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四川省宜宾市江安县2025年九年级初中学业水平考试暨高中阶段学校招生诊断考试(二)数学试题
1．（2025·江安模拟）的绝对值是（　　）
A．2025 B． C． D．
2．（2025·江安模拟）在“五一”期间，我市某旅游景区接待游客103200人次，将103200用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·江安模拟）下列标点符号中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·江安模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025·江安模拟）某跳远队准备从甲、乙、，丙、丁4名运动员中选取1名成绩优异且发挥稳定的运动员参加比赛，他们成绩的平均数和方差如下：，则应选择的运动员是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．（2025·江安模拟）如图，是的弦，交于点，点是上一点，连接，．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·江安模拟）端午节期间，某商家推出“优惠酬宾”活动，决定每袋粽子降价2元销售．细心的小夏发现，降价后用240元可以比降价前多购买10袋，求：每袋粽子的原价是多少元？设每袋粽子的原价是x元，所得方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025·江安模拟）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中中间的大球代表碳原子，周围的小球代表氢原子．第种如图①有个氢原子，第种如图②有个氢原子，第种如图③有个氢原子，……按照这一规律，第种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·江安模拟）如图，在边长为4的正方形中，点是上一点，点是延长线上一点，连接，，平分．交于点．若，则的长度为（　　）
A．2 B． C． D．
10．（2025·江安模拟）矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，反比例函数的图象与边交于点D，与边交于点F，与交于点E，，若四边形的面积为2，则k的值是（　　）
A． B． C． D．
11．（2025·江安模拟）如图，菱形中，，点是边上的点，，，点是上的一点，是以点为直角顶点，为角的直角三角形，连结．当点在直线上运动时，线段的最小值是（　　）
A．2 B． C． D．4
12．（2025·江安模拟）如图1，在平面直角坐标系中，点分别在轴和轴上，轴，，点从点出发，以的速度沿边匀速运动，点从点出发，沿线段匀速运动．点与点同时出发，其中一点到达终点，另一点也随之停止运动．设点运动的时间为的面积为，已知与之间的函数关系如图2中的曲线段、线段与曲线段．下列说法中正确的个数有（　　）个．
①点的运动速度为；
②点的坐标为；
③线段段的函数解析式为；
④曲线段的函数解析式为；
⑤若的面积是四边形的面积的，则时间．
⑥当在线段上运动时，存在某一时刻，使得周长最小．
A．3 B．4 C．5 D．6
13．（2025·江安模拟）分解因式：　 　．
14．（2025·江安模拟）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　 　．
15．（2025·江安模拟）如图，在矩形中，，O为中点，，则扇形的面积为　 　．
16．（2025·江安模拟）若关于x的不等式组至少有2个整数解，且关于y的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和为　 　.
17．（2025·江安模拟）如图，在边长为的正方形中，点，分别是边，上的动点，且满足，与交于点，点是的中点，是边上的点，，则的最小值是　 　．
18．（2025·江安模拟）如图，在中，，，．点P在边上，过点P作，垂足为D，过点D作，垂足为F．连接，取的中点E．在点P从点A到点C的运动过程中，点E所经过的路径长为　 　．
19．（2025·江安模拟）（1）计算：；
（2）先化简：，再从，，，中选取一个适合的数代入求值．
20．（2025·江安模拟）如图，在平行四边形中，点在边上，，连接，点为的中点，的延长线交边于点，连接
（1）求证：四边形是菱形：
（2）若平行四边形的周长为，求的长．
21．（2025·江安模拟）乐山作为闻名世界的文化旅游胜地，吸引了大量游客．为更好地提升服务质量，某旅行社随机调查了部分游客对四种美食的喜好情况（每人限选一种），并将调查结果绘制成统计图，如图所示．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次抽取的游客总人数为______人，扇形统计图中m的值为______；
（2）请补全条形统计图；
（3）旅行社推出每人可免费品尝两种美食的活动，某游客从上述4种美食中随机选择两种，请用画树状图或列表的方法求选到“钵钵鸡和跷脚牛肉”的概率．
22．（2025·江安模拟）中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献．为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形充电站的平面示意图，矩形是其中一个停车位．经测量，，，，，是另一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定．
根据以上信息回答下列问题：（结果精确到，参考数据）
（1）求的长；
（2）该充电站有20个停车位，求的长．
23．（2025·江安模拟）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点A、B，与轴交于点C，点A的横坐标为2．
（1）求的值；
（2）利用图像直接写出时的取值范围；
（3）如图2，将直线沿轴向下平移4个单位，与函数的图像交于点D，与轴交于点E，再将函数的图像沿平移，使点A、D分别平移到点C、F处，求图中阴影部分的面积．
24．（2025·江安模拟）如图，是的直径，点在上，平分交于点，过点的直线，交的延长线于点，交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）连接并延长，分别交于两点，交于点，若的半径为，求的值．
25．（2025·江安模拟）已知抛物线经过和两点．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若点为第一象限内该抛物线上的一动点，且在直线的上方，过点作轴于点，交直线于点，以为直径作．
①如图1，当与轴相切时，求点的坐标；
②如图2，直线与轴交于点，交直线于点，求弦的最大值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：的绝对值是，
故答案为：A．
【分析】利用绝对值的定义解答即可．
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故选C．
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数.
3．【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A．该标点符号是轴对称图形，故此选项符合题意；
B．该标点符号不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C．该标点符号不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D．该标点符号不是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故选：A．
【分析】如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.
4．【答案】D
【知识点】单项式乘多项式；负整数指数幂；单项式除以单项式；多项式除以单项式
【解析】【解答】解：A、，故该选项是错误的；
B、，故该选项是错误的；
C、，故该选项是错误的；
D、，故该选项是正确的；
故选：D．
【分析】根据单项式的乘除法，多项式除以单项式，负整数指数幂逐项进行判断即可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴丙运动员成绩最优异且发挥稳定．
故选：C
【分析】由平均数可得选择乙、丙，再由方差可得选择丙.
6．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据圆周角定理得到的度数，再根据三线合一得到，然后利用等边对等角解题即可．
7．【答案】C
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设每袋粽子原价x元，则降价后每袋（x-2）元，根据题意得：
故答案为：C.
【分析】设每袋粽子原价x元，则降价后每袋（x-2）元，根据题意得等量关系：降价后240元买的袋数=降价前240元买的袋数+10.据此列方程即可.
8．【答案】D
【知识点】探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：图①有个氢原子，
图②有个氢原子，
图③有个氢原子，
……，
以此类推，可知图中有个氢原子，
第种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：个；
故选：D．
【分析】观察前面四幅图可知氢原子的个数是序号的倍加，总结规律即可求出答案.
9．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
故选：D．
【分析】根据正方形性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，根据角平分线定义可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，设，则，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
10．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；矩形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；面积及等积变换
【解析】【解答】解：过点E作，则，
∴，
∴
设，
∵
∴，
∴
∴
即，解得：
故选D
【分析】过点E作，则，根据相似三角形判定定理可得，则，设，由题意可得，再根据等面积法建立方程，解方程即可求出答案.
11．【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；菱形的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过E作于点M，作于点H，作于点I，
∵，
∴点E、M、F、G四点共圆，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴最小值是．
故选：C．
【分析】过E作于点M，作于点H，作于点I，根据圆内接四边形性质可得点E、M、F、G四点共圆，根据同弧所对的圆周角相等可得，则，根据直线平行判定定理可得，再根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，解直角三角形可得EM，MH，再根据边之间的关系即可求出答案.
12．【答案】A
【知识点】解直角三角形；动点问题的函数图象；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；二次函数-面积问题
【解析】【解答】解：由函数图象可知，当时，的面积的函数关系式改变，则在上运动 3 秒，
∴当时，，此时的面积为，
，
，
∴点的运动速度为，则说法①正确；
当运动到 5 秒时，函数关系式改变，则，
如图，过作于点，
∴四边形是矩形，
，
，
∴设，则，
，
，
，
，
∴，则说法②错误；
如图，当点在上时，过点作于点，
，
∴线段段的函数解析式为，则说法③正确；
∵点从点运动到点所需时间为，点沿线段匀速运动到终点时，所需时间为，
，
当时，如图，过点作于点，
则，
，
∴设，则，
，
，
，
∴曲线段的函数解析式为，则结论④正确；
，
∴的面积．
当时，此时的边边上的高为，
∴，解得或（不符合题设，舍去）；
当时，则，解得（不符合题设，舍去）；
当时，则，解得或（不符合题设，舍去）；
综上，若的面积是四边形的面积的，则时间或，
则说法⑤错误；
如图，作点关于和的对称点，连接
则，
则的周长，
当点共线时，最小，即，
故的周长最小值为，
结合①知，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴重合，
此时，
则，不符合题意，故⑥错误．
综上，说法正确的是①③④，共3个，
故选：A．
【分析】结合函数图象可得当时，，此时的面积为，根据三角形面积可得AO，求出点Q的速度，可判断①；过作于点，根据矩形性质可得，设设，则，根据勾股定理建立方程，解方程即可得k=3，再根据边之间的关系可判断②；当点在上时，过点作于点，根据三角形面积可判断③；根据点的运动可得点沿线段匀速运动到终点时，所需时间为10s，当时，过点作于点，根据边之间的关系可得BQ，设，则，根据勾股定理可得QN吗，再根据正弦定义可得QN，根据三角形面积可判断④；根据梯形面积可得的面积，当时，此时的边边上的高为，当时，当时，根据三角形面积建立方程，解方程可判断⑤；作点关于和的对称点，连接，则，根据三角形周长可得当点共线时，最小，即，故的周长最小值为，结合①知，根据相似三角形判定定理可得，则，即重合，此时，可判断⑥.
13．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式；
故答案为：．
【分析】提公因式，结合完全平方公式进行因式分解即可求出答案.
14．【答案】且
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
且，
∴且．
故答案为：且
【分析】根据二次方程有两个不相等的实数根，则判别式，结合二次方程的定义即可求出答案.
15．【答案】
【知识点】扇形面积的计算；解直角三角形；补角
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵O为中点，
∴，
∵，
在中，，
∴，
同理，
∴，
∴扇形的面积为，
故答案为：．
【分析】根据线段中点可得OB，根据余弦定义及特殊角的三角函数值可得，，再根据补角可得∠EOF，再根据扇形面积即可求出答案.
16．【答案】16
【知识点】解分式方程；一元一次不等式组的特殊解；已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】
解：
由①得：x＜4；
由②得：x≥；
∵ 此不等式组至少有2个整数解
∴≤2
解得：a≤8
解分式方程
a-1=2（y-1）+3
2y=a-2
解得y=
∵ 关于y的分式方程的解为非负整数
∴≥0，且≠1，a-2是整数
∴ a≥2，且a≠4，a是偶数
综上，2≤a≤8，且a≠4，a是偶数
∴ 所有满足条件的整数a的值之和为 2+6+8=16
故答案为：16
【分析】本题考查不等式组的特殊解，分式方程的特殊解，正确求解不等式组，分式方程，结合要求得出a的范围是解题关键。先解不等式组，得a≤8；再解分式方程，得a≥2且a≠4，a是偶数，则符合条件的a的范围是2≤a≤8，且a≠4，a是偶数，得整数a的确定值为2，6，8，求和即可。
17．【答案】5
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，
如图所示，在延长线上截取，连接，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半，
∵，，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴的最小值为，
故答案为：．
【分析】根据正方形性质可得，，再根据全等三角形判定定理可得，则，根据角之间的关系可得∠DOF=90°，根据直角三角形斜边上的中线性质可得， 在延长线上截取，连接，根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得，当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半，再根据勾股定理即可求出答案.
18．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：∵点P在AC上运动，运动路径为线段，E为PF的中点，
∴点E的运动路径也为线段，
当点P与点A重合时，CE=1，
当点P与C重合时，CE=
∴点E所经过的路径长为；
故答案为：．
【分析】由于点P在AC上运动，运动路径为线段，E为PF的中点，故点E的运动路径也为线段，进而求出点P与A\C重合时，CE的长，最后根据勾股定理可算出点E所经过的路程.
19．【答案】（1）解：
；
（2）解：
，
分式的分母不能为、除数不能为，
，，
且，
可选或，
当时，
原式，
当时，
原式．
【知识点】分式有无意义的条件；分式的混合运算；实数的混合运算（含开方）；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】（1）根据二次根式，特殊角的三角函数值，绝对值性质，0指数幂，负整数指数幂化简，再计算加减即可求出答案.
（2）根据分式的混合运算，结合完全平方公式化简，再根据分式有意义的条件代值计算即可求出答案.
20．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴即
∴
∵为的中点，
∴
∴，
∴
∵
∴四边形是平行四边形，
又
∴四边形是菱形；
（2）解：∵
∴
∵平行四边形的周长为22，
∴菱形的周长为：
∴
∵四边形是菱形，
∴
又
∴是等边三角形，
∵．
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；菱形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据平行四边形性质可得即则再根据全等三角形判定定理可得再根据菱形判定定理即可求出答案.
（2）根据边之间的关系可得再根据菱形周长可得AB，根据菱形性质可得再根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则即可求出答案.
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴即
∴
∵为的中点，
∴
∴，
∴
∵
∴四边形是平行四边形，
又
∴四边形是菱形；
（2）解：∵
∴
∵平行四边形的周长为22，
∴菱形的周长为：
∴
∵四边形是菱形，
∴
又
∴是等边三角形，
∵．
21．【答案】（1）240，35
（2）解：“甜皮鸭”对应的人数为(人)，
补全图形如下：
（3）解：假设“麻辣烫”“跷脚牛肉”“钵钵鸡”“甜皮鸭”对应为“A、B、C、D”，
画树状图如图所示，
共有12种等可能的结果数，其中选到“钵钵鸡和跷脚牛肉”的结果数为2，
∴选到“钵钵鸡和跷脚牛肉”的概率是．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：本次抽取的游客总人数为(人)，
，
故答案为：240，35；
【分析】（1）根据：该项所占的百分比该项人数÷总人数．两图给出了“跷脚牛肉”的数据，代入即可算出抽取的游客总人数，然后再算出“钵钵鸡”的人数；
（2）根据条形图中数据和调查总人数，先计算出喜欢“甜皮鸭”的人数，再补全条形图；
（3）画出树状图，求出所有等可能的结果数，找出恰好同时选到“钵钵鸡和跷脚牛肉”的结果数，再根据概率公式即可求出答案.
（1）解：本次抽取的游客总人数为(人)，
，
故答案为：240，35；
（2）“甜皮鸭”对应的人数为(人)，
补全图形如下：
（3）假设“麻辣烫”“跷脚牛肉”“钵钵鸡”“甜皮鸭”对应为“A、B、C、D”，
画树状图如图所示，
共有12种等可能的结果数，其中选到“钵钵鸡和跷脚牛肉”的结果数为2，
∴选到“钵钵鸡和跷脚牛肉”的概率是．
22．【答案】（1）解：∵四边形是矩形，
∴，
在中，，，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴
（2）解：在中，，
在中，，
∵该充电站有20个停车位，
∴，
∵四边形是矩形，
∴．
【知识点】矩形的性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）根据矩形性质可得，再根据正弦定义及特殊角的三角函数值可得AQ，再根据矩形性质可得，则，根据正切定义及特殊角的三角函数值可得BC，再根据补角可得∠PAD，解直角三角形可得AP，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）解直角三角形可得BE，BQ，再根据边之间的关系可得QM，再根据矩形性质即可求出答案.
（1）解：∵四边形是矩形，
∴，
在中，，，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴
（2）解：在中，，
在中，，
∵该充电站有20个停车位，
∴，
∵四边形是矩形，
∴．
23．【答案】（1）解：点在的图像上，
当时，．
∴，
将点代入，得．
（2）或
（3）解：∵，
∴当时，，
∴，
∵将直线沿轴向下平移4个单位，
∴，直线的解析式为：，设直线与轴交于点H
∴当时，，当时，，
∴，，
∴，
∴，
如图，过点作，垂足为，
∴．
又，，
．
连接，
∵平移，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
∴阴影部分面积等于的面积，即．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；平行四边形的判定与性质；等腰直角三角形；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：（2）由（1）知：，
联立，解得：或，
∴；
由图像可得：时的取值范围为：或．
【分析】（1）将点A坐标代入反比例函数解析式可得，再根据待定系数法将点A坐标代入一次函数解析式即可求出答案.
（2）联立一次函数解析式与反比例函数解析式，解方程可得，当一次函数图象在反比例函数图象下方时，有，结合函数图象即可求出答案.
（3）根据y轴上点的坐标特征可得，根据函数图象平移性质可得，直线的解析式为：，设直线与轴交于点H，再根据坐标轴上点的坐标特征可得，，则，根据等腰直角三角形性质可得，过点作，垂足为，则，再根据两点间距离可得AC，连接，根据平移性质可得，，根据平行四边形判定定理可得四边形为平行四边形，结合其面积即可求出答案.
（1）点在的图像上，
当时，．
∴，
将点代入，得．
（2）由（1）知：，
联立，解得：或，
∴；
由图像可得：时的取值范围为：或．
（3）∵，
∴当时，，
∴，
∵将直线沿轴向下平移4个单位，
∴，直线的解析式为：，设直线与轴交于点H
∴当时，，当时，，
∴，，
∴，
∴，
如图，过点作，垂足为，
∴．
又，，
．
连接，
∵平移，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
∴阴影部分面积等于的面积，即．
24．【答案】（1）解：连接，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
即，
∵是的半径
∴是的切线；
（2）解：连接，
∵，
∴在中，，
由勾股定理得：
∴，
∵在中，，
∴，
∵，
∴，而，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行线的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；切线的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接，根据等边对等角可得，再根据角平分线定义可得，根据直线平行判定定理可得，则，再根据角之间的关系可得，即，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）连接，根据含30°角的直角三角形性质可得OF，根据勾股定理可得DF，再根据边之间的关系可得AF，再根据含30°角的直角三角形性质可得，根据角之间的关系可得，则，再根据相似三角形判定定理可得，则，即，根据圆周角定理可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，化简计算即可求出答案.
（1）解：连接，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
即，
∵是的半径
∴是的切线；
（2）解：连接，
∵，
∴在中，，
由勾股定理得：
∴，
∵在中，，
∴，
∵，
∴，而，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
25．【答案】（1）解：抛物线经过和两点，则
，
解得，
∴该抛物线的函数表达式为；
（2）解：①如图所示：
设点的坐标为，则点的坐标为．
∵点在直线的上方，
∴，
∵当与轴相切时，，
∴，
解得，（舍去），
当时，，
∴点的坐标为；
②如图2所示：
由直线可得：点的坐标为．
由（2）得：，，
∴，，
在中，
∵，
∴，
在中，由勾股定理，得
，
连接所示：
则．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，且开口向下，
∴当时，弦的最大值为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；解直角三角形；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点和代入抛物线解析式即可求出答案.
（2）①设点的坐标为，则点的坐标为，根据两点间距离可得，根据切线性质建立方程，解方程即可求出答案.
②根据x轴上点的坐标特征可得点的坐标为，由（2）得：，，根据两点间距离可得，，根据正切定义可得，再根据勾股定理可得CD，根据相似三角形判定定理可得，则，则，结合二次函数性质即可求出答案.
（1）解：抛物线经过和两点，则
，
解得，
∴该抛物线的函数表达式为；
（2）解：①如图所示：
设点的坐标为，则点的坐标为．
∵点在直线的上方，
∴，
∵当与轴相切时，，
∴，
解得，（舍去），
当时，，
∴点的坐标为；
②如图2所示：
由直线可得：点的坐标为．
由（2）得：，，
∴，，
在中，
∵，
∴，
在中，由勾股定理，得
，
连接所示：
则．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，且开口向下，
∴当时，弦的最大值为．
1 / 1四川省宜宾市江安县2025年九年级初中学业水平考试暨高中阶段学校招生诊断考试(二)数学试题
1．（2025·江安模拟）的绝对值是（　　）
A．2025 B． C． D．
【答案】A
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：的绝对值是，
故答案为：A．
【分析】利用绝对值的定义解答即可．
2．（2025·江安模拟）在“五一”期间，我市某旅游景区接待游客103200人次，将103200用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故选C．
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数.
3．（2025·江安模拟）下列标点符号中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A．该标点符号是轴对称图形，故此选项符合题意；
B．该标点符号不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C．该标点符号不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D．该标点符号不是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故选：A．
【分析】如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.
4．（2025·江安模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】单项式乘多项式；负整数指数幂；单项式除以单项式；多项式除以单项式
【解析】【解答】解：A、，故该选项是错误的；
B、，故该选项是错误的；
C、，故该选项是错误的；
D、，故该选项是正确的；
故选：D．
【分析】根据单项式的乘除法，多项式除以单项式，负整数指数幂逐项进行判断即可求出答案.
5．（2025·江安模拟）某跳远队准备从甲、乙、，丙、丁4名运动员中选取1名成绩优异且发挥稳定的运动员参加比赛，他们成绩的平均数和方差如下：，则应选择的运动员是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】C
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴丙运动员成绩最优异且发挥稳定．
故选：C
【分析】由平均数可得选择乙、丙，再由方差可得选择丙.
6．（2025·江安模拟）如图，是的弦，交于点，点是上一点，连接，．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据圆周角定理得到的度数，再根据三线合一得到，然后利用等边对等角解题即可．
7．（2025·江安模拟）端午节期间，某商家推出“优惠酬宾”活动，决定每袋粽子降价2元销售．细心的小夏发现，降价后用240元可以比降价前多购买10袋，求：每袋粽子的原价是多少元？设每袋粽子的原价是x元，所得方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设每袋粽子原价x元，则降价后每袋（x-2）元，根据题意得：
故答案为：C.
【分析】设每袋粽子原价x元，则降价后每袋（x-2）元，根据题意得等量关系：降价后240元买的袋数=降价前240元买的袋数+10.据此列方程即可.
8．（2025·江安模拟）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中中间的大球代表碳原子，周围的小球代表氢原子．第种如图①有个氢原子，第种如图②有个氢原子，第种如图③有个氢原子，……按照这一规律，第种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：图①有个氢原子，
图②有个氢原子，
图③有个氢原子，
……，
以此类推，可知图中有个氢原子，
第种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：个；
故选：D．
【分析】观察前面四幅图可知氢原子的个数是序号的倍加，总结规律即可求出答案.
9．（2025·江安模拟）如图，在边长为4的正方形中，点是上一点，点是延长线上一点，连接，，平分．交于点．若，则的长度为（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
故选：D．
【分析】根据正方形性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，根据角平分线定义可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，设，则，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
10．（2025·江安模拟）矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，反比例函数的图象与边交于点D，与边交于点F，与交于点E，，若四边形的面积为2，则k的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；矩形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；面积及等积变换
【解析】【解答】解：过点E作，则，
∴，
∴
设，
∵
∴，
∴
∴
即，解得：
故选D
【分析】过点E作，则，根据相似三角形判定定理可得，则，设，由题意可得，再根据等面积法建立方程，解方程即可求出答案.
11．（2025·江安模拟）如图，菱形中，，点是边上的点，，，点是上的一点，是以点为直角顶点，为角的直角三角形，连结．当点在直线上运动时，线段的最小值是（　　）
A．2 B． C． D．4
【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；菱形的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过E作于点M，作于点H，作于点I，
∵，
∴点E、M、F、G四点共圆，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴最小值是．
故选：C．
【分析】过E作于点M，作于点H，作于点I，根据圆内接四边形性质可得点E、M、F、G四点共圆，根据同弧所对的圆周角相等可得，则，根据直线平行判定定理可得，再根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，解直角三角形可得EM，MH，再根据边之间的关系即可求出答案.
12．（2025·江安模拟）如图1，在平面直角坐标系中，点分别在轴和轴上，轴，，点从点出发，以的速度沿边匀速运动，点从点出发，沿线段匀速运动．点与点同时出发，其中一点到达终点，另一点也随之停止运动．设点运动的时间为的面积为，已知与之间的函数关系如图2中的曲线段、线段与曲线段．下列说法中正确的个数有（　　）个．
①点的运动速度为；
②点的坐标为；
③线段段的函数解析式为；
④曲线段的函数解析式为；
⑤若的面积是四边形的面积的，则时间．
⑥当在线段上运动时，存在某一时刻，使得周长最小．
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【知识点】解直角三角形；动点问题的函数图象；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；二次函数-面积问题
【解析】【解答】解：由函数图象可知，当时，的面积的函数关系式改变，则在上运动 3 秒，
∴当时，，此时的面积为，
，
，
∴点的运动速度为，则说法①正确；
当运动到 5 秒时，函数关系式改变，则，
如图，过作于点，
∴四边形是矩形，
，
，
∴设，则，
，
，
，
，
∴，则说法②错误；
如图，当点在上时，过点作于点，
，
∴线段段的函数解析式为，则说法③正确；
∵点从点运动到点所需时间为，点沿线段匀速运动到终点时，所需时间为，
，
当时，如图，过点作于点，
则，
，
∴设，则，
，
，
，
∴曲线段的函数解析式为，则结论④正确；
，
∴的面积．
当时，此时的边边上的高为，
∴，解得或（不符合题设，舍去）；
当时，则，解得（不符合题设，舍去）；
当时，则，解得或（不符合题设，舍去）；
综上，若的面积是四边形的面积的，则时间或，
则说法⑤错误；
如图，作点关于和的对称点，连接
则，
则的周长，
当点共线时，最小，即，
故的周长最小值为，
结合①知，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴重合，
此时，
则，不符合题意，故⑥错误．
综上，说法正确的是①③④，共3个，
故选：A．
【分析】结合函数图象可得当时，，此时的面积为，根据三角形面积可得AO，求出点Q的速度，可判断①；过作于点，根据矩形性质可得，设设，则，根据勾股定理建立方程，解方程即可得k=3，再根据边之间的关系可判断②；当点在上时，过点作于点，根据三角形面积可判断③；根据点的运动可得点沿线段匀速运动到终点时，所需时间为10s，当时，过点作于点，根据边之间的关系可得BQ，设，则，根据勾股定理可得QN吗，再根据正弦定义可得QN，根据三角形面积可判断④；根据梯形面积可得的面积，当时，此时的边边上的高为，当时，当时，根据三角形面积建立方程，解方程可判断⑤；作点关于和的对称点，连接，则，根据三角形周长可得当点共线时，最小，即，故的周长最小值为，结合①知，根据相似三角形判定定理可得，则，即重合，此时，可判断⑥.
13．（2025·江安模拟）分解因式：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式；
故答案为：．
【分析】提公因式，结合完全平方公式进行因式分解即可求出答案.
14．（2025·江安模拟）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　 　．
【答案】且
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
且，
∴且．
故答案为：且
【分析】根据二次方程有两个不相等的实数根，则判别式，结合二次方程的定义即可求出答案.
15．（2025·江安模拟）如图，在矩形中，，O为中点，，则扇形的面积为　 　．
【答案】
【知识点】扇形面积的计算；解直角三角形；补角
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵O为中点，
∴，
∵，
在中，，
∴，
同理，
∴，
∴扇形的面积为，
故答案为：．
【分析】根据线段中点可得OB，根据余弦定义及特殊角的三角函数值可得，，再根据补角可得∠EOF，再根据扇形面积即可求出答案.
16．（2025·江安模拟）若关于x的不等式组至少有2个整数解，且关于y的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和为　 　.
【答案】16
【知识点】解分式方程；一元一次不等式组的特殊解；已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】
解：
由①得：x＜4；
由②得：x≥；
∵ 此不等式组至少有2个整数解
∴≤2
解得：a≤8
解分式方程
a-1=2（y-1）+3
2y=a-2
解得y=
∵ 关于y的分式方程的解为非负整数
∴≥0，且≠1，a-2是整数
∴ a≥2，且a≠4，a是偶数
综上，2≤a≤8，且a≠4，a是偶数
∴ 所有满足条件的整数a的值之和为 2+6+8=16
故答案为：16
【分析】本题考查不等式组的特殊解，分式方程的特殊解，正确求解不等式组，分式方程，结合要求得出a的范围是解题关键。先解不等式组，得a≤8；再解分式方程，得a≥2且a≠4，a是偶数，则符合条件的a的范围是2≤a≤8，且a≠4，a是偶数，得整数a的确定值为2，6，8，求和即可。
17．（2025·江安模拟）如图，在边长为的正方形中，点，分别是边，上的动点，且满足，与交于点，点是的中点，是边上的点，，则的最小值是　 　．
【答案】5
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，
如图所示，在延长线上截取，连接，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半，
∵，，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴的最小值为，
故答案为：．
【分析】根据正方形性质可得，，再根据全等三角形判定定理可得，则，根据角之间的关系可得∠DOF=90°，根据直角三角形斜边上的中线性质可得， 在延长线上截取，连接，根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得，当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半，再根据勾股定理即可求出答案.
18．（2025·江安模拟）如图，在中，，，．点P在边上，过点P作，垂足为D，过点D作，垂足为F．连接，取的中点E．在点P从点A到点C的运动过程中，点E所经过的路径长为　 　．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：∵点P在AC上运动，运动路径为线段，E为PF的中点，
∴点E的运动路径也为线段，
当点P与点A重合时，CE=1，
当点P与C重合时，CE=
∴点E所经过的路径长为；
故答案为：．
【分析】由于点P在AC上运动，运动路径为线段，E为PF的中点，故点E的运动路径也为线段，进而求出点P与A\C重合时，CE的长，最后根据勾股定理可算出点E所经过的路程.
19．（2025·江安模拟）（1）计算：；
（2）先化简：，再从，，，中选取一个适合的数代入求值．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
，
分式的分母不能为、除数不能为，
，，
且，
可选或，
当时，
原式，
当时，
原式．
【知识点】分式有无意义的条件；分式的混合运算；实数的混合运算（含开方）；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】（1）根据二次根式，特殊角的三角函数值，绝对值性质，0指数幂，负整数指数幂化简，再计算加减即可求出答案.
（2）根据分式的混合运算，结合完全平方公式化简，再根据分式有意义的条件代值计算即可求出答案.
20．（2025·江安模拟）如图，在平行四边形中，点在边上，，连接，点为的中点，的延长线交边于点，连接
（1）求证：四边形是菱形：
（2）若平行四边形的周长为，求的长．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴即
∴
∵为的中点，
∴
∴，
∴
∵
∴四边形是平行四边形，
又
∴四边形是菱形；
（2）解：∵
∴
∵平行四边形的周长为22，
∴菱形的周长为：
∴
∵四边形是菱形，
∴
又
∴是等边三角形，
∵．
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；菱形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据平行四边形性质可得即则再根据全等三角形判定定理可得再根据菱形判定定理即可求出答案.
（2）根据边之间的关系可得再根据菱形周长可得AB，根据菱形性质可得再根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则即可求出答案.
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴即
∴
∵为的中点，
∴
∴，
∴
∵
∴四边形是平行四边形，
又
∴四边形是菱形；
（2）解：∵
∴
∵平行四边形的周长为22，
∴菱形的周长为：
∴
∵四边形是菱形，
∴
又
∴是等边三角形，
∵．
21．（2025·江安模拟）乐山作为闻名世界的文化旅游胜地，吸引了大量游客．为更好地提升服务质量，某旅行社随机调查了部分游客对四种美食的喜好情况（每人限选一种），并将调查结果绘制成统计图，如图所示．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次抽取的游客总人数为______人，扇形统计图中m的值为______；
（2）请补全条形统计图；
（3）旅行社推出每人可免费品尝两种美食的活动，某游客从上述4种美食中随机选择两种，请用画树状图或列表的方法求选到“钵钵鸡和跷脚牛肉”的概率．
【答案】（1）240，35
（2）解：“甜皮鸭”对应的人数为(人)，
补全图形如下：
（3）解：假设“麻辣烫”“跷脚牛肉”“钵钵鸡”“甜皮鸭”对应为“A、B、C、D”，
画树状图如图所示，
共有12种等可能的结果数，其中选到“钵钵鸡和跷脚牛肉”的结果数为2，
∴选到“钵钵鸡和跷脚牛肉”的概率是．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：本次抽取的游客总人数为(人)，
，
故答案为：240，35；
【分析】（1）根据：该项所占的百分比该项人数÷总人数．两图给出了“跷脚牛肉”的数据，代入即可算出抽取的游客总人数，然后再算出“钵钵鸡”的人数；
（2）根据条形图中数据和调查总人数，先计算出喜欢“甜皮鸭”的人数，再补全条形图；
（3）画出树状图，求出所有等可能的结果数，找出恰好同时选到“钵钵鸡和跷脚牛肉”的结果数，再根据概率公式即可求出答案.
（1）解：本次抽取的游客总人数为(人)，
，
故答案为：240，35；
（2）“甜皮鸭”对应的人数为(人)，
补全图形如下：
（3）假设“麻辣烫”“跷脚牛肉”“钵钵鸡”“甜皮鸭”对应为“A、B、C、D”，
画树状图如图所示，
共有12种等可能的结果数，其中选到“钵钵鸡和跷脚牛肉”的结果数为2，
∴选到“钵钵鸡和跷脚牛肉”的概率是．
22．（2025·江安模拟）中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献．为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形充电站的平面示意图，矩形是其中一个停车位．经测量，，，，，是另一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定．
根据以上信息回答下列问题：（结果精确到，参考数据）
（1）求的长；
（2）该充电站有20个停车位，求的长．
【答案】（1）解：∵四边形是矩形，
∴，
在中，，，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴
（2）解：在中，，
在中，，
∵该充电站有20个停车位，
∴，
∵四边形是矩形，
∴．
【知识点】矩形的性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）根据矩形性质可得，再根据正弦定义及特殊角的三角函数值可得AQ，再根据矩形性质可得，则，根据正切定义及特殊角的三角函数值可得BC，再根据补角可得∠PAD，解直角三角形可得AP，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）解直角三角形可得BE，BQ，再根据边之间的关系可得QM，再根据矩形性质即可求出答案.
（1）解：∵四边形是矩形，
∴，
在中，，，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴
（2）解：在中，，
在中，，
∵该充电站有20个停车位，
∴，
∵四边形是矩形，
∴．
23．（2025·江安模拟）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点A、B，与轴交于点C，点A的横坐标为2．
（1）求的值；
（2）利用图像直接写出时的取值范围；
（3）如图2，将直线沿轴向下平移4个单位，与函数的图像交于点D，与轴交于点E，再将函数的图像沿平移，使点A、D分别平移到点C、F处，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）解：点在的图像上，
当时，．
∴，
将点代入，得．
（2）或
（3）解：∵，
∴当时，，
∴，
∵将直线沿轴向下平移4个单位，
∴，直线的解析式为：，设直线与轴交于点H
∴当时，，当时，，
∴，，
∴，
∴，
如图，过点作，垂足为，
∴．
又，，
．
连接，
∵平移，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
∴阴影部分面积等于的面积，即．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；平行四边形的判定与性质；等腰直角三角形；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：（2）由（1）知：，
联立，解得：或，
∴；
由图像可得：时的取值范围为：或．
【分析】（1）将点A坐标代入反比例函数解析式可得，再根据待定系数法将点A坐标代入一次函数解析式即可求出答案.
（2）联立一次函数解析式与反比例函数解析式，解方程可得，当一次函数图象在反比例函数图象下方时，有，结合函数图象即可求出答案.
（3）根据y轴上点的坐标特征可得，根据函数图象平移性质可得，直线的解析式为：，设直线与轴交于点H，再根据坐标轴上点的坐标特征可得，，则，根据等腰直角三角形性质可得，过点作，垂足为，则，再根据两点间距离可得AC，连接，根据平移性质可得，，根据平行四边形判定定理可得四边形为平行四边形，结合其面积即可求出答案.
（1）点在的图像上，
当时，．
∴，
将点代入，得．
（2）由（1）知：，
联立，解得：或，
∴；
由图像可得：时的取值范围为：或．
（3）∵，
∴当时，，
∴，
∵将直线沿轴向下平移4个单位，
∴，直线的解析式为：，设直线与轴交于点H
∴当时，，当时，，
∴，，
∴，
∴，
如图，过点作，垂足为，
∴．
又，，
．
连接，
∵平移，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
∴阴影部分面积等于的面积，即．
24．（2025·江安模拟）如图，是的直径，点在上，平分交于点，过点的直线，交的延长线于点，交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）连接并延长，分别交于两点，交于点，若的半径为，求的值．
【答案】（1）解：连接，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
即，
∵是的半径
∴是的切线；
（2）解：连接，
∵，
∴在中，，
由勾股定理得：
∴，
∵在中，，
∴，
∵，
∴，而，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行线的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；切线的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接，根据等边对等角可得，再根据角平分线定义可得，根据直线平行判定定理可得，则，再根据角之间的关系可得，即，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）连接，根据含30°角的直角三角形性质可得OF，根据勾股定理可得DF，再根据边之间的关系可得AF，再根据含30°角的直角三角形性质可得，根据角之间的关系可得，则，再根据相似三角形判定定理可得，则，即，根据圆周角定理可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，化简计算即可求出答案.
（1）解：连接，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
即，
∵是的半径
∴是的切线；
（2）解：连接，
∵，
∴在中，，
由勾股定理得：
∴，
∵在中，，
∴，
∵，
∴，而，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
25．（2025·江安模拟）已知抛物线经过和两点．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若点为第一象限内该抛物线上的一动点，且在直线的上方，过点作轴于点，交直线于点，以为直径作．
①如图1，当与轴相切时，求点的坐标；
②如图2，直线与轴交于点，交直线于点，求弦的最大值．
【答案】（1）解：抛物线经过和两点，则
，
解得，
∴该抛物线的函数表达式为；
（2）解：①如图所示：
设点的坐标为，则点的坐标为．
∵点在直线的上方，
∴，
∵当与轴相切时，，
∴，
解得，（舍去），
当时，，
∴点的坐标为；
②如图2所示：
由直线可得：点的坐标为．
由（2）得：，，
∴，，
在中，
∵，
∴，
在中，由勾股定理，得
，
连接所示：
则．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，且开口向下，
∴当时，弦的最大值为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；解直角三角形；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点和代入抛物线解析式即可求出答案.
（2）①设点的坐标为，则点的坐标为，根据两点间距离可得，根据切线性质建立方程，解方程即可求出答案.
②根据x轴上点的坐标特征可得点的坐标为，由（2）得：，，根据两点间距离可得，，根据正切定义可得，再根据勾股定理可得CD，根据相似三角形判定定理可得，则，则，结合二次函数性质即可求出答案.
（1）解：抛物线经过和两点，则
，
解得，
∴该抛物线的函数表达式为；
（2）解：①如图所示：
设点的坐标为，则点的坐标为．
∵点在直线的上方，
∴，
∵当与轴相切时，，
∴，
解得，（舍去），
当时，，
∴点的坐标为；
②如图2所示：
由直线可得：点的坐标为．
由（2）得：，，
∴，，
在中，
∵，
∴，
在中，由勾股定理，得
，
连接所示：
则．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，且开口向下，
∴当时，弦的最大值为．
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