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浙江省杭州市保俶塔教育集团2024-2025学年八年级下学期5月考试数学试题
一、选择题（每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题意）
1．（2025八下·杭州月考）下列四幅图案是四所学校校徽的主体标识， 其中是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A：图案是轴对称图形，不是中心对称，所以A不符合题意；
B：图案是轴对称图形，不是中心对称，所以B不符合题意；
C：图案不是轴对称图形，是中心对称，所以C符合题意；
D：图案是轴对称图形，不是中心对称，所以D不符合题意；
故答案为：C。
【分析】根据中心对称图形的定义进行识别即可得出答案。
2．（2025八下·杭州月考）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：A：，错误，不符合题意；
B：，错误，不符合题意；
C：，错误，不符合题意；
D：，正确，符合题意.
故答案为：D
【分析】根据算术平方根逐项进行判断即可求出答案.
3．（2025八下·杭州月考）正六边形的每个内角为（　　）
A．108° B．135° C．120° D．140°
【答案】C
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：由题意可得：
正六边形的每个内角为
故答案为：C
【分析】根据正多边形内角和定理即可求出答案.
4．（2025八下·杭州月考）小明根据演讲比赛中九位评委所给的分数制作了如下表格：
平均数 中位数 众数 方差
8.5 8.3 8.1 0.15
如果要去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（　　）
A．中位数 B．众数 C．方差 D．平均数
【答案】A
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：一组数据去掉一个最高分和一个最低分，数据一定不发生变化的是中位数
故答案为：A
【分析】根据中位数的定义即可求出答案.
5．（2025八下·杭州月考）若顺次连接四边形各边中点所得到的四边形是菱形，则该四边形一定是(　　)
A．矩形 B．对角线相等的四边形
C．正方形 D．对角线互相垂直的四边形
【答案】B
【知识点】正方形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点E，F，G，H分别是边AD，AB，BC，CD的中点，
∴EH∥AC，EH＝AC，FG∥AC，FG＝AC，
∴EH∥FG，EH＝FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
根据题意得：四边形EFGH是菱形，
∴EF＝EH，
∴AC＝BD，
∴原四边形一定是对角线相等的四边形．
故选B．
【分析】根据题意画出图形，根据三角形中位线定理可得EH∥AC，EH＝AC，FG∥AC，FG＝AC，则EH∥FG，EH＝FG，再根据菱形判定定理可得四边形EFGH是菱形，则EF＝EH，即AC＝BD，即可求出答案.
6．（2025八下·杭州月考）关于x的一元二次方程x2+x-2=m，下列说法正确的是（　　）
A．当m=0时，此方程有两个相等的实数根
B．当m<0时，此方程没有实数根
C．当m>0时，此方程有两个不相等的实数根
D．此方程的根的情况与m的值无关
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：x2+x-2=m，即x2+x-2-m=0
∴
当9+4m=0，即时，方程有两个相等的实数根，A错误
当9+4m>0，即时，方程有两个不相等的实数根，C正确
当9+4m<0，即时， 方程没有实数根，D错误
故答案为：C
【分析】根据二次根式的判别式即可求出答案.
7．（2025八下·杭州月考）阅读材料：物理学中“力的合成”遵循平行四边形法则，即F1和F2的合力是以这两个力为邻边构成的平行四边形的对角线所表示的力F，如下图。
解决问题：设两个共点的合力为F，现保持两力的夹角θ（0°<θ<90°）不变，使得其中一个力增大，则（　　）
A．合力F一定增大 B．合力F的大小可能不变
C．合力F可能增大，也可能减小 D．合力F一定减小
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：已知两边长度和夹角的度数可以确定一个平行四边形，即其对角线也是确定的，而两边的夹角不变，某一边长增大时，平行四边形的对角线也在增大。
如图所示，两力的夹角0(0°<θ<90°)不变，使得其中一个力F不变，F增大时，合力F也在增大，故A正确
故答案为：A
【分析】已知两边长度和夹角的度数可以确定一个平行四边形，即其对角线也是确定的，而两边的夹角不变，某一边长增大时，平行四边形的对角线也在增大，两力的夹角0(0°<θ<90°)不变，使得其中一个力F不变，F增大时，合力F也在增大.
8．（2025八下·杭州月考）已知，点P（a，b）在反比例函数y=-的图象上，则下列结论正确的是（　　）
A．y随x的增大而增大 B．y随x的增大而减小
C．当a>-1时，则b>6 D．当a<-1时，则0【答案】D
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵k=-6<0
∴图象位于第二，四象限
当x>0时，y随x的增大而增大
当x<0时，y随x的增大而增大，A，B错误
∵点P（a，b）在反比例函数y=-的图象上
当-16，
当a<-1时，0故答案为：D
【分析】根据反比例函数的性质即可求出答案.
9．（2025八下·杭州月考）如图，平行四边形ABCD中，点M在边AD上，以BM为折痕，将△ABM向上翻折，点A正好落在CD上的点N处.若△DMN的周长为7，△NCB的周长为13，则NC的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．无法确定
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：根据折叠性质可得，AM=MN，AB=BN
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD=BC，CD=AB
∵△DMN的周长为7，△NCB的周长为13
∴DM+MN+DN=7，BC+CN+NC=13
∴DN+AD=7，AB+BC+CD-DN=13
∴AB+BC=10
∴NC=3
故答案为：A
【分析】根据折叠性质可得，AM=MN，AB=BN，再根据平行四边形性质可得AD=BC，CD=AB，再根据三角形周长，结合边之间的关系即可求出答案.
10．（2025八下·杭州月考）如图，正方形ABCD的边长为1，AC，BD是对角线，将绕着点D顺时针旋转得到，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG，则下列结论：①四边形AEGF是菱形；②的面积是；③；④.其中正确的结论是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；菱形的判定与性质；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD的边长为1
∴∠BCD=∠BAD=90°，∠CBD=45°
由旋转性质可得∠HGD=∠BCD=90°
∠H=∠CBD=45°，BD=HD，GD=CD
∴
∴△HAE和△BGE均为直角边的等腰直角三角形
∴AE=GE
在Rt△AED和Rt△GED中
∴Rt△AED≌Rt△GED
∴，AE=AF
∴∠AFE=180°-∠EAF-∠AEF=67.5°=∠AEF
∴AE=AF
∵AE=GE，AF⊥BD，EG⊥BD
∴AF=GE且AF∥GE
∴四边形AEGF为平行四边形
∵AE=GE
∴平行四边形AEGF是菱形，①正确
∵
∴
∴，②正确
∵四边形AEGF是菱形
∴∠AFG=∠GEA=2×67.5°=135°，③错误
∴
∴，④正确
故答案为： ①②④
【分析】根据正方形性质可得∠BCD=∠BAD=90°，∠CBD=45°，，由旋转性质可得∠HGD=∠BCD=90°，∠H=∠CBD=45°，BD=HD，GD=CD，根据等腰直角三角形判定定理可得△HAE和△BGE均为直角边的等腰直角三角形，则AE=GE，再根据全等三角形判定定理可得Rt△AED≌Rt△GED，则，AE=AF，根据三角形内角和定理可得∠AFE=67.5°=∠AEF，根据等角对等边可得AE=AF，根据边之间的关系可得AF=GE且AF∥GE，再根据菱形判定定理可判断①，再根据三角形面积可判断②；根据菱形性质可得∠AFG=∠GEA=2×67.5°=135°，可判断③；再根据边之间的关系可判断④.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（2025八下·杭州月考）若二次根式有意义，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可得：
1-2a≥0，解得：
故答案为：
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案.
12．（2025八下·杭州月考）关于的一元二次方程的一个根是，则它的另一个根是　 　．
【答案】3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设方程的另一个根为x
由题意可得：(-1)x=-3，解得x=3
故答案为：3
【分析】设方程的另一个根为x，根据二次方程根与系数的关系建立方程，解方程即可求出答案.
13．（2025八下·杭州月考）若数据 的平均数为4，则数据 的平均数为　 　．
【答案】7
【知识点】平均数及其计算
【解析】【解答】解：一组数据 ， ， ， ， 的平均数是4，有 ，
∴ ，
那么 ， ， ， ， 的平均数为：
；
故答案为：7．
【分析】利用平均数的计算方法求解即可。
14．（2025八下·杭州月考）如图，点，依次在反比例函数（常数，）的图象上，，分别垂直轴于点，，轴于点，于点．若，阴影部分面积为6，则的值为　 　．
【答案】4
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：延长BF交y轴于H，
由题意得四边形ACOE，BDCF，BDOH都是矩形，
∵点A，依次在反比例函数（常数，）的图象上，
∴四边形ACOE，BDOH的面积都是k，
∵OC=CD，
∴四边形BDCF的面积为，
∴k+=6，
解得k=4，
故答案为：4．
【分析】延长BF交y轴于H，根据题意得四边形ACOE，BDCF，BDOH都是矩形，根据反比例函数k的几何意义可得四边形ACOE，BDOH的面积都是k，则四边形BDCF的面积为，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
15．（2025八下·杭州月考）如图，正方形ABCD中，分别取AD和CD边的中点E，F，连接BE，AF相交于点，连接CG，若，则的度数为　 　．
【答案】180°-2α
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形全等及其性质；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：延长AF交BC的延长线于H
A
∵四边形ABCD为正方形
∴AB=BC=CD=AD
∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠D=90°，AD∥BC
∴∠D=∠FCH=90°，∠EBC=∠AEB=
∵点E，F分别是AD，BC的中点
∴AE=DE=DF=CF
在△ABE和△DAF中
∴△ABE≌△DAF
∴∠ABE=∠1
∵∠1+∠2=∠BAD=90°
∴∠ABE+∠2=90°
∴∠BGA=90°
∴∠BGH=90°
∵AD∥BC
∴∠1=∠H
在△ADF和△HCF中
∴△ADF≌△HCF
∴AD=CH=BC，即点C是Rt△BGH斜边上的中点
∴CG=CB
∴∠CGB=∠GBC=α
∴∠BCG=180°-∠CGB-∠GBC=180°-2α
故答案为：180°-2α
【分析】延长AF交BC的延长线于H，根据正方形性质可得AB=BC=CD=AD，∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠D=90°，AD∥BC，根据线段中点可得AE=DE=DF=CF，再根据全等三角形判定定理可得△ABE≌△DAF，则∠ABE=∠1，再根据角之间的关系可得∠BGH=90°，再根据直线平行性质可得∠1=∠H，再根据全等三角形判定定理可得△ADF≌△HCF，则AD=CH=BC，即点C是Rt△BGH斜边上的中点，根据直角三角形斜边上的中线性质可得CG=CB，根据等边对等角可得∠CGB=∠GBC=α，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
16．（2025八下·杭州月考）如图，在菱形纸片ABCD中，，将纸片折叠，点A、D分别落在处，且经过点B，EF为折痕，当时，此时　 　°；　 　．
【答案】45°；
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠A=60°
∴∠C=60°，∠D=∠ABC=120°
∵D'F⊥CD
∴∠GFC=∠GFD=90°
由折叠性质可得，
∴∠BEF=360°-∠ABC-∠C-∠EFG-∠GFC=45°
∵D'F⊥CD
∴∠CFG=90°
∴∠CGF=∠BGD'=30°
∴
由折叠性质可得∠D'=120°
∴∠GBD'=30°
作D'H⊥BC于点H
在Rt△D'GH中，
∴
∵CF+FG+GD'=CG+BG
∴
即
∴
故答案为：45°；
【分析】根据菱形性质可得∠C=60°，∠D=∠ABC=120°，由折叠性质可得，，根据角之间的关系可得∠BEF=45°，再根据含30°角的直角三角形性质可得而，由折叠性质可得∠D'=120°，则∠GBD'=30°，作D'H⊥BC于点H，再根据边之间的关系即可求出答案.
三、解答题（本大题共8小题，共72分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2025八下·杭州月考）（1）计算：；
（2）解方程：.
【答案】（1）解：原式=
=
=
（2）解：方程整理为一般式：，
∵，，，
∴，
则，
∴，.
【知识点】二次根式的混合运算；一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【分析】（1）根据二次根式的混合运算即可求出答案.
（2）根据求根公式解方程即可求出答案.
18．（2025八下·杭州月考）已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个实数根为负数，求正整数m的值．
【答案】（1）解：证明：
．
，
方程总有两个实数根．
（2）解：解方程，
可得，
解得，，
若方程有一个根为负数，则，
故，
正整数．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）根据二次方程判别式，可得方程总有两个实数根.
（2）根据因式分解法解方程，再根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
（1）解：证明：
．
，
方程总有两个实数根．
（2）解方程，
可得，
解得，，
若方程有一个根为负数，则，
故，
正整数．
19．（2025八下·杭州月考）在一次体操比赛中，6个裁判员对某一运动员的打分数据（动作完成分）如下：
9.68.88.88.98.68.7
对打分数据有以下两种处理方式：
方式一：不去掉任何数据，用6个原始数据进行统计；
平均分 中位数 方差
89 a 0.107
方式二：去掉一个最高分和一个最低分，用剩余的4个数据进行统计：
平均分 中位数 方差
b 8.8 c
（1）a=　 　，b=　 　，c=　 　；
（2）你认为把哪种方式统计出的平均分作为该运动员的最终得分更合理？写出你的判定并说明理由.
【答案】（1）8.8；8.8；0.005
（2）解：方式二更合理，理由：方式二去掉了最高分和最低分，减少了极端分值对平均分的影响，比方式一更合理.
【知识点】常用统计量的选择；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
故答案为：8.8；8.8；0.005
【分析】（1）根据中位数，平均数，方差的定义进行计算即可求出答案.
（2）根据统计量的意义即可求出答案.
20．（2025八下·杭州月考）如图，已知在AABC中，D为BC的中点，连接AD，E为AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF.
（1）求证：四边形ADCF为平行四边形.
（2）当AB=AC时，求证：四边形ADCF是矩形.
【答案】（1）证明：，
，，
又，
，
，
，
，
又，
四边形ADCF为平行四边形；
（2）证明：∵，D为BC的中点，
∴，
∴，
又∵四边形ADCF为平行四边形，
∴四边形ADCF为矩形.
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；矩形的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据直线平行性质可得，，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系可得，再根据平行四边形判定定理即可求出答案.
（2）根据等腰三角形性质可得，再根据矩形判定定理即可求出答案.
21．（2025八下·杭州月考）在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象交于A，B两点，其中点A（2，3）.
（1）求a，k的值；
（2）y轴上有一点C，满足的面积为8，求点C坐标.
【答案】（1）解：将点A的坐标代入得：；
将点A的坐标代入反比例函数表达式得：，即；
（2）解：设点C的坐标为（0，m)，
由点A的坐标得，点B（-2，-3)，
则的面积=，
解得m=±4，
故点C的坐标为（0，4)或（0，-4)：
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；三角形的面积；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点A坐标代入正比例函数，反比例函数解析式即可求出答案.
（2）设点C的坐标为（0，m)，根据关于原点对称的点的坐标特征可得B（-2，-3)，再根据三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.
22．（2025八下·杭州月考）如图，已知正方形ABCD的边长为12，点E在DC边上，点G在BC的延长线上，设正方形CEFG的面积为，以线段AD和DE为邻边的矩形的面积为，且.
（1）求线段DE的长.
（2）若H为BC边上一点，，连接DH，DG，判断的形状.
【答案】（1）解：设正方形CEFG的边长为a，
∴正方形ABCD的边长为12，
∴，
∴.
，
解得：，或（舍去），
；
（2）解：是等腰三角形；理由如下：
∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，
∴，，，
∴，
∵，
，
∴，
∴是等腰三角形.
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【分析】（1）设正方形CEFG的边长为a，由题意可得，再根据矩形面积建立方程，解方程即可求出答案.
（2）根据正方形性质可得，，，再根据勾股定理可得DH，根据边之间的关系可得GH，则，再根据等腰三角形判定定理即可求出答案.
23．（2025八下·杭州月考）综合与实践：如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为8m2的矩形地块ABCD种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为am·
【问题提出】：小组同学提出这样一个问题：若a=10，能否围出矩形地块？
（1）【问题探究】：小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：
设AB为xm，BC为ym．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为10m，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标．
如图2，反比例函数的图象与直线的交点坐标为和　 　，因此，木栏总长为10m时，能围出矩形地块，分别为：；或　 　　 　．
根据小颖的分析思路，完成上面的填空；
（2）【类比探究】
若，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由；
（3）【问题延伸】
当木栏总长为am时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，当过点时，直线与反比例函数的图象有唯一交点．请在图2中画出直线过点时的图象，并求出的值；
（4）【拓展应用】：小颖从以上探究中发现＂能否围成矩形地块问题＂可以转化为＂与图象在第一象限内交点的存在问题＂．
若要围出满足条件的矩形地块，且AB和BC的长均不小于1m，请直接写出的取值范围．
【答案】（1）（4，2）；4；2
（2）解：a=6，不能围出矩形地块；理由如下：
的图象，如图中直线所示；
∵与函数图象没有交点。
∴不能围出面积为8cm2的矩形地块。
（3）解：如图中直线13所示：
将点(2，4)代入y=-2x+a得：4=-2×2+a，
解得a=8.
（4）解：∵AB和BC的长均不小于1m，
∴，，
∴，
，
，
如图所示，直线在、之间移动，
把(8，1)代入得，
.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；通过函数图象获取信息；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：（1）联立反比例函数，直线解析式
解得：x1=1，x2=4
∴另一个交点坐标为(4，2)
∵AB为xm，BC为ym
∴AB=4，BC=2
故答案为：(4，2)；4；2
【分析】（1）联立反比例函数，直线解析式科二另一个交点坐标，再根据两点间距离即可求出答案.
（2）作出函数图象，结合函数图象即可求出答案.
（3）根据待定系数法将点2，4)代入y=-2x+a即可求出答案.
（4）根据题意建立不等式，解不等式可得，再根据待定系数法将点(8，1)代入即可求出答案.
24．（2025八下·杭州月考）如图，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC交BC于E，连结AE，DE.
（1）如图1，若AB=3，AD=5，求AE的长；
（2）如图2，若点F是DC边上的一点，若CF=BE，连结AF交DE于G，
①猜想∠EAF的度数，并说明理由；
②若，求的值.
【答案】（1）解：四边形ABCD是矩形，
，，，
平分
，
是等腰直角三角形，
，
，
；
（2）解：①，
理由：连接EF，如图2所示：
由(1)得：，，
在和中，，
∴，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
；
②∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∴，
过D作DM⊥AF于M
∴，
∴∠FDM+∠DFA=90°，
∴∠DAF=∠FDM，
∵DG=DF，
∴∠MDG=∠MDF，
由①知，∠FDG=∠EAG=45°，
∵∠AGE=∠DGF
∴∠AEG=∠DFG，
∴∠AEG=∠AGE，
∴AE=AG，
过A作AN⊥DE于N，
∴∠EAN=∠GAN，
∵∠ANG=∠DNG=90°，
.
∴∠BAE=90°-3x22.5°=22.5°
∴∠BAE=∠NAE，
∵∠ABE=∠ANE，AE=AE，
∴△ABE≌△ANE(ASA)，
∴AN=AB，
∵∠ADN=45°，
由①知，，
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；矩形的性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）根据矩形性质可得，，，再根据角平分线定义可得，根据等腰直角三角形判定定理可得是等腰直角三角形，则，再根据边之间的关系可得BE，再根据勾股定理即可求出答案.
（2）①连接EF，根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据角之间的关系可得∠AEF=90°，再根据等腰直角三角形判定定理可得是等腰直角三角形，则，即可求出答案.
②根据矩形性质可得，过D作DM⊥AF于M，根据角之间的关系可得∠DAF=∠FDM，根据等边对等角可得∠MDG=∠MDF，由①知，∠FDG=∠EAG=45°，根据角之间的关系可得∠AEG=∠AGE，则AE=AG，过A作AN⊥DE于N，则∠EAN=∠GAN，再根据角之间的关系可得∠BAE=∠NAE，再根据全等三角形判定定理可得△ABE≌△ANE(ASA)，则AN=AB，根据等腰直角三角形性质可得根据全等三角形性质可得再根据边之间的关系即可求出答案.
1 / 1浙江省杭州市保俶塔教育集团2024-2025学年八年级下学期5月考试数学试题
一、选择题（每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题意）
1．（2025八下·杭州月考）下列四幅图案是四所学校校徽的主体标识， 其中是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025八下·杭州月考）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025八下·杭州月考）正六边形的每个内角为（　　）
A．108° B．135° C．120° D．140°
4．（2025八下·杭州月考）小明根据演讲比赛中九位评委所给的分数制作了如下表格：
平均数 中位数 众数 方差
8.5 8.3 8.1 0.15
如果要去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（　　）
A．中位数 B．众数 C．方差 D．平均数
5．（2025八下·杭州月考）若顺次连接四边形各边中点所得到的四边形是菱形，则该四边形一定是(　　)
A．矩形 B．对角线相等的四边形
C．正方形 D．对角线互相垂直的四边形
6．（2025八下·杭州月考）关于x的一元二次方程x2+x-2=m，下列说法正确的是（　　）
A．当m=0时，此方程有两个相等的实数根
B．当m<0时，此方程没有实数根
C．当m>0时，此方程有两个不相等的实数根
D．此方程的根的情况与m的值无关
7．（2025八下·杭州月考）阅读材料：物理学中“力的合成”遵循平行四边形法则，即F1和F2的合力是以这两个力为邻边构成的平行四边形的对角线所表示的力F，如下图。
解决问题：设两个共点的合力为F，现保持两力的夹角θ（0°<θ<90°）不变，使得其中一个力增大，则（　　）
A．合力F一定增大 B．合力F的大小可能不变
C．合力F可能增大，也可能减小 D．合力F一定减小
8．（2025八下·杭州月考）已知，点P（a，b）在反比例函数y=-的图象上，则下列结论正确的是（　　）
A．y随x的增大而增大 B．y随x的增大而减小
C．当a>-1时，则b>6 D．当a<-1时，则09．（2025八下·杭州月考）如图，平行四边形ABCD中，点M在边AD上，以BM为折痕，将△ABM向上翻折，点A正好落在CD上的点N处.若△DMN的周长为7，△NCB的周长为13，则NC的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．无法确定
10．（2025八下·杭州月考）如图，正方形ABCD的边长为1，AC，BD是对角线，将绕着点D顺时针旋转得到，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG，则下列结论：①四边形AEGF是菱形；②的面积是；③；④.其中正确的结论是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（2025八下·杭州月考）若二次根式有意义，则的取值范围是　 　．
12．（2025八下·杭州月考）关于的一元二次方程的一个根是，则它的另一个根是　 　．
13．（2025八下·杭州月考）若数据 的平均数为4，则数据 的平均数为　 　．
14．（2025八下·杭州月考）如图，点，依次在反比例函数（常数，）的图象上，，分别垂直轴于点，，轴于点，于点．若，阴影部分面积为6，则的值为　 　．
15．（2025八下·杭州月考）如图，正方形ABCD中，分别取AD和CD边的中点E，F，连接BE，AF相交于点，连接CG，若，则的度数为　 　．
16．（2025八下·杭州月考）如图，在菱形纸片ABCD中，，将纸片折叠，点A、D分别落在处，且经过点B，EF为折痕，当时，此时　 　°；　 　．
三、解答题（本大题共8小题，共72分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2025八下·杭州月考）（1）计算：；
（2）解方程：.
18．（2025八下·杭州月考）已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个实数根为负数，求正整数m的值．
19．（2025八下·杭州月考）在一次体操比赛中，6个裁判员对某一运动员的打分数据（动作完成分）如下：
9.68.88.88.98.68.7
对打分数据有以下两种处理方式：
方式一：不去掉任何数据，用6个原始数据进行统计；
平均分 中位数 方差
89 a 0.107
方式二：去掉一个最高分和一个最低分，用剩余的4个数据进行统计：
平均分 中位数 方差
b 8.8 c
（1）a=　 　，b=　 　，c=　 　；
（2）你认为把哪种方式统计出的平均分作为该运动员的最终得分更合理？写出你的判定并说明理由.
20．（2025八下·杭州月考）如图，已知在AABC中，D为BC的中点，连接AD，E为AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF.
（1）求证：四边形ADCF为平行四边形.
（2）当AB=AC时，求证：四边形ADCF是矩形.
21．（2025八下·杭州月考）在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象交于A，B两点，其中点A（2，3）.
（1）求a，k的值；
（2）y轴上有一点C，满足的面积为8，求点C坐标.
22．（2025八下·杭州月考）如图，已知正方形ABCD的边长为12，点E在DC边上，点G在BC的延长线上，设正方形CEFG的面积为，以线段AD和DE为邻边的矩形的面积为，且.
（1）求线段DE的长.
（2）若H为BC边上一点，，连接DH，DG，判断的形状.
23．（2025八下·杭州月考）综合与实践：如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为8m2的矩形地块ABCD种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为am·
【问题提出】：小组同学提出这样一个问题：若a=10，能否围出矩形地块？
（1）【问题探究】：小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：
设AB为xm，BC为ym．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为10m，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标．
如图2，反比例函数的图象与直线的交点坐标为和　 　，因此，木栏总长为10m时，能围出矩形地块，分别为：；或　 　　 　．
根据小颖的分析思路，完成上面的填空；
（2）【类比探究】
若，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由；
（3）【问题延伸】
当木栏总长为am时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，当过点时，直线与反比例函数的图象有唯一交点．请在图2中画出直线过点时的图象，并求出的值；
（4）【拓展应用】：小颖从以上探究中发现＂能否围成矩形地块问题＂可以转化为＂与图象在第一象限内交点的存在问题＂．
若要围出满足条件的矩形地块，且AB和BC的长均不小于1m，请直接写出的取值范围．
24．（2025八下·杭州月考）如图，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC交BC于E，连结AE，DE.
（1）如图1，若AB=3，AD=5，求AE的长；
（2）如图2，若点F是DC边上的一点，若CF=BE，连结AF交DE于G，
①猜想∠EAF的度数，并说明理由；
②若，求的值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A：图案是轴对称图形，不是中心对称，所以A不符合题意；
B：图案是轴对称图形，不是中心对称，所以B不符合题意；
C：图案不是轴对称图形，是中心对称，所以C符合题意；
D：图案是轴对称图形，不是中心对称，所以D不符合题意；
故答案为：C。
【分析】根据中心对称图形的定义进行识别即可得出答案。
2．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：A：，错误，不符合题意；
B：，错误，不符合题意；
C：，错误，不符合题意；
D：，正确，符合题意.
故答案为：D
【分析】根据算术平方根逐项进行判断即可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：由题意可得：
正六边形的每个内角为
故答案为：C
【分析】根据正多边形内角和定理即可求出答案.
4．【答案】A
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：一组数据去掉一个最高分和一个最低分，数据一定不发生变化的是中位数
故答案为：A
【分析】根据中位数的定义即可求出答案.
5．【答案】B
【知识点】正方形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点E，F，G，H分别是边AD，AB，BC，CD的中点，
∴EH∥AC，EH＝AC，FG∥AC，FG＝AC，
∴EH∥FG，EH＝FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
根据题意得：四边形EFGH是菱形，
∴EF＝EH，
∴AC＝BD，
∴原四边形一定是对角线相等的四边形．
故选B．
【分析】根据题意画出图形，根据三角形中位线定理可得EH∥AC，EH＝AC，FG∥AC，FG＝AC，则EH∥FG，EH＝FG，再根据菱形判定定理可得四边形EFGH是菱形，则EF＝EH，即AC＝BD，即可求出答案.
6．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：x2+x-2=m，即x2+x-2-m=0
∴
当9+4m=0，即时，方程有两个相等的实数根，A错误
当9+4m>0，即时，方程有两个不相等的实数根，C正确
当9+4m<0，即时， 方程没有实数根，D错误
故答案为：C
【分析】根据二次根式的判别式即可求出答案.
7．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：已知两边长度和夹角的度数可以确定一个平行四边形，即其对角线也是确定的，而两边的夹角不变，某一边长增大时，平行四边形的对角线也在增大。
如图所示，两力的夹角0(0°<θ<90°)不变，使得其中一个力F不变，F增大时，合力F也在增大，故A正确
故答案为：A
【分析】已知两边长度和夹角的度数可以确定一个平行四边形，即其对角线也是确定的，而两边的夹角不变，某一边长增大时，平行四边形的对角线也在增大，两力的夹角0(0°<θ<90°)不变，使得其中一个力F不变，F增大时，合力F也在增大.
8．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵k=-6<0
∴图象位于第二，四象限
当x>0时，y随x的增大而增大
当x<0时，y随x的增大而增大，A，B错误
∵点P（a，b）在反比例函数y=-的图象上
当-16，
当a<-1时，0故答案为：D
【分析】根据反比例函数的性质即可求出答案.
9．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：根据折叠性质可得，AM=MN，AB=BN
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD=BC，CD=AB
∵△DMN的周长为7，△NCB的周长为13
∴DM+MN+DN=7，BC+CN+NC=13
∴DN+AD=7，AB+BC+CD-DN=13
∴AB+BC=10
∴NC=3
故答案为：A
【分析】根据折叠性质可得，AM=MN，AB=BN，再根据平行四边形性质可得AD=BC，CD=AB，再根据三角形周长，结合边之间的关系即可求出答案.
10．【答案】B
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；菱形的判定与性质；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD的边长为1
∴∠BCD=∠BAD=90°，∠CBD=45°
由旋转性质可得∠HGD=∠BCD=90°
∠H=∠CBD=45°，BD=HD，GD=CD
∴
∴△HAE和△BGE均为直角边的等腰直角三角形
∴AE=GE
在Rt△AED和Rt△GED中
∴Rt△AED≌Rt△GED
∴，AE=AF
∴∠AFE=180°-∠EAF-∠AEF=67.5°=∠AEF
∴AE=AF
∵AE=GE，AF⊥BD，EG⊥BD
∴AF=GE且AF∥GE
∴四边形AEGF为平行四边形
∵AE=GE
∴平行四边形AEGF是菱形，①正确
∵
∴
∴，②正确
∵四边形AEGF是菱形
∴∠AFG=∠GEA=2×67.5°=135°，③错误
∴
∴，④正确
故答案为： ①②④
【分析】根据正方形性质可得∠BCD=∠BAD=90°，∠CBD=45°，，由旋转性质可得∠HGD=∠BCD=90°，∠H=∠CBD=45°，BD=HD，GD=CD，根据等腰直角三角形判定定理可得△HAE和△BGE均为直角边的等腰直角三角形，则AE=GE，再根据全等三角形判定定理可得Rt△AED≌Rt△GED，则，AE=AF，根据三角形内角和定理可得∠AFE=67.5°=∠AEF，根据等角对等边可得AE=AF，根据边之间的关系可得AF=GE且AF∥GE，再根据菱形判定定理可判断①，再根据三角形面积可判断②；根据菱形性质可得∠AFG=∠GEA=2×67.5°=135°，可判断③；再根据边之间的关系可判断④.
11．【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可得：
1-2a≥0，解得：
故答案为：
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案.
12．【答案】3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设方程的另一个根为x
由题意可得：(-1)x=-3，解得x=3
故答案为：3
【分析】设方程的另一个根为x，根据二次方程根与系数的关系建立方程，解方程即可求出答案.
13．【答案】7
【知识点】平均数及其计算
【解析】【解答】解：一组数据 ， ， ， ， 的平均数是4，有 ，
∴ ，
那么 ， ， ， ， 的平均数为：
；
故答案为：7．
【分析】利用平均数的计算方法求解即可。
14．【答案】4
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：延长BF交y轴于H，
由题意得四边形ACOE，BDCF，BDOH都是矩形，
∵点A，依次在反比例函数（常数，）的图象上，
∴四边形ACOE，BDOH的面积都是k，
∵OC=CD，
∴四边形BDCF的面积为，
∴k+=6，
解得k=4，
故答案为：4．
【分析】延长BF交y轴于H，根据题意得四边形ACOE，BDCF，BDOH都是矩形，根据反比例函数k的几何意义可得四边形ACOE，BDOH的面积都是k，则四边形BDCF的面积为，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
15．【答案】180°-2α
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形全等及其性质；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：延长AF交BC的延长线于H
A
∵四边形ABCD为正方形
∴AB=BC=CD=AD
∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠D=90°，AD∥BC
∴∠D=∠FCH=90°，∠EBC=∠AEB=
∵点E，F分别是AD，BC的中点
∴AE=DE=DF=CF
在△ABE和△DAF中
∴△ABE≌△DAF
∴∠ABE=∠1
∵∠1+∠2=∠BAD=90°
∴∠ABE+∠2=90°
∴∠BGA=90°
∴∠BGH=90°
∵AD∥BC
∴∠1=∠H
在△ADF和△HCF中
∴△ADF≌△HCF
∴AD=CH=BC，即点C是Rt△BGH斜边上的中点
∴CG=CB
∴∠CGB=∠GBC=α
∴∠BCG=180°-∠CGB-∠GBC=180°-2α
故答案为：180°-2α
【分析】延长AF交BC的延长线于H，根据正方形性质可得AB=BC=CD=AD，∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠D=90°，AD∥BC，根据线段中点可得AE=DE=DF=CF，再根据全等三角形判定定理可得△ABE≌△DAF，则∠ABE=∠1，再根据角之间的关系可得∠BGH=90°，再根据直线平行性质可得∠1=∠H，再根据全等三角形判定定理可得△ADF≌△HCF，则AD=CH=BC，即点C是Rt△BGH斜边上的中点，根据直角三角形斜边上的中线性质可得CG=CB，根据等边对等角可得∠CGB=∠GBC=α，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
16．【答案】45°；
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠A=60°
∴∠C=60°，∠D=∠ABC=120°
∵D'F⊥CD
∴∠GFC=∠GFD=90°
由折叠性质可得，
∴∠BEF=360°-∠ABC-∠C-∠EFG-∠GFC=45°
∵D'F⊥CD
∴∠CFG=90°
∴∠CGF=∠BGD'=30°
∴
由折叠性质可得∠D'=120°
∴∠GBD'=30°
作D'H⊥BC于点H
在Rt△D'GH中，
∴
∵CF+FG+GD'=CG+BG
∴
即
∴
故答案为：45°；
【分析】根据菱形性质可得∠C=60°，∠D=∠ABC=120°，由折叠性质可得，，根据角之间的关系可得∠BEF=45°，再根据含30°角的直角三角形性质可得而，由折叠性质可得∠D'=120°，则∠GBD'=30°，作D'H⊥BC于点H，再根据边之间的关系即可求出答案.
17．【答案】（1）解：原式=
=
=
（2）解：方程整理为一般式：，
∵，，，
∴，
则，
∴，.
【知识点】二次根式的混合运算；一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【分析】（1）根据二次根式的混合运算即可求出答案.
（2）根据求根公式解方程即可求出答案.
18．【答案】（1）解：证明：
．
，
方程总有两个实数根．
（2）解：解方程，
可得，
解得，，
若方程有一个根为负数，则，
故，
正整数．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）根据二次方程判别式，可得方程总有两个实数根.
（2）根据因式分解法解方程，再根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
（1）解：证明：
．
，
方程总有两个实数根．
（2）解方程，
可得，
解得，，
若方程有一个根为负数，则，
故，
正整数．
19．【答案】（1）8.8；8.8；0.005
（2）解：方式二更合理，理由：方式二去掉了最高分和最低分，减少了极端分值对平均分的影响，比方式一更合理.
【知识点】常用统计量的选择；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
故答案为：8.8；8.8；0.005
【分析】（1）根据中位数，平均数，方差的定义进行计算即可求出答案.
（2）根据统计量的意义即可求出答案.
20．【答案】（1）证明：，
，，
又，
，
，
，
，
又，
四边形ADCF为平行四边形；
（2）证明：∵，D为BC的中点，
∴，
∴，
又∵四边形ADCF为平行四边形，
∴四边形ADCF为矩形.
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；矩形的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据直线平行性质可得，，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系可得，再根据平行四边形判定定理即可求出答案.
（2）根据等腰三角形性质可得，再根据矩形判定定理即可求出答案.
21．【答案】（1）解：将点A的坐标代入得：；
将点A的坐标代入反比例函数表达式得：，即；
（2）解：设点C的坐标为（0，m)，
由点A的坐标得，点B（-2，-3)，
则的面积=，
解得m=±4，
故点C的坐标为（0，4)或（0，-4)：
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；三角形的面积；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点A坐标代入正比例函数，反比例函数解析式即可求出答案.
（2）设点C的坐标为（0，m)，根据关于原点对称的点的坐标特征可得B（-2，-3)，再根据三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.
22．【答案】（1）解：设正方形CEFG的边长为a，
∴正方形ABCD的边长为12，
∴，
∴.
，
解得：，或（舍去），
；
（2）解：是等腰三角形；理由如下：
∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，
∴，，，
∴，
∵，
，
∴，
∴是等腰三角形.
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【分析】（1）设正方形CEFG的边长为a，由题意可得，再根据矩形面积建立方程，解方程即可求出答案.
（2）根据正方形性质可得，，，再根据勾股定理可得DH，根据边之间的关系可得GH，则，再根据等腰三角形判定定理即可求出答案.
23．【答案】（1）（4，2）；4；2
（2）解：a=6，不能围出矩形地块；理由如下：
的图象，如图中直线所示；
∵与函数图象没有交点。
∴不能围出面积为8cm2的矩形地块。
（3）解：如图中直线13所示：
将点(2，4)代入y=-2x+a得：4=-2×2+a，
解得a=8.
（4）解：∵AB和BC的长均不小于1m，
∴，，
∴，
，
，
如图所示，直线在、之间移动，
把(8，1)代入得，
.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；通过函数图象获取信息；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：（1）联立反比例函数，直线解析式
解得：x1=1，x2=4
∴另一个交点坐标为(4，2)
∵AB为xm，BC为ym
∴AB=4，BC=2
故答案为：(4，2)；4；2
【分析】（1）联立反比例函数，直线解析式科二另一个交点坐标，再根据两点间距离即可求出答案.
（2）作出函数图象，结合函数图象即可求出答案.
（3）根据待定系数法将点2，4)代入y=-2x+a即可求出答案.
（4）根据题意建立不等式，解不等式可得，再根据待定系数法将点(8，1)代入即可求出答案.
24．【答案】（1）解：四边形ABCD是矩形，
，，，
平分
，
是等腰直角三角形，
，
，
；
（2）解：①，
理由：连接EF，如图2所示：
由(1)得：，，
在和中，，
∴，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
；
②∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∴，
过D作DM⊥AF于M
∴，
∴∠FDM+∠DFA=90°，
∴∠DAF=∠FDM，
∵DG=DF，
∴∠MDG=∠MDF，
由①知，∠FDG=∠EAG=45°，
∵∠AGE=∠DGF
∴∠AEG=∠DFG，
∴∠AEG=∠AGE，
∴AE=AG，
过A作AN⊥DE于N，
∴∠EAN=∠GAN，
∵∠ANG=∠DNG=90°，
.
∴∠BAE=90°-3x22.5°=22.5°
∴∠BAE=∠NAE，
∵∠ABE=∠ANE，AE=AE，
∴△ABE≌△ANE(ASA)，
∴AN=AB，
∵∠ADN=45°，
由①知，，
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；矩形的性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）根据矩形性质可得，，，再根据角平分线定义可得，根据等腰直角三角形判定定理可得是等腰直角三角形，则，再根据边之间的关系可得BE，再根据勾股定理即可求出答案.
（2）①连接EF，根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据角之间的关系可得∠AEF=90°，再根据等腰直角三角形判定定理可得是等腰直角三角形，则，即可求出答案.
②根据矩形性质可得，过D作DM⊥AF于M，根据角之间的关系可得∠DAF=∠FDM，根据等边对等角可得∠MDG=∠MDF，由①知，∠FDG=∠EAG=45°，根据角之间的关系可得∠AEG=∠AGE，则AE=AG，过A作AN⊥DE于N，则∠EAN=∠GAN，再根据角之间的关系可得∠BAE=∠NAE，再根据全等三角形判定定理可得△ABE≌△ANE(ASA)，则AN=AB，根据等腰直角三角形性质可得根据全等三角形性质可得再根据边之间的关系即可求出答案.
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