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浙江省绍兴市诸暨市星光联盟2024-2025学年七年级下学期期中考试数学试卷
1．（2025七下·诸暨期中）在下列由运动项目的图标组成的图形中，能将其中一个图形只经过平移得到另一个图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025七下·诸暨期中）下列的运算结果为正确的是（　　）
A．(x2)3=x5 B．x2·x3=x5 C．x3+x2=x5 D．x3÷x2=x5
3．（2025七下·诸暨期中）诺如病毒是一种引起急性胃肠炎的病毒，它属于杯状病毒科，是引起急性胃肠炎的常见病毒，主要通过粪-口途径传播，其大小约为0.00000003米，用科学记数法可表示为（　　）
A．3×107米 B．3×10-7米 C．3×108米 D．3×10-8米
4．（2025七下·诸暨期中）下列所示的四个图形中，∠1与∠2属于同位角的有（　　）
A．①②④ B．①④ C．④ D．②③④
5．（2025七下·诸暨期中）下列多项式的乘法中可以用平方差公式计算的是（　　）
A．(-2x-y)(y-2x) B．(x+y)(x-a)
C．(-a+b)(a-b) D．(x-2)(x+1)
6．（2025七下·诸暨期中）本市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB、CD都与地面平行，∠BCD=60°，∠BAC=50°，当∠MAC为（　　）度时，AM与BC平行．
A．50° B．60° C．70° D．130°
7．（2025七下·诸暨期中）若关于x，y的二元一次方程组的解满足方程x+y=2，则k的值为（　　）
A．3 B．3.5 C．4.5 D．5
8．（2025七下·诸暨期中）若(x2+2px+q)(x-2)展开后不含x的一次项，则p与q的关系是（　　）
A．p＝4q B．q＝4p C．p+4q＝0 D．q+4p＝0
9．（2025七下·诸暨期中）某文具店有橡皮、尺子、铅笔三种文具，铅笔的数量是尺子的数量的3倍还多8只，之后文具店又购进同样数量的尺子，此时铅笔的数量比橡皮和尺子的数量之和少4只，则之前橡皮和尺子的数量之差为（　　）
A．11 B．12 C．13 D．14
10．（2025七下·诸暨期中）如图，图1是长方形纸带，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，若图1中∠DEF＝20°，则图3中的∠CFE的度数是（　　）
A．90° B．100° C．110° D．120°
11．（2025七下·诸暨期中）x3÷x=　 　.
12．（2025七下·诸暨期中）若x|a-1|+ay=2025是二元一次方程，则a=　 　.
13．（2025七下·诸暨期中）如图，若∠1=∠2，则AB//CD，其依据是　 　.
14．（2025七下·诸暨期中）如图，每只蝴蝶有6条腿，2对翅膀，每只鸟有2条腿，1对翅膀，现有x只蝴蝶和y只鸟，共有70条腿，25对翅膀，则可列出方程组　 　.
15．（2025七下·诸暨期中）把方程3x+2y=5改写成用含x的代数式表示y的形式，得　 　.
16．（2025七下·诸暨期中）已知(m+n)2=10，(m-n)2=6，则m2+n2=　 　.
17．（2025七下·诸暨期中）若∠A与∠B的两边分别平行，其中∠A=x°，∠B=(210-4x)°，则x=　 　.
18．（2025七下·诸暨期中）已知3a+1+3a=108，3b+1-3b=54，则a+b的值为　 　.
19．（2025七下·诸暨期中）已知(x+3)x=1，则x的值为　 　.
20．（2025七下·诸暨期中）数学课上同学们以“平行中的数量关系”为主题开展数学活动，如图所示，已知AB//CD，其中BF、DF分别为∠ABE、∠CDE的平分线，且相交于点F.若∠E+10∠G=360°，∠ABG=∠EBF，则∠CDG和∠FDG间的数量关系为　 　.
21．（2025七下·诸暨期中）计算：
（1）
（2）
（3）
22．（2025七下·诸暨期中）解方程组：
（1）
（2）
23．（2025七下·诸暨期中）如图，∠1=∠2，EG、FG分别平分∠BEF、∠DFE.
（1）求证：AB//CD.
（2）求∠G的度数.
24．（2025七下·诸暨期中）如图，长为ycm，宽为xcm的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为2cm.
（1）从图可知，每一个小长方形较长一边长为　 　cm（用含y的代数式表示）.
（2）分别用含x，y的代数式表示阴影部分A，B的面积.
（3）当x=2024，y=12时，求阴影A与阴影B的面积差.
25．（2025七下·诸暨期中）小林在某商店购买商品A，B若干次(每次A，B两种商品都购买）。其中第一、二次购买时，均按标价购买；第三次购买时，商品A，B有打折优惠。三次购买商品A，B的数量和费用如下表：
购买商品A的数量 购买商品B的数量 购买总费用
第一次购买 6 5 980
第二次购买 3 7 940
第三次购买 9 8 1216
（1）求商品A，B的标价.
（2）若第三次购买时商品A，B的折扣相同，则该商店是打几折出售这两种商品的？
（3）在(2)的条件下，若小林第四次购买时共花了1200元，则小林有哪几种购买方案？
26．（2025七下·诸暨期中）阅读下列材料，完成任务
浦阳江灯光秀
素材一 今年除夕夜，小枫在浦阳江观赏灯光秀（如图①）时，发现两岸灯光在有规律地旋转。如图②，Q灯射出的光束QQ’从QA开始逆时针旋转至QB便立即回转，P灯射出的光束PP’从PD开始逆时针旋转至PC便立即回转，两灯不停地旋转，假定江两岸平行，即AB//CD. ① ① ②
素材二 为了呈现不同的灯光投射效果，小枫发现P灯先转动6秒后，Q灯才开始转动，已知P灯射出的光束的转动速度为3°/s，且Q灯转动12秒时两灯的光束刚好互相垂直.
问题解决
任务一 当Q灯转动12秒时，光束PP’与PD的夹角∠P’PD= .
任务二 求Q灯射出的光束的转动速度.
任务三 当P灯射出的光束第一次到达PC之前，两灯射出的光束能否互相平行，若能，请求出此时Q灯旋转的时间.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：A、其中一个图形可以通过翻折（轴对称）变换得到另一个图形，而非平移。因此排除选项A；
B、其中一个图形的方向发生了变化（如箭头方向相反），而平移不改变图形的方向，故排除选项B；
C、两个图形，两者形状、大小完全一致，且方向相同，仅位置不同，则本项符合题意；
D、其中一个图形的大小明显缩小或放大，而平移不改变图形的大小，因此排除选项D；
故答案为：C.
【分析】根据平移的定义，平移后的图形与原图形形状、大小完全相同，且方向不变，仅位置发生改变，据此逐项分析即可.
2．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、则本项不符合题意；
B、则本项符合题意；
C、与的指数不同，不是同类项，无法合并，则本项不符合题意；
D、则本项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据幂的乘方、同底数幂的乘法、除法以及合并同类项的运算法则逐项计算即可.
3．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：
故答案为：D.
【分析】根据绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．【答案】A
【知识点】同位角的概念
【解析】【解答】解： ①中，∠1和∠2位于截线的同侧，且分别在两条被截线的上方，符合同位角的定义；
②中，∠1和∠2位于截线的两侧，不符合同位角的同侧条件，因此不是同位角；
③中，∠1和∠2虽然位于截线同侧，但其中一个角的两边不与被截线形成直线关系，不符合同位角的构成条件；
④中，∠1和∠2位于截线的同侧，且分别处于两条被截线的同一方向，满足同位角的定义 ；
综上所述，属于同位角的有①②④，
故答案为：A.
【分析】根据两角位于截线的同侧，且分别位于两条被截线的同方向，据此逐项分析即可.
5．【答案】A
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、原式可变形为，符合平方差公式，因此选项A正确．
B、展开后为，无法写成平方差形式，因此选项B错误．
C、原式可变形为，属于完全平方公式，因此选项C错误．
D、展开后为，无法用平方差公式计算，因此选项D错误．
故答案为：A.
【分析】根据平方差公式的形式是需要满足两个二项式为一 对相反数的和与差，据此逐项分析即可.
6．【答案】C
【知识点】两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵
∴
∵
∴
当时，
∴
故答案为：C.
【分析】根据两直线平行同旁内角互补得到结合角之间的数量关系求出∠ACB的度数，最后即可求解.
7．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：解原方程组得：
则
解得：
故答案为：C.
【分析】利用加减消元法得到进而即可得到解此方程即可求解.
8．【答案】B
【知识点】单项式乘多项式；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：展开：，
∵原式展开后不含x的一次项，
∴
∴
故答案为：B.
【分析】利用多项式乘以多项式计算法则计算得到原式为，结合题意得到进而即可求解.
9．【答案】B
【知识点】用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：设最初尺子的数量为x，橡皮的数量为y，则铅笔的数量为3x+8；购进后尺子数量变为2x，铅笔数量不变仍为3x+8，
∴，
解得：
∴最初橡皮与尺子数量之差为
故答案为：B.
【分析】设最初尺子的数量为x，橡皮的数量为y，则铅笔的数量为3x+8；购进后尺子数量变为2x，铅笔数量不变仍为3x+8，根据"铅笔的数量比橡皮和尺子的数量之和少4只"，则列出方程，得到进而即可求解.
10．【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质的应用-折叠问题；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵
∴
在图2中，
在图3中，
故答案为：D.
【分析】根据两直线平行内错角相等，则进而根据角之间的数量关系计算即可.
11．【答案】x2
【知识点】同底数幂的除法
【解析】【解答】解：原式=
故答案为：.
【分析】根据同底数幂的除法法则计算即可.
12．【答案】2
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：∵是二元一次方程，
∴
∴
故答案为：2.
【分析】根据二元一次方程的定义得到解此方程即可求解.
13．【答案】内错角相等，两直线平行
【知识点】内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：∵
∴
故答案为：内错角相等，两直线平行.
【分析】根据内错角相等，两直线平行，进而即可求解.
14．【答案】
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设x为蝴蝶数量，y为鸟数量，
∴
故答案为：.
【分析】设x为蝴蝶数量，y为鸟数量，根据"共有70条腿"列出方程：根据"25对翅膀"，据此列出方程：然后联立两个方程得到方程组.
15．【答案】
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】解：∵
∴
故答案为：.
【分析】通过移项和系数化为1即可求解.
16．【答案】8
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵
∴
故答案为：8.
【分析】利用完全平方公式将两个平方展开，通过展开并相加消去交叉项，从而求出的值。
17．【答案】10°或42°
【知识点】平行线的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：①如图1，
∵
∴
∴
∴
②如图2，
∵
∴
则
∴
∴
综上所述，x的值为10°或42°，
故答案为：10°或42°.
【分析】根据题意可知需分两种情况讨论， 这两个角相等或互补，然后分别根据平行线的性质列出方程计算即可.
18．【答案】6
【知识点】因式分解﹣提公因式法；整数指数幂的运算
【解析】【解答】解：化简第一个方程$$3^{a+1} + 3^a = 108$$得：$$3 \cdot 3^a + 3^a = (3 + 1) \cdot 3^a = 4 \cdot 3^a = 108$$，解得$$3^a = 27$$，即$$a = 3$$，
化简第二个方程$$3^{b+1} - 3^b = 54$$得：$$3 \cdot 3^b - 3^b = (3 - 1) \cdot 3^b = 2 \cdot 3^b = 54$$，解得$$3^b = 27$$，即$$b = 3$$，
∴
故答案为：6.
【分析】 通过提取公因数将方程转化为关于$$3^a$$和$$3^b$$的方程，进而求出$$a$$和$$b$$的值，再相加得到答案.
19．【答案】0、-2、-4
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；整数指数幂的运算；分类讨论
【解析】【解答】解：①当底数为任意非零数且指数为0时，
∴
②当底数为1时，1的任何次幂均为1，即
∴
③当底数为-1且指数为偶数时，
∴，满足题意，
∴综上所述，x的值为0、-2、-4，
故答案为：0、-2、-4.
【分析】分成三种情况讨论①当底数为任意非零数且指数为0时；②当底数为1时，1的任何次幂均为1；③当底数为-1且指数为偶数时，据此分别进行计算即可.
20．【答案】∠GDF=4∠CDG
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：过点E作EQ//AB，过点G作GP//AB，
设∠CDG=x，∠ABG=y，
由题意可得：EQ//GP//AB//CD，
∴∠CDG=∠PGD=x，∠ABG=∠PGB=y，∠ABE+∠QEB=180°，∠CDE+∠QED=180°
∴∠ABE+∠QEB+∠CDE+∠QED=360°，
即∠ABE+∠CDE+∠BED=360°，
∴∠BED=360°-(∠ABE+∠CDE)
∵∠BED+10∠BGD=360°，
∴360°-(∠ABE+∠CDE)+10∠BGD=360°
∴10∠BGD=∠ABE+∠CDE，
∵∠BGD=∠PGD+∠PGB=x+y，
∴10∠BGD=∠ABE+∠CDE=10x+10y，
∵，
∴∠EBF=5y，
由题意可得：∠EBF=∠ABF=5y，∠CDF=∠EDF
∴∠ABE=10y，
∵∠ABE+∠CDE=10x+10y，
∴∠CDE=10x，
∴∠CDF=∠EDF=5x，
∵∠CDG=x，
∴∠GDF=4x，
∴∠GDF=4∠CDG，
故答案为：∠GDF=4∠CDG.
【分析】过点E作EQ//AB，过点G作GP//AB，可得EQ//GP//AB//CD，设∠CDG=x，∠ABG=y，根据平行线的性质及角平分线的定义可得∠ABE=10y，∠ABE+∠CDE=10x+10y，∠CDE=10y，进而可得∠CDF=∠EDF=5x，即可得∠GDF=4x，进而即可得出结论.
21．【答案】（1）解：原式=
=
（2）解：原式=
=
（3）解：原式=
=
=.
【知识点】整式的混合运算；整数指数幂的运算
【解析】【分析】（1）利用同底数幂的乘法法则和积的乘方计算，然后合并同类项即可；
（2）根据完全平方公式和平方差公式计算即可；
（3）利用幂的运算性质化简，并计算负指数幂与零次幂即可.
22．【答案】（1）解：
把①代入②得：
∴，
把代入①：
∴原方程组解为
（2）解：
①+②得：
∴
把代入①得：
∴，
∴原方程组解为
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用代入消元法把①代入②得：据此求出n的值，然后将其代入①求出m的值；
（2）利用加减消元法①+②得：据此求出x的值，然后将其代入①求出y的值.
23．【答案】（1）证明：∵
∴
∴.
（2）解：∵EG、FG分别平分∠BEF、∠DFE，
∴
∴
∵，
∴
∴
∴.
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】（1）根据对顶角的定义和题意得到最后根据同位角相等，两直线平行；
（2）根据角平分线的定义得到根据平行线的性质即可得到进而根据三角形内角和定理计算即可.
24．【答案】（1）(y-6)
（2）解：
（3）解：由（2）得：
∵，
∴阴影A与阴影B的面积差为：.
【知识点】整式的混合运算；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：（1）每一个小长方形较长一边长为cm，
故答案为：.
【分析】（1）根据图形即可得到其结果；
（2）分别根据图形分割后的尺寸，结合长方形面积计算公式计算即可；
（3）结合（2）得到然后把代入计算即可.
25．【答案】（1）解：设商品A的标价为x元/个，商品B的标价为y元/个，
∴
解得：
∴商品A的标价为80元/个，商品B的标价为100元/个.
（2）解：设第三次购买时商品A，B时，打x折，
，
解得：
∴该商店是打八折出售这两种商品的.
（3）解：设第四次购买A的数量为a，B的数量为b
总费用方程：
则，
∵a和b均为正整数，
∴必须能被4整除且结果为正整数，
当b=3时，
当b=7时，
当b=11时，
当b=15时，（舍去，因a>0），
∴共有三种方案，分别为①15个A商品，3个B商品；
②10个A商品，7个B商品；
③5个A商品，11个B商品.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】（1）设商品A的标价为x元/个，商品B的标价为y元/个，根据表格中前两次的购买方案列出方程组解此方程组即可求解；
（2）设第三次购买时商品A，B时，打x折，则，解此方程即可；
（3）设第四次购买A的数量为a，B的数量为b，则总费用方程：，即，进而求出其整数解即可.
26．【答案】解：任务一：54°.
任务二：如图，设PP'，QQ'交于点M，过M作MN//AB，
∵AB//CD
∴MN//CD
∴∠NMP=∠DPP'=54°
∴∠QMN=90°-∠PMN=36°
设Q灯射出的光束的转动速度为v°/s.
∴∠AQQ'=(12v)°
∵MN//AB
∴∠QMN=180°-∠AQM=180°-12v°
∴180-12v=36
解得：v=12°/s
即Q灯射出的光束的转动速度为12°/s
任务三：∵QQ'//PP'，AB//CD
∴∠AQQ'=∠DPP'
①当QQ'//PP'时，
∴12t=3°×6+3t
解得：t=2
②当Q'第一次回转时，
∴360°-12t=3°×6+3t
解得：t=22.8
③当Q'第二次从A出发，
∴12t-360°=3°×6+3t
解得：t=42
当Q'第二次回转时，
∴720°-12t=3°×6+3t
解得：t=46.8
综上所述，Q灯旋转的时间为2秒、22.8秒42秒、46.8秒两灯射出的光束平行.
【知识点】平行线的性质；旋转的性质；二元一次方程组的应用-几何问题；分类讨论
【解析】【解答】解：任务一：∵Q灯转动12秒时，P灯已提前6秒开始转动，
∴P灯转动的总时间为12+6=18秒，
∴转动角度为：
故答案为：54°.
【分析】任务一：根据题意可知P灯转动的总时间为12+6=18秒，进而即可求出其转动角度；
任务二：设PP'，QQ'交于点M，过M作MN//AB，根据垂直的定义得出∠QMN=90°-∠PMN=36°，设Q灯射出的光束的转动速度为v°/s，根据平行线的性质可得∠QMN=180°-∠AQM=180°-12v°，进而建立方程，解方程，即可求解；
任务三：根据题意得出∠AQQ'=∠DPP'，进而分四种情况讨论，分别列出一元一次方程，解方程，即可求解.
1 / 1浙江省绍兴市诸暨市星光联盟2024-2025学年七年级下学期期中考试数学试卷
1．（2025七下·诸暨期中）在下列由运动项目的图标组成的图形中，能将其中一个图形只经过平移得到另一个图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：A、其中一个图形可以通过翻折（轴对称）变换得到另一个图形，而非平移。因此排除选项A；
B、其中一个图形的方向发生了变化（如箭头方向相反），而平移不改变图形的方向，故排除选项B；
C、两个图形，两者形状、大小完全一致，且方向相同，仅位置不同，则本项符合题意；
D、其中一个图形的大小明显缩小或放大，而平移不改变图形的大小，因此排除选项D；
故答案为：C.
【分析】根据平移的定义，平移后的图形与原图形形状、大小完全相同，且方向不变，仅位置发生改变，据此逐项分析即可.
2．（2025七下·诸暨期中）下列的运算结果为正确的是（　　）
A．(x2)3=x5 B．x2·x3=x5 C．x3+x2=x5 D．x3÷x2=x5
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、则本项不符合题意；
B、则本项符合题意；
C、与的指数不同，不是同类项，无法合并，则本项不符合题意；
D、则本项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据幂的乘方、同底数幂的乘法、除法以及合并同类项的运算法则逐项计算即可.
3．（2025七下·诸暨期中）诺如病毒是一种引起急性胃肠炎的病毒，它属于杯状病毒科，是引起急性胃肠炎的常见病毒，主要通过粪-口途径传播，其大小约为0.00000003米，用科学记数法可表示为（　　）
A．3×107米 B．3×10-7米 C．3×108米 D．3×10-8米
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：
故答案为：D.
【分析】根据绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．（2025七下·诸暨期中）下列所示的四个图形中，∠1与∠2属于同位角的有（　　）
A．①②④ B．①④ C．④ D．②③④
【答案】A
【知识点】同位角的概念
【解析】【解答】解： ①中，∠1和∠2位于截线的同侧，且分别在两条被截线的上方，符合同位角的定义；
②中，∠1和∠2位于截线的两侧，不符合同位角的同侧条件，因此不是同位角；
③中，∠1和∠2虽然位于截线同侧，但其中一个角的两边不与被截线形成直线关系，不符合同位角的构成条件；
④中，∠1和∠2位于截线的同侧，且分别处于两条被截线的同一方向，满足同位角的定义 ；
综上所述，属于同位角的有①②④，
故答案为：A.
【分析】根据两角位于截线的同侧，且分别位于两条被截线的同方向，据此逐项分析即可.
5．（2025七下·诸暨期中）下列多项式的乘法中可以用平方差公式计算的是（　　）
A．(-2x-y)(y-2x) B．(x+y)(x-a)
C．(-a+b)(a-b) D．(x-2)(x+1)
【答案】A
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、原式可变形为，符合平方差公式，因此选项A正确．
B、展开后为，无法写成平方差形式，因此选项B错误．
C、原式可变形为，属于完全平方公式，因此选项C错误．
D、展开后为，无法用平方差公式计算，因此选项D错误．
故答案为：A.
【分析】根据平方差公式的形式是需要满足两个二项式为一 对相反数的和与差，据此逐项分析即可.
6．（2025七下·诸暨期中）本市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB、CD都与地面平行，∠BCD=60°，∠BAC=50°，当∠MAC为（　　）度时，AM与BC平行．
A．50° B．60° C．70° D．130°
【答案】C
【知识点】两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵
∴
∵
∴
当时，
∴
故答案为：C.
【分析】根据两直线平行同旁内角互补得到结合角之间的数量关系求出∠ACB的度数，最后即可求解.
7．（2025七下·诸暨期中）若关于x，y的二元一次方程组的解满足方程x+y=2，则k的值为（　　）
A．3 B．3.5 C．4.5 D．5
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：解原方程组得：
则
解得：
故答案为：C.
【分析】利用加减消元法得到进而即可得到解此方程即可求解.
8．（2025七下·诸暨期中）若(x2+2px+q)(x-2)展开后不含x的一次项，则p与q的关系是（　　）
A．p＝4q B．q＝4p C．p+4q＝0 D．q+4p＝0
【答案】B
【知识点】单项式乘多项式；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：展开：，
∵原式展开后不含x的一次项，
∴
∴
故答案为：B.
【分析】利用多项式乘以多项式计算法则计算得到原式为，结合题意得到进而即可求解.
9．（2025七下·诸暨期中）某文具店有橡皮、尺子、铅笔三种文具，铅笔的数量是尺子的数量的3倍还多8只，之后文具店又购进同样数量的尺子，此时铅笔的数量比橡皮和尺子的数量之和少4只，则之前橡皮和尺子的数量之差为（　　）
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】B
【知识点】用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：设最初尺子的数量为x，橡皮的数量为y，则铅笔的数量为3x+8；购进后尺子数量变为2x，铅笔数量不变仍为3x+8，
∴，
解得：
∴最初橡皮与尺子数量之差为
故答案为：B.
【分析】设最初尺子的数量为x，橡皮的数量为y，则铅笔的数量为3x+8；购进后尺子数量变为2x，铅笔数量不变仍为3x+8，根据"铅笔的数量比橡皮和尺子的数量之和少4只"，则列出方程，得到进而即可求解.
10．（2025七下·诸暨期中）如图，图1是长方形纸带，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，若图1中∠DEF＝20°，则图3中的∠CFE的度数是（　　）
A．90° B．100° C．110° D．120°
【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质的应用-折叠问题；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵
∴
在图2中，
在图3中，
故答案为：D.
【分析】根据两直线平行内错角相等，则进而根据角之间的数量关系计算即可.
11．（2025七下·诸暨期中）x3÷x=　 　.
【答案】x2
【知识点】同底数幂的除法
【解析】【解答】解：原式=
故答案为：.
【分析】根据同底数幂的除法法则计算即可.
12．（2025七下·诸暨期中）若x|a-1|+ay=2025是二元一次方程，则a=　 　.
【答案】2
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：∵是二元一次方程，
∴
∴
故答案为：2.
【分析】根据二元一次方程的定义得到解此方程即可求解.
13．（2025七下·诸暨期中）如图，若∠1=∠2，则AB//CD，其依据是　 　.
【答案】内错角相等，两直线平行
【知识点】内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：∵
∴
故答案为：内错角相等，两直线平行.
【分析】根据内错角相等，两直线平行，进而即可求解.
14．（2025七下·诸暨期中）如图，每只蝴蝶有6条腿，2对翅膀，每只鸟有2条腿，1对翅膀，现有x只蝴蝶和y只鸟，共有70条腿，25对翅膀，则可列出方程组　 　.
【答案】
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设x为蝴蝶数量，y为鸟数量，
∴
故答案为：.
【分析】设x为蝴蝶数量，y为鸟数量，根据"共有70条腿"列出方程：根据"25对翅膀"，据此列出方程：然后联立两个方程得到方程组.
15．（2025七下·诸暨期中）把方程3x+2y=5改写成用含x的代数式表示y的形式，得　 　.
【答案】
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】解：∵
∴
故答案为：.
【分析】通过移项和系数化为1即可求解.
16．（2025七下·诸暨期中）已知(m+n)2=10，(m-n)2=6，则m2+n2=　 　.
【答案】8
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵
∴
故答案为：8.
【分析】利用完全平方公式将两个平方展开，通过展开并相加消去交叉项，从而求出的值。
17．（2025七下·诸暨期中）若∠A与∠B的两边分别平行，其中∠A=x°，∠B=(210-4x)°，则x=　 　.
【答案】10°或42°
【知识点】平行线的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：①如图1，
∵
∴
∴
∴
②如图2，
∵
∴
则
∴
∴
综上所述，x的值为10°或42°，
故答案为：10°或42°.
【分析】根据题意可知需分两种情况讨论， 这两个角相等或互补，然后分别根据平行线的性质列出方程计算即可.
18．（2025七下·诸暨期中）已知3a+1+3a=108，3b+1-3b=54，则a+b的值为　 　.
【答案】6
【知识点】因式分解﹣提公因式法；整数指数幂的运算
【解析】【解答】解：化简第一个方程$$3^{a+1} + 3^a = 108$$得：$$3 \cdot 3^a + 3^a = (3 + 1) \cdot 3^a = 4 \cdot 3^a = 108$$，解得$$3^a = 27$$，即$$a = 3$$，
化简第二个方程$$3^{b+1} - 3^b = 54$$得：$$3 \cdot 3^b - 3^b = (3 - 1) \cdot 3^b = 2 \cdot 3^b = 54$$，解得$$3^b = 27$$，即$$b = 3$$，
∴
故答案为：6.
【分析】 通过提取公因数将方程转化为关于$$3^a$$和$$3^b$$的方程，进而求出$$a$$和$$b$$的值，再相加得到答案.
19．（2025七下·诸暨期中）已知(x+3)x=1，则x的值为　 　.
【答案】0、-2、-4
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；整数指数幂的运算；分类讨论
【解析】【解答】解：①当底数为任意非零数且指数为0时，
∴
②当底数为1时，1的任何次幂均为1，即
∴
③当底数为-1且指数为偶数时，
∴，满足题意，
∴综上所述，x的值为0、-2、-4，
故答案为：0、-2、-4.
【分析】分成三种情况讨论①当底数为任意非零数且指数为0时；②当底数为1时，1的任何次幂均为1；③当底数为-1且指数为偶数时，据此分别进行计算即可.
20．（2025七下·诸暨期中）数学课上同学们以“平行中的数量关系”为主题开展数学活动，如图所示，已知AB//CD，其中BF、DF分别为∠ABE、∠CDE的平分线，且相交于点F.若∠E+10∠G=360°，∠ABG=∠EBF，则∠CDG和∠FDG间的数量关系为　 　.
【答案】∠GDF=4∠CDG
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：过点E作EQ//AB，过点G作GP//AB，
设∠CDG=x，∠ABG=y，
由题意可得：EQ//GP//AB//CD，
∴∠CDG=∠PGD=x，∠ABG=∠PGB=y，∠ABE+∠QEB=180°，∠CDE+∠QED=180°
∴∠ABE+∠QEB+∠CDE+∠QED=360°，
即∠ABE+∠CDE+∠BED=360°，
∴∠BED=360°-(∠ABE+∠CDE)
∵∠BED+10∠BGD=360°，
∴360°-(∠ABE+∠CDE)+10∠BGD=360°
∴10∠BGD=∠ABE+∠CDE，
∵∠BGD=∠PGD+∠PGB=x+y，
∴10∠BGD=∠ABE+∠CDE=10x+10y，
∵，
∴∠EBF=5y，
由题意可得：∠EBF=∠ABF=5y，∠CDF=∠EDF
∴∠ABE=10y，
∵∠ABE+∠CDE=10x+10y，
∴∠CDE=10x，
∴∠CDF=∠EDF=5x，
∵∠CDG=x，
∴∠GDF=4x，
∴∠GDF=4∠CDG，
故答案为：∠GDF=4∠CDG.
【分析】过点E作EQ//AB，过点G作GP//AB，可得EQ//GP//AB//CD，设∠CDG=x，∠ABG=y，根据平行线的性质及角平分线的定义可得∠ABE=10y，∠ABE+∠CDE=10x+10y，∠CDE=10y，进而可得∠CDF=∠EDF=5x，即可得∠GDF=4x，进而即可得出结论.
21．（2025七下·诸暨期中）计算：
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）解：原式=
=
（2）解：原式=
=
（3）解：原式=
=
=.
【知识点】整式的混合运算；整数指数幂的运算
【解析】【分析】（1）利用同底数幂的乘法法则和积的乘方计算，然后合并同类项即可；
（2）根据完全平方公式和平方差公式计算即可；
（3）利用幂的运算性质化简，并计算负指数幂与零次幂即可.
22．（2025七下·诸暨期中）解方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
把①代入②得：
∴，
把代入①：
∴原方程组解为
（2）解：
①+②得：
∴
把代入①得：
∴，
∴原方程组解为
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用代入消元法把①代入②得：据此求出n的值，然后将其代入①求出m的值；
（2）利用加减消元法①+②得：据此求出x的值，然后将其代入①求出y的值.
23．（2025七下·诸暨期中）如图，∠1=∠2，EG、FG分别平分∠BEF、∠DFE.
（1）求证：AB//CD.
（2）求∠G的度数.
【答案】（1）证明：∵
∴
∴.
（2）解：∵EG、FG分别平分∠BEF、∠DFE，
∴
∴
∵，
∴
∴
∴.
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】（1）根据对顶角的定义和题意得到最后根据同位角相等，两直线平行；
（2）根据角平分线的定义得到根据平行线的性质即可得到进而根据三角形内角和定理计算即可.
24．（2025七下·诸暨期中）如图，长为ycm，宽为xcm的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为2cm.
（1）从图可知，每一个小长方形较长一边长为　 　cm（用含y的代数式表示）.
（2）分别用含x，y的代数式表示阴影部分A，B的面积.
（3）当x=2024，y=12时，求阴影A与阴影B的面积差.
【答案】（1）(y-6)
（2）解：
（3）解：由（2）得：
∵，
∴阴影A与阴影B的面积差为：.
【知识点】整式的混合运算；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：（1）每一个小长方形较长一边长为cm，
故答案为：.
【分析】（1）根据图形即可得到其结果；
（2）分别根据图形分割后的尺寸，结合长方形面积计算公式计算即可；
（3）结合（2）得到然后把代入计算即可.
25．（2025七下·诸暨期中）小林在某商店购买商品A，B若干次(每次A，B两种商品都购买）。其中第一、二次购买时，均按标价购买；第三次购买时，商品A，B有打折优惠。三次购买商品A，B的数量和费用如下表：
购买商品A的数量 购买商品B的数量 购买总费用
第一次购买 6 5 980
第二次购买 3 7 940
第三次购买 9 8 1216
（1）求商品A，B的标价.
（2）若第三次购买时商品A，B的折扣相同，则该商店是打几折出售这两种商品的？
（3）在(2)的条件下，若小林第四次购买时共花了1200元，则小林有哪几种购买方案？
【答案】（1）解：设商品A的标价为x元/个，商品B的标价为y元/个，
∴
解得：
∴商品A的标价为80元/个，商品B的标价为100元/个.
（2）解：设第三次购买时商品A，B时，打x折，
，
解得：
∴该商店是打八折出售这两种商品的.
（3）解：设第四次购买A的数量为a，B的数量为b
总费用方程：
则，
∵a和b均为正整数，
∴必须能被4整除且结果为正整数，
当b=3时，
当b=7时，
当b=11时，
当b=15时，（舍去，因a>0），
∴共有三种方案，分别为①15个A商品，3个B商品；
②10个A商品，7个B商品；
③5个A商品，11个B商品.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】（1）设商品A的标价为x元/个，商品B的标价为y元/个，根据表格中前两次的购买方案列出方程组解此方程组即可求解；
（2）设第三次购买时商品A，B时，打x折，则，解此方程即可；
（3）设第四次购买A的数量为a，B的数量为b，则总费用方程：，即，进而求出其整数解即可.
26．（2025七下·诸暨期中）阅读下列材料，完成任务
浦阳江灯光秀
素材一 今年除夕夜，小枫在浦阳江观赏灯光秀（如图①）时，发现两岸灯光在有规律地旋转。如图②，Q灯射出的光束QQ’从QA开始逆时针旋转至QB便立即回转，P灯射出的光束PP’从PD开始逆时针旋转至PC便立即回转，两灯不停地旋转，假定江两岸平行，即AB//CD. ① ① ②
素材二 为了呈现不同的灯光投射效果，小枫发现P灯先转动6秒后，Q灯才开始转动，已知P灯射出的光束的转动速度为3°/s，且Q灯转动12秒时两灯的光束刚好互相垂直.
问题解决
任务一 当Q灯转动12秒时，光束PP’与PD的夹角∠P’PD= .
任务二 求Q灯射出的光束的转动速度.
任务三 当P灯射出的光束第一次到达PC之前，两灯射出的光束能否互相平行，若能，请求出此时Q灯旋转的时间.
【答案】解：任务一：54°.
任务二：如图，设PP'，QQ'交于点M，过M作MN//AB，
∵AB//CD
∴MN//CD
∴∠NMP=∠DPP'=54°
∴∠QMN=90°-∠PMN=36°
设Q灯射出的光束的转动速度为v°/s.
∴∠AQQ'=(12v)°
∵MN//AB
∴∠QMN=180°-∠AQM=180°-12v°
∴180-12v=36
解得：v=12°/s
即Q灯射出的光束的转动速度为12°/s
任务三：∵QQ'//PP'，AB//CD
∴∠AQQ'=∠DPP'
①当QQ'//PP'时，
∴12t=3°×6+3t
解得：t=2
②当Q'第一次回转时，
∴360°-12t=3°×6+3t
解得：t=22.8
③当Q'第二次从A出发，
∴12t-360°=3°×6+3t
解得：t=42
当Q'第二次回转时，
∴720°-12t=3°×6+3t
解得：t=46.8
综上所述，Q灯旋转的时间为2秒、22.8秒42秒、46.8秒两灯射出的光束平行.
【知识点】平行线的性质；旋转的性质；二元一次方程组的应用-几何问题；分类讨论
【解析】【解答】解：任务一：∵Q灯转动12秒时，P灯已提前6秒开始转动，
∴P灯转动的总时间为12+6=18秒，
∴转动角度为：
故答案为：54°.
【分析】任务一：根据题意可知P灯转动的总时间为12+6=18秒，进而即可求出其转动角度；
任务二：设PP'，QQ'交于点M，过M作MN//AB，根据垂直的定义得出∠QMN=90°-∠PMN=36°，设Q灯射出的光束的转动速度为v°/s，根据平行线的性质可得∠QMN=180°-∠AQM=180°-12v°，进而建立方程，解方程，即可求解；
任务三：根据题意得出∠AQQ'=∠DPP'，进而分四种情况讨论，分别列出一元一次方程，解方程，即可求解.
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