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广东省河源市2025年初中学业水平检测二轮数学模拟试卷（5月)
1．（2025·河源模拟）的值是（　　）
A．2 B． C．4 D．
2．（2025·河源模拟）在平面直角坐标系中，点的坐标是，则点关于原点对称的点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·河源模拟）不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025·河源模拟）将点A（2，-1）向右平移2个单位得到A'，则A'的坐标为（　　）
A．（4， -1） B．（2，1） C．（2，-3） D．（0，-1）
5．（2025·河源模拟）如图，点在反比例函数图象上，轴于点，若的面积等于3，则的值是（　　）
A．3 B． C．6 D．
6．（2025·河源模拟）如图，在中，，平分，，，则的面积是（　　）
A．10 B．5 C．3 D．2
7．（2025·河源模拟）二十四节气是中国古人订立的一种用来指导农事的补充历法，是中华民族劳动人民长期经验积累的成果和智慧的结晶．春、夏、秋、冬四季各有二十四节气中的6个．从二十四个节气中任选一个节气，这个节气在春季的概率是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·河源模拟）生菜是一种常见的蔬菜，其生长过程分为发芽期、幼苗期、莲座期、结球期四个时期，小明记录劳动种植园的生菜生长过程，发现其中一株生菜的高近似是生长时间天的一次函数，部分数据如8表所示，则与之间的关系式为（　　）
生长时间/天 30 35
高度 10 15
A． B． C． D．
9．（2025·河源模拟）如图，，，为的弦，连接，，，若，则下面结论不正确的是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2025·河源模拟）《孙子算经》是我国古代数学经典著作，书中记载了这样一道题目：今有三人共车，二车空：二人共车、九人步、人与车各几何？其意思是：今有3个人坐一辆车，有2辆车是空的；2个人坐一辆车，有9个人需要步行．人与车各多少？若设有人，车辆，则可列方程组是（　　）
A． B．
C． D．
11．（2025·河源模拟）已知，则　 　．
12．（2025·河源模拟）若关于的一元二次方程总有两个不相等的实数根，请写出一个满足条件的的值　 　．（写出一个即可）
13．（2025·河源模拟）已知圆锥底面半径为2，母线长为5，则此圆锥侧面展开图的面积是　 　．
14．（2025·河源模拟）如图，，，是等边三角形，点，，，在同一直线上，点，，在同一直线上，．若，则　 　．
15．（2025·河源模拟）在物理实验课上，教师指导学生进行一次光的折射实验，如图所示．光线在水面点处，经折射后到盆底点处，法线与盆底交于点．光线的入射角为，折射角为．若规定“”为折射率，则光在水中的折射率约为．当时，测得，则的长为　 　．
16．（2025·河源模拟）先化简，再求值：，其中，．
17．（2025·河源模拟）如图所示，为等腰直角三角形，，点是的中点，点是上一点．
（1）尺规作图：用无刻度的直尺和圆规，过点作的垂线，交于点（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，求证：．
18．（2025·河源模拟）邓先生驾车从深圳宝安国际机场返回中山市博览中心．导航显示，若经过虎门大桥路程约为100公里；若经过深中通道，路程约为54公里，且比经过虎门大桥用时少36分钟．若邓先生驾车的平均车速不变，则平均车速是多少？（结果保留小数点后一位）
19．（2025·河源模拟）为优化校园科技节活动设计，提升师生参与体验，某校在“智创未来”科技节结束后，随机抽取100名学生和15名教师对科技节活动进行满意度评分（满分100分）．并将收集到的评分数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a.100名学生所评分数的频数分布直方图如图所示．数据分成4组：
①，②，③，④．
b.15名教师所评分数为：
78，82，84，86，86，88，89，89，90，90，90，91，92，95，96．
c.100名学生和15名教师对科技节活动满意度分数的平均数、中位数、众数如表所示．
分类 平均数 中位数 众数
学生评分 89
教师评分 89
根据以上信息，回答下列问题：
（1）的值为　 　，的值位于学生评分数据分组的第　 　组．
（2）通过计算，求表中的值．
（3）根据相关规定，满意度评定结果可划分为三个等级：低于70分为“不满意”，70分至85分为“一般”，高于85分为“满意”．根据上述师生评分，试判断本次科技节活动师生满意度评定等级，并说明你的理由．
20．（2025·河源模拟）如图，是半圆的直径，点是半圆上的一点，过点作半圆的切线交延长线于点，过点作于点，交半圆于点．
（1）求证：平分；
（2）若，，求的长．
21．（2025·河源模拟）综合与实践
【问题背景】杆秤是我国古代传统的度量衡三大件之一，在学习了杆秤相关知识之后，小红学习小组想利用一根木棒制作一个简易杆秤．
【制作实验】
（1）如图所示，在木棒上先确定点为杆秤提组，点A处挂托盘，选取的托盘质量，秤砣质量，测得．
（2）先在托盘里加相应质量的物体，调整秤砣位置，使杆秤保持平衡，记录的长度，获得的实验数据如表所示：
物体质量 0 1 2 3 4
长度 1.5 4.5 7.5 10.5 13.5
任务1：杆秤在不挂重物而保持平衡时，其点所处的位置，称为定盘星．由表可知，定盘星和提纽的距离是 ▲ ．
【建立模型】
任务2：小组讨论认为长度与物体质量的关系可以用一次函数来刻画．请求出长度与物体质量的函数关系式．
【结论应用】
任务3：经测量，发现该木棒在提纽挂秤砣一侧的长度为，根据要求，制作杆秤刻度时需在杆头和杆尾各预留长的部分用作杆秤美化，求该杆秤称量重物的最大量程．
22．（2025·河源模拟）定义：在直角梯形中，若斜腰与梯形的一条底边相等，则此直角梯形被称为“斜腰等底直角梯形”．
（1）如图1所示，直角梯形为“斜腰等底直角梯形”，，，，连接，求证：平分；
（2）如图2所示，在矩形中，折叠矩形，使点，重合，折痕为，点的对应点为，当时，求证：四边形为“斜腰等底直角梯形”；
（3）如图3所示，在中，，，，若以，为边画四边形，当四边形是“斜腰等底直角梯形”时，直接写出的长．
23．（2025·河源模拟）如图所示，已知二次函数图象与直线相交于点，直线交轴于，点为抛物线上一点，将点绕着原点逆时针旋转得到对应点，连接．
（1）求抛物线和直线的函数解析式．
（2）当点坐标为时，求证：点，，三点在同一直线上．
（3）当有一顶点在直线上时，
①求长；
②在①的条件下，当点在第四象限时，在上取点，在上取点，使，连接，，求的最小值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】算术平方根的概念与表示；求算术平方根
【解析】【解答】解：，
故答案为：A．
【分析】
根据算术平方根的定义： 若一个非负数x的平方等于a，即（a），那么这个数x就叫做a的算术平方根，求解即可解答．
2．【答案】C
【知识点】点的坐标；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点A的坐标是，
∴点A关于原点对称的点的坐标是．
故答案为：C．
【分析】
根据点的坐标关于原点对称的特点“横、纵坐标互为相反数”即可解答．
3．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：，
解得：，
在数轴上表示为：
故答案为：C.
【分析】
首先解不等式得，再把不等式的解集表示在数轴上即可解答．
4．【答案】A
【知识点】点的坐标；沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：将点向右平移2个单位长度，
得到的点的坐标是，
即：，
故答案为：A．
【分析】
根据平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，把点的横坐标加2，纵坐标不变即可得到对应点的坐标，解答即可．
5．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；反比例函数的一点一垂线型
【解析】【解答】解：的面积为3，
，
，
，
图象经过一、三象限，
，
，
故答案为：C．
【分析】
根据反比例函数中的几何意义：由的面积为3，可得，再结合图象经过一、三象限，从而可确定的值，解答即可．
6．【答案】B
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过D点作于E点，如图，
∵平分，，，
∴，
∴的面积．
故答案为：B．
【分析】
根据角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等；过D点作于E点，如图，即可根据角平分线的性质得到，然后根据三角形面积公式求解即可解答．
7．【答案】D
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵春季里有节气6个，
∴从二十四个节气中任选一个节气，这个节气在春季的概率是，
故答案为：D．
【分析】
根据随机事件A的概率事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．再由春季里有节气6个，由概率公式求解即可解答．
8．【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；用关系式表示变量间的关系；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：设y与x之间的关系式为（k、b为常数，且），
将，和，分别代入，
得，
解得，
∴y与x之间的关系式为．
故答案为：B．
【分析】
根据利用待定系数法：设y与x之间的关系式为（k、b为常数，且）再把，和，代入计算即可解答 ．
9．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；等圆、等弧的概念
【解析】【解答】解：A、∵，
∴，
∴，故A不符合题意；
B、如图：在圆上取一点D，连接，则，
∴，
∴，故B不符合题意；
C、∵
∴，
∵，即，
∴，故C不符合题；
D、∵，
∴
∵，OB=OA，
∴，
∴，故D符合题意，
故答案为：D.
【分析】
（1）由已知条件得到，再利用角的和差运算得，可判定A；如图：在圆上取一点D，连接，则根据圆周角定理可得，由圆的内接四边形的性质可得，进而求得，即可判断B；由同弧所对的圆周角相等可得，再结合，可判断C；由等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理可得，再结合即可判断D；逐一判断即可解答．
10．【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意可列出方程组．
故答案为：B．
【分析】
根据“3个人坐一辆车，有2辆车是空的；2个人坐一辆车，有9个人需要步行”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，解答即可．
11．【答案】3
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：
故答案为：3．
【分析】
根据代数式求值：先把所求的代数式根据已知条件进行变形，再代入求值即可解答．
12．【答案】0（答案不唯一，即可）
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；解一元一次不等式；根据一元二次根的根的情况求参数
【解析】【解答】解：根据题意得，解得：．
所以当m取0时，方程有两个不相等的实数根．
故答案为：0．
【分析】先根据判别式的意义得到，解不等式得到m的范围，然后在此范围内取一个值即可解答．
13．【答案】
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵圆锥底面半径是2，
∴圆锥的底面周长=4π，
S圆锥侧面展开图=．
故答案为：．
【分析】
根据圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长，由扇形面积公式，计算即可解答．
14．【答案】16
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】
解：如图：
∵，，是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：16．
【分析】根据等边三角形的性质利用AA证明，再根据角直角三角形的性质得到，再由相似三角形面积比等于相似比的平方即可求解．
15．【答案】80
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；已知正弦值求边长
【解析】【解答】解：∵，
∴，
当时，
，
在中，
∵，，
∴．
故答案为：80．
【分析】
先根据折射率定义得到，表示出，再由时，求出特殊角的函数值求出的值，再利用直角三角形的边角间关系即可解答．
16．【答案】解：原式．
当，时，
原式．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；整式的混合运算；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】
先利用完全平方公式以及平方差公式将原式展开，合并后得到 ，再将与的值代入计算即可解答．
17．【答案】（1）解：如图所示，的垂线即为所求．
（2）证明：由题意，得是等腰直角三角形，．
点是的中点，
，，
．
．
．
，
．
．
．
在和中，
．
．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；尺规作图-垂线；三角形全等的判定-ASA；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据尺规基本作图—作垂线作出的垂线即可；
（2）先根据等腰直角三角形的性质得，，再由同角的余角相等得到即可由ASA证明，解答即可．
（1）解：如图所示，的垂线即为所求．
（2）证明：由题意，得是等腰直角三角形，．
点是的中点，
．，
．
．
．
，
．
．
．
在和中，
．
．
18．【答案】解：设平均速度是，
由题意，得，
解得，
经检验，是原方程的解．
答：平均车速约为．
【知识点】解分式方程；分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】先设平均车速是，根据若经过虎门大桥，路程约为100公里；若经过深中通道，路程约为54公里，且比经过虎门大桥用时少36分钟；列出分式方程，解方程再检验即可解答．
19．【答案】（1）90；④
（2）解：．
（3）解：本次科技节活动师生满意度评定等级为“满意”．
理由如下：平均数反映了一组数据的“平均水平”．由师生评分数据可知，学生评分平均数为分，教师评分平均数为分，均高于85分．中位数反映了一组数据的“中等水平”．由师生评分数据可知，学生评分中位数位于第“”组，教师评分中位数为89分，均高于85分．众数反映了一组数据的“明显集中趋势”．由师生评分数据可知，学生评分众数为89分，教师评分众数为90分，均高于85分．因此，本次科技节活动师生满意度评定等级为“满意”．
【知识点】频数（率）分布直方图；平均数及其计算；加权平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】解：（1）∵15名教师所评分数为：
78，82，84，86，86，88，89，89，90，90，90，91，92，95，96．
∴众数；
∵100名学生所评分数排序后中位数为第50个，51个数据的平均数，
而，
∴的值位于学生评分数据分组的第④组；
故答案为：90，④.
【分析】
（）根据众数得定义：出现次数最多的数可得的值为，中位数的定义有15个数中位数就是排序后位于中间的那个数即可解答；
（）结合频数分布直方图，根据平均数的定义即可求解；
（）根据平均数的意义分析即可得出结论．
（1）解：∵15名教师所评分数为：
78，82，84，86，86，88，89，89，90，90，90，91，92，95，96．
∴众数；
∵100名学生所评分数排序后中位数为第50个，51个数据的平均数，
而，
∴的值位于学生评分数据分组的第④组；
（2）解：．
（3）解：本次科技节活动师生满意度评定等级为“满意”．
理由如下：平均数反映了一组数据的“平均水平”．由师生评分数据可知，学生评分平均数为分，教师评分平均数为分，均高于85分．中位数反映了一组数据的“中等水平”．由师生评分数据可知，学生评分中位数位于第“”组，教师评分中位数为89分，均高于85分．众数反映了一组数据的“明显集中趋势”．由师生评分数据可知，学生评分众数为89分，教师评分众数为90分，均高于85分．因此，本次科技节活动师生满意度评定等级为“满意”．
20．【答案】（1）证明：连接，
，
．
是半圆的切线，
．
．
，
．
．
．
．
．
平分．
（2）解：在中，，
．
设，则．
．
．
解得，
．则．
，
．
在中，，
．
．
如图所示，连接，
为直径，
．
．
．
．
，即，
．
．
【知识点】圆周角定理；切线的性质；解直角三角形；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）连接，由OA=OC得出，然后由切线的性质得到，然后证明出，即可求解；
（2）根据正弦的定义得到，设，则，勾股定理求出，然后在中，解直角三角形求出，由直径所对的圆周角为直角可得于是得到进而判断即可证明出，得到，然后代值求解即可解答．
（1）证明：连接，
，
．
是半圆的切线，
．
．
，
．
．
．
．
．
平分．
（2）解：在中，，
．
设，则．
．
．
解得，
．则．
，
．
在中，，
．
．
如图所示，连接，
为直径，
．
．
．
．
，即，
．
．
21．【答案】解：任务1：
任务2：设与的函数关系式为．
当时，；当时，．
代入数据，得，
解得
长度与托盘物体质量的函数关系式为．
任务3：由题意，得该杆秤上的长度最大为．
由任务2得，令，得
，
解得．
答：该杆秤称量重物的最大量程为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：任务1：定盘星和提纽的距离是，
故答案为：．
【分析】
任务1：根据杆秤在不挂重物而保持平衡时长度即为定盘星和提纽的距离，解答即可；
任务2：设长度与物体质量的函数关系式为，把和代入解方程组得到长度与物体质量的函数关系式为，解答即可；
任务3：根据杠杆原理列方程，计算即可解答．
22．【答案】（1）证明：，
，
，
，
，
平分；
（2）证明：在矩形中，，，
由折叠知，，，，
，，，
且与不平行，
四边形为直角梯形，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
四边形为“斜腰等底直角梯形”；
（3）的长为或或或
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【解答】解：（3） 分以下四种情况：
①如答1图所示，作的垂直平分线，交于点，过点作的平行线，交于点，
则，，
直角梯形为“斜腰等底直角梯形”，
在中，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
②如答2图所示，过点作直线，以点为圆心，长为半径画弧，交直线于点，
则，，
直角梯形为“斜腰等底直角梯形”，
过点作，垂足为点，则四边形为矩形，
在中，，，
，
；
③如答3图所示，过点作直线，以点为圆心，长为半径画弧，交直线于点，
则，，
直角梯形为“斜腰等底直角梯形”，
过点作，垂足为点，则四边形为矩形，
在中，，，
，
；
④如答4图所示，作的垂直平分线，交于点，过点作的平行线，交于点，
则，，
直角梯形为“斜腰等底直角梯形”，
过点作，垂足为点，则四边形为矩形，
，，
设，则，
在中，，，，，
，
，
解得，
．
综上所述：的长为或或或．
【分析】
（1）根据得出，根据得出，从而，即可解答；
（2）先根据矩形和折叠的性质证明得到四边形为直角梯形，再由角度的计算得到，即可由ASA证明得，进而可得为等边三角形，可得，解答即可；
（3）分四种情形：①如答1图所示，作的垂直平分线，交于点，过点作的平行线，交于点，由勾股定理求出，，再由推出即，可得，再由勾股定理可求；②如答2图所示，过点作直线，以点为圆心，长为半径画弧，交直线于点，由勾股定理求出，再由可求；③如答3图所示，过点作直线，以点为圆心，长为半径画弧，交直线于点，由勾股定理求出，再由可求；④如答4图所示，作的垂直平分线，交于点，过点作的平行线，交于点，过点作，垂足为点，则四边形为矩形，设，则，在中，由勾股定理得，即，解方程即可求出．
（1）证明：，
，
，
，
，
平分；
（2）证明：在矩形中，，，
由折叠知，，，，
，，，
且与不平行，
四边形为直角梯形，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
四边形为“斜腰等底直角梯形”；
（3）解： 分以下四种情况：
①如答1图所示，作的垂直平分线，交于点，过点作的平行线，交于点，
则，，
直角梯形为“斜腰等底直角梯形”，
在中，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
②如答2图所示，过点作直线，以点为圆心，长为半径画弧，交直线于点，
则，，
直角梯形为“斜腰等底直角梯形”，
过点作，垂足为点，则四边形为矩形，
在中，，，
，
；
③如答3图所示，过点作直线，以点为圆心，长为半径画弧，交直线于点，
则，，
直角梯形为“斜腰等底直角梯形”，
过点作，垂足为点，则四边形为矩形，
在中，，，
，
；
④如答4图所示，作的垂直平分线，交于点，过点作的平行线，交于点，
则，，
直角梯形为“斜腰等底直角梯形”，
过点作，垂足为点，则四边形为矩形，
，，
设，则，
在中，，，，，
，
，
解得，
．
综上所述：的长为或或或．
23．【答案】（1）解：把代入中，
得，
解得．
抛物线的函数解析式为．
把代入中，得，
解得．
直线的函数解析式为．
（2）证明：对于直线，令，得，．
过作轴于，过作轴于，
∴，
∴，
∵，
∴，而，
∴，，
∴，
设直线的解析式为．
代入，，得，
解得，
直线的解析式为．
当时，，
点在直线上．
，，三点在同一直线上．
（3）解：①联立，解得或，
直线和抛物线的交点为，．
（ⅰ）当点在直线上时，
当时，，此时，都在直线上，舍去，
如图，当时，
同理可得：，
∴，，
∴，
此时，
（ⅱ）如图，当点在直线上时，设，同理可得：．
由题意，得，
解得：或（舍去）
，，
∴，
综上所述，的长为或．
②当点在第四象限时，如图，，，，．
由题意，得，，．
在外部，作，且，
连接，
得，
∵，
，
，
，
当满足条件的点落在线段上时，取得最小值，
此时．
的最小值为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；两点之间线段最短；三角形全等及其性质；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【分析】（1）把代入与，计算即可解答；
（2）令，得得到，过作轴于，过作轴于，利用AAS证明，可得，，从而得到，设直线的解析式为．代入，可求得，解答即可；
（3）①联立求解直线和抛物线的交点为，．（ⅰ）当点在直线上时，当时，，此时，都在直线上，舍去；当时，可得，进一步利用勾股定理求解即可；（ⅱ）如图，当点在直线上时，设，同理可得：，，，进一步利用勾股定理求解即可；
②当点在第四象限时，如图，，，，．在外部，作，且，连接，证明，可得，当满足条件的点落在线段上时，取得最小值，解答即可．
（1）解：把代入中，
得，
解得．
抛物线的函数解析式为．
把代入中，得，
解得．
直线的函数解析式为．
（2）证明：对于直线，令，得，
．
过作轴于，过作轴于，
∴，
∴，
∵，
∴，而，
∴，，
∴，
设直线的解析式为．
代入，，得，
解得，
直线的解析式为．
当时，，
点在直线上．
，，三点在同一直线上．
（3）解：①联立，
解得或，
直线和抛物线的交点为，．
（ⅰ）当点在直线上时，
当时，，此时，都在直线上，舍去，
如图，当时，
同理可得：，
∴，，
∴，
此时，
（ⅱ）如图，当点在直线上时，设，同理可得：．
由题意，得，
解得：或（舍去）
，，
∴，
综上所述，的长为或．
②当点在第四象限时，如图，，，，．
由题意，得，，．
在外部，作，且，
连接，
得，
∵，
，
，
，
当满足条件的点落在线段上时，取得最小值，
此时．
的最小值为．
1 / 1广东省河源市2025年初中学业水平检测二轮数学模拟试卷（5月)
1．（2025·河源模拟）的值是（　　）
A．2 B． C．4 D．
【答案】A
【知识点】算术平方根的概念与表示；求算术平方根
【解析】【解答】解：，
故答案为：A．
【分析】
根据算术平方根的定义： 若一个非负数x的平方等于a，即（a），那么这个数x就叫做a的算术平方根，求解即可解答．
2．（2025·河源模拟）在平面直角坐标系中，点的坐标是，则点关于原点对称的点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】点的坐标；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点A的坐标是，
∴点A关于原点对称的点的坐标是．
故答案为：C．
【分析】
根据点的坐标关于原点对称的特点“横、纵坐标互为相反数”即可解答．
3．（2025·河源模拟）不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：，
解得：，
在数轴上表示为：
故答案为：C.
【分析】
首先解不等式得，再把不等式的解集表示在数轴上即可解答．
4．（2025·河源模拟）将点A（2，-1）向右平移2个单位得到A'，则A'的坐标为（　　）
A．（4， -1） B．（2，1） C．（2，-3） D．（0，-1）
【答案】A
【知识点】点的坐标；沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：将点向右平移2个单位长度，
得到的点的坐标是，
即：，
故答案为：A．
【分析】
根据平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，把点的横坐标加2，纵坐标不变即可得到对应点的坐标，解答即可．
5．（2025·河源模拟）如图，点在反比例函数图象上，轴于点，若的面积等于3，则的值是（　　）
A．3 B． C．6 D．
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；反比例函数的一点一垂线型
【解析】【解答】解：的面积为3，
，
，
，
图象经过一、三象限，
，
，
故答案为：C．
【分析】
根据反比例函数中的几何意义：由的面积为3，可得，再结合图象经过一、三象限，从而可确定的值，解答即可．
6．（2025·河源模拟）如图，在中，，平分，，，则的面积是（　　）
A．10 B．5 C．3 D．2
【答案】B
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过D点作于E点，如图，
∵平分，，，
∴，
∴的面积．
故答案为：B．
【分析】
根据角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等；过D点作于E点，如图，即可根据角平分线的性质得到，然后根据三角形面积公式求解即可解答．
7．（2025·河源模拟）二十四节气是中国古人订立的一种用来指导农事的补充历法，是中华民族劳动人民长期经验积累的成果和智慧的结晶．春、夏、秋、冬四季各有二十四节气中的6个．从二十四个节气中任选一个节气，这个节气在春季的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵春季里有节气6个，
∴从二十四个节气中任选一个节气，这个节气在春季的概率是，
故答案为：D．
【分析】
根据随机事件A的概率事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．再由春季里有节气6个，由概率公式求解即可解答．
8．（2025·河源模拟）生菜是一种常见的蔬菜，其生长过程分为发芽期、幼苗期、莲座期、结球期四个时期，小明记录劳动种植园的生菜生长过程，发现其中一株生菜的高近似是生长时间天的一次函数，部分数据如8表所示，则与之间的关系式为（　　）
生长时间/天 30 35
高度 10 15
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；用关系式表示变量间的关系；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：设y与x之间的关系式为（k、b为常数，且），
将，和，分别代入，
得，
解得，
∴y与x之间的关系式为．
故答案为：B．
【分析】
根据利用待定系数法：设y与x之间的关系式为（k、b为常数，且）再把，和，代入计算即可解答 ．
9．（2025·河源模拟）如图，，，为的弦，连接，，，若，则下面结论不正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；等圆、等弧的概念
【解析】【解答】解：A、∵，
∴，
∴，故A不符合题意；
B、如图：在圆上取一点D，连接，则，
∴，
∴，故B不符合题意；
C、∵
∴，
∵，即，
∴，故C不符合题；
D、∵，
∴
∵，OB=OA，
∴，
∴，故D符合题意，
故答案为：D.
【分析】
（1）由已知条件得到，再利用角的和差运算得，可判定A；如图：在圆上取一点D，连接，则根据圆周角定理可得，由圆的内接四边形的性质可得，进而求得，即可判断B；由同弧所对的圆周角相等可得，再结合，可判断C；由等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理可得，再结合即可判断D；逐一判断即可解答．
10．（2025·河源模拟）《孙子算经》是我国古代数学经典著作，书中记载了这样一道题目：今有三人共车，二车空：二人共车、九人步、人与车各几何？其意思是：今有3个人坐一辆车，有2辆车是空的；2个人坐一辆车，有9个人需要步行．人与车各多少？若设有人，车辆，则可列方程组是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意可列出方程组．
故答案为：B．
【分析】
根据“3个人坐一辆车，有2辆车是空的；2个人坐一辆车，有9个人需要步行”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，解答即可．
11．（2025·河源模拟）已知，则　 　．
【答案】3
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：
故答案为：3．
【分析】
根据代数式求值：先把所求的代数式根据已知条件进行变形，再代入求值即可解答．
12．（2025·河源模拟）若关于的一元二次方程总有两个不相等的实数根，请写出一个满足条件的的值　 　．（写出一个即可）
【答案】0（答案不唯一，即可）
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；解一元一次不等式；根据一元二次根的根的情况求参数
【解析】【解答】解：根据题意得，解得：．
所以当m取0时，方程有两个不相等的实数根．
故答案为：0．
【分析】先根据判别式的意义得到，解不等式得到m的范围，然后在此范围内取一个值即可解答．
13．（2025·河源模拟）已知圆锥底面半径为2，母线长为5，则此圆锥侧面展开图的面积是　 　．
【答案】
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵圆锥底面半径是2，
∴圆锥的底面周长=4π，
S圆锥侧面展开图=．
故答案为：．
【分析】
根据圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长，由扇形面积公式，计算即可解答．
14．（2025·河源模拟）如图，，，是等边三角形，点，，，在同一直线上，点，，在同一直线上，．若，则　 　．
【答案】16
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】
解：如图：
∵，，是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：16．
【分析】根据等边三角形的性质利用AA证明，再根据角直角三角形的性质得到，再由相似三角形面积比等于相似比的平方即可求解．
15．（2025·河源模拟）在物理实验课上，教师指导学生进行一次光的折射实验，如图所示．光线在水面点处，经折射后到盆底点处，法线与盆底交于点．光线的入射角为，折射角为．若规定“”为折射率，则光在水中的折射率约为．当时，测得，则的长为　 　．
【答案】80
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；已知正弦值求边长
【解析】【解答】解：∵，
∴，
当时，
，
在中，
∵，，
∴．
故答案为：80．
【分析】
先根据折射率定义得到，表示出，再由时，求出特殊角的函数值求出的值，再利用直角三角形的边角间关系即可解答．
16．（2025·河源模拟）先化简，再求值：，其中，．
【答案】解：原式．
当，时，
原式．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；整式的混合运算；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】
先利用完全平方公式以及平方差公式将原式展开，合并后得到 ，再将与的值代入计算即可解答．
17．（2025·河源模拟）如图所示，为等腰直角三角形，，点是的中点，点是上一点．
（1）尺规作图：用无刻度的直尺和圆规，过点作的垂线，交于点（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，求证：．
【答案】（1）解：如图所示，的垂线即为所求．
（2）证明：由题意，得是等腰直角三角形，．
点是的中点，
，，
．
．
．
，
．
．
．
在和中，
．
．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；尺规作图-垂线；三角形全等的判定-ASA；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据尺规基本作图—作垂线作出的垂线即可；
（2）先根据等腰直角三角形的性质得，，再由同角的余角相等得到即可由ASA证明，解答即可．
（1）解：如图所示，的垂线即为所求．
（2）证明：由题意，得是等腰直角三角形，．
点是的中点，
．，
．
．
．
，
．
．
．
在和中，
．
．
18．（2025·河源模拟）邓先生驾车从深圳宝安国际机场返回中山市博览中心．导航显示，若经过虎门大桥路程约为100公里；若经过深中通道，路程约为54公里，且比经过虎门大桥用时少36分钟．若邓先生驾车的平均车速不变，则平均车速是多少？（结果保留小数点后一位）
【答案】解：设平均速度是，
由题意，得，
解得，
经检验，是原方程的解．
答：平均车速约为．
【知识点】解分式方程；分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】先设平均车速是，根据若经过虎门大桥，路程约为100公里；若经过深中通道，路程约为54公里，且比经过虎门大桥用时少36分钟；列出分式方程，解方程再检验即可解答．
19．（2025·河源模拟）为优化校园科技节活动设计，提升师生参与体验，某校在“智创未来”科技节结束后，随机抽取100名学生和15名教师对科技节活动进行满意度评分（满分100分）．并将收集到的评分数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a.100名学生所评分数的频数分布直方图如图所示．数据分成4组：
①，②，③，④．
b.15名教师所评分数为：
78，82，84，86，86，88，89，89，90，90，90，91，92，95，96．
c.100名学生和15名教师对科技节活动满意度分数的平均数、中位数、众数如表所示．
分类 平均数 中位数 众数
学生评分 89
教师评分 89
根据以上信息，回答下列问题：
（1）的值为　 　，的值位于学生评分数据分组的第　 　组．
（2）通过计算，求表中的值．
（3）根据相关规定，满意度评定结果可划分为三个等级：低于70分为“不满意”，70分至85分为“一般”，高于85分为“满意”．根据上述师生评分，试判断本次科技节活动师生满意度评定等级，并说明你的理由．
【答案】（1）90；④
（2）解：．
（3）解：本次科技节活动师生满意度评定等级为“满意”．
理由如下：平均数反映了一组数据的“平均水平”．由师生评分数据可知，学生评分平均数为分，教师评分平均数为分，均高于85分．中位数反映了一组数据的“中等水平”．由师生评分数据可知，学生评分中位数位于第“”组，教师评分中位数为89分，均高于85分．众数反映了一组数据的“明显集中趋势”．由师生评分数据可知，学生评分众数为89分，教师评分众数为90分，均高于85分．因此，本次科技节活动师生满意度评定等级为“满意”．
【知识点】频数（率）分布直方图；平均数及其计算；加权平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】解：（1）∵15名教师所评分数为：
78，82，84，86，86，88，89，89，90，90，90，91，92，95，96．
∴众数；
∵100名学生所评分数排序后中位数为第50个，51个数据的平均数，
而，
∴的值位于学生评分数据分组的第④组；
故答案为：90，④.
【分析】
（）根据众数得定义：出现次数最多的数可得的值为，中位数的定义有15个数中位数就是排序后位于中间的那个数即可解答；
（）结合频数分布直方图，根据平均数的定义即可求解；
（）根据平均数的意义分析即可得出结论．
（1）解：∵15名教师所评分数为：
78，82，84，86，86，88，89，89，90，90，90，91，92，95，96．
∴众数；
∵100名学生所评分数排序后中位数为第50个，51个数据的平均数，
而，
∴的值位于学生评分数据分组的第④组；
（2）解：．
（3）解：本次科技节活动师生满意度评定等级为“满意”．
理由如下：平均数反映了一组数据的“平均水平”．由师生评分数据可知，学生评分平均数为分，教师评分平均数为分，均高于85分．中位数反映了一组数据的“中等水平”．由师生评分数据可知，学生评分中位数位于第“”组，教师评分中位数为89分，均高于85分．众数反映了一组数据的“明显集中趋势”．由师生评分数据可知，学生评分众数为89分，教师评分众数为90分，均高于85分．因此，本次科技节活动师生满意度评定等级为“满意”．
20．（2025·河源模拟）如图，是半圆的直径，点是半圆上的一点，过点作半圆的切线交延长线于点，过点作于点，交半圆于点．
（1）求证：平分；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：连接，
，
．
是半圆的切线，
．
．
，
．
．
．
．
．
平分．
（2）解：在中，，
．
设，则．
．
．
解得，
．则．
，
．
在中，，
．
．
如图所示，连接，
为直径，
．
．
．
．
，即，
．
．
【知识点】圆周角定理；切线的性质；解直角三角形；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）连接，由OA=OC得出，然后由切线的性质得到，然后证明出，即可求解；
（2）根据正弦的定义得到，设，则，勾股定理求出，然后在中，解直角三角形求出，由直径所对的圆周角为直角可得于是得到进而判断即可证明出，得到，然后代值求解即可解答．
（1）证明：连接，
，
．
是半圆的切线，
．
．
，
．
．
．
．
．
平分．
（2）解：在中，，
．
设，则．
．
．
解得，
．则．
，
．
在中，，
．
．
如图所示，连接，
为直径，
．
．
．
．
，即，
．
．
21．（2025·河源模拟）综合与实践
【问题背景】杆秤是我国古代传统的度量衡三大件之一，在学习了杆秤相关知识之后，小红学习小组想利用一根木棒制作一个简易杆秤．
【制作实验】
（1）如图所示，在木棒上先确定点为杆秤提组，点A处挂托盘，选取的托盘质量，秤砣质量，测得．
（2）先在托盘里加相应质量的物体，调整秤砣位置，使杆秤保持平衡，记录的长度，获得的实验数据如表所示：
物体质量 0 1 2 3 4
长度 1.5 4.5 7.5 10.5 13.5
任务1：杆秤在不挂重物而保持平衡时，其点所处的位置，称为定盘星．由表可知，定盘星和提纽的距离是 ▲ ．
【建立模型】
任务2：小组讨论认为长度与物体质量的关系可以用一次函数来刻画．请求出长度与物体质量的函数关系式．
【结论应用】
任务3：经测量，发现该木棒在提纽挂秤砣一侧的长度为，根据要求，制作杆秤刻度时需在杆头和杆尾各预留长的部分用作杆秤美化，求该杆秤称量重物的最大量程．
【答案】解：任务1：
任务2：设与的函数关系式为．
当时，；当时，．
代入数据，得，
解得
长度与托盘物体质量的函数关系式为．
任务3：由题意，得该杆秤上的长度最大为．
由任务2得，令，得
，
解得．
答：该杆秤称量重物的最大量程为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：任务1：定盘星和提纽的距离是，
故答案为：．
【分析】
任务1：根据杆秤在不挂重物而保持平衡时长度即为定盘星和提纽的距离，解答即可；
任务2：设长度与物体质量的函数关系式为，把和代入解方程组得到长度与物体质量的函数关系式为，解答即可；
任务3：根据杠杆原理列方程，计算即可解答．
22．（2025·河源模拟）定义：在直角梯形中，若斜腰与梯形的一条底边相等，则此直角梯形被称为“斜腰等底直角梯形”．
（1）如图1所示，直角梯形为“斜腰等底直角梯形”，，，，连接，求证：平分；
（2）如图2所示，在矩形中，折叠矩形，使点，重合，折痕为，点的对应点为，当时，求证：四边形为“斜腰等底直角梯形”；
（3）如图3所示，在中，，，，若以，为边画四边形，当四边形是“斜腰等底直角梯形”时，直接写出的长．
【答案】（1）证明：，
，
，
，
，
平分；
（2）证明：在矩形中，，，
由折叠知，，，，
，，，
且与不平行，
四边形为直角梯形，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
四边形为“斜腰等底直角梯形”；
（3）的长为或或或
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【解答】解：（3） 分以下四种情况：
①如答1图所示，作的垂直平分线，交于点，过点作的平行线，交于点，
则，，
直角梯形为“斜腰等底直角梯形”，
在中，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
②如答2图所示，过点作直线，以点为圆心，长为半径画弧，交直线于点，
则，，
直角梯形为“斜腰等底直角梯形”，
过点作，垂足为点，则四边形为矩形，
在中，，，
，
；
③如答3图所示，过点作直线，以点为圆心，长为半径画弧，交直线于点，
则，，
直角梯形为“斜腰等底直角梯形”，
过点作，垂足为点，则四边形为矩形，
在中，，，
，
；
④如答4图所示，作的垂直平分线，交于点，过点作的平行线，交于点，
则，，
直角梯形为“斜腰等底直角梯形”，
过点作，垂足为点，则四边形为矩形，
，，
设，则，
在中，，，，，
，
，
解得，
．
综上所述：的长为或或或．
【分析】
（1）根据得出，根据得出，从而，即可解答；
（2）先根据矩形和折叠的性质证明得到四边形为直角梯形，再由角度的计算得到，即可由ASA证明得，进而可得为等边三角形，可得，解答即可；
（3）分四种情形：①如答1图所示，作的垂直平分线，交于点，过点作的平行线，交于点，由勾股定理求出，，再由推出即，可得，再由勾股定理可求；②如答2图所示，过点作直线，以点为圆心，长为半径画弧，交直线于点，由勾股定理求出，再由可求；③如答3图所示，过点作直线，以点为圆心，长为半径画弧，交直线于点，由勾股定理求出，再由可求；④如答4图所示，作的垂直平分线，交于点，过点作的平行线，交于点，过点作，垂足为点，则四边形为矩形，设，则，在中，由勾股定理得，即，解方程即可求出．
（1）证明：，
，
，
，
，
平分；
（2）证明：在矩形中，，，
由折叠知，，，，
，，，
且与不平行，
四边形为直角梯形，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
四边形为“斜腰等底直角梯形”；
（3）解： 分以下四种情况：
①如答1图所示，作的垂直平分线，交于点，过点作的平行线，交于点，
则，，
直角梯形为“斜腰等底直角梯形”，
在中，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
②如答2图所示，过点作直线，以点为圆心，长为半径画弧，交直线于点，
则，，
直角梯形为“斜腰等底直角梯形”，
过点作，垂足为点，则四边形为矩形，
在中，，，
，
；
③如答3图所示，过点作直线，以点为圆心，长为半径画弧，交直线于点，
则，，
直角梯形为“斜腰等底直角梯形”，
过点作，垂足为点，则四边形为矩形，
在中，，，
，
；
④如答4图所示，作的垂直平分线，交于点，过点作的平行线，交于点，
则，，
直角梯形为“斜腰等底直角梯形”，
过点作，垂足为点，则四边形为矩形，
，，
设，则，
在中，，，，，
，
，
解得，
．
综上所述：的长为或或或．
23．（2025·河源模拟）如图所示，已知二次函数图象与直线相交于点，直线交轴于，点为抛物线上一点，将点绕着原点逆时针旋转得到对应点，连接．
（1）求抛物线和直线的函数解析式．
（2）当点坐标为时，求证：点，，三点在同一直线上．
（3）当有一顶点在直线上时，
①求长；
②在①的条件下，当点在第四象限时，在上取点，在上取点，使，连接，，求的最小值．
【答案】（1）解：把代入中，
得，
解得．
抛物线的函数解析式为．
把代入中，得，
解得．
直线的函数解析式为．
（2）证明：对于直线，令，得，．
过作轴于，过作轴于，
∴，
∴，
∵，
∴，而，
∴，，
∴，
设直线的解析式为．
代入，，得，
解得，
直线的解析式为．
当时，，
点在直线上．
，，三点在同一直线上．
（3）解：①联立，解得或，
直线和抛物线的交点为，．
（ⅰ）当点在直线上时，
当时，，此时，都在直线上，舍去，
如图，当时，
同理可得：，
∴，，
∴，
此时，
（ⅱ）如图，当点在直线上时，设，同理可得：．
由题意，得，
解得：或（舍去）
，，
∴，
综上所述，的长为或．
②当点在第四象限时，如图，，，，．
由题意，得，，．
在外部，作，且，
连接，
得，
∵，
，
，
，
当满足条件的点落在线段上时，取得最小值，
此时．
的最小值为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；两点之间线段最短；三角形全等及其性质；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【分析】（1）把代入与，计算即可解答；
（2）令，得得到，过作轴于，过作轴于，利用AAS证明，可得，，从而得到，设直线的解析式为．代入，可求得，解答即可；
（3）①联立求解直线和抛物线的交点为，．（ⅰ）当点在直线上时，当时，，此时，都在直线上，舍去；当时，可得，进一步利用勾股定理求解即可；（ⅱ）如图，当点在直线上时，设，同理可得：，，，进一步利用勾股定理求解即可；
②当点在第四象限时，如图，，，，．在外部，作，且，连接，证明，可得，当满足条件的点落在线段上时，取得最小值，解答即可．
（1）解：把代入中，
得，
解得．
抛物线的函数解析式为．
把代入中，得，
解得．
直线的函数解析式为．
（2）证明：对于直线，令，得，
．
过作轴于，过作轴于，
∴，
∴，
∵，
∴，而，
∴，，
∴，
设直线的解析式为．
代入，，得，
解得，
直线的解析式为．
当时，，
点在直线上．
，，三点在同一直线上．
（3）解：①联立，
解得或，
直线和抛物线的交点为，．
（ⅰ）当点在直线上时，
当时，，此时，都在直线上，舍去，
如图，当时，
同理可得：，
∴，，
∴，
此时，
（ⅱ）如图，当点在直线上时，设，同理可得：．
由题意，得，
解得：或（舍去）
，，
∴，
综上所述，的长为或．
②当点在第四象限时，如图，，，，．
由题意，得，，．
在外部，作，且，
连接，
得，
∵，
，
，
，
当满足条件的点落在线段上时，取得最小值，
此时．
的最小值为．
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