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预习衔接.夯实基础 平行线的证明
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 长沙期中）如图，点E在CD延长线上，下列条件中能判定AB∥CE的是（　　）
A．∠5＝∠C B．∠1＝∠2
C．∠B＝∠C D．∠C+∠CAB＝180°
2．（2024秋 雁峰区期末）如图，不能判断l1∥l2的条件是（　　）
A．∠1＝∠3 B．∠4＝∠5
C．∠2＝∠3 D．∠2+∠4＝180°
3．（2024秋 麻栗坡县期末）如图，点E在AD的延长线上，下列条件中能判断BC∥AD的是（　　）
A．∠3＝∠4 B．∠C+∠4+∠2＝180°
C．∠1＝∠3 D．∠A＝∠5
4．（2024秋 成都期末）如图，在下列给出的条件中，不能判定AC∥DF的是（　　）
A．∠1＝∠2 B．∠4+∠2＝180°
C．∠2＝∠3 D．∠A＝∠1
5．（2024 泌阳县模拟）如图，下列条件中，能判定AB∥CD的是（　　）
A．∠1＝∠4 B．∠1＝∠3 C．∠5＝∠ADC D．∠2＝∠4
二．填空题（共5小题）
6．（2024春 东阳市期末）如图，若∠1＝∠2，则AB∥CD，理由是 　 　．
7．（2024春 香洲区期中）一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点B、D重合，若固定三角形AOB，改变三角板ACD的位置（其中A点位置始终不变），当∠BAD＝　 　时，CD∥AB．
8．（2024春 陈仓区期中）如图，能判断AB∥CD的一个条件是 　 　（写一个即可）．
9．（2024春 龙沙区期末）如图，要使l1∥l2，只需添加一个条件，这个条件是 　 　．
10．（2024春 虞城县期末）一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，其中∠D＝30°，∠OAB＝45°．若固定三角板AOB，改变三角板ACD的位置（其中点A的位置始终不变），当∠BAD＝　 　时，CD∥OB．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 惠州期中）如图所示，在四边形ABCD中，已知∠A＝∠C＝90°，BE平分∠ABC交CD于点E，DF平分∠ADC交AB于点F．
（1）求证：∠ABC+∠ADC＝180°；
（2）求证：BE∥DF．
12．（2024秋 凉州区期中）如图，已知△ABC，∠ACB＝80°，点E，F分别在AB，AC上，ED交AC于点G，交BC的延长线于点D，∠FEG＝32°，∠CGD＝48°．求证：EF∥BC．
13．（2024秋 巴楚县期中）如图，∠B＝42°，∠A+10°＝∠1，∠ACD＝64°，证明：AB∥CD．
14．（2024春 平罗县期末）如图，∠1＝∠B，∠B+∠BFD＝90°．
（1）若∠2＝125°，求∠C的度数；
（2）若∠1和∠D互余，你能试着判断AB∥CD吗？
15．（2024秋 九龙坡区校级期末）如图，直线CD、EF交于点O，OA，OB分别平分∠COE和∠DOE，且∠1+∠2＝90°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若∠2：∠3＝2：5，求∠AOF的度数．
预习衔接.夯实基础 平行线的证明
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 长沙期中）如图，点E在CD延长线上，下列条件中能判定AB∥CE的是（　　）
A．∠5＝∠C B．∠1＝∠2
C．∠B＝∠C D．∠C+∠CAB＝180°
【考点】平行线的判定．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】D
【分析】直接利用平行线的判定方法分别判断得出答案．
【解答】解：A、当∠5＝∠C时，可得：AC∥BD，不合题意；
B、当∠1＝∠2时，可得：AC∥BD，不合题意；
C、由∠B＝∠C，不能判定AB∥CE，不合题意；
D、当∠C+∠CAB＝180°时，可得：AB∥CE，符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了平行线的判定，正确掌握平行线的判定方法是解题关键．
2．（2024秋 雁峰区期末）如图，不能判断l1∥l2的条件是（　　）
A．∠1＝∠3 B．∠4＝∠5
C．∠2＝∠3 D．∠2+∠4＝180°
【考点】平行线的判定．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【答案】C
【分析】直接利用平行线的判定方法分别判断得出答案．
【解答】解：A、∵∠1＝∠3，
∴l1∥l2，故此选项不合题意；
B、∵∠4＝∠5，
∴l1∥l2，故此选项不合题意；
C、∠2＝∠3，无法得出l1∥l2，故此选项符合题意；
D、∵∠2+∠4＝180°，
∴l1∥l2，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了平行线的判定，正确掌握相关判定方法是解题关键．
3．（2024秋 麻栗坡县期末）如图，点E在AD的延长线上，下列条件中能判断BC∥AD的是（　　）
A．∠3＝∠4 B．∠C+∠4+∠2＝180°
C．∠1＝∠3 D．∠A＝∠5
【考点】平行线的判定．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】B
【分析】结合图形分析两角的位置关系，根据平行线的判定方法进行判断．
【解答】解：∵∠3＝∠4，∴AB∥CD，故A选项不符合题意；
∵∠C+∠4+∠2＝180°，∴BC∥AD，故B选项符合题意；
由∠1＝∠3，不能判断BC∥AD，故C选项不符合题意；
∵∠A＝∠5，∴AB∥CD，故D选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行线的判定，解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．本题是一道探索性条件开放型题目，能有效地培养“执果索因”的思维方式与能力．
4．（2024秋 成都期末）如图，在下列给出的条件中，不能判定AC∥DF的是（　　）
A．∠1＝∠2 B．∠4+∠2＝180°
C．∠2＝∠3 D．∠A＝∠1
【考点】平行线的判定．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】A
【分析】根据平行线的判定定理判断求解即可．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴EF∥AB，
故A符合题意；
∵∠4+∠2＝180°，
∴AC∥DF，
故B不符合题意；
∵∠2＝∠3，
∴AC∥DF，
故C不符合题意；
∵∠A＝∠1，
∴AC∥DF，
故D不符合题意；
故选：A．
【点评】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
5．（2024 泌阳县模拟）如图，下列条件中，能判定AB∥CD的是（　　）
A．∠1＝∠4 B．∠1＝∠3 C．∠5＝∠ADC D．∠2＝∠4
【考点】平行线的判定．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】B
【分析】根据平行线的判定定理即可作出判断．
【解答】解：A．∠1＝∠4，不能判定AB∥CD，故该选项不正确，不符合题意；
B．∵∠1＝∠3，∴AB∥CD，故该选项正确，符合题意；
C．∵∠5＝∠ADC，∴AD∥BC，故该选项不正确，不符合题意；
D．∠2＝∠4，∴AD∥BC，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的判定定理，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
6．（2024春 东阳市期末）如图，若∠1＝∠2，则AB∥CD，理由是 　内错角相等，两直线平行　．
【考点】平行线的判定．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】内错角相等，两直线平行．
【分析】直接根据平行线的判定定理解答即可．
【解答】解：若∠1＝∠2，则AB∥CD，理由是内错角相等，两直线平行．
故答案为：内错角相等，两直线平行．
【点评】本题考查的是平行线的判定，熟知内错角相等，两直线平行是解题的关键．
7．（2024春 香洲区期中）一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点B、D重合，若固定三角形AOB，改变三角板ACD的位置（其中A点位置始终不变），当∠BAD＝　30°或150°　时，CD∥AB．
【考点】平行线的判定．
【专题】线段、角、相交线与平行线．
【答案】见试题解答内容
【分析】分两种情况，根据CD∥AB，利用平行线的性质，即可得到∠BAD的度数．
【解答】解：如图所示：当CD∥AB时，∠BAD＝∠D＝30°；
如图所示，当AB∥CD时，∠C＝∠BAC＝60°，
∴∠BAD＝60°+90°＝150°；
故答案为：150°或30°．
【点评】本题主要考查了平行线的判定，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由直线的平行关系来寻找角的数量关系．
8．（2024春 陈仓区期中）如图，能判断AB∥CD的一个条件是 　∠GAB＝∠GCD（答案不唯一）　（写一个即可）．
【考点】平行线的判定．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】∠GAB＝∠GCD（答案不唯一）．
【分析】要判断AB∥CD，要看它们的截线所构成的“三线八角”图中各角的位置关系，根据平行线的判定定理解答即可．
【解答】解：∵∠GAB＝∠GCD，
∴AB∥CD，
故答案为：∠GAB＝∠GCD（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
9．（2024春 龙沙区期末）如图，要使l1∥l2，只需添加一个条件，这个条件是 　∠2+∠3＝180°（答案不唯一）　．
【考点】平行线的判定．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】∠2+∠3＝180°（答案不唯一）．
【分析】根据平行线的判定定理：同旁内角互补，两直线平行即可得到结论．
【解答】解：需要添加的条件是∠2+∠3＝180°，
∵∠2+∠3＝180°，
∴l1∥l2，
故答案为：∠2+∠3＝180°（答案不唯一）．
【点评】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．
10．（2024春 虞城县期末）一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，其中∠D＝30°，∠OAB＝45°．若固定三角板AOB，改变三角板ACD的位置（其中点A的位置始终不变），当∠BAD＝　15°或165°　时，CD∥OB．
【考点】平行线的判定．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】15°或165°．
【分析】分两种情况画出图形解答即可求解．
【解答】解：如图1，当CD∥OB时，∠AED＝∠O＝90°，
∴∠EAD＝90°﹣30°＝60°，
∴∠BAD＝60°﹣45°＝15°；
如图2，当CD∥OB时，过点A作AM∥OB，AM∥CD，
∴∠OAM＝∠O＝90°，∠DAM＝∠D＝30°，
∴∠BAD＝90°+45°+30°＝165°；
故答案为：15°或165°．
【点评】本题考查了三角板的角度运算问题，平行线的性质，正确画出图形运是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 惠州期中）如图所示，在四边形ABCD中，已知∠A＝∠C＝90°，BE平分∠ABC交CD于点E，DF平分∠ADC交AB于点F．
（1）求证：∠ABC+∠ADC＝180°；
（2）求证：BE∥DF．
【考点】平行线的判定．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】（1）证明见详解；
（2）证明见详解．
【分析】（1）根据四边形的内角和是360°及∠A＝∠C＝90°即可求出；
（2）由（1）及角平分线的定义证明出∠1+∠3＝90°，再根据∠5+∠3＝90°及余角的性质得出∠1＝∠5即可证平行．
【解答】证明：（1）四边形ABCD中，∠A+∠C+∠ABC+∠ADC＝360°，∠A＝∠C＝90°，
∴∠ABC+∠ADC＝360°﹣90°﹣90°＝180°．
（2）∵BE平分∠ABC交CD于点E，DF平分∠ADC交AB于点F，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠1+∠3＝90°，
∵△ADF中∠5+∠3＝90°，
∴∠1＝∠5，
∴BE∥DF．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等，熟记平行线的判定和性质定理是解题的关键．
12．（2024秋 凉州区期中）如图，已知△ABC，∠ACB＝80°，点E，F分别在AB，AC上，ED交AC于点G，交BC的延长线于点D，∠FEG＝32°，∠CGD＝48°．求证：EF∥BC．
【考点】平行线的判定．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】证明见解答过程．
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠AFE＝100°，再根据同旁内角互补，直线平行，即可证明结论．
【解答】证明：∵∠CGD＝48°，
∴∠EGF＝∠CGD＝48°，
∵∠FEG＝32°，
∴∠GFE＝180°﹣∠EGF﹣∠FEG＝180°﹣48°﹣32°＝100°，
∵∠ACB＝80°，
∴∠GFE+∠ACB＝180°，
∴EF∥BC．
【点评】本题主要考查平行线的判定，涉及到对顶角性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法，同旁内角互补，直线平行．
13．（2024秋 巴楚县期中）如图，∠B＝42°，∠A+10°＝∠1，∠ACD＝64°，证明：AB∥CD．
【考点】平行线的判定．
【专题】线段、角、相交线与平行线．
【答案】见试题解答内容
【分析】在△ABC中，∠B＝42°即已知∠A+∠1＝180°﹣42°＝138°，又∠A+10°＝∠1可以求出∠A的大小，只要能得到∠A＝64°，根据内错角相等，两直线平行，就可以证出结论．
【解答】证明：在△ABC中，∠A+∠B+∠1＝180°，∠B＝42°，
∴∠A+∠1＝138°，
又∵∠A+10°＝∠1，
∴∠A+∠A+10°＝138°，
解得：∠A＝64°．
∴∠A＝∠ACD＝64°，
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
【点评】本题主要考查了平行线的判定，解决问题的关键是利用三角形内角和定理和∠A与∠1的关系求出∠A的度数，再利用平行线的判定方法得证．
14．（2024春 平罗县期末）如图，∠1＝∠B，∠B+∠BFD＝90°．
（1）若∠2＝125°，求∠C的度数；
（2）若∠1和∠D互余，你能试着判断AB∥CD吗？
【考点】平行线的判定；余角和补角．
【专题】推理能力．
【答案】（1）∠C＝55°；
（2）见解析．
【分析】（1）根据平行线的判定得出CF∥EB，再根据平行线的性质得出∠C+∠2＝180°，据此计算即可得出答案；
（2）先根据∠1＝∠B，余角的性质得出∠BFD＝∠D，推出∠BFD＝∠D，即可证明结论．
【解答】（1）解：∵∠1＝∠B，
∴CF∥EB，
∴∠C+∠2＝180°，
又∵∠2＝125°，
∴∠C＝55°；
（2）证明：∵∠1＝∠B，∠B+∠BFD＝90°，
∴∠1+∠BFD＝90°，
又∵∠1和∠D互余，即∠1+∠D＝90°，
∴∠BFD＝∠D，
∴AB∥CD．
【点评】本题主要考查了平行线的判定和性质，余角的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质．
15．（2024秋 九龙坡区校级期末）如图，直线CD、EF交于点O，OA，OB分别平分∠COE和∠DOE，且∠1+∠2＝90°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若∠2：∠3＝2：5，求∠AOF的度数．
【考点】平行线的判定．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）∠AOF的度数为130°．
【分析】（1）先利用角平分线的定义可得∠AOC∠COE，∠2∠DOE，从而利用平角定义可得∠AOC+∠2＝90°，然后利用同角的余角相等可得∠AOC＝∠1，再利用平行线的判定可得AB∥CD，即可解答；
（2）利用（1）的结论可得∠DOE：∠3＝4：5，然后利用平角定义可得∠DOE＝80°，∠3＝100°，然后利用对顶角相等可得∠COE＝∠3＝100°，再利用角平分线的定义可得∠AOE＝50°，从而利用平角定义进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：∵OA，OB分别平分∠COE和∠DOE，
∴∠AOC∠COE，∠2∠DOE，
∵∠COE+∠DOE＝180°，
∴∠AOC+∠2∠COE∠DOE＝90°，
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠AOC＝∠1，
∴AB∥CD；
（2）解：∵∠2：∠3＝2：5，∠2∠DOE，
∴∠DOE：∠3＝4：5，
∵∠DOE+∠3＝180°，
∴∠DOE＝180°80°，∠3＝180°100°，
∴∠COE＝∠3＝100°，
∵OA平分∠COE，
∴∠AOE∠COE＝50°，
∴∠AOF＝180°﹣∠AOE＝130°，
∴∠AOF的度数为130°．
【点评】本题考查了平行线的判定，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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