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广东省云浮市2025年中考一模数学试题
1．（2025·云浮模拟）下列数中，比大的实数是（　　）
A． B．0 C．3 D．
2．（2025·云浮模拟）下列图形中，对称轴最多的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·云浮模拟）华为麒麟990芯片采用了最新的0.000000007米（7纳米）的工艺制程，数0.000000007用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·云浮模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025·云浮模拟）如图，在中，，，点A恰好落在数轴上表示的点上，以原点O为圆心，的长为半径画弧交数轴于点P，使点P落在点A的左侧，则点P所表示的数是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·云浮模拟）如图小明在点C处测得树顶端A 的仰角为α，且米，则树高度为（　　）米．
A． B． C． D．
7．（2025·云浮模拟）下列说法正确的是（　　）
A．任意两个矩形都相似
B．反比例函数图象是轴对称图形，但不是中心对称图形
C．方程有实数根
D．甲、乙两人在太阳光下的水平道路上行走，同一时刻他们的身高与其影长的比相等
8．（2025·云浮模拟）如图，已知点A、B、C依次在上，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·云浮模拟）公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少2小时．若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时，则下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2025·云浮模拟）二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③m为任意实数，则；④；⑤若，且，则．其中正确的个数是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
11．（2025·云浮模拟）分解因式：　 　．
12．（2025·云浮模拟）在平面直角坐标系中，将点A（－1，1）向右平移　 　个单位得到点B（4，1）．
13．（2025·云浮模拟）等腰三角形的腰长为1cm，底边长为 cm，则它的底角的正切值为　 　．
14．（2025·云浮模拟）单项式3x2y3的次数是　 　．
15．（2025·云浮模拟）如图，在平面直角坐标系中，斜边上的高为1，，将绕原点顺时针旋转得到，点A的对应点C恰好在函数的图象上，若在的图象上另有一点M使得，则点M的坐标为　 　．
16．（2025·云浮模拟）计算：．
17．（2025·云浮模拟）化简求值：其中x是不等式组的整数解．
18．（2025·云浮模拟）为促进同学间交流，丰富校园文化生活，增强班级团队意识和凝聚力．某校七年级将在操场上举办“绑腿跑”趣味运动比赛（每班有5名队员排成一列，每相邻两队员的相邻腿用绑腿带绑在一起，立于起跑线后，队员通过协调配合在跑道上共同行进）．为做准备，七（1）班选拔了15名学生参加训练，并将15名学生的身高（单位：）数据统计如下：162，163，163，165，166，166，166，167，167，168，169，169，171，173，176；
（1）15名学生的身高数据如下表：
平均数 中位数 众数
167.4
根据信息填空：__________，__________；
（2）在训练中，将15名学生分成三组进行练习，发现：对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则该组学生获胜机率越大．据此推断：在下列两组学生中，获胜机率大的是__________（填“甲组”或“乙组”）；
甲组学生的身高 163 166 166 167 167
乙组学生的身高 162 163 165 166 176
（3）根据安排，剩下的同学组成丙组．从丙组同学中，随机抽取两人担任引导员，求恰好抽到两名引导员身高相同的概率．
19．（2025·云浮模拟）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为个单位的正方形，的顶点均在格点上，点的坐标为．
（1）试画出以为旋转中心，沿顺时针方向旋转后的图形；
（2）以原点为对称中心，画出关于原点对称的，写出点的坐标为______；
（3）请在轴上找一点得到，则点的坐标为_______，若直线平分的面积，则______．
20．（2025·云浮模拟）【综合与实践】
【问题背景】
如图1，刻漏，中国古代汉族科学家发明的计时器．漏是指带孔的壶，刻是指附有刻度的浮箭．中国最早的漏刻出现在夏朝时期．随着时间的推移，漏刻在历朝历代得到了广泛的应用和改进，成为了重要的计时工具．漏刻的工作原理是利用均匀水流导致的水位变化来显示时间．
如图2，综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根装有节流阀(控制水的流速)的软管，制作了类似“漏刻”的简易计时装置．
【实验操作】
上午8：00，综合实践小组在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后，每隔10min记录一次甲容器中的水面高度，相关数据如表：
记录时间 8：00 8：10 8：20 8：30 8：40
流水时间 0 10 20 30 40
水面高度 30 29 28.1 27 25.9
【建立模型】
小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，每隔水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．
【问题解决】
（1）利用时，；时，这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式；
（2）利用(1)中所求解析式，计算当甲容器中的水面高度为时是几点钟？
（3）经检验，发现有两组表中观察值不满足(1)中求出的函数解析式，存在偏差，小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据(1)中解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为s；s越小，偏差越小．请根据表中数据计算出(1)中得到的函数解析式的s值．
21．（2025·云浮模拟）如图1，是以的长为半径的圆，点O在矩形的对角线上，与矩形的三边，，分别交于点E，F，G，其中
（1）求证：
（2）求证：直线是的切线；
（3）如图2，若点 E落在线段的垂直平分线上，，求阴影部分的面积．
22．（2025·云浮模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B两点，与y轴交于点且的面积为8，D是中点．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若点P是第四象限内该抛物线上一动点，求面积的最大值．
（3）若点G是该抛物线对称轴上的一点，且是等腰三角形，请直接写出点G 的坐标
23．（2025·云浮模拟）在矩形中，，，E 是边上的一个动点，F是边上的一个动点，连接，将矩形沿折叠．
（1）如图1，若．时，将矩形沿折叠后，点C 恰好落在上的点C'处，点B 落在点处，交于点 M．
①求折痕的长；
②连接交于点N，求的值；
（2）如图2，，将矩形沿折叠后，点A、D 的对应点分别是点 、，连接，，直接写出面积的最大值为　 　，与面积的最小值为　 　．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴比大的实数是3，
故答案为：C．
【分析】
根据实数比较大小法则：正数大于0，0大于负数，由此即可解答．
2．【答案】D
【知识点】平面图形的对称轴
【解析】【解答】解：A、 不是轴对称图形，没有对称轴；
B、 有2条对称轴；
C、 有2条对称轴；
D、 有4条对称轴；
故答案为：D．
【分析】
根据轴对称图形的定义：一个图形沿一条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，逐一分析即可解答．
3．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：数0.000000007用科学记数法表示为．
故选：A．
【分析】本题主要考查了科学记数法，利用科学记数法表示绝对值小于1的数，一般形式为，其中a为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此即可作答．
4．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故A符合题意；
B、与不是同类项，不能进行加减计算，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】
根据同底数幂乘法计算得，可判断A；根据合并同类项法则与不是同类项，不能进行加减计算，可判断B；根据积的乘方计算得，可判断C；根据平方差公式得，可判断D；逐一判断即可解答．
5．【答案】A
【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】解：∵中，，，，
∴，
又∵，
∴，
又∵点P在原点的左边，
∴点P表示的数为，
故答案为：A．
【分析】
根据及实数与数轴的关系：任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数，因而先依据勾股定理即可得到的长，进而得出的长，即可得到点P所表示的数，解答即可．
6．【答案】B
【知识点】解直角三角形；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：根据题意，得，，
在中，米，
∴米，
故答案为：B．
【分析】
根据题意可得：，，然后在中，利用锐角三角函数的定义解答即可．
7．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；反比例函数的图象；轴对称图形；相似多边形；平行投影
【解析】【解答】解：A、任意两个矩形不一定相似，故A不符合题意；
B、反比例函数图象是轴对称图形，也是中心对称图形，故B不符合题意；
C、方程可化为方程，
∴，
即此方程无实数根，故C不符合题意；
D、甲、乙两人在太阳光下的水平道路上行走，同一时刻他们的身高与其影长的比相等，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】
根据相似多边形的定义可判断A；根据反比例函数图象的性质可得反比例函数图象是轴对称图形，也是中心对称图形，可判断B；根据根的判别式计算，可判断C；根据平行投影中身高与影长比例关系，可判断D；逐一判断即可解答．
8．【答案】C
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：C．
【分析】
由等边对等角可知，结合三角形内角和定理可得，再由圆周角定理计算即可解答．
9．【答案】C
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设单独处理需要小时，则单独处理数据的时间小时，
依题意得，
故答案为：C．
【分析】
设单独处理需要小时，则单独处理数据的时间小时，根据两队合作小时完成，可得出方程，解答即可．
10．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：②、∵抛物线开口向上，则，
∵对称轴为直线，则，
∴，故②正确；
①、抛物线与轴交于负半轴，则，
∴，故①错误；
③、∵当时，取得小值，
∴，
当m为任意实数，则，故③正确，
④、∵抛物线关于对称，
∴和的函数值相同，
即：，
由图象知，当时，函数值大于0，
∴，故④正确；
⑤、当关于对称时：即：时，
对应的函数值相同，
即：，
∴
∴若，且，则；故⑤正确；
综上所述，正确的是②③④⑤，共4个，
故答案为：C．
【分析】
根据开口方向得，根据对称轴可得，与轴的交点位置交于负半轴，则，可判断 ①② ；利用最值当时，取得小值可判断③；根据对称性和图象上的点，可判断④；利用对称性可判断⑤；逐一判断即可解答．
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】
利用完全平方公式因式分解即可解答．
12．【答案】5
【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】
解：由点坐标的平移变换规律
得
即点向右平移5个单位长度得到点
故答案为：5．
【分析】
根据点坐标的平移变换规律：将点向右（或向左）平移k个单位长度，得到点的坐标为（或）；将点向上（或向下）平移k个单位长度，得到点的坐标为（或）计算即可解答．
13．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】设AB＝AC＝1，BC＝ ，
过A点作AD⊥BC，垂足为D，如图所示：
则BD＝ BC＝ ，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD＝ ，
∴tanB＝ ，
故答案为： ．
【分析】作等腰三角形底边上的高，将问题转化到直角三角形中，求底角的正切值即可.
14．【答案】5
【知识点】单项式的次数与系数
【解析】【解答】解：单项式3x2y3的次数是5，
故答案为：5．
【分析】
根据单项式次数的定义：单项式的次数是这个单项式中所有字母指数的和，计算即可解答．
15．【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；含30°角的直角三角形；旋转的性质；正切的概念
【解析】【解答】解：如图，过点作轴，过点作轴，
由题意可知，
则，
∴C（1，）
∵C在上，
设
即 解得（不符合题意，舍去）
所以
故答案为：．
【分析】
如图，过点作轴，过点作轴，利用的正切可以求出C（1，），即可利用待定系数法求出k得值；再利用M在上，设M的坐标，最后通过可以求出M点的坐标，解答即可．
16．【答案】解：
【知识点】负整数指数幂；二次根式的混合运算；实数的绝对值；求算术平方根；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先算三角函数、再算负整数指数幂、算绝对值算二次根式，再算加减即可解答．
17．【答案】【解答】
解：
，
解不等式得，，
解不等式得，，
∴原不等式组的解集为，
∴原不等式组的整数解为，
∵当时，，
∴当时，原式．
【知识点】分式的化简求值；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，接着求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，从而确定不等式组的整数解，最后代值计算即可解答．
18．【答案】（1）167；166
（2）甲组
（3）解：由题意知丙组同学的身高分别为：168、169、169、171、173，把168记为A，169记为，169记为，171记为C，173记为D，画树状图如下：
由图可知，一共要有20种等可能结果，其中5名同学中身高相同的结果有2种，
（恰好抽到两名引导员身高相同），
∴恰好抽到两名引导员身高相同的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：（1）15名学生的身高排序后，处于中间位置（第8位）的是167，
∴中位数是167，即；
15名学生的身高中，166出现的次数最多，
∴众数是166，即．
故答案为：167，166
（2）甲组学生的身高的平均数，
方差；
乙组学生的身高的平均数，
方差
∵，
∴获胜机率大的是甲组．
故答案为：甲组
【分析】
（1）根据中位数得定义把15名学生的身高排序后，处于中间位置（第8位）的是167，可得m得值；根据众数得定义166出现的次数最多，可得n的值，计算即可求解；
（2）根据方差公式，分别计算两组数据的方差可得，判断即可解答；
（3）把168记为A，169记为，169记为，171记为C，173记为D，画树状图利用概率公式求出概率即可解答．
（1）解：15名学生的身高排序后，处于中间位置（第8位）的是167，
∴中位数是167，即；
15名学生的身高中，166出现的次数最多，
∴众数是166，即．
故答案为：167，166
（2）解：甲组学生的身高的平均数，
方差；
乙组学生的身高的平均数，
方差
∵，
∴获胜机率大的是甲组．
故答案为：甲组
（3）解：由题意知丙组同学的身高分别为：168、169、169、171、173，把168记为A，169记为，169记为，171记为C，173记为D，画树状图如下：
由图可知，一共要有20种等可能结果，其中5名同学中身高相同的结果有2种，
（恰好抽到两名引导员身高相同）．
答：恰好抽到两名引导员身高相同的概率为．
19．【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求，点的坐标，
（3），．
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求一次函数解析式；中心对称及中心对称图形；作图﹣旋转；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：（2）画出图形，观察点的坐标，
故答案为：；
（3）如图，平行四边形即为所求，，
∵平行四边形的中心点的坐标为，
又∵直线平分的面积，
∴直线经过点，
∴，
∴，
故答案为：，．
【分析】
（）根据旋转的性质作图即可解答；
（）根据中心对称图形的性质：连接AO.BO.CO并延长取相等得到的点，再连接起来即可作图；
（）根据平行四边形的性质找到点，即可根据中点坐标公式得出平行四边形对角线中心点的坐标，由直线平分的面积可知该直线经过中心点，将代入直线即可解答．
（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求，点的坐标，
故答案为：；
（3）解：如图，平行四边形即为所求，，
∵平行四边形的中心点的坐标为，
又∵直线平分的面积，
∴直线经过点，
∴，
∴，
故答案为：，．
20．【答案】（1）解：设，把，；， 代入得：，
解得，
∴水面高度h与流水时间t的函数解析式为；
（2）解：当时，，解得，
150分钟=2小时30分钟，
∴甲容器中的水面高度为时是10∶30；
（3）解：由（1）知，；，满足h与t的函数关系式，
∴，，
当时，，
∴，
当时，，
∴，
当时，，
∴，
∴．
【知识点】函数值；待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【分析】
（1）根据待定系数法求把，；， 代入即可求解；
（2）把代入（1）中所求解析式，求出t的值即可解答；
（3）分别计算，，，，时，函数值与对应h的观察值之差的平方，然后求和即可解答．
（1）解：设，
则，
解得，
∴水面高度h与流水时间t的函数解析式为；
（2）解：当时，，
解得，
150分钟=2小时30分钟，
∴甲容器中的水面高度为时是10∶30；
（3）解：由（1）知，；，满足h与t的函数关系式，
∴，，
当时，，
∴，
当时，，
∴，
当时，，
∴，
∴．
21．【答案】（1）证明：四边形为矩形．
∴，
∵，
∴．
∴，
则，
即
（2）证明：连接，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴
∴，
∴，
即，
∵为半径，
∴直线与相切；
（3）解：∵点E落在线段的垂直平分线上，
∴，
∴，
由（1）得，
∴．
在中，，
∴，
∵，，
∴，
，
则，
∴
∵，
∴，
∴，又，
∴，
∴，
∴，
解得.
连接，
∵，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
则，
∵四边形是矩形，
∴，
∴是直径，
即三点共线，
∴
．
即阴影部分的面积为．
【知识点】线段垂直平分线的性质；切线的判定；扇形面积的计算；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得，结合，利用AA判定，根据相似三角形的性质再结合，解答即可；
（2）连接，利用等边对等角可得，根据矩形的性质利用得到，从而得到，根据矩形的性质得，代换可得，从而可证明，根据切线的判定定理即可解答；
（3）根据垂线的性质可得，利用等边对等角可得，．利用角度的和差计算求解，即可解直角三角形得，，再用勾股定理得，利用线段的和差运算得，再利用AA判定，即可利用相似三角形的性质可得，再根据阴影部分的面积，代入数值进行计算即可解答．
（1）证明：四边形为矩形．
∴，
∵，
∴．
∴，
则，
即
（2）证明：连接，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴
∴，
∴，
即，
∵为半径，
∴直线与相切；
（3）解：∵点E落在线段的垂直平分线上，
∴，
∴，
由（1）得，
∴．
在中，，
∴，
∵，，
∴，，
则，
∴
∵，
∴，
∴，又，
∴，
∴，
∴，
解得.
连接，
∵，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
则，
∵四边形是矩形，
∴，
∴是直径，
即三点共线，
∴
．
即阴影部分的面积为．
22．【答案】（1）解：∵，
∴，
∵的面积为8，
∴，解得，
∴，
将，代入得：
，解得，
抛物线的函数表达式为；
（2）解：设直线为，将代入得：
，解得，
直线为，
，，D是中点，
，
过点P作轴交于点Q，如图：
设，则，
，
，
，，
时，有最大值，最大值为2；
即面积的最大值是2；
（3）或或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；坐标系中的两点距离公式；等腰三角形的概念；二次函数-面积问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】
解：（3）由得抛物线的对称轴为直线，
设，
∴，
，
，
若是等腰三角形，分三种情况：
当时，，
则，解得，不合题意，舍去；
当时，，
则，解得，此时；
当时，，
则，解得或，
此时或，
综上，满足条件的点P的坐标为或或．
故答案为：或或
【分析】
（1）根据面积法得点B坐标，再利用待定系数法将，代入函数解析式即可解答；
（2）先由待定系数法可得直线的函数解析式为为，由中点坐标公式得，过点P作轴交于点Q，设，则，表示出，利用面积公式得，根据二次函数的性质即可解答；
（3）设，结合两点坐标距离公式求出BG，DG，BD；再分当时、当时、当时三种情况，建立方程求解即可解答．
（1）解：∵，
∴，
∵的面积为8，
∴，解得，
∴，
将，代入得：
，解得，
抛物线的函数表达式为；
（2）解：设直线为，将代入得：，解得，
直线为，
，，D是中点，
，
过点P作轴交于点Q，如图：
设，则，
，
，
，，
时，有最大值，最大值为2；
即面积的最大值是2；
（3）解：由得抛物线的对称轴为直线，
根据题意，设，
∴，，，
若是等腰三角形，分三种情况：
当时，，
则，解得，不合题意，舍去；
当时，，
则，解得，此时；
当时，，
则，解得或，
此时或，
综上，满足条件的点P的坐标为或或．
23．【答案】（1）解：①如图， 过作于H，
∵四边形是矩形，，，
∴，，，
由折叠得：，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
设，，，
在中，，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴；
②如图，延长，交于点G，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）18；
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：（2）由折叠得：，，，，
如图，
∴当中边上的高最大时，的面积最大，即当F，C，三点共线时，的面积最大，
由（1）同理可求，
∴，
∴，
∴的面积为，
即面积的最大值为18．
如图，
∴当中边上的高最小时，的面积最小，即当E，C，三点共线时，的面积最小，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴的面积，
即面积的最小值为．
故答案为：18，．
【分析】
（1）①利用矩形和折叠的性质根据证明，得出，设，，，在中，根据勾股定理得出建立方程求出x，得到，，可证四边形是矩形，得出，，，最后根据勾股定理求解即可；
②延长，交于点G，先证明，求出，利用线段的和差运算得到，再证明，利用相似三角形的性质建立比列关系即可解答；
（2）根据折叠可知当中边上的高最大时，的面积最大，即当F，C，三点共线时，的面积最大，根据三角形的面积公式即可解答；当中边上的高最小时，的面积最小，即当E，C，三点共线时，的面积最小，根据三角形的面积公式即可解答．
（1）解：①如图， 过作于H，
∵四边形是矩形，，，
∴，，，
由折叠得：，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
设，，，
在中，，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴；
②如图，延长，交于点G，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：由折叠得：，，，，
如图，
∴当中边上的高最大时，的面积最大，即当F，C，三点共线时，的面积最大，
由（1）同理可求，
∴，
∴，
∴的面积为，
即面积的最大值为18．
如图，
∴当中边上的高最小时，的面积最小，即当E，C，三点共线时，的面积最小，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴的面积，
即面积的最小值为．
故答案为：18，．
1 / 1广东省云浮市2025年中考一模数学试题
1．（2025·云浮模拟）下列数中，比大的实数是（　　）
A． B．0 C．3 D．
【答案】C
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴比大的实数是3，
故答案为：C．
【分析】
根据实数比较大小法则：正数大于0，0大于负数，由此即可解答．
2．（2025·云浮模拟）下列图形中，对称轴最多的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平面图形的对称轴
【解析】【解答】解：A、 不是轴对称图形，没有对称轴；
B、 有2条对称轴；
C、 有2条对称轴；
D、 有4条对称轴；
故答案为：D．
【分析】
根据轴对称图形的定义：一个图形沿一条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，逐一分析即可解答．
3．（2025·云浮模拟）华为麒麟990芯片采用了最新的0.000000007米（7纳米）的工艺制程，数0.000000007用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：数0.000000007用科学记数法表示为．
故选：A．
【分析】本题主要考查了科学记数法，利用科学记数法表示绝对值小于1的数，一般形式为，其中a为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此即可作答．
4．（2025·云浮模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故A符合题意；
B、与不是同类项，不能进行加减计算，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】
根据同底数幂乘法计算得，可判断A；根据合并同类项法则与不是同类项，不能进行加减计算，可判断B；根据积的乘方计算得，可判断C；根据平方差公式得，可判断D；逐一判断即可解答．
5．（2025·云浮模拟）如图，在中，，，点A恰好落在数轴上表示的点上，以原点O为圆心，的长为半径画弧交数轴于点P，使点P落在点A的左侧，则点P所表示的数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】解：∵中，，，，
∴，
又∵，
∴，
又∵点P在原点的左边，
∴点P表示的数为，
故答案为：A．
【分析】
根据及实数与数轴的关系：任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数，因而先依据勾股定理即可得到的长，进而得出的长，即可得到点P所表示的数，解答即可．
6．（2025·云浮模拟）如图小明在点C处测得树顶端A 的仰角为α，且米，则树高度为（　　）米．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：根据题意，得，，
在中，米，
∴米，
故答案为：B．
【分析】
根据题意可得：，，然后在中，利用锐角三角函数的定义解答即可．
7．（2025·云浮模拟）下列说法正确的是（　　）
A．任意两个矩形都相似
B．反比例函数图象是轴对称图形，但不是中心对称图形
C．方程有实数根
D．甲、乙两人在太阳光下的水平道路上行走，同一时刻他们的身高与其影长的比相等
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；反比例函数的图象；轴对称图形；相似多边形；平行投影
【解析】【解答】解：A、任意两个矩形不一定相似，故A不符合题意；
B、反比例函数图象是轴对称图形，也是中心对称图形，故B不符合题意；
C、方程可化为方程，
∴，
即此方程无实数根，故C不符合题意；
D、甲、乙两人在太阳光下的水平道路上行走，同一时刻他们的身高与其影长的比相等，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】
根据相似多边形的定义可判断A；根据反比例函数图象的性质可得反比例函数图象是轴对称图形，也是中心对称图形，可判断B；根据根的判别式计算，可判断C；根据平行投影中身高与影长比例关系，可判断D；逐一判断即可解答．
8．（2025·云浮模拟）如图，已知点A、B、C依次在上，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：C．
【分析】
由等边对等角可知，结合三角形内角和定理可得，再由圆周角定理计算即可解答．
9．（2025·云浮模拟）公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少2小时．若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时，则下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设单独处理需要小时，则单独处理数据的时间小时，
依题意得，
故答案为：C．
【分析】
设单独处理需要小时，则单独处理数据的时间小时，根据两队合作小时完成，可得出方程，解答即可．
10．（2025·云浮模拟）二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③m为任意实数，则；④；⑤若，且，则．其中正确的个数是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：②、∵抛物线开口向上，则，
∵对称轴为直线，则，
∴，故②正确；
①、抛物线与轴交于负半轴，则，
∴，故①错误；
③、∵当时，取得小值，
∴，
当m为任意实数，则，故③正确，
④、∵抛物线关于对称，
∴和的函数值相同，
即：，
由图象知，当时，函数值大于0，
∴，故④正确；
⑤、当关于对称时：即：时，
对应的函数值相同，
即：，
∴
∴若，且，则；故⑤正确；
综上所述，正确的是②③④⑤，共4个，
故答案为：C．
【分析】
根据开口方向得，根据对称轴可得，与轴的交点位置交于负半轴，则，可判断 ①② ；利用最值当时，取得小值可判断③；根据对称性和图象上的点，可判断④；利用对称性可判断⑤；逐一判断即可解答．
11．（2025·云浮模拟）分解因式：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】
利用完全平方公式因式分解即可解答．
12．（2025·云浮模拟）在平面直角坐标系中，将点A（－1，1）向右平移　 　个单位得到点B（4，1）．
【答案】5
【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】
解：由点坐标的平移变换规律
得
即点向右平移5个单位长度得到点
故答案为：5．
【分析】
根据点坐标的平移变换规律：将点向右（或向左）平移k个单位长度，得到点的坐标为（或）；将点向上（或向下）平移k个单位长度，得到点的坐标为（或）计算即可解答．
13．（2025·云浮模拟）等腰三角形的腰长为1cm，底边长为 cm，则它的底角的正切值为　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】设AB＝AC＝1，BC＝ ，
过A点作AD⊥BC，垂足为D，如图所示：
则BD＝ BC＝ ，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD＝ ，
∴tanB＝ ，
故答案为： ．
【分析】作等腰三角形底边上的高，将问题转化到直角三角形中，求底角的正切值即可.
14．（2025·云浮模拟）单项式3x2y3的次数是　 　．
【答案】5
【知识点】单项式的次数与系数
【解析】【解答】解：单项式3x2y3的次数是5，
故答案为：5．
【分析】
根据单项式次数的定义：单项式的次数是这个单项式中所有字母指数的和，计算即可解答．
15．（2025·云浮模拟）如图，在平面直角坐标系中，斜边上的高为1，，将绕原点顺时针旋转得到，点A的对应点C恰好在函数的图象上，若在的图象上另有一点M使得，则点M的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；含30°角的直角三角形；旋转的性质；正切的概念
【解析】【解答】解：如图，过点作轴，过点作轴，
由题意可知，
则，
∴C（1，）
∵C在上，
设
即 解得（不符合题意，舍去）
所以
故答案为：．
【分析】
如图，过点作轴，过点作轴，利用的正切可以求出C（1，），即可利用待定系数法求出k得值；再利用M在上，设M的坐标，最后通过可以求出M点的坐标，解答即可．
16．（2025·云浮模拟）计算：．
【答案】解：
【知识点】负整数指数幂；二次根式的混合运算；实数的绝对值；求算术平方根；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先算三角函数、再算负整数指数幂、算绝对值算二次根式，再算加减即可解答．
17．（2025·云浮模拟）化简求值：其中x是不等式组的整数解．
【答案】【解答】
解：
，
解不等式得，，
解不等式得，，
∴原不等式组的解集为，
∴原不等式组的整数解为，
∵当时，，
∴当时，原式．
【知识点】分式的化简求值；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，接着求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，从而确定不等式组的整数解，最后代值计算即可解答．
18．（2025·云浮模拟）为促进同学间交流，丰富校园文化生活，增强班级团队意识和凝聚力．某校七年级将在操场上举办“绑腿跑”趣味运动比赛（每班有5名队员排成一列，每相邻两队员的相邻腿用绑腿带绑在一起，立于起跑线后，队员通过协调配合在跑道上共同行进）．为做准备，七（1）班选拔了15名学生参加训练，并将15名学生的身高（单位：）数据统计如下：162，163，163，165，166，166，166，167，167，168，169，169，171，173，176；
（1）15名学生的身高数据如下表：
平均数 中位数 众数
167.4
根据信息填空：__________，__________；
（2）在训练中，将15名学生分成三组进行练习，发现：对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则该组学生获胜机率越大．据此推断：在下列两组学生中，获胜机率大的是__________（填“甲组”或“乙组”）；
甲组学生的身高 163 166 166 167 167
乙组学生的身高 162 163 165 166 176
（3）根据安排，剩下的同学组成丙组．从丙组同学中，随机抽取两人担任引导员，求恰好抽到两名引导员身高相同的概率．
【答案】（1）167；166
（2）甲组
（3）解：由题意知丙组同学的身高分别为：168、169、169、171、173，把168记为A，169记为，169记为，171记为C，173记为D，画树状图如下：
由图可知，一共要有20种等可能结果，其中5名同学中身高相同的结果有2种，
（恰好抽到两名引导员身高相同），
∴恰好抽到两名引导员身高相同的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：（1）15名学生的身高排序后，处于中间位置（第8位）的是167，
∴中位数是167，即；
15名学生的身高中，166出现的次数最多，
∴众数是166，即．
故答案为：167，166
（2）甲组学生的身高的平均数，
方差；
乙组学生的身高的平均数，
方差
∵，
∴获胜机率大的是甲组．
故答案为：甲组
【分析】
（1）根据中位数得定义把15名学生的身高排序后，处于中间位置（第8位）的是167，可得m得值；根据众数得定义166出现的次数最多，可得n的值，计算即可求解；
（2）根据方差公式，分别计算两组数据的方差可得，判断即可解答；
（3）把168记为A，169记为，169记为，171记为C，173记为D，画树状图利用概率公式求出概率即可解答．
（1）解：15名学生的身高排序后，处于中间位置（第8位）的是167，
∴中位数是167，即；
15名学生的身高中，166出现的次数最多，
∴众数是166，即．
故答案为：167，166
（2）解：甲组学生的身高的平均数，
方差；
乙组学生的身高的平均数，
方差
∵，
∴获胜机率大的是甲组．
故答案为：甲组
（3）解：由题意知丙组同学的身高分别为：168、169、169、171、173，把168记为A，169记为，169记为，171记为C，173记为D，画树状图如下：
由图可知，一共要有20种等可能结果，其中5名同学中身高相同的结果有2种，
（恰好抽到两名引导员身高相同）．
答：恰好抽到两名引导员身高相同的概率为．
19．（2025·云浮模拟）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为个单位的正方形，的顶点均在格点上，点的坐标为．
（1）试画出以为旋转中心，沿顺时针方向旋转后的图形；
（2）以原点为对称中心，画出关于原点对称的，写出点的坐标为______；
（3）请在轴上找一点得到，则点的坐标为_______，若直线平分的面积，则______．
【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求，点的坐标，
（3），．
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求一次函数解析式；中心对称及中心对称图形；作图﹣旋转；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：（2）画出图形，观察点的坐标，
故答案为：；
（3）如图，平行四边形即为所求，，
∵平行四边形的中心点的坐标为，
又∵直线平分的面积，
∴直线经过点，
∴，
∴，
故答案为：，．
【分析】
（）根据旋转的性质作图即可解答；
（）根据中心对称图形的性质：连接AO.BO.CO并延长取相等得到的点，再连接起来即可作图；
（）根据平行四边形的性质找到点，即可根据中点坐标公式得出平行四边形对角线中心点的坐标，由直线平分的面积可知该直线经过中心点，将代入直线即可解答．
（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求，点的坐标，
故答案为：；
（3）解：如图，平行四边形即为所求，，
∵平行四边形的中心点的坐标为，
又∵直线平分的面积，
∴直线经过点，
∴，
∴，
故答案为：，．
20．（2025·云浮模拟）【综合与实践】
【问题背景】
如图1，刻漏，中国古代汉族科学家发明的计时器．漏是指带孔的壶，刻是指附有刻度的浮箭．中国最早的漏刻出现在夏朝时期．随着时间的推移，漏刻在历朝历代得到了广泛的应用和改进，成为了重要的计时工具．漏刻的工作原理是利用均匀水流导致的水位变化来显示时间．
如图2，综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根装有节流阀(控制水的流速)的软管，制作了类似“漏刻”的简易计时装置．
【实验操作】
上午8：00，综合实践小组在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后，每隔10min记录一次甲容器中的水面高度，相关数据如表：
记录时间 8：00 8：10 8：20 8：30 8：40
流水时间 0 10 20 30 40
水面高度 30 29 28.1 27 25.9
【建立模型】
小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，每隔水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．
【问题解决】
（1）利用时，；时，这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式；
（2）利用(1)中所求解析式，计算当甲容器中的水面高度为时是几点钟？
（3）经检验，发现有两组表中观察值不满足(1)中求出的函数解析式，存在偏差，小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据(1)中解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为s；s越小，偏差越小．请根据表中数据计算出(1)中得到的函数解析式的s值．
【答案】（1）解：设，把，；， 代入得：，
解得，
∴水面高度h与流水时间t的函数解析式为；
（2）解：当时，，解得，
150分钟=2小时30分钟，
∴甲容器中的水面高度为时是10∶30；
（3）解：由（1）知，；，满足h与t的函数关系式，
∴，，
当时，，
∴，
当时，，
∴，
当时，，
∴，
∴．
【知识点】函数值；待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【分析】
（1）根据待定系数法求把，；， 代入即可求解；
（2）把代入（1）中所求解析式，求出t的值即可解答；
（3）分别计算，，，，时，函数值与对应h的观察值之差的平方，然后求和即可解答．
（1）解：设，
则，
解得，
∴水面高度h与流水时间t的函数解析式为；
（2）解：当时，，
解得，
150分钟=2小时30分钟，
∴甲容器中的水面高度为时是10∶30；
（3）解：由（1）知，；，满足h与t的函数关系式，
∴，，
当时，，
∴，
当时，，
∴，
当时，，
∴，
∴．
21．（2025·云浮模拟）如图1，是以的长为半径的圆，点O在矩形的对角线上，与矩形的三边，，分别交于点E，F，G，其中
（1）求证：
（2）求证：直线是的切线；
（3）如图2，若点 E落在线段的垂直平分线上，，求阴影部分的面积．
【答案】（1）证明：四边形为矩形．
∴，
∵，
∴．
∴，
则，
即
（2）证明：连接，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴
∴，
∴，
即，
∵为半径，
∴直线与相切；
（3）解：∵点E落在线段的垂直平分线上，
∴，
∴，
由（1）得，
∴．
在中，，
∴，
∵，，
∴，
，
则，
∴
∵，
∴，
∴，又，
∴，
∴，
∴，
解得.
连接，
∵，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
则，
∵四边形是矩形，
∴，
∴是直径，
即三点共线，
∴
．
即阴影部分的面积为．
【知识点】线段垂直平分线的性质；切线的判定；扇形面积的计算；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得，结合，利用AA判定，根据相似三角形的性质再结合，解答即可；
（2）连接，利用等边对等角可得，根据矩形的性质利用得到，从而得到，根据矩形的性质得，代换可得，从而可证明，根据切线的判定定理即可解答；
（3）根据垂线的性质可得，利用等边对等角可得，．利用角度的和差计算求解，即可解直角三角形得，，再用勾股定理得，利用线段的和差运算得，再利用AA判定，即可利用相似三角形的性质可得，再根据阴影部分的面积，代入数值进行计算即可解答．
（1）证明：四边形为矩形．
∴，
∵，
∴．
∴，
则，
即
（2）证明：连接，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴
∴，
∴，
即，
∵为半径，
∴直线与相切；
（3）解：∵点E落在线段的垂直平分线上，
∴，
∴，
由（1）得，
∴．
在中，，
∴，
∵，，
∴，，
则，
∴
∵，
∴，
∴，又，
∴，
∴，
∴，
解得.
连接，
∵，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
则，
∵四边形是矩形，
∴，
∴是直径，
即三点共线，
∴
．
即阴影部分的面积为．
22．（2025·云浮模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B两点，与y轴交于点且的面积为8，D是中点．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若点P是第四象限内该抛物线上一动点，求面积的最大值．
（3）若点G是该抛物线对称轴上的一点，且是等腰三角形，请直接写出点G 的坐标
【答案】（1）解：∵，
∴，
∵的面积为8，
∴，解得，
∴，
将，代入得：
，解得，
抛物线的函数表达式为；
（2）解：设直线为，将代入得：
，解得，
直线为，
，，D是中点，
，
过点P作轴交于点Q，如图：
设，则，
，
，
，，
时，有最大值，最大值为2；
即面积的最大值是2；
（3）或或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；坐标系中的两点距离公式；等腰三角形的概念；二次函数-面积问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】
解：（3）由得抛物线的对称轴为直线，
设，
∴，
，
，
若是等腰三角形，分三种情况：
当时，，
则，解得，不合题意，舍去；
当时，，
则，解得，此时；
当时，，
则，解得或，
此时或，
综上，满足条件的点P的坐标为或或．
故答案为：或或
【分析】
（1）根据面积法得点B坐标，再利用待定系数法将，代入函数解析式即可解答；
（2）先由待定系数法可得直线的函数解析式为为，由中点坐标公式得，过点P作轴交于点Q，设，则，表示出，利用面积公式得，根据二次函数的性质即可解答；
（3）设，结合两点坐标距离公式求出BG，DG，BD；再分当时、当时、当时三种情况，建立方程求解即可解答．
（1）解：∵，
∴，
∵的面积为8，
∴，解得，
∴，
将，代入得：
，解得，
抛物线的函数表达式为；
（2）解：设直线为，将代入得：，解得，
直线为，
，，D是中点，
，
过点P作轴交于点Q，如图：
设，则，
，
，
，，
时，有最大值，最大值为2；
即面积的最大值是2；
（3）解：由得抛物线的对称轴为直线，
根据题意，设，
∴，，，
若是等腰三角形，分三种情况：
当时，，
则，解得，不合题意，舍去；
当时，，
则，解得，此时；
当时，，
则，解得或，
此时或，
综上，满足条件的点P的坐标为或或．
23．（2025·云浮模拟）在矩形中，，，E 是边上的一个动点，F是边上的一个动点，连接，将矩形沿折叠．
（1）如图1，若．时，将矩形沿折叠后，点C 恰好落在上的点C'处，点B 落在点处，交于点 M．
①求折痕的长；
②连接交于点N，求的值；
（2）如图2，，将矩形沿折叠后，点A、D 的对应点分别是点 、，连接，，直接写出面积的最大值为　 　，与面积的最小值为　 　．
【答案】（1）解：①如图， 过作于H，
∵四边形是矩形，，，
∴，，，
由折叠得：，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
设，，，
在中，，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴；
②如图，延长，交于点G，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）18；
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：（2）由折叠得：，，，，
如图，
∴当中边上的高最大时，的面积最大，即当F，C，三点共线时，的面积最大，
由（1）同理可求，
∴，
∴，
∴的面积为，
即面积的最大值为18．
如图，
∴当中边上的高最小时，的面积最小，即当E，C，三点共线时，的面积最小，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴的面积，
即面积的最小值为．
故答案为：18，．
【分析】
（1）①利用矩形和折叠的性质根据证明，得出，设，，，在中，根据勾股定理得出建立方程求出x，得到，，可证四边形是矩形，得出，，，最后根据勾股定理求解即可；
②延长，交于点G，先证明，求出，利用线段的和差运算得到，再证明，利用相似三角形的性质建立比列关系即可解答；
（2）根据折叠可知当中边上的高最大时，的面积最大，即当F，C，三点共线时，的面积最大，根据三角形的面积公式即可解答；当中边上的高最小时，的面积最小，即当E，C，三点共线时，的面积最小，根据三角形的面积公式即可解答．
（1）解：①如图， 过作于H，
∵四边形是矩形，，，
∴，，，
由折叠得：，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
设，，，
在中，，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴；
②如图，延长，交于点G，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：由折叠得：，，，，
如图，
∴当中边上的高最大时，的面积最大，即当F，C，三点共线时，的面积最大，
由（1）同理可求，
∴，
∴，
∴的面积为，
即面积的最大值为18．
如图，
∴当中边上的高最小时，的面积最小，即当E，C，三点共线时，的面积最小，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴的面积，
即面积的最小值为．
故答案为：18，．
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