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四川省绵阳市2025届高三下学期第三次诊断性测试数学试题
1．（2025·绵阳模拟）已知复数满足，则的共轭复数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：设复数，由，
可得，
则，解得，即复数，则复数的共轭复数为.
故答案为：B.
【分析】设复数，根据复数代数形式的乘法运算结合复数相等求得复数，再求共轭复数即可.
2．（2025·绵阳模拟）已知平面向量，若，则（　　）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】解：向量，
若，则，解得，向量，
则.
故答案为：A.
【分析】根据向量平行的坐标表示求的，再根据向量数量积的坐标表示求解即可.
3．（2025·绵阳模拟）设，则“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：取，满足，但不满足，即充分性不成立；
当时，，则，即必要性成立，
故“”是“”的必要不充分条件.
故答案为：B.
【分析】利用不等式的性质结合充分、必要条件的定义判断即可.
4．（2025·绵阳模拟）已知抛物线的焦点为是上一点，且的面积为1.则（　　）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：易知抛物线的焦点，设，
因为的面积为1，所以，
所以，解得，
又因为在抛物线上，所以，解得，
根据抛物线的定义可得：.
故答案为：C.
【分析】易知抛物线的焦点，设，由的面积可得，代入抛物线方程求得，再根据抛物线的定义求解即可.
5．（2025·绵阳模拟）某家电公司生产了两种不同型号的空调，公司统计了某地区2024年的前6个月这两种型号空调的销售情况，得到销售量的折线统计图如图所示，分析这6个月的销售数据，下列说法不正确的是（　　）
A．型号空调月销售量的极差比型号空调月销售量的极差大
B．型号空调月平均销售量比型号空调月平均销售量大
C．型号空调月销售量的上四分位数比型号空调销售量的上四分位数大
D．型号空调月销售量的方差比型号空调月销售量的方差小
【答案】D
【知识点】极差、方差与标准差；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：A、易知型号空调月销售量的极差为，
型号空调月销售量的极差为，故A正确；
B、型号空调月平均销售量为，
型号空调月平均销售量为，故B正确；
C、型号空调月销售量数据从小到大排列为：25，27，28，38，42，50，
，则型号空调月销售量的上四分位数为42；
型号空调月销售量数据从小到大排列为：22，25，30，37，40，45，
，则型号空调月销售量的上四分位数为40，故C正确；
D、型号空调月销售量的方差为
型号空调月销售量的方差为
故D错误.
故答案为：D.
【分析】由题意，根据极差、平均数、上四分位数、方差的定义求解判断即可.
6．（2025·绵阳模拟）已知直三棱柱中，，该三棱柱所有顶点都在球的球面上，则球的体积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解： 直三棱柱中，，将直三棱柱补成长方体，如图所示：
易知长方体的体对角线，
长方体的体对角线为三棱柱外接球的直径，则外接球半径
故球O的体积为.
故答案为：．
【分析】将直棱柱补全成长体即可知道其外接球直径，再求其体积即可.
7．（2025·绵阳模拟）已知，则的值为（　　）
A． B．3 C．9 D．81
【答案】C
【知识点】同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：，则
.
故答案为：C.
【分析】根据同角三角函数商关系，平方关系化简求值即可.
8．（2025·绵阳模拟）已知是椭圆上的一点，且在轴上方，分别是该椭圆的左、右焦点，直线的斜率为，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】椭圆的标准方程
【解析】【解答】解：椭圆的标准方程为，
如图所示：
易知椭圆的焦点为，设，，
由题意可得：，解得，即，
则，，，
.
故答案为：C.
【分析】化椭圆方程为标准方程，求得，设，根由题意求出，再根据余弦定理得到求解即可.
9．（2025·绵阳模拟）已知定义在上的函数，且，则（　　）
A．的值可以为
B．的值可以为2
C．若，则
D．若，且，则的最大值为
【答案】A,C,D
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的最大（小）值；函数的周期性
【解析】【解答】解：A、当时，函数，，符合题意，故A正确；
B、当时，，，不符合题意，
故B错误；
C、若，则，即，故C正确；
D、当时，，则函数的周期为3，
由，，要使最大，则，，
因为，
当时，令，取满足的最小正整数，
当时，取得最大值，又，
则的最大值为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】代值检验即可判断AB；代值计算即可判断C；结合函数的周期分析即可判断D.
10．（2025·绵阳模拟）记的内角的对边分别为，已知是的最小内角，且为整数，若，则（　　）
A．
B．
C．若，且为整数，则
D．若为直角三角形，则的面积为1
【答案】A,B
【知识点】两角和与差的正切公式；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：A、因为是的最小内角， 且为整数 ，所以，
所以，则，故A正确；
B、由A选项结合，可得，即，
由正弦定理，可得，即，解得，故B正确；
C、因为的最小内角，，若则，不满足；
因为在单调递增，
所以，即，
即，解得，
又因为为整数，所以；当符合题意，故C错误；
D、 若为直角三角形， 即，则，， 则的面积为，故D错误.
故答案为：AB.
【分析】由题意可知，求得A即可判断A；根据正弦定理求即可判断B；由题意按照C的范围讨论，解不等式即可判断D； 若为直角三角形 ，即，求的面积即可判断D.
11．（2025·绵阳模拟）已知集合，对于中的任意两个元素都有，则集合的元素个数可以为（　　）
A．4个 B．7个 C．9个 D．10个
【答案】A,B
【知识点】元素与集合的关系；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：当时，不满足集合元素的互异性，排除；
设， 任意两个元素都有，则，
移项可得，即，
因为且，所以，则，易知，
集合至多有中的一个整数，若有两个，取较小者为，会与不等式矛盾，
令，，
易知，函数在上单调递增，
假设存在且，令，，
由的单调性可知，这与矛盾，
所以中至多只有中的一个整数，
因为，所以集合至多只有中的一个整数，
因为，所以集合至多有中的一个整数，
因为，所以集合至多有中的一个整数，
又因为，，，
所以集合中可以同时存在，，，
综上，集合至多有个元素，
，符合条件，说明集合的元素个数可以是个或个.
故答案为：AB.
【分析】通过对集合中元素满足的不等式进行变形，分析元素之间的关系，利用函数单调性来确定集合中元素个数的上限，并通过举例验证元素个数的可能性.
12．（2025·绵阳模拟）已知等差数列的前项和为，若，则　 　.
【答案】
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：数列为等差数列，若，由等差数列的性质可知：，则.
故答案为：.
【分析】根据等差数列的性质结合等差数列的前项和公式计算即可.
13．（2025·绵阳模拟）在一次知识竞赛中，小张需要按顺序依次回答甲 乙 丙3个问题，已知他答对甲 乙 丙的概率分别为0.8，0.5，0.2，各题回答正确与否相互独立.若至少能够连续将2道题都答对，可获得额外加分，则小张获得额外加分的概率为　 　.
【答案】
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解： 答对甲 乙 丙的概率分别为0.8，0.5，0.2，各题回答正确与否相互独立 ，
至少能够连续将2道题都答对，包含：甲乙都对，丙正误都可；甲错误，乙丙对，
则小张获得额外加分的概率为.
故答案为：.
【分析】根据相互独立事件的概率公式求解即可.
14．（2025·绵阳模拟）在坐标平面中，已知过点恰能作曲线的2条切线，则由所有点构成的集合为　 　.
【答案】
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：函数定义域为，，
设切点为，则，即，
因为过点的切线有2条，所以方程有2个解，
转化为函数，与函数有2个交点，
，
当时，，，
因为，所以函数为偶函数，
当时，单调递增，
且时，，时，，
画出函数的大致图象，
此时满足函数，与函数有2个交点；
若，令，得或；令，得，
则函数在和上单调递增，在上单调递减，
且，画出函数的大致图象，
要使函数，与函数有2个交点，则；
若，令，得；令，得或，
则函数在和上单调递减，在上单调递增，
且，画出函数的大致图象，
要使函数，与函数有2个交点，则，
综上所述，点构成的集合为.
故答案为：.
【分析】求函数的定义域，再求导，利用导数的几何意义求切线方程，转化问题为方程有2个解，进而分，，，3种情况讨论求解即可.
15．（2025·绵阳模拟）已知等比数列满足，且成等差数列.
（1）求数列的通项公式：
（2）求.
【答案】（1）解：设等比数列的公比为，
因为成等差数列，所以，
又因为，所以，即，解得，
则；
（2）解：由（1）可得：
.
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；等差中项
【解析】【分析】（1）设等比数列的公比为，由题意列方程求出公比，即可得数列的通项公式；
（2）利用等比数列的前n项和求解即可.
（1）设等比数列的公比为，
成等差数列，
，
即，
即，
解得或（舍），
（2）
.
16．（2025·绵阳模拟）已知函数（实数为常数）在处取得极值.
（1）求实数的值，并求的极小值：
（2）当时，设为的最大值，求的最小值.
【答案】（1）解：函数的定义域为，，
因为函数在处取得极值，所以，解得，
则，
令，解得或；令，解得，
则函数在和上单调递增，在上单调递减，
函数在处取得极值，故，
当时，函数取得极小值，极小值为；
（2）解：由（1）知，函数在上单调递减，且，，
当，即时，的最大值为；
当，即时，的最大值为，
则，
当时，单调递减，
则；
当时，单调递增，
则，
综上所述，的最小值为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导，由题意可得，求得的值，再检验，求解的极小值即可；
（2）结合（1）易得的最大值，求解即可.
（1）由，，
则，
因为函数在处取得极值，
所以，即，
此时，
，
令，得或；令，得，
所以函数在和上单调递增，在上单调递减，
则函数在处取得极值，即，
当时，取得极小值.
（2）由（1）知，函数在上单调递减，
且，，
当，即时，的最大值为；
当，即时，的最大值为.
则，
当时，单调递减，
则；
当时，单调递增，
则.
综上所述，的最小值为.
17．（2025·绵阳模拟）如图1，等腰梯形中，分别为的中点，且，将梯形沿翻折至梯形，使得平面平面，得到如图的多面体，且.
（1）证明：四点共面；
（2）求的长；
（3）在上取一点，使得平面平面，求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】（1）证明： 将梯形沿翻折至梯形，使得平面平面，
因为平面平面，且，平面，
所以平面，且，
以为原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
设，，
，
因为，所以，解得，
则，即，，
即，故四点共面；
（2）解：由（1）可得，则；
（3）解：由（1）知，，，，，
设，则，则，
设平面的一个法向量为，
则，取，得，
设平面的一个法向量为，
则，取，得，
由平面平面，则，解得，
则，则，又，
设平面的一个法向量为，
则，取，得，
易得平面的一个法向量为，
则，
则平面与平面夹角的余弦值为.
【知识点】用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量研究二面角；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【分析】（1）由平面平面，可得平面，以为原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，设，由，结合空间向量可得，进而得到，即可求证；
（2）由（1），得，据此求解即可；
（3）利用空间向量法求解即可.
（1）因为平面平面，平面平面，
且，平面，
所以平面，又，
以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，
设，易得，
则，
由，则，解得（舍去）或，
则，
则，则，
即，所以四点共面.
（2）由（1）知，.
（3）由（1）知，，，，，
设，则，则，
设平面的一个法向量为，
则，取，得，
设平面的一个法向量为，
则，取，得，
由平面平面，则，解得，
则，则，又，
设平面的一个法向量为，
则，取，得，
易得平面的一个法向量为，
则，
则平面与平面夹角的余弦值为.
18．（2025·绵阳模拟）已知双曲线的左右顶点为，且，双曲线的一条渐近线的斜率为，过点的直线交双曲线于两点，为坐标原点.
（1）求双曲线的方程；
（2）若双曲线上存在点，且，求此时直线的方程.
（3）过点的直线双曲线于两点，直线的斜率为，直线的斜率为，且，求的最小值.
【答案】（1）解：因为双曲线的左右顶点为，且，所以；
又因为双曲线的一条渐近线的斜率为，所以，即，
则双曲线的方程为；
（2）解：当直线的斜率为时，，
，显然不存在点满足；
则直线的斜率不为，设直线的方程为，点，
联立，消元整理得，
则，，即，
由韦达定理可得，
则，
，
则，
即，代入，得，
解得或，即（舍去）或，
则直线的方程为，即；
（3）解：由（2）知，设直线的方程为，，
，
显然直线的斜率不为，设直线的方程为，，
同理可得，
由，，
则，，即，，
所以，
，
所以
，
令，，
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
且时，；时，；时，，
则，所以，
函数在上单调递增，
则，即的最小值为.

【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意求得，即可求得双曲线的方程；
（2）设直线的方程为，，联立直线与双曲方程，结合韦达定理及题设可得，进而代入双曲线方程即可求出，进而得解；
（3）由（2）可得，设直线的方程为，，
可得由，，可得，，，，表示出，换元，结合对勾函数求解即可.
（1）由题意，，解得，，
则双曲线的方程为.
（2）当直线的斜率为时，，
此时，显然不存在点满足；
则直线的斜率不为，设直线的方程为，，
联立，得，
则，，即，
，
则，
又，
则，
即，代入，
得，
解得或，即（舍去）或，
则直线的方程为，
即.
（3）由（2）知，设直线的方程为，，
，
显然直线的斜率不为，设直线的方程为，，
同理可得，
由，，
则，，即，，
所以，
，
所以
，
令，，
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
且时，；时，；时，，
则，所以，
函数在上单调递增，
则，即的最小值为.
19．（2025·绵阳模拟）如图所示的平面直角坐标系中，是一个模拟某旅游地区的格点图，共有个格点.阴影区域与分别是该城市两大著名景区，阴影部分内的格点代表景区内的景点.游客在格点之间必须乘坐观光车，从格点出发，最后到达终点，游客经过阴影区域中的格点都会进行游览.观光车只能在图中格点的连线上行驶，且整个过程将以最小行驶距离到达终点.
（1）当时，求一辆观光车从点到点会经过格点的路线总数；
（2）已知一个由个和个构成的含有项的序列：，满足任意前项和.序列个数为.
（i）当时，某游客游览了7个景点，求他游览的路线总数；
（ii）设某游客游览了两个景区各至少1个景点的路线总数为，求证：当时，.
【答案】（1）解：从点到总共需要3步，向上1步，向右2步，
再到点总共需要3步，向上2步，向右1步，
所以观光车从点到点会经过格点的路线总数为；
（2）解；（i）除去起点与终点外，巴士一定会经过7个格点，
若游客恰好游览了7个景点，说明巴士一定不经过对角线上的格点．
所以观光车第一步必然到达或格点，且必然从或到达终点，
在这个过程中既不会穿过对角线，也不会到达对角线上的格点，
考虑对称性，不妨先计算从格点到达格点，且不经过与连线上方格点的路线总数，
假设向右行驶记为1，向上行驶记为，
那么每条行驶路线实际唯一对应一个含3个1与3个的序列，，…，，
行驶路线不经过与连线上方格点，等价于对任意前段，
向右行驶的段数都不小于向上行驶的段数，即，
根据题意，满足条件的路线总数应为种，
从而从格点到达格点，且不经过与连线上方格点的路线总数也为5种，
因此游客游览了7个景点的路线总数为10种；
（ii）要保证游客能够分别浏览两个景区至少1个景点，即行驶路线必须穿过对角线AB，
不妨先考虑只经过AB及其右下方格点的行驶路线，设总数为，
假设向右行驶记为1，向上行驶记为，
那么每条行驶路线实际唯一对应一个含n个1与n个的序列，，…，，
行驶路线不经过AB左上方的格点，等价于对任意前k段，
向右行驶的段数都不小于向上行驶的段数，即，
由题意，
所以行驶路线不经过AB右下方格点的种数也应为，
则行驶路线穿过对角线AB的种数为，
故，
则，
所以.
下面进行证明：，
由于，，
要证，即证，即证，显然成立，
又，
则，可得；
再证明：，
要证：，即证，
即证，而，，
则，可得，
综上所述，当时，.
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【分析】（1）分析易得从点到总共需要3步，向上1步，向右2步，再到点总共需要3步，向上2步，向右1步，结合组合知识求解即可；
（2）（i）根据题设定义求解即可；
（ii）根据题设定义可得，进而可证，，再结合累乘法求解即可.
（1）从点到总共需要3步，向上1步，向右2步，
再到点总共需要3步，向上2步，向右1步，
所以观光车从点到点会经过格点的路线总数为.
（2）（i）除去起点与终点外，巴士一定会经过7个格点，
若游客恰好游览了7个景点，说明巴士一定不经过对角线上的格点．
所以观光车第一步必然到达或格点，且必然从或到达终点，
在这个过程中既不会穿过对角线，也不会到达对角线上的格点，
考虑对称性，不妨先计算从格点到达格点，且不经过与连线上方格点的路线总数，
假设向右行驶记为1，向上行驶记为，
那么每条行驶路线实际唯一对应一个含3个1与3个的序列，，…，．
行驶路线不经过与连线上方格点，等价于对任意前段，
向右行驶的段数都不小于向上行驶的段数，即，
根据题意，满足条件的路线总数应为种，
从而从格点到达格点，且不经过与连线上方格点的路线总数也为5种，
因此游客游览了7个景点的路线总数为10种．
（ii）要保证游客能够分别浏览两个景区至少1个景点，即行驶路线必须穿过对角线AB，
不妨先考虑只经过AB及其右下方格点的行驶路线，设总数为，
假设向右行驶记为1，向上行驶记为，
那么每条行驶路线实际唯一对应一个含n个1与n个的序列，，…，，
行驶路线不经过AB左上方的格点，等价于对任意前k段，
向右行驶的段数都不小于向上行驶的段数，即，
由题意，
所以行驶路线不经过AB右下方格点的种数也应为，
则行驶路线穿过对角线AB的种数为，
故，
则，
所以.
下面进行证明：，
由于，，
要证，即证，即证，显然成立，
又，
则，可得；
再证明：，
要证：，即证，
即证，而，，
则，可得.
综上所述，当时，.
1 / 1四川省绵阳市2025届高三下学期第三次诊断性测试数学试题
1．（2025·绵阳模拟）已知复数满足，则的共轭复数为（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·绵阳模拟）已知平面向量，若，则（　　）
A． B．0 C．1 D．2
3．（2025·绵阳模拟）设，则“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2025·绵阳模拟）已知抛物线的焦点为是上一点，且的面积为1.则（　　）
A．1 B． C．2 D．
5．（2025·绵阳模拟）某家电公司生产了两种不同型号的空调，公司统计了某地区2024年的前6个月这两种型号空调的销售情况，得到销售量的折线统计图如图所示，分析这6个月的销售数据，下列说法不正确的是（　　）
A．型号空调月销售量的极差比型号空调月销售量的极差大
B．型号空调月平均销售量比型号空调月平均销售量大
C．型号空调月销售量的上四分位数比型号空调销售量的上四分位数大
D．型号空调月销售量的方差比型号空调月销售量的方差小
6．（2025·绵阳模拟）已知直三棱柱中，，该三棱柱所有顶点都在球的球面上，则球的体积为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·绵阳模拟）已知，则的值为（　　）
A． B．3 C．9 D．81
8．（2025·绵阳模拟）已知是椭圆上的一点，且在轴上方，分别是该椭圆的左、右焦点，直线的斜率为，则（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·绵阳模拟）已知定义在上的函数，且，则（　　）
A．的值可以为
B．的值可以为2
C．若，则
D．若，且，则的最大值为
10．（2025·绵阳模拟）记的内角的对边分别为，已知是的最小内角，且为整数，若，则（　　）
A．
B．
C．若，且为整数，则
D．若为直角三角形，则的面积为1
11．（2025·绵阳模拟）已知集合，对于中的任意两个元素都有，则集合的元素个数可以为（　　）
A．4个 B．7个 C．9个 D．10个
12．（2025·绵阳模拟）已知等差数列的前项和为，若，则　 　.
13．（2025·绵阳模拟）在一次知识竞赛中，小张需要按顺序依次回答甲 乙 丙3个问题，已知他答对甲 乙 丙的概率分别为0.8，0.5，0.2，各题回答正确与否相互独立.若至少能够连续将2道题都答对，可获得额外加分，则小张获得额外加分的概率为　 　.
14．（2025·绵阳模拟）在坐标平面中，已知过点恰能作曲线的2条切线，则由所有点构成的集合为　 　.
15．（2025·绵阳模拟）已知等比数列满足，且成等差数列.
（1）求数列的通项公式：
（2）求.
16．（2025·绵阳模拟）已知函数（实数为常数）在处取得极值.
（1）求实数的值，并求的极小值：
（2）当时，设为的最大值，求的最小值.
17．（2025·绵阳模拟）如图1，等腰梯形中，分别为的中点，且，将梯形沿翻折至梯形，使得平面平面，得到如图的多面体，且.
（1）证明：四点共面；
（2）求的长；
（3）在上取一点，使得平面平面，求平面与平面夹角的余弦值.
18．（2025·绵阳模拟）已知双曲线的左右顶点为，且，双曲线的一条渐近线的斜率为，过点的直线交双曲线于两点，为坐标原点.
（1）求双曲线的方程；
（2）若双曲线上存在点，且，求此时直线的方程.
（3）过点的直线双曲线于两点，直线的斜率为，直线的斜率为，且，求的最小值.
19．（2025·绵阳模拟）如图所示的平面直角坐标系中，是一个模拟某旅游地区的格点图，共有个格点.阴影区域与分别是该城市两大著名景区，阴影部分内的格点代表景区内的景点.游客在格点之间必须乘坐观光车，从格点出发，最后到达终点，游客经过阴影区域中的格点都会进行游览.观光车只能在图中格点的连线上行驶，且整个过程将以最小行驶距离到达终点.
（1）当时，求一辆观光车从点到点会经过格点的路线总数；
（2）已知一个由个和个构成的含有项的序列：，满足任意前项和.序列个数为.
（i）当时，某游客游览了7个景点，求他游览的路线总数；
（ii）设某游客游览了两个景区各至少1个景点的路线总数为，求证：当时，.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：设复数，由，
可得，
则，解得，即复数，则复数的共轭复数为.
故答案为：B.
【分析】设复数，根据复数代数形式的乘法运算结合复数相等求得复数，再求共轭复数即可.
2．【答案】A
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】解：向量，
若，则，解得，向量，
则.
故答案为：A.
【分析】根据向量平行的坐标表示求的，再根据向量数量积的坐标表示求解即可.
3．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：取，满足，但不满足，即充分性不成立；
当时，，则，即必要性成立，
故“”是“”的必要不充分条件.
故答案为：B.
【分析】利用不等式的性质结合充分、必要条件的定义判断即可.
4．【答案】C
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：易知抛物线的焦点，设，
因为的面积为1，所以，
所以，解得，
又因为在抛物线上，所以，解得，
根据抛物线的定义可得：.
故答案为：C.
【分析】易知抛物线的焦点，设，由的面积可得，代入抛物线方程求得，再根据抛物线的定义求解即可.
5．【答案】D
【知识点】极差、方差与标准差；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：A、易知型号空调月销售量的极差为，
型号空调月销售量的极差为，故A正确；
B、型号空调月平均销售量为，
型号空调月平均销售量为，故B正确；
C、型号空调月销售量数据从小到大排列为：25，27，28，38，42，50，
，则型号空调月销售量的上四分位数为42；
型号空调月销售量数据从小到大排列为：22，25，30，37，40，45，
，则型号空调月销售量的上四分位数为40，故C正确；
D、型号空调月销售量的方差为
型号空调月销售量的方差为
故D错误.
故答案为：D.
【分析】由题意，根据极差、平均数、上四分位数、方差的定义求解判断即可.
6．【答案】A
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解： 直三棱柱中，，将直三棱柱补成长方体，如图所示：
易知长方体的体对角线，
长方体的体对角线为三棱柱外接球的直径，则外接球半径
故球O的体积为.
故答案为：．
【分析】将直棱柱补全成长体即可知道其外接球直径，再求其体积即可.
7．【答案】C
【知识点】同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：，则
.
故答案为：C.
【分析】根据同角三角函数商关系，平方关系化简求值即可.
8．【答案】C
【知识点】椭圆的标准方程
【解析】【解答】解：椭圆的标准方程为，
如图所示：
易知椭圆的焦点为，设，，
由题意可得：，解得，即，
则，，，
.
故答案为：C.
【分析】化椭圆方程为标准方程，求得，设，根由题意求出，再根据余弦定理得到求解即可.
9．【答案】A,C,D
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的最大（小）值；函数的周期性
【解析】【解答】解：A、当时，函数，，符合题意，故A正确；
B、当时，，，不符合题意，
故B错误；
C、若，则，即，故C正确；
D、当时，，则函数的周期为3，
由，，要使最大，则，，
因为，
当时，令，取满足的最小正整数，
当时，取得最大值，又，
则的最大值为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】代值检验即可判断AB；代值计算即可判断C；结合函数的周期分析即可判断D.
10．【答案】A,B
【知识点】两角和与差的正切公式；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：A、因为是的最小内角， 且为整数 ，所以，
所以，则，故A正确；
B、由A选项结合，可得，即，
由正弦定理，可得，即，解得，故B正确；
C、因为的最小内角，，若则，不满足；
因为在单调递增，
所以，即，
即，解得，
又因为为整数，所以；当符合题意，故C错误；
D、 若为直角三角形， 即，则，， 则的面积为，故D错误.
故答案为：AB.
【分析】由题意可知，求得A即可判断A；根据正弦定理求即可判断B；由题意按照C的范围讨论，解不等式即可判断D； 若为直角三角形 ，即，求的面积即可判断D.
11．【答案】A,B
【知识点】元素与集合的关系；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：当时，不满足集合元素的互异性，排除；
设， 任意两个元素都有，则，
移项可得，即，
因为且，所以，则，易知，
集合至多有中的一个整数，若有两个，取较小者为，会与不等式矛盾，
令，，
易知，函数在上单调递增，
假设存在且，令，，
由的单调性可知，这与矛盾，
所以中至多只有中的一个整数，
因为，所以集合至多只有中的一个整数，
因为，所以集合至多有中的一个整数，
因为，所以集合至多有中的一个整数，
又因为，，，
所以集合中可以同时存在，，，
综上，集合至多有个元素，
，符合条件，说明集合的元素个数可以是个或个.
故答案为：AB.
【分析】通过对集合中元素满足的不等式进行变形，分析元素之间的关系，利用函数单调性来确定集合中元素个数的上限，并通过举例验证元素个数的可能性.
12．【答案】
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：数列为等差数列，若，由等差数列的性质可知：，则.
故答案为：.
【分析】根据等差数列的性质结合等差数列的前项和公式计算即可.
13．【答案】
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解： 答对甲 乙 丙的概率分别为0.8，0.5，0.2，各题回答正确与否相互独立 ，
至少能够连续将2道题都答对，包含：甲乙都对，丙正误都可；甲错误，乙丙对，
则小张获得额外加分的概率为.
故答案为：.
【分析】根据相互独立事件的概率公式求解即可.
14．【答案】
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：函数定义域为，，
设切点为，则，即，
因为过点的切线有2条，所以方程有2个解，
转化为函数，与函数有2个交点，
，
当时，，，
因为，所以函数为偶函数，
当时，单调递增，
且时，，时，，
画出函数的大致图象，
此时满足函数，与函数有2个交点；
若，令，得或；令，得，
则函数在和上单调递增，在上单调递减，
且，画出函数的大致图象，
要使函数，与函数有2个交点，则；
若，令，得；令，得或，
则函数在和上单调递减，在上单调递增，
且，画出函数的大致图象，
要使函数，与函数有2个交点，则，
综上所述，点构成的集合为.
故答案为：.
【分析】求函数的定义域，再求导，利用导数的几何意义求切线方程，转化问题为方程有2个解，进而分，，，3种情况讨论求解即可.
15．【答案】（1）解：设等比数列的公比为，
因为成等差数列，所以，
又因为，所以，即，解得，
则；
（2）解：由（1）可得：
.
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；等差中项
【解析】【分析】（1）设等比数列的公比为，由题意列方程求出公比，即可得数列的通项公式；
（2）利用等比数列的前n项和求解即可.
（1）设等比数列的公比为，
成等差数列，
，
即，
即，
解得或（舍），
（2）
.
16．【答案】（1）解：函数的定义域为，，
因为函数在处取得极值，所以，解得，
则，
令，解得或；令，解得，
则函数在和上单调递增，在上单调递减，
函数在处取得极值，故，
当时，函数取得极小值，极小值为；
（2）解：由（1）知，函数在上单调递减，且，，
当，即时，的最大值为；
当，即时，的最大值为，
则，
当时，单调递减，
则；
当时，单调递增，
则，
综上所述，的最小值为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导，由题意可得，求得的值，再检验，求解的极小值即可；
（2）结合（1）易得的最大值，求解即可.
（1）由，，
则，
因为函数在处取得极值，
所以，即，
此时，
，
令，得或；令，得，
所以函数在和上单调递增，在上单调递减，
则函数在处取得极值，即，
当时，取得极小值.
（2）由（1）知，函数在上单调递减，
且，，
当，即时，的最大值为；
当，即时，的最大值为.
则，
当时，单调递减，
则；
当时，单调递增，
则.
综上所述，的最小值为.
17．【答案】（1）证明： 将梯形沿翻折至梯形，使得平面平面，
因为平面平面，且，平面，
所以平面，且，
以为原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
设，，
，
因为，所以，解得，
则，即，，
即，故四点共面；
（2）解：由（1）可得，则；
（3）解：由（1）知，，，，，
设，则，则，
设平面的一个法向量为，
则，取，得，
设平面的一个法向量为，
则，取，得，
由平面平面，则，解得，
则，则，又，
设平面的一个法向量为，
则，取，得，
易得平面的一个法向量为，
则，
则平面与平面夹角的余弦值为.
【知识点】用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量研究二面角；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【分析】（1）由平面平面，可得平面，以为原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，设，由，结合空间向量可得，进而得到，即可求证；
（2）由（1），得，据此求解即可；
（3）利用空间向量法求解即可.
（1）因为平面平面，平面平面，
且，平面，
所以平面，又，
以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，
设，易得，
则，
由，则，解得（舍去）或，
则，
则，则，
即，所以四点共面.
（2）由（1）知，.
（3）由（1）知，，，，，
设，则，则，
设平面的一个法向量为，
则，取，得，
设平面的一个法向量为，
则，取，得，
由平面平面，则，解得，
则，则，又，
设平面的一个法向量为，
则，取，得，
易得平面的一个法向量为，
则，
则平面与平面夹角的余弦值为.
18．【答案】（1）解：因为双曲线的左右顶点为，且，所以；
又因为双曲线的一条渐近线的斜率为，所以，即，
则双曲线的方程为；
（2）解：当直线的斜率为时，，
，显然不存在点满足；
则直线的斜率不为，设直线的方程为，点，
联立，消元整理得，
则，，即，
由韦达定理可得，
则，
，
则，
即，代入，得，
解得或，即（舍去）或，
则直线的方程为，即；
（3）解：由（2）知，设直线的方程为，，
，
显然直线的斜率不为，设直线的方程为，，
同理可得，
由，，
则，，即，，
所以，
，
所以
，
令，，
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
且时，；时，；时，，
则，所以，
函数在上单调递增，
则，即的最小值为.

【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意求得，即可求得双曲线的方程；
（2）设直线的方程为，，联立直线与双曲方程，结合韦达定理及题设可得，进而代入双曲线方程即可求出，进而得解；
（3）由（2）可得，设直线的方程为，，
可得由，，可得，，，，表示出，换元，结合对勾函数求解即可.
（1）由题意，，解得，，
则双曲线的方程为.
（2）当直线的斜率为时，，
此时，显然不存在点满足；
则直线的斜率不为，设直线的方程为，，
联立，得，
则，，即，
，
则，
又，
则，
即，代入，
得，
解得或，即（舍去）或，
则直线的方程为，
即.
（3）由（2）知，设直线的方程为，，
，
显然直线的斜率不为，设直线的方程为，，
同理可得，
由，，
则，，即，，
所以，
，
所以
，
令，，
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
且时，；时，；时，，
则，所以，
函数在上单调递增，
则，即的最小值为.
19．【答案】（1）解：从点到总共需要3步，向上1步，向右2步，
再到点总共需要3步，向上2步，向右1步，
所以观光车从点到点会经过格点的路线总数为；
（2）解；（i）除去起点与终点外，巴士一定会经过7个格点，
若游客恰好游览了7个景点，说明巴士一定不经过对角线上的格点．
所以观光车第一步必然到达或格点，且必然从或到达终点，
在这个过程中既不会穿过对角线，也不会到达对角线上的格点，
考虑对称性，不妨先计算从格点到达格点，且不经过与连线上方格点的路线总数，
假设向右行驶记为1，向上行驶记为，
那么每条行驶路线实际唯一对应一个含3个1与3个的序列，，…，，
行驶路线不经过与连线上方格点，等价于对任意前段，
向右行驶的段数都不小于向上行驶的段数，即，
根据题意，满足条件的路线总数应为种，
从而从格点到达格点，且不经过与连线上方格点的路线总数也为5种，
因此游客游览了7个景点的路线总数为10种；
（ii）要保证游客能够分别浏览两个景区至少1个景点，即行驶路线必须穿过对角线AB，
不妨先考虑只经过AB及其右下方格点的行驶路线，设总数为，
假设向右行驶记为1，向上行驶记为，
那么每条行驶路线实际唯一对应一个含n个1与n个的序列，，…，，
行驶路线不经过AB左上方的格点，等价于对任意前k段，
向右行驶的段数都不小于向上行驶的段数，即，
由题意，
所以行驶路线不经过AB右下方格点的种数也应为，
则行驶路线穿过对角线AB的种数为，
故，
则，
所以.
下面进行证明：，
由于，，
要证，即证，即证，显然成立，
又，
则，可得；
再证明：，
要证：，即证，
即证，而，，
则，可得，
综上所述，当时，.
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【分析】（1）分析易得从点到总共需要3步，向上1步，向右2步，再到点总共需要3步，向上2步，向右1步，结合组合知识求解即可；
（2）（i）根据题设定义求解即可；
（ii）根据题设定义可得，进而可证，，再结合累乘法求解即可.
（1）从点到总共需要3步，向上1步，向右2步，
再到点总共需要3步，向上2步，向右1步，
所以观光车从点到点会经过格点的路线总数为.
（2）（i）除去起点与终点外，巴士一定会经过7个格点，
若游客恰好游览了7个景点，说明巴士一定不经过对角线上的格点．
所以观光车第一步必然到达或格点，且必然从或到达终点，
在这个过程中既不会穿过对角线，也不会到达对角线上的格点，
考虑对称性，不妨先计算从格点到达格点，且不经过与连线上方格点的路线总数，
假设向右行驶记为1，向上行驶记为，
那么每条行驶路线实际唯一对应一个含3个1与3个的序列，，…，．
行驶路线不经过与连线上方格点，等价于对任意前段，
向右行驶的段数都不小于向上行驶的段数，即，
根据题意，满足条件的路线总数应为种，
从而从格点到达格点，且不经过与连线上方格点的路线总数也为5种，
因此游客游览了7个景点的路线总数为10种．
（ii）要保证游客能够分别浏览两个景区至少1个景点，即行驶路线必须穿过对角线AB，
不妨先考虑只经过AB及其右下方格点的行驶路线，设总数为，
假设向右行驶记为1，向上行驶记为，
那么每条行驶路线实际唯一对应一个含n个1与n个的序列，，…，，
行驶路线不经过AB左上方的格点，等价于对任意前k段，
向右行驶的段数都不小于向上行驶的段数，即，
由题意，
所以行驶路线不经过AB右下方格点的种数也应为，
则行驶路线穿过对角线AB的种数为，
故，
则，
所以.
下面进行证明：，
由于，，
要证，即证，即证，显然成立，
又，
则，可得；
再证明：，
要证：，即证，
即证，而，，
则，可得.
综上所述，当时，.
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