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广东省肇庆市高要区2025年中考二模数学试题
1．（2025·高要模拟）的绝对值是（　　）
A． B．7 C． D．
【答案】B
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：B．
【分析】
根据有理数绝对值的性质：0和正数的绝对值是其本身，负数的绝对值是这个数的相反数，解答即可.
2．（2025·高要模拟）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、该选项图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故A不符合题意；
B、该选项图形既是中心对称图形，又是轴对称图形，故B符合题意；
C、该选项图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故C不符合题意；
D、该选项图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】
根据轴对称图形和中心对称图形的概念：中心对称图形的定义是在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；轴对称图形的定义平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；逐一判断即可解答.
3．（2025·高要模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；去括号法则及应用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，该选项错误，故A不符合题意；
B、，该选项正确，故B符合题意；
C、，该选项错误，故C不符合题意；
D、，该选项错误，故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】
利用合并同类项法则可知，可判断A；根据积的乘方法则，可判断B；根据去括号法则可知，可判断C；根据同底数幂的乘法法则，可判断D；逐一判断即可解答．
4．（2025·高要模拟）随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段分别为前叉、下管和立管（点在上），为后下叉．已知，，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角的运算；平行线的性质；内错角的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵， ，
，
∵
，
∵，
∴，
故答案为：C．
【分析】
根据平行线的性质可得，再利用角度的和差运算可得；再通过平行线的性质可得，解答即可．
5．（2025·高要模拟）年月日，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》在全球总票房约元．目前这一数据约是以上数据的倍，则目前《哪吒之魔童闹海》全球总票房用科学记数法表示约为（　　）
A．元 B．元
C．元 D．元
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】
根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，原数绝对值，是正整数；解答即可.
6．（2025·高要模拟）如图，把两个边长为2的小正方形分别沿对角线剪开，将四个直角三角形拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为（　　）
A． B．4 C． D．8
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；勾股定理；算术平方根的实际应用
【解析】【解答】解：根据正方形的性质和勾股定理可得，大正方形的边长为，
故答案为：C．
【分析】根据正方形的性质和勾股定理计算得，在化简即可解答．
7．（2025·高要模拟）如图，电路图有3只未闭合的开关，一个电源和一个小灯泡，已知电路图上的每个部分都能正常工作，任意闭合其中两只开关，使得小灯泡发光的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：将开关依次编号为，
画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中使得小灯泡能发光的结果有4种，
使得小灯泡能发光的概率为，
故答案为：C．
【分析】
先利用树状图法与列表法不重复不遗漏的列出所有可能的结果：共有6种等可能的结果，其中使得小灯泡发光的结果有4种，再根据公式概率所求情况数与总情况数之比，计算求解即可解答．
8．（2025·高要模拟）方程的解是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：去分母得：，
去括号得：，
移项并合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验，当时，，
所以原分式方程的解为，
故答案为：B．
【分析】
根据解分式方程的步骤：先去分母得，然后去括号，移项并合并计算可得，最后检验根，即可解答．
9．（2025·高要模拟）小明将三角形纸片按下列图示方式折叠，则纸片有一部分会重叠四层，将这部分图形完全展开，得到的平面图形一定是（　　）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．菱形 D．正方形
【答案】C
【知识点】菱形的判定；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠的性质可知：重叠四层的这部分图形（四边形）完全展开后，其各边的长均相等，
得到的平面图形一定是菱形，
故答案为：．
【分析】由折叠的性质可知，重叠四层的这部分图形（四边形）完全展开后，其各边的长均相等，根据四边都相等的四边形是菱形可求解．
10．（2025·高要模拟）一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．则不等式的解为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】点的坐标；待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数的性质；数形结合
【解析】【解答】解：直线经过点和，
可得：，
解得：，
为，
当时，，
一次函数与的交点坐标是，
由图象可知，一次函数的随增大而减小，
当时，．
故答案为：A．
【分析】
先利用待定系数法求出直线的解析式为，根据解析式可以求出当时，，由图象可知，一次函数的随增大而减小，所以当时，；解答即可．
11．（2025·高要模拟）数据17，15，16，17，15的中位数是　 　．
【答案】16
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：把这组数据按照从小到大的顺序排列为：15，15，16，17，17，处在最中间的是16，
∴中位数是16，
故答案为：16．
【分析】
根据求一组数据的中位数的方法：把一组数据按照一定的顺序排列，处在最中间的那个数据或最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，即可解答．
12．（2025·高要模拟）关于的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是　 　．
【答案】
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；数形结合
【解析】【解答】解：由数轴可得，两个不等式的解集分别为，，
∴不等式组的解集为，
故答案为：．
【分析】
观察数轴可得，两个不等式的解集分别为，，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集；解答即可．
13．（2025·高要模拟）计算： ＝　 　.
【答案】a-3
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：原式= .
故答案为：a-3.
【分析】利用同分母分式相减，分母不变，把分子相减，再将结果化成最简分式.
14．（2025·高要模拟）若点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是　 　．
【答案】
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：由二次函数，则它的对称轴为直线，开口向上，
则图象上的点离对称轴越远则的值越大，
∵，，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
根据二次函数图象性质先求出对称轴为直线；结合开口向上可知图象上的点离对称轴越远则的值越大；由此解答即可．
15．（2025·高要模拟）如图，正方形的边长为，将正方形绕点顺时针旋转得到正方形．连接，．当为直角三角形时，则线段的长度为　 　．
【答案】或或
【知识点】勾股定理；正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS；分类讨论
【解析】【解答】解：当为直角顶点时，与重合，如图，
此时；
当为直角顶点时，过作于，如图，
由旋转性质可得，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得；
当为直角顶点时，如图，
此时共线，
∴，
∴，
综上所述，的长为或或，
故答案为：或或．
【分析】
由为直角三角形时可分：当为直角顶点时，与重合 ，CE=1；当为直角顶点时过作于由旋转的性质可得， 即可根据AAS判定，结合全等的性质利用勾股定理计算可得；当为直角顶点时 此时共线， 利用勾股定理可得CE=；由此解答即可.
16．（2025·高要模拟）计算：
【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；化简含绝对值有理数；实数的混合运算（含开方）；求算术平方根
【解析】【分析】
先计算开立方得 ，再计算一个数的绝对值 ，计算零指数幂 ，由负整数指数幂得 ，最后计算加减即可解答．
17．（2025·高要模拟）垫球是排球队常规训练的重要项目之一．下列图表中的数据是甲、乙、丙三名队员每人10次垫球测试的成绩．测试规则为每次连续接球10个，每垫球到位1个记1分．
运动员丙测试成绩统计表
测试序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
成绩（分） 7 6 8 7 5 8 8 7
（1）若运动员丙测试成绩的平均数和众数都是7，则成绩表中的______，______；
（2）已知甲、乙、丙三名队员成绩的方差分别为，，，那么队员______发挥的稳定性最好；（填甲或乙或丙）
（3）如果教练需要推荐一名队员参加比赛，甲、乙、丙三名队员中，你认为推荐哪位队员更合适？请用你所学过的统计知识加以分析说明．
【答案】（1）7，7
（2）乙
（3）解：推荐乙队员更合适，理由如下：
，
通过平均数来看选择乙和丙，
又∵，，即，队员乙发挥的稳定性最好，
∴推荐乙队员更合适．
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；分析数据的波动程度；众数
【解析】【解答】解：（1）运动员丙测试成绩的平均数和众数都是7，则，
∴，
解得，
故答案为：7，7；
（2）
解：根据方差的意义，方差越小数据波动越小，发挥就越稳定，
∵
∴队员乙发挥的稳定性最好，
故答案为：乙；
【分析】
（1）根据众数的定义：出现次数最多的那个数可得；再通过平均数的公式计算可得由此即可解答；
（2）利用方差的意义：方差越小数据波动越小，发挥就越稳定，由此选择即可解答；
（3）首先平均数发现可选择乙和丙，再结合方差可知乙发挥的稳定性最好；由此即可解答．
（1）解：运动员丙测试成绩的平均数和众数都是7，则，
∴，
解得，
故答案为：7，7；
（2）解：根据方差的意义，方差越小数据波动越小，发挥就越稳定，
∵
∴队员乙发挥的稳定性最好，
故答案为：乙；
（3）解：推荐乙队员更合适，理由如下：
，
通过平均数来看选择乙和丙，
又∵，，即，队员乙发挥的稳定性最好，
∴推荐乙队员更合适．
18．（2025·高要模拟）如图，点E为平行四边形对角线BD上一点．
（1）用尺规作图法作点F为线段BD上的点．（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）连接CE，若经过A、C、E三点的圆也经过点F，求证：
【答案】（1）解：如图，为所求作的图形.
（2）证明：连接，
四边形是平行四边形，
，
，
又，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
经过三点的圆也经过点，
四边形是圆内接四边形，
，
，
.
【知识点】平行四边形的判定与性质；圆内接四边形的性质；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【分析】（1）按照角的作图方法作出 即可；
（2）连接，利用平行四边形的性质即可证得，进而可知，利用全等三角形的判定定理(ASA)证得，根据全等三角形的性质可得到，可得，证得四边形是平行四边形，证明四边形是圆内接四边形，进而可得，即可得到 ．
（1）解：如图，为所求作的图形.
（2）证明：连接，
四边形是平行四边形，
，
，
又，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
经过三点的圆也经过点，
四边形是圆内接四边形，
，
，
.
19．（2025·高要模拟）某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形为矩形，长3米，长1米，点D距地面为米．道闸打开的过程中，边固定，连杆，分别绕点A，D转动，且边始终与边平行．
（1）如图2，当道闸打开至时，边上一点P到地面的距离为米，求点P到的距离的长．
（2）一辆轿车过道闸，已知轿车宽米，高米．当道闸打开至时，轿车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：，）
【答案】（1）解：如图，过点作，垂足为，
由题意可知，，米，米，
在 中，，（米），
（米），
（米），
即点到的距离的长为2米；
（2）解：能，理由如下：
由题：当，米时，且，
则，
∵点D距地面为米
∴（米），
（米），
（米），
，
能通过．
【知识点】矩形的性质；解直角三角形的其他实际应用；等腰直角三角形；正切的概念
【解析】【分析】（1）在中，由，得到，进而求出即可解答；
（2）当，米时，利用正切得定义求出再与米比较即可解答．
（1）解：如图，过点作，垂足为，
由题意可知，，米，米，
在 中，，（米），
（米），
（米），
即点到的距离的长为2米；
（2）解：依题意，
当，米时，且，
则，
∵点D距地面为米
∴（米），
（米），
（米），
，
能通过．
20．（2025·高要模拟）【综合与实践】在《车轮为什么是圆的》课题学习中，小青将车轮设计成半径为2的正n多边形，在水平地面上模拟行驶．以为例，如图1，车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转），车轮中心的轨迹是，点C为中心轨迹最高点（即的中点），转动一次前后中心的连线是（水平线），如图2，d为点C到的距离（即的长）、当n取4，5，6时，车轮中心的轨迹分别如图3、图4、图5．
依此类推，当n取不同的值时，分别计算出d的值（结果精确到0.001）．具体数据如下表：
n 3 4 5 6 7 8 9 10 11
d 1.000 　 0.382 0.268 0.198 0.152 0.121 0.098 0.081
请你协助小青完成以下任务．
（1）求当时，d为何值？（参考数据：）
（2）根据表格数据，d随n的变化情况为　 　；当车轮设计成圆形时，　 　．这样车辆行驶平稳、没有颠簸感．所以，将车轮设计成圆形．
（3）若路面如图6形状，可看成由半径为2的一些等弧首尾连接而成，若长为，为确保车轮平稳滚动，则该车轮应设计成边数为几的正多边形？
【答案】（1）解：当时，
∵点C为的中点
∴
∵
∴，
∴为等腰直角三角形
在中，
∴
∴
∴
（2）d随n的增大而减小；0
（3）解：设对应的圆心角为
∵长为
∴
∴
∴，即该车轮应设计成边数为36的正多边形．
【知识点】弧长的计算；等腰直角三角形；正多边形的概念；正多边形的性质；用表格表示变量间的关系
【解析】【解答】
解：（2）根据表格数据，d随n的变化情况为d随n的增大而减小；当车轮设计成圆形时，．
故答案为：d随n的增大而减小；0；
【分析】
（1）先证明是等腰直角三角形，即可利用勾股定理求得，即可解答；
（2）根据表格数据解答即可；
（3）设对应的圆心角为，根据弧长公式建立方程，求出对应的圆心角的度数，再求正多边形的边数，解答即可．
（1）当时，
∵点C为的中点
∴
∵
∴，
∴为等腰直角三角形
在中，
∴
∴
∴
（2）根据表格数据，d随n的变化情况为d随n的增大而减小；当车轮设计成圆形时，．
故答案为：d随n的增大而减小；0；
（3）设对应的圆心角为
∵长为
∴
∴
∴，即该车轮应设计成边数为36的正多边形．
21．（2025·高要模拟）滚滚西江，浩浩荡荡至此．一座古老的村庄，一座饱经风雨的天主教堂，以及流传了多年的故事，让上清湾村充满了神秘色彩．为响应国家的美丽乡村十百千万工程建设，打造网红打卡点，推动乡村振兴，上清湾村计划打造特色旅游项目；现需要购买甲、乙两种树苗进行栽植．已知乙种树苗比甲种树苗每株贵元，且用元钱购买甲种树苗的株数与用元钱购买乙种树苗的株数刚好相等．
（1）求甲、乙两种树苗每株的价格；
（2）现上清湾村计划购买甲、乙两种树苗共株．调查统计发现，甲、乙两种树苗的成活率分别为和，要使这批树苗的成活率不低于，且使购买树苗的费用最低，应如何选购树苗？最低费用是多少？
【答案】（1）解：设甲种树苗每株的价格为元，则乙种树苗每株的价格为元，由题意得，，
解得：，
经检验：是原分式方程的解且符合题意，
∴乙种树苗每株的价格为元，
答：甲种树苗每株的价格为元，乙种树苗每株的价格为元；
（2）解：设购买甲种树苗株，则购买乙种树苗株，购买树苗的费用为元，由题意得：，
解得：，
根据题意得：，
∵，
∴随的增大而减小，
∴当时，最低，为（元），
答：购买甲种树苗株，乙种树苗株时费用最低，最低费用是元．
【知识点】解分式方程；一元一次不等式的应用；一次函数的性质；一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（）设甲种树苗每株的价格为元，则乙种树苗每株的价格为元，由题意得，然后解方程并检验即可解答；
（）设购买甲种树苗株，则购买乙种树苗株，购买树苗的费用为元，根据题意得，解出，再表示出费用，再根据一次函数的性质，即可求解．
（1）解：设甲种树苗每株的价格为元，则乙种树苗每株的价格为元，
由题意得，，
解得：，
经检验：是原分式方程的解且符合题意，
∴乙种树苗每株的价格为元，
答：甲种树苗每株的价格为元，乙种树苗每株的价格为元；
（2）解：设购买甲种树苗株，则购买乙种树苗株，购买树苗的费用为元，
由题意得：，
解得：，
根据题意得：，
∵，
∴随的增大而减小，
∴当时，最低，为（元），
答：购买甲种树苗株，乙种树苗株时费用最低，最低费用是元．
22．（2025·高要模拟）[问题提出]
（1）如图1，已知线段，点C是一个动点，且点C到点B的距离为1，则线段长度的最大值是______．
[问题探究]
（2）如图2，以正方形的边为直径作半圆O，E为半圆O上一动点，若正方形的边长为，求长度的最大值．
[构建联系]
（3）如图3，某植物园有一块三角形花地，经测量，米，米，，下方有一块空地（空地足够大），为了增加绿化面积，管理员计划在下方找一点P，将该花地扩建为四边形，扩建后沿修一条小路，以便游客观赏．考虑植物园的整体布局，扩建部分需满足．为容纳更多游客，要求小路的长度尽可能长，问修建的观赏小路的长度是否存在最大值？若存在，求出的最大长度；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）3；
（2）连接并延长交半圆O于F，如图：
∵以正方形的边为直径作半圆O，正方形的边长为，
∴，
当E运动到F时，最大，的长度即是的最大值，
在中，，
∴，
即最大为；
（3）解：作的垂直平分线，在下方作，射线交于O，以O为圆心，为半径作，连接、连接并延长交于P，则为满足条件的小路，过A作于F，如图：
∵，，
∴，
在中，，
，
∵垂直平分，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴米．
即小路的长度最大为米．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；圆周角定理；解直角三角形；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：（1）当C在线段延长线上时，最大，
此时，
即的最大值为3；
故答案为：3；
【分析】
（1）当C在线段延长线上时，最大，计算即可解答；
（2）连接并延长交半圆O于F，当E运动到F时，最大，的长度即是的最大值，在中，利用勾股定理求出，然后利用线段的和差运算，即可解答；
（3）根据 ，动点P满足 可知定弦定角可知D点P 在隐圆上运动，于是作的垂直平分线，在下方作，射线交于O，以O为圆心，为半径作，连接、连接并延长交于P，则为满足条件的小路，过A作于F，在中，解直角三角形求出，在利用30余弦计算出OC；再在中，求出，即可解答．
23．（2025·高要模拟）【知识技能】
（1）如图1，在矩形中，点E，F分别是边上的点，连接与交于点O，若，求证：．
【迁移应用】
（2）如图2，在中，，，点E，F分别是边上的点，连接与交于点O，且，求的值．
【深入探究】
（3）如图3，在四边形中，点E是边上的一点，连接与交于点O，，，，求的值．
【答案】解：（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
（2）∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∵，，
∴的值为；
（3）如图所示，过点C作，交延长线于N，过点D作，交延长线于M，则四边形是平行四边形，
∴，，，
同（2）可得，
∵，
∴设，，
在上取一点P使得，连接，
∵，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴．
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；矩形的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】
（1）根据矩形的性质得到，从而求得，代换等角得到，即可利用AA判定，解答即可；
（2）根据同角的补角相等得到，根据相似三角形的性质得到，根据平行四边形的性质得到，，利用AA判定，结合平行线的性质利用AA判定，再根据相似三角形的性质得到，代换得到，解答即可；
（3）过点C作，交延长线于N，过点D作，交延长线于M，则四边形是平行四边形，有平行四边形的性质得到，，，同（2）可得，即可设，，在上取一点P使得，连接，根据平行线的性质得到，推出是等边三角形，再由等边三角形的性质 求得，即可根据AA判定，再根据相似三角形的性质得到，设，则，，得到，根据题意列方程，计算再代入比例线段中，即可得解答．
1 / 1广东省肇庆市高要区2025年中考二模数学试题
1．（2025·高要模拟）的绝对值是（　　）
A． B．7 C． D．
2．（2025·高要模拟）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·高要模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·高要模拟）随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段分别为前叉、下管和立管（点在上），为后下叉．已知，，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·高要模拟）年月日，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》在全球总票房约元．目前这一数据约是以上数据的倍，则目前《哪吒之魔童闹海》全球总票房用科学记数法表示约为（　　）
A．元 B．元
C．元 D．元
6．（2025·高要模拟）如图，把两个边长为2的小正方形分别沿对角线剪开，将四个直角三角形拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为（　　）
A． B．4 C． D．8
7．（2025·高要模拟）如图，电路图有3只未闭合的开关，一个电源和一个小灯泡，已知电路图上的每个部分都能正常工作，任意闭合其中两只开关，使得小灯泡发光的概率为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·高要模拟）方程的解是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·高要模拟）小明将三角形纸片按下列图示方式折叠，则纸片有一部分会重叠四层，将这部分图形完全展开，得到的平面图形一定是（　　）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．菱形 D．正方形
10．（2025·高要模拟）一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．则不等式的解为（　　）
A． B． C． D．
11．（2025·高要模拟）数据17，15，16，17，15的中位数是　 　．
12．（2025·高要模拟）关于的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是　 　．
13．（2025·高要模拟）计算： ＝　 　.
14．（2025·高要模拟）若点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是　 　．
15．（2025·高要模拟）如图，正方形的边长为，将正方形绕点顺时针旋转得到正方形．连接，．当为直角三角形时，则线段的长度为　 　．
16．（2025·高要模拟）计算：
17．（2025·高要模拟）垫球是排球队常规训练的重要项目之一．下列图表中的数据是甲、乙、丙三名队员每人10次垫球测试的成绩．测试规则为每次连续接球10个，每垫球到位1个记1分．
运动员丙测试成绩统计表
测试序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
成绩（分） 7 6 8 7 5 8 8 7
（1）若运动员丙测试成绩的平均数和众数都是7，则成绩表中的______，______；
（2）已知甲、乙、丙三名队员成绩的方差分别为，，，那么队员______发挥的稳定性最好；（填甲或乙或丙）
（3）如果教练需要推荐一名队员参加比赛，甲、乙、丙三名队员中，你认为推荐哪位队员更合适？请用你所学过的统计知识加以分析说明．
18．（2025·高要模拟）如图，点E为平行四边形对角线BD上一点．
（1）用尺规作图法作点F为线段BD上的点．（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）连接CE，若经过A、C、E三点的圆也经过点F，求证：
19．（2025·高要模拟）某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形为矩形，长3米，长1米，点D距地面为米．道闸打开的过程中，边固定，连杆，分别绕点A，D转动，且边始终与边平行．
（1）如图2，当道闸打开至时，边上一点P到地面的距离为米，求点P到的距离的长．
（2）一辆轿车过道闸，已知轿车宽米，高米．当道闸打开至时，轿车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：，）
20．（2025·高要模拟）【综合与实践】在《车轮为什么是圆的》课题学习中，小青将车轮设计成半径为2的正n多边形，在水平地面上模拟行驶．以为例，如图1，车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转），车轮中心的轨迹是，点C为中心轨迹最高点（即的中点），转动一次前后中心的连线是（水平线），如图2，d为点C到的距离（即的长）、当n取4，5，6时，车轮中心的轨迹分别如图3、图4、图5．
依此类推，当n取不同的值时，分别计算出d的值（结果精确到0.001）．具体数据如下表：
n 3 4 5 6 7 8 9 10 11
d 1.000 　 0.382 0.268 0.198 0.152 0.121 0.098 0.081
请你协助小青完成以下任务．
（1）求当时，d为何值？（参考数据：）
（2）根据表格数据，d随n的变化情况为　 　；当车轮设计成圆形时，　 　．这样车辆行驶平稳、没有颠簸感．所以，将车轮设计成圆形．
（3）若路面如图6形状，可看成由半径为2的一些等弧首尾连接而成，若长为，为确保车轮平稳滚动，则该车轮应设计成边数为几的正多边形？
21．（2025·高要模拟）滚滚西江，浩浩荡荡至此．一座古老的村庄，一座饱经风雨的天主教堂，以及流传了多年的故事，让上清湾村充满了神秘色彩．为响应国家的美丽乡村十百千万工程建设，打造网红打卡点，推动乡村振兴，上清湾村计划打造特色旅游项目；现需要购买甲、乙两种树苗进行栽植．已知乙种树苗比甲种树苗每株贵元，且用元钱购买甲种树苗的株数与用元钱购买乙种树苗的株数刚好相等．
（1）求甲、乙两种树苗每株的价格；
（2）现上清湾村计划购买甲、乙两种树苗共株．调查统计发现，甲、乙两种树苗的成活率分别为和，要使这批树苗的成活率不低于，且使购买树苗的费用最低，应如何选购树苗？最低费用是多少？
22．（2025·高要模拟）[问题提出]
（1）如图1，已知线段，点C是一个动点，且点C到点B的距离为1，则线段长度的最大值是______．
[问题探究]
（2）如图2，以正方形的边为直径作半圆O，E为半圆O上一动点，若正方形的边长为，求长度的最大值．
[构建联系]
（3）如图3，某植物园有一块三角形花地，经测量，米，米，，下方有一块空地（空地足够大），为了增加绿化面积，管理员计划在下方找一点P，将该花地扩建为四边形，扩建后沿修一条小路，以便游客观赏．考虑植物园的整体布局，扩建部分需满足．为容纳更多游客，要求小路的长度尽可能长，问修建的观赏小路的长度是否存在最大值？若存在，求出的最大长度；若不存在，请说明理由．
23．（2025·高要模拟）【知识技能】
（1）如图1，在矩形中，点E，F分别是边上的点，连接与交于点O，若，求证：．
【迁移应用】
（2）如图2，在中，，，点E，F分别是边上的点，连接与交于点O，且，求的值．
【深入探究】
（3）如图3，在四边形中，点E是边上的一点，连接与交于点O，，，，求的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：B．
【分析】
根据有理数绝对值的性质：0和正数的绝对值是其本身，负数的绝对值是这个数的相反数，解答即可.
2．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、该选项图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故A不符合题意；
B、该选项图形既是中心对称图形，又是轴对称图形，故B符合题意；
C、该选项图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故C不符合题意；
D、该选项图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】
根据轴对称图形和中心对称图形的概念：中心对称图形的定义是在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；轴对称图形的定义平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；逐一判断即可解答.
3．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；去括号法则及应用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，该选项错误，故A不符合题意；
B、，该选项正确，故B符合题意；
C、，该选项错误，故C不符合题意；
D、，该选项错误，故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】
利用合并同类项法则可知，可判断A；根据积的乘方法则，可判断B；根据去括号法则可知，可判断C；根据同底数幂的乘法法则，可判断D；逐一判断即可解答．
4．【答案】C
【知识点】角的运算；平行线的性质；内错角的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵， ，
，
∵
，
∵，
∴，
故答案为：C．
【分析】
根据平行线的性质可得，再利用角度的和差运算可得；再通过平行线的性质可得，解答即可．
5．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】
根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，原数绝对值，是正整数；解答即可.
6．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；勾股定理；算术平方根的实际应用
【解析】【解答】解：根据正方形的性质和勾股定理可得，大正方形的边长为，
故答案为：C．
【分析】根据正方形的性质和勾股定理计算得，在化简即可解答．
7．【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：将开关依次编号为，
画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中使得小灯泡能发光的结果有4种，
使得小灯泡能发光的概率为，
故答案为：C．
【分析】
先利用树状图法与列表法不重复不遗漏的列出所有可能的结果：共有6种等可能的结果，其中使得小灯泡发光的结果有4种，再根据公式概率所求情况数与总情况数之比，计算求解即可解答．
8．【答案】B
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：去分母得：，
去括号得：，
移项并合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验，当时，，
所以原分式方程的解为，
故答案为：B．
【分析】
根据解分式方程的步骤：先去分母得，然后去括号，移项并合并计算可得，最后检验根，即可解答．
9．【答案】C
【知识点】菱形的判定；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠的性质可知：重叠四层的这部分图形（四边形）完全展开后，其各边的长均相等，
得到的平面图形一定是菱形，
故答案为：．
【分析】由折叠的性质可知，重叠四层的这部分图形（四边形）完全展开后，其各边的长均相等，根据四边都相等的四边形是菱形可求解．
10．【答案】A
【知识点】点的坐标；待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数的性质；数形结合
【解析】【解答】解：直线经过点和，
可得：，
解得：，
为，
当时，，
一次函数与的交点坐标是，
由图象可知，一次函数的随增大而减小，
当时，．
故答案为：A．
【分析】
先利用待定系数法求出直线的解析式为，根据解析式可以求出当时，，由图象可知，一次函数的随增大而减小，所以当时，；解答即可．
11．【答案】16
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：把这组数据按照从小到大的顺序排列为：15，15，16，17，17，处在最中间的是16，
∴中位数是16，
故答案为：16．
【分析】
根据求一组数据的中位数的方法：把一组数据按照一定的顺序排列，处在最中间的那个数据或最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，即可解答．
12．【答案】
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；数形结合
【解析】【解答】解：由数轴可得，两个不等式的解集分别为，，
∴不等式组的解集为，
故答案为：．
【分析】
观察数轴可得，两个不等式的解集分别为，，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集；解答即可．
13．【答案】a-3
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：原式= .
故答案为：a-3.
【分析】利用同分母分式相减，分母不变，把分子相减，再将结果化成最简分式.
14．【答案】
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：由二次函数，则它的对称轴为直线，开口向上，
则图象上的点离对称轴越远则的值越大，
∵，，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
根据二次函数图象性质先求出对称轴为直线；结合开口向上可知图象上的点离对称轴越远则的值越大；由此解答即可．
15．【答案】或或
【知识点】勾股定理；正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS；分类讨论
【解析】【解答】解：当为直角顶点时，与重合，如图，
此时；
当为直角顶点时，过作于，如图，
由旋转性质可得，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得；
当为直角顶点时，如图，
此时共线，
∴，
∴，
综上所述，的长为或或，
故答案为：或或．
【分析】
由为直角三角形时可分：当为直角顶点时，与重合 ，CE=1；当为直角顶点时过作于由旋转的性质可得， 即可根据AAS判定，结合全等的性质利用勾股定理计算可得；当为直角顶点时 此时共线， 利用勾股定理可得CE=；由此解答即可.
16．【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；化简含绝对值有理数；实数的混合运算（含开方）；求算术平方根
【解析】【分析】
先计算开立方得 ，再计算一个数的绝对值 ，计算零指数幂 ，由负整数指数幂得 ，最后计算加减即可解答．
17．【答案】（1）7，7
（2）乙
（3）解：推荐乙队员更合适，理由如下：
，
通过平均数来看选择乙和丙，
又∵，，即，队员乙发挥的稳定性最好，
∴推荐乙队员更合适．
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；分析数据的波动程度；众数
【解析】【解答】解：（1）运动员丙测试成绩的平均数和众数都是7，则，
∴，
解得，
故答案为：7，7；
（2）
解：根据方差的意义，方差越小数据波动越小，发挥就越稳定，
∵
∴队员乙发挥的稳定性最好，
故答案为：乙；
【分析】
（1）根据众数的定义：出现次数最多的那个数可得；再通过平均数的公式计算可得由此即可解答；
（2）利用方差的意义：方差越小数据波动越小，发挥就越稳定，由此选择即可解答；
（3）首先平均数发现可选择乙和丙，再结合方差可知乙发挥的稳定性最好；由此即可解答．
（1）解：运动员丙测试成绩的平均数和众数都是7，则，
∴，
解得，
故答案为：7，7；
（2）解：根据方差的意义，方差越小数据波动越小，发挥就越稳定，
∵
∴队员乙发挥的稳定性最好，
故答案为：乙；
（3）解：推荐乙队员更合适，理由如下：
，
通过平均数来看选择乙和丙，
又∵，，即，队员乙发挥的稳定性最好，
∴推荐乙队员更合适．
18．【答案】（1）解：如图，为所求作的图形.
（2）证明：连接，
四边形是平行四边形，
，
，
又，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
经过三点的圆也经过点，
四边形是圆内接四边形，
，
，
.
【知识点】平行四边形的判定与性质；圆内接四边形的性质；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【分析】（1）按照角的作图方法作出 即可；
（2）连接，利用平行四边形的性质即可证得，进而可知，利用全等三角形的判定定理(ASA)证得，根据全等三角形的性质可得到，可得，证得四边形是平行四边形，证明四边形是圆内接四边形，进而可得，即可得到 ．
（1）解：如图，为所求作的图形.
（2）证明：连接，
四边形是平行四边形，
，
，
又，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
经过三点的圆也经过点，
四边形是圆内接四边形，
，
，
.
19．【答案】（1）解：如图，过点作，垂足为，
由题意可知，，米，米，
在 中，，（米），
（米），
（米），
即点到的距离的长为2米；
（2）解：能，理由如下：
由题：当，米时，且，
则，
∵点D距地面为米
∴（米），
（米），
（米），
，
能通过．
【知识点】矩形的性质；解直角三角形的其他实际应用；等腰直角三角形；正切的概念
【解析】【分析】（1）在中，由，得到，进而求出即可解答；
（2）当，米时，利用正切得定义求出再与米比较即可解答．
（1）解：如图，过点作，垂足为，
由题意可知，，米，米，
在 中，，（米），
（米），
（米），
即点到的距离的长为2米；
（2）解：依题意，
当，米时，且，
则，
∵点D距地面为米
∴（米），
（米），
（米），
，
能通过．
20．【答案】（1）解：当时，
∵点C为的中点
∴
∵
∴，
∴为等腰直角三角形
在中，
∴
∴
∴
（2）d随n的增大而减小；0
（3）解：设对应的圆心角为
∵长为
∴
∴
∴，即该车轮应设计成边数为36的正多边形．
【知识点】弧长的计算；等腰直角三角形；正多边形的概念；正多边形的性质；用表格表示变量间的关系
【解析】【解答】
解：（2）根据表格数据，d随n的变化情况为d随n的增大而减小；当车轮设计成圆形时，．
故答案为：d随n的增大而减小；0；
【分析】
（1）先证明是等腰直角三角形，即可利用勾股定理求得，即可解答；
（2）根据表格数据解答即可；
（3）设对应的圆心角为，根据弧长公式建立方程，求出对应的圆心角的度数，再求正多边形的边数，解答即可．
（1）当时，
∵点C为的中点
∴
∵
∴，
∴为等腰直角三角形
在中，
∴
∴
∴
（2）根据表格数据，d随n的变化情况为d随n的增大而减小；当车轮设计成圆形时，．
故答案为：d随n的增大而减小；0；
（3）设对应的圆心角为
∵长为
∴
∴
∴，即该车轮应设计成边数为36的正多边形．
21．【答案】（1）解：设甲种树苗每株的价格为元，则乙种树苗每株的价格为元，由题意得，，
解得：，
经检验：是原分式方程的解且符合题意，
∴乙种树苗每株的价格为元，
答：甲种树苗每株的价格为元，乙种树苗每株的价格为元；
（2）解：设购买甲种树苗株，则购买乙种树苗株，购买树苗的费用为元，由题意得：，
解得：，
根据题意得：，
∵，
∴随的增大而减小，
∴当时，最低，为（元），
答：购买甲种树苗株，乙种树苗株时费用最低，最低费用是元．
【知识点】解分式方程；一元一次不等式的应用；一次函数的性质；一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（）设甲种树苗每株的价格为元，则乙种树苗每株的价格为元，由题意得，然后解方程并检验即可解答；
（）设购买甲种树苗株，则购买乙种树苗株，购买树苗的费用为元，根据题意得，解出，再表示出费用，再根据一次函数的性质，即可求解．
（1）解：设甲种树苗每株的价格为元，则乙种树苗每株的价格为元，
由题意得，，
解得：，
经检验：是原分式方程的解且符合题意，
∴乙种树苗每株的价格为元，
答：甲种树苗每株的价格为元，乙种树苗每株的价格为元；
（2）解：设购买甲种树苗株，则购买乙种树苗株，购买树苗的费用为元，
由题意得：，
解得：，
根据题意得：，
∵，
∴随的增大而减小，
∴当时，最低，为（元），
答：购买甲种树苗株，乙种树苗株时费用最低，最低费用是元．
22．【答案】解：（1）3；
（2）连接并延长交半圆O于F，如图：
∵以正方形的边为直径作半圆O，正方形的边长为，
∴，
当E运动到F时，最大，的长度即是的最大值，
在中，，
∴，
即最大为；
（3）解：作的垂直平分线，在下方作，射线交于O，以O为圆心，为半径作，连接、连接并延长交于P，则为满足条件的小路，过A作于F，如图：
∵，，
∴，
在中，，
，
∵垂直平分，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴米．
即小路的长度最大为米．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；圆周角定理；解直角三角形；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：（1）当C在线段延长线上时，最大，
此时，
即的最大值为3；
故答案为：3；
【分析】
（1）当C在线段延长线上时，最大，计算即可解答；
（2）连接并延长交半圆O于F，当E运动到F时，最大，的长度即是的最大值，在中，利用勾股定理求出，然后利用线段的和差运算，即可解答；
（3）根据 ，动点P满足 可知定弦定角可知D点P 在隐圆上运动，于是作的垂直平分线，在下方作，射线交于O，以O为圆心，为半径作，连接、连接并延长交于P，则为满足条件的小路，过A作于F，在中，解直角三角形求出，在利用30余弦计算出OC；再在中，求出，即可解答．
23．【答案】解：（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
（2）∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∵，，
∴的值为；
（3）如图所示，过点C作，交延长线于N，过点D作，交延长线于M，则四边形是平行四边形，
∴，，，
同（2）可得，
∵，
∴设，，
在上取一点P使得，连接，
∵，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴．
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；矩形的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】
（1）根据矩形的性质得到，从而求得，代换等角得到，即可利用AA判定，解答即可；
（2）根据同角的补角相等得到，根据相似三角形的性质得到，根据平行四边形的性质得到，，利用AA判定，结合平行线的性质利用AA判定，再根据相似三角形的性质得到，代换得到，解答即可；
（3）过点C作，交延长线于N，过点D作，交延长线于M，则四边形是平行四边形，有平行四边形的性质得到，，，同（2）可得，即可设，，在上取一点P使得，连接，根据平行线的性质得到，推出是等边三角形，再由等边三角形的性质 求得，即可根据AA判定，再根据相似三角形的性质得到，设，则，，得到，根据题意列方程，计算再代入比例线段中，即可得解答．
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