为 　 　．（填“＜”或“＞”）
9．（2024秋 建邺区期中）某校国旗护卫队原来有5名学生，身高（单位：cm）分别为173，174，174，174，175，若增加一位身高为174的学生，则国旗护卫队学生身高的方差会 　 　．（填“变大”“变小”或“不变”）
10．（2024 淅川县二模）为迎接全市的禁毒知识竞赛，某校进行了相关知识测试，经过层层预赛，小洋和小亮进入了最后的决赛．如图，是他们6次的测试成绩，若要从中选一名测试成绩稳定的同学去参加竞赛，则应选 　 　．（填“小洋”或“小亮”）．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 吴江区期中）某种零件的标准直径为10mm，从甲、乙两台机床加工的这种零件中各抽取5件，对其直径进行检测，结果如下（单位：mm）：
甲机床：10.05，10.02，9.97，9.96，10.00；
乙机床：10.00，10.01，10.02，9.97，10.00．
（1）分别求这两个样本的方差；
（2）估计哪一台机床的产品质量比较稳定．
12．（2024秋 南京期中）甲、乙两名同学进行射击练习，在相同条件下各射靶10次，其中9环以上（含9环）为优秀，将射击结果统计如表：
命中环数 5 6 7 8 9 10
甲命中环数的次数 1 4 2 1 1 1
乙命中环数的次数 1 2 4 2 1 0
（1）补充完成下面的统计表：
平均分 方差 中位数 优秀率
甲 7
　 　
6.5 20%
乙
　 　
1.2
　 　
10%
（2）甲同学说：“我的优秀率比乙高，所以我的成绩比乙好”；乙同学说：“我的成绩比甲好”．写出两条支持乙同学观点的理由．
13．（2024秋 昆山市期中）甲、乙两名学生进行射击练习，在相同条件下各射击10次，结果如下：
命中的环数/环 5 6 7 8 9 10
甲命中次数 2 1 4 2 0 1
乙命中次数 1 4 2 1 1 1
（1）甲同学10次射击命中环数的中位数是 　 　环，乙同学10次射击命中环数的众数是 　 　环；
（2）求甲同学10次射击命中环数的平均数和方差；
（3）经过计算可知，乙同学10次射击的平均数是7环，方差是2.2环2．根据所学的统计知识，从集中趋势和稳定性两个方面来考查两人的成绩，请你对甲、乙两名学生的射击水平给出评价．
14．（2024秋 桃城区校级期中）某校从九年级男生中任意选取40人，随机分成甲、乙两个小组进行“引体向上”体能测试，根据测试成绩绘制出统计表和如图所示的统计图．
甲组成绩统计表
成绩/分 7 8 9 10
人数/人 1 9 5 5
（1）甲组成绩的众数 　 　乙组成绩的众数（填“＞”“＜”或“＝”）；
（2）求乙组的平均成绩；
（3）这40个学生成绩的中位数是 　 　；
（4）经计算甲组成绩的方差为0.81，乙组成绩的方差为0.75，请你判断哪个小组的成绩比较整齐．
15．（2024秋 历下区期中）某中学为选拔“校园形象代言人”，先后进行了笔试和面试．在笔试中，甲、乙、丙三位同学脱颖而出，他们的笔试成绩（满分为100分）分别是87，85，90．在面试中，十位评委对甲、乙、丙三位同学的表现进行打分，每位评委最高打10分，面试成绩等于各位评委打分之和．对三位同学的面试数据进行整理、描述和分析，并给出了相关信息．
c．甲、乙、丙三位同学面试情况统计表
同学 评委打分的中位数 评委打分的众数 面试成绩 方差
甲 m 9和10 85 1.85
乙 8.5 8 87 s2
丙 8 n p 2.01
根据以上信息，回答下列问题：
（1）m＝ 　 　，n＝ 　 　；
（2）求丙同学的面试成绩p；
（3）通过比较方差，可判断评委对学生面试表现评价的一致性程度．据此推断评委对 　 　同学的评价更一致（填“甲”、“乙”或“丙”）；
（4）按笔试成绩占40%，面试成绩占60%选出综合成绩最高的同学是 　 　（填“甲”、“乙”或“丙”）．
预习衔接.夯实基础 方差
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 昆山市期中）已知一组数据26，36，36，3■，41，其中一个两位数的个位数字被墨水涂污，则下列统计量中仍能计算结果的是（　　）
A．平均数 B．方差 C．中位数 D．众数
【考点】统计量的选择；算术平均数；中位数；众数；方差．
【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【答案】D
【分析】利用平均数、中位数、方差和众数的定义对各选项进行判断．
【解答】解：这组数据的平均数、方差和中位数都与被涂污数字有关，而这组数据的众数与被涂污数字无关，即36是这组数据的众数或其中一个众数．
故选：D．
【点评】此题主要考查统计量的选择，主要包括平均数、中位数、众数、方差，掌握相关定义是解答本题的关键．
2．（2024秋 秦淮区期中）已知一组数据1，2，3，4，5的平均数是，方差是，另一组数据2，3，4，5，6的平均数是，方差是，则下列说法正确的是（　　）
A．，
B．，
C．，
D．，
【考点】方差；算术平均数．
【专题】统计的应用；运算能力．
【答案】B
【分析】分别计算出平均数和方差即可得出答案．
【解答】解：∵3，
4，
[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]＝2，
s[（2﹣4）2+（3﹣4）2+（4﹣4）2+（5﹣4）2+（6﹣4）2]＝2，
∴，s．
故选：B．
【点评】本题考查了方差和算术平均数，熟练掌握方差和算术平均数计算公式是解题关键．
3．（2024秋 宝丰县期末）对甲、乙、丙、丁四名射击选手进行射击测试，每人射击10次，平均成绩均为9.5环，方差如表所示：则四名选手中成绩最稳定的是（　　）
选手 甲 乙 丙 丁
方差 1.34 0.16 2.56 0.21
A．甲 B．乙 C．两 D．丁
【考点】方差；算术平均数．
【专题】统计的应用；应用意识．
【答案】B
【分析】根据方差越小越稳定判断即可．
【解答】解：因为乙的方差最小，所以乙的成绩最稳定；
故选：B．
【点评】本题考查了方差的意义，解题关键是明确方差越小，波动越小．
4．（2024秋 长沙期中）如图是长沙市一中现代舞蹈社团20名成员的年龄分布统计表，数据不小心被撕掉一块，仍能够分析得出关于这20名成员年龄的统计量是（　　）
A．平均数 B．方差 C．中位数 D．众数
【考点】统计量的选择；算术平均数；中位数；众数；方差．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】C
【分析】根据平均数、方差、中位数和众数的定义即可得出答案．
【解答】解：由于17岁和18岁的人数不确定，所以平均数、方差和众数就不确定，
因为该组数据有20个，中位数为第10个和11个的平均数：16，
所以仍能够分析得出关于这20名成员年龄的统计量是中位数．
故选：C．
【点评】本题主要考查频数分布表及统计量的选择，由表中数据得出数据的总数是根本，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键．
5．（2024秋 南京期中）小明在处理一组数据“12，12，28，15，■”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在20～30之间，则“■”在范围内无论为何值都不影响这组数据的（　　）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【考点】方差；算术平均数；中位数；众数．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】B
【分析】根据平均数，众数，中位数，方差定义，判断四个数据中只改变一个数据，各统计量的是否变化．
【解答】解：一组数据“12，12，28，15，■”，该数据■在20～30之间，
五个数据的和随数据■的变化而变化，所以平均数是变化的，故选项A不符合题意；
中位数是15，不变，故选项B符合题意；
众数也可能变化，故选项C不符合题意；
因为平均数改变，方差随着改变，故选项D不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了平均数，众数，中位数，方差，解题的关键是运用平均数，众数，中位数，方差的定义，比较各量是否变化．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 阜宁县期中）数据﹣1、0、1、2、3、7的极差是　8　．
【考点】极差．
【专题】统计的应用；运算能力．
【答案】8．
【分析】根据极差的定义，用最大数减去最小数即可
【解答】解：根据题意可知，这组数据中最大的数是7，最小的数是﹣1，
∴这组数据的极差为：7﹣（﹣1）＝7+1＝8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了极差，掌握极差是指一组数据中最大数与最小数的差是关键．
7．（2024秋 历下区期中）“科学用眼，保护视力”是青少年珍爱生命的具体表现．某班50名同学的视力检查数据如表所示，其中有两个数据被墨汁遮盖了，以下关于视力的统计量中可以确定的是 　②　（填写正确的序号）．
视力 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0
人数 3 3 6 9 12 10
①平均数
②众数
③方差
【考点】统计量的选择；加权平均数；众数；方差．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】②．
【分析】通过计算视力为4.9、5.0的人数，进行判断，不影响视力出现次数最多的结果，因此不影响众数，同时不影响找第25、26位数据，因此不影响中位数的计算，进而进行选择．
【解答】解：由表格数据可知，成绩为4.9、5.0的人数为50﹣（3+3+6+9+12+10）＝7（人），
视力为4.7出现次数最多，因此视力的众数是4.7，
视力从小到大排列后处在第25、26位的两个数都是4.7，因此中位数是4.7，
因此中位数和众数与被遮盖的数据无关，即关于视力的统计量中可以确定的是中位数和众数．
故答案为：②．
【点评】考查中位数、众数、方差、平均数的意义和计算方法，理解各个统计量的实际意义，以及每个统计量所反应数据的特征，是正确判断的前提．
8．（2024 朝阳区校级一模）农科院计划为某地选择合适的甜玉米种子．选择种子时，甜玉米的产量和产量的稳定性是农科院所关心的问题．为了解甲、乙两种玉米的相关情况，农科院各用10块自然条件相同的试验田进行试验，得到数据如图．则甲、乙两种甜玉米产量的方差大小关系为 　＞　．（填“＜”或“＞”）
【考点】方差．
【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【答案】＞．
【分析】据从图中数据的波动情况分析．
【解答】解：从图中看到，甲种甜玉米产量的波动比乙的波动大，故甲的方差比乙大，即．
故答案为：＞．
【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
9．（2024秋 建邺区期中）某校国旗护卫队原来有5名学生，身高（单位：cm）分别为173，174，174，174，175，若增加一位身高为174的学生，则国旗护卫队学生身高的方差会 　变小　．（填“变大”“变小”或“不变”）
【考点】方差．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】变小．
【分析】先求出两组数据的平均数，再根据方差公式进行计算，最后比较即可．
【解答】解：原来数据的平均数是：（173+174+174+174+175）＝174（cm），
则这5名学生身高的方差为[（173﹣174）2+3×（174﹣174）2+（175﹣174）2]＝0.4（cm2），
增加学生后的数据平均数为：（173+174+174+174+175+174）＝174（cm），
则这6名学生身高的方差为[（173﹣174）2+4×（174﹣174）2+（175﹣174）2]（cm2），
∵0.4，
∴国旗护卫队学生身高的方差会变小．
故答案为：变小．
【点评】此题考查了方差，熟练掌握方差公式是解题的关键．
10．（2024 淅川县二模）为迎接全市的禁毒知识竞赛，某校进行了相关知识测试，经过层层预赛，小洋和小亮进入了最后的决赛．如图，是他们6次的测试成绩，若要从中选一名测试成绩稳定的同学去参加竞赛，则应选 　小亮　．（填“小洋”或“小亮”）．
【考点】方差．
【专题】统计的应用；几何直观；数据分析观念．
【答案】小亮．
【分析】根据折线统计图的波动情况可判断两名同学谁的成绩更加稳定．
【解答】解：由折线统计图可得，
小洋的波动大，小亮的波动小，
∴小亮的成绩更加稳定，
∴应选小亮．
故答案为：小亮．
【点评】本题考查方差与折线统计图，掌握折线统计图的意义是解答本题的关键．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 吴江区期中）某种零件的标准直径为10mm，从甲、乙两台机床加工的这种零件中各抽取5件，对其直径进行检测，结果如下（单位：mm）：
甲机床：10.05，10.02，9.97，9.96，10.00；
乙机床：10.00，10.01，10.02，9.97，10.00．
（1）分别求这两个样本的方差；
（2）估计哪一台机床的产品质量比较稳定．
【考点】方差．
【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【答案】（1）甲的方差为0.00108；乙的方差为0.00028；
（2）乙机床的产品质量比较稳定．
【分析】（1）根据所给的两组数据，分别求出两组数据的平均数，再利用方差公式求两组数据的方差，根据极差的定义用最大值减去最小值即可．
（2）根据甲的方差大于乙的方差，即可得出乙机床生产的零件稳定性更好一些．
【解答】解：（1）甲机床的平均数为：（10.05+10.02+9.97+9.96+10.00）＝10；
甲机床的方差为s2甲[（10.05﹣10）2+（10.02﹣10）2+（9.97﹣10）2+（9.96﹣10）2+（10.00﹣10）2]＝0.00108；
乙机床的平均数是：（10.00+10.01+10.02+9.97+10.00）＝10，
乙机床的方差为s2乙[（10.00﹣10）2+（10.01﹣10）2+（10.02﹣10）2+（9.97﹣10）2+（10.00﹣10）2]＝0.00028．
（2）∵s2甲＞s2乙，
∴乙机床的产品质量比较稳定．
【点评】本题考查方差，解题关键是正确记忆一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
12．（2024秋 南京期中）甲、乙两名同学进行射击练习，在相同条件下各射靶10次，其中9环以上（含9环）为优秀，将射击结果统计如表：
命中环数 5 6 7 8 9 10
甲命中环数的次数 1 4 2 1 1 1
乙命中环数的次数 1 2 4 2 1 0
（1）补充完成下面的统计表：
平均分 方差 中位数 优秀率
甲 7
　2.2　
6.5 20%
乙
　7　
1.2
　7　
10%
（2）甲同学说：“我的优秀率比乙高，所以我的成绩比乙好”；乙同学说：“我的成绩比甲好”．写出两条支持乙同学观点的理由．
【考点】方差；加权平均数；中位数．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】（1）7，2.2，7；
（2）答案见解析．
【分析】（1）根据加权平均数、方差、中位数的定义解答即可；
（2）从优秀率、中位数和方差的意义解答即可．
【解答】解：（1）乙命中环数的平均数为：7，
甲命中环数的方差为：[（5﹣7）2+4×（6﹣7）2+2×（7﹣7）2+（8﹣7）2+（9﹣7）2+（10﹣7）2]＝2.2，
∵乙射靶10次射中的环数中处于中间的两个数据为7，7，
∴乙命中环数的中位数为：7．
故答案为：7，2.2，7；
（2）①乙同学的方差小于甲同学，则乙同学的成绩比较稳定；
②乙同学的中位数大于甲同学，则乙同学命中环数的高分较多．
【点评】本题考查了加权平均数、方差、中位数，解题的关键是熟练加权平均数、方差、中位数的定义和意义．
13．（2024秋 昆山市期中）甲、乙两名学生进行射击练习，在相同条件下各射击10次，结果如下：
命中的环数/环 5 6 7 8 9 10
甲命中次数 2 1 4 2 0 1
乙命中次数 1 4 2 1 1 1
（1）甲同学10次射击命中环数的中位数是 　7　环，乙同学10次射击命中环数的众数是 　6　环；
（2）求甲同学10次射击命中环数的平均数和方差；
（3）经过计算可知，乙同学10次射击的平均数是7环，方差是2.2环2．根据所学的统计知识，从集中趋势和稳定性两个方面来考查两人的成绩，请你对甲、乙两名学生的射击水平给出评价．
【考点】方差；加权平均数；中位数；众数．
【专题】统计的应用；应用意识．
【答案】（1）7；6；（2）7；2；（3）甲的射击水平更好一些，理由见解析．
【分析】（1）根据中位数、众数的定义即可得出答案；
（2）根据平均数、方差公式计算即可得出答案；
（3）从集中趋势和稳定性两个方面来考查两人的成绩．
【解答】解：（1）根据题意，把甲学生10次射击命中的环数从小到大排列后，第5个和第6个数据都是7，
所以甲同学10次射击命中环数的中位数是7，
乙同学10次射击命中环数最多的是6环，所以众数是6；
故答案为：7；6；
（2）甲同学10次射击命中环数的平均数为：（5×2+6+7×4+8×2+10）＝7，
甲同学10次射击命中环数的方差为：
[2×（7﹣5）2+（7﹣6）2+4×（7﹣7）2+2×（7﹣8）2+（7﹣10）2]＝2；
（3）从平均水平看，甲、乙两名学生射击的环数平均数均为7环，成绩一样；
从离散程度看，S2甲＜S2乙，甲的成绩比乙更加稳定；
从集中趋势看，甲的众数比乙大，甲的中位数也比乙大；
所以甲的射击水平更好一些．
【点评】此题主要考查了平均数，中位数，众数，方差，掌握相应的定义是关键．
14．（2024秋 桃城区校级期中）某校从九年级男生中任意选取40人，随机分成甲、乙两个小组进行“引体向上”体能测试，根据测试成绩绘制出统计表和如图所示的统计图．
甲组成绩统计表
成绩/分 7 8 9 10
人数/人 1 9 5 5
（1）甲组成绩的众数 　＝　乙组成绩的众数（填“＞”“＜”或“＝”）；
（2）求乙组的平均成绩；
（3）这40个学生成绩的中位数是 　8　；
（4）经计算甲组成绩的方差为0.81，乙组成绩的方差为0.75，请你判断哪个小组的成绩比较整齐．
【考点】方差；加权平均数；中位数；众数．
【专题】统计的应用；运算能力．
【答案】（1）＝；
（2）8.5分；
（3）8；
（4）乙组．
【分析】（1）根据众数是所给数据中出现次数最多的数据分别求解甲乙两组的众数即可解答；
（2）根据平均数的求解方法求解即可；
（3）将40个数据从小到大排列，第20个和21个数据的平均数即为中位数；
（4）根据方差越小，数据越稳定，成绩越整齐求解即可．
【解答】解：（1）根据统计图和统计表数据，甲组成绩的众数为8分，乙组成绩的众数为8分，
∴甲组成绩的众数＝乙组成绩的众数；
故答案为：＝；
（2）8.5（分），
∴乙组的平均成绩为8.5分；
（3）将甲乙两组成绩的40个数据从小到大排列，其中，7分的有3人，8分的有18人，9分的有11人，10分的有8人，
∴第20个和21个数据都是8分，
∴这40个学生成绩的中位数是；
（4）∵甲组成绩的方差为0.81，乙组成绩的方差为0.75，0.81＞0.75，
∴乙组的成绩比较整齐．
【点评】本题考查条形统计图和统计表、众数、中位数、加权平均数以及方差，从统计图中获取有用数据是解答的关键．
15．（2024秋 历下区期中）某中学为选拔“校园形象代言人”，先后进行了笔试和面试．在笔试中，甲、乙、丙三位同学脱颖而出，他们的笔试成绩（满分为100分）分别是87，85，90．在面试中，十位评委对甲、乙、丙三位同学的表现进行打分，每位评委最高打10分，面试成绩等于各位评委打分之和．对三位同学的面试数据进行整理、描述和分析，并给出了相关信息．
c．甲、乙、丙三位同学面试情况统计表
同学 评委打分的中位数 评委打分的众数 面试成绩 方差
甲 m 9和10 85 1.85
乙 8.5 8 87 s2
丙 8 n p 2.01
根据以上信息，回答下列问题：
（1）m＝ 　9　，n＝ 　8　；
（2）求丙同学的面试成绩p；
（3）通过比较方差，可判断评委对学生面试表现评价的一致性程度．据此推断评委对 　乙　同学的评价更一致（填“甲”、“乙”或“丙”）；
（4）按笔试成绩占40%，面试成绩占60%选出综合成绩最高的同学是 　乙　（填“甲”、“乙”或“丙”）．
【考点】方差；加权平均数；中位数；众数．
【专题】统计的应用；数据分析观念；运算能力．
【答案】（1）9，8；（2）83；（3）乙；（4）乙．
【分析】（1）根据中位数和众数的定义可得答案；
（2）把十位评委的打分相加可得答案；
（3）根据方差的意义解答即可；
（4）根据加权平均数公式计算即可．
【解答】解：（1）把甲的得分从小到大排列，排在中间的两个数分别是9，9，故中位数m9，
由扇形图可知丙的得分8分的最多，故众数n＝8；
故答案为：9，8；
（2）6×10×20%+8×10×40%+9×10×10%+10×10×30%＝83，
答：丙同学的面试成绩p为83；
（3）由题意可知，甲的方差比丙的小，由折线统计图可知乙的得分的波动比甲小，所以评委对乙同学的评价更一致；
故答案为：乙；
（4）甲的综合成绩为：87×40%+85×60%＝85.8（分），
乙的综合成绩为：85×40%+87×60%＝86.2（分），
丙的综合成绩为：90×40%+83×60%＝85.8（分），
86.2＞85.8，
所以综合成绩最高的是乙．
故答案为：乙．
【点评】本题考查折线统计图，中位数、众数、方差以及加权平均数，理解中位数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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