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广东省中山市第一中学2025年中考数学模拟测试（5月）
1．（2025·中山模拟）（　　）
A． B．2 C． D．1
【答案】A
【知识点】化简多重符号有理数
【解析】【解答】解：，
故答案为：A．
【分析】
根据符号化简原则：同号得正，异号得负，即可解答．
2．（2025·中山模拟）下列图形中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故A不符合题意；
B、不是轴对称图形，故B不符合题意；
C、不是轴对称图形，故C不符合题意；
D、是轴对称图形，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】
根据轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴；逐一判断即可解答．
3．（2025·中山模拟）2023年春节黄金周，旅游名城桂林接待游客约3750000人次．将数据3750000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：；
故答案为：C．
【分析】
根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数， 其中n比原位数少1，即可解答.
4．（2025·中山模拟）如图，直线c与直线a、b都相交，若，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】内错角的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵，，
，
故答案为：B．
【分析】
根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等，求出的度数，即可解答．
5．（2025·中山模拟）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，平行于y轴，且，则点B的坐标为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【知识点】点的坐标；线段上的两点间的距离
【解析】【解答】解：点A的坐标为，平行于y轴，
点B的横坐标为，
，
点B的纵坐标为：或，
点B的坐标为：或．
故答案为：C．
【分析】
根据两点构成的线段平行于y轴的性质：横坐标相同，可得出点B的横坐标为，再由即可得到点B的坐标，解答即可．
6．（2025·中山模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】单项式乘多项式；负整数指数幂；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故A错误；
B、不是同类项，不能合并，故B错误；
C、，故C正确；
D、，故D错误；
故答案为：C
【分析】
根据积得乘方得，可判断A；根据同类项得合并法则不是同类项，不能合并，可判断B；根据负指出幂得，可判断C；根据单项式乘以多项式得法则得，可判断D，逐一判断即可解答.
7．（2025·中山模拟）抛掷一枚质地均匀的硬币，若抛掷8次都是正面朝上，则抛掷第9次（　　）
A．正面朝上的可能性大
B．反面朝上的可能性大
C．正面朝上与反面朝上的可能性一样大
D．无法确定
【答案】C
【知识点】可能性的大小
【解析】【解答】解：抛掷一枚质地均匀的硬币，若抛掷8次都是正面朝上，则抛掷第9次正面朝上与反面朝上的可能性一样大，
故答案为：C．
【分析】
根据概率定义，大量重复试验事件发生的频率接近事件发生的可能性的大小（概率），由此解答即可.
8．（2025·中山模拟）已知二次函数的图象经过两点，则下列关系式正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²的性质
【解析】【解答】解：关于轴的对称点为，
中二次项系数，
当时，值随值的增大而增大，
和的横坐标，
，
故答案为：C．
【分析】
根据二次函数图象的性质：当时，值随值的增大而增大，即可由横坐标得到，解答即可．
9．（2025·中山模拟）如图，点是反比例函数的图象上的一点，过点作轴，垂足为，点为轴上的一点，连接，，若的面积为，则的值是（　　）
A．6 B． C．12 D．
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；等分面积模型
【解析】【解答】解：连结，如图，
∵轴，
∴，
∴，而，
∴，
∵，
∴，
故答案为：D．
【分析】
连结，根据等面积法利用三角形面积公式得到，再根据反比例函数的比例系数的几何意义得到，然后去绝对值即可得到满足条件的的值，解答即可.
10．（2025·中山模拟）在正方形中，，点是边的中点，连接，延长至点，使得，过点作，分别交、于两点，连接，，，下列结论：①；②；③；④． 正确的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：①、，，，
，
，
，故①正确；
②、由①可得：，
∴，
，，
，
，故②正确；
③、，
，
，，，
，
，
，
，
，
∴，
，
，故③不正确；
④、，，
，
，，
，
，
，
，故④正确．
综上，正确的有①②④，
故答案为：B．
【分析】
根据已知条件利用AAS证明，由即可判断①；结合①根据全等三角形的性质得，即可由HL证明即可判断②；先根据已知条件利用HL证明，再利用全等三角形的性质证明，于是得到从而得可判断 ③ ；先根据面积公式计算出，再利用AA判定，利用相似中的面积之比求出和的面积，可判断④；逐一判断即可解答．
11．（2025·中山模拟）分解因式：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】
根据因式分解的步骤：先提出公因式，分解因式即可解答．
12．（2025·中山模拟）如果菱形的高是，且相邻两个内角的度数之比为，那么这个菱形的边长为　 　．
【答案】6
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的性质
【解析】【解答】解：
如图所示∶过点D作于点E，
四边形是菱形，相邻两内角的度数之比为
则，
在中，
，
，
即菱形的边长为∶．
故答案为∶6．
【分析】
利用菱形的性质结合已知得出的数，再利用所对边与斜边的关系得出的长，计算即可解答．
13．（2025·中山模拟）生活中随处可见数学之美，例如梧桐树叶的叶脉中蕴含着黄金分割．如图，P为叶脉（是线段）的黄金分割点，即满足，如果的长度为，则的长度为　 　．（结果保留根号）
【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵P为叶脉的黄金分割点，
∴．
故答案为：．
【分析】
根据黄金分割的定义：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项，即，叫做把线段黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点．其中，并且线段的黄金分割点有两个，利用定义计算即可解答．
14．（2025·中山模拟）已知关于x的一元二次方程没有实数根，则m的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程没有实数根，
∴且，
解得，
故答案为：．
【分析】
根据方程的根的判别式且，计算即可解答．
15．（2025·中山模拟）如图，矩形，，，E为中点，F为直线上动点，B、G关于对称，连接，点P为平面上的动点，满足，则的最小值　 　．
【答案】
【知识点】三角形三边关系；矩形的性质；圆周角定理；轴对称的性质
【解析】【解答】解：∵B、G关于对称，
∴，且
∵E为中点，则为的中位线，
∴，
∴，
∵，即，
∴点在以为弦，圆周角的圆上，（要使最小，则点要靠近蒂点，即点在的右侧）
设圆心为，连接，，，，，过点作，
则，
∵，
∴，则为等腰直角三角形，
∴，
又∵为中点，
∴，，
又∵四边形是矩形，
∴，，
∴四边形是正方形，
∴，，
∴，
由三角形三边关系可得：，当点在线段上时去等号，
∴的最小值为，
故答案为：．
【分析】由题意可知，，可得，可知点在以为弦，圆周角的圆上，（要使最小，则点要靠近蒂点，即点在的右侧），设圆心为，连接，，，，，过点作，可知为等腰直角三角形，求得，，，，再由三角形三边关系可得：，当点在线段上时去等号，即可求得的最小值．
16．（2025·中山模拟）计算：．
【答案】解：原式
．
【知识点】实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先分别求出有理数除法、负指数幂、锐角三角函数，再合并同类二次根式即可得结果.
17．（2025·中山模拟）甲、乙两个工程队计划参与一项工程建设，已知甲队单独完成这项工程所需的天数是乙队单独完成所需天数的倍；若由甲队先单独施工天，乙队再加入，两队还需同时施工天，才能完成这项工程．
（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为元，乙队每天的施工费用为元，若该工程由甲、乙两工程队合作完成，则所需的施工费用是多少元？
【答案】（1）解：设乙队单独完成这项工程需天，则甲队单独完成这项工程需天，根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解且符合题意，
∴．
答：甲队单独完成这项工程需天，乙队单独完成这项工程需天.
（2）解：根据题意得：（元）．
答：所需的施工费用是元．
【知识点】解分式方程；有理数混合运算的实际应用；分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】
（1）设乙队单独完成这项工程需天，则甲队单独完成这项工程需天，利用甲队完成的工程量乙队完成的工程量总工程量，可列出关于x的分式方程，求解并检验，即可解答；
（2）利用总施工费用两队每天所需施工费用之和两队合作完成工程所需时间，即可解答.
（1）解：设乙队单独完成这项工程需天，则甲队单独完成这项工程需天，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解且符合题意，
∴．
答：甲队单独完成这项工程需天，乙队单独完成这项工程需天；
（2）根据题意得：（元）．
答：所需的施工费用是元．
18．（2025·中山模拟）如图，太阳能电池板宽为，点O是的中点，是灯杆．地面上三点D，E与C在一条直线上，，．在D处测得电池板边缘点B的仰角为，在E处测得电池板边缘点B的仰角为．此时点A、B与E在一条直线上．求太阳能电池板宽的长度．（结果精确到． 参考数据：）
【答案】解：如图所示，过B作于M，于N，
∴，
，
∴和都是等腰直角三角形，
设，
∴，，
∴在中，，
∵，
∴解得，，
∵，
∴，
∴，
∴
∴，
∴太阳能电池板宽的长度约为，
【知识点】等腰三角形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；余弦的概念；正切的概念
【解析】【分析】
过B作于M，于N，得到，，从而可判定和都是等腰直角三角形，设，解直角三角形即可得到结论，解答即可.
19．（2025·中山模拟）如图，已知，，．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出边的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若（1）中作的垂直平分线与边交于点D，且点D是上靠近点A的三等分点．求的度数．
【答案】（1）解：如图所示，即为所要求作的边的垂直平分线；
（2）解：连接，
∵垂直平分，
∴，
∵点D是上靠近点A的三等分点，
∴，
∴，
∵，
在中，，
∴，
∴，
∴；
∴的度数．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；求特殊角的三角函数值；尺规作图-垂直平分线；正弦的概念
【解析】【分析】（1）分别以B，C为圆心画弧，再利用垂直平分线的作图步骤作图即可解答；
（2）由垂直平分得到，然后结合题意得到，再利用三角函数求出，然后利用三角形内角和定理求出，再利用三角形外角的性质和等边对等角求解即可解答．
20．（2025·中山模拟）根据以下素材，探索完成任务
设计小区大门灯笼的悬挂方案
素材一 图1是某小区的正门，图2是正门的示意图， 小航查阅相关资料获得以下信息：①正门是由一个矩形和一个抛物线形拱组成的轴对称图形，②矩形的宽为，高为，抛物线形拱的高为．
素材二 为迎接龙年春节，拟在图1正门抛物线形拱上悬挂直径为的灯笼，如图3为了美观，要求悬挂灯笼的数量为双数，且平均分布，间隔在之间．
问题解决
任务1 确定拋物线形拱形状 在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式
任务2 探究悬挂数量 给出符合所有悬挂条件的灯笼数量．
任务3 拟定设计方案 根据你建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标
【答案】解：任务1：以中点为原点，以所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
∵矩形的宽为，高为，抛物线形拱的高为，
∴抛物线的顶点，且过点，
设抛物线的解析式为：，
把点代入得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
任务2：设悬挂个灯笼，
依题意得：，
解得：，
∵灯笼的个数为双数，
∴符合悬挂条件的灯笼数量为4个；
任务3：由题意得间隔为，
∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标为．
【知识点】一元一次不等式组的应用；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】
任务1：以中点为原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系，可得抛物线的顶点，且过点，然后利用待定系数法把代入，计算即可解答；
任务2：设悬挂个灯笼，先根据“间隔在之间”列不等式，计算求解，再根据“悬挂灯笼的数量为双数”计算即可解答；
任务3：先求出间隔的距离，然后计算即可解答．
21．（2025·中山模拟）八年级一班开展了“读一本好书”的活动，班委会对学生阅读书籍的情况进行了问卷调查，问卷设置了“小说”“戏剧”“散文”“其他”四个类型，每位同学仅选一项，根据调查结果绘制了不完整的频数分布表和扇形统计图．
类别 频数（人数） 频率
小说 0.5
戏剧 4
散文 10 0.25
其他 6
合计 1
根据图表提供的信息，解答下列问题：
（1）八年级一班一共有　 　学生；
（2）请补全频数分布表，并求出扇形统计图中“其他”类所占的圆心角度数；
（3）在调查问卷中，甲、乙、丙、丁四位同学选择了“戏剧”类，现从以上四位同学中任意选出2名同学参加学校的戏剧兴趣小组，请用画树状图或列表法的方法，求选取的2人恰好是甲和乙的概率．
【答案】（1）40
（2）解：小说的频数为：；戏剧的频率为；
其他的频率为，
补全频数分布表如图所示；
类别 频数（人数） 频率
小说 20 0.5
戏剧 4 0.1
散文 10 0.25
其他 6 0.15
合计 40 1
在扇形统计图中，“其他”类所占的圆心角度数为；
（3）解：画树状图，如图所示：
所有等可能的情况有12种，其中恰好是甲与乙的情况有2种，
∴．
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】
解：（1），
∴八年级一班一共有40名学生；
故答案为：40
【分析】
（1）观察图表利用散文的频数10除以频率0.25即可解答；
（2）先求出小说的频数、戏剧的频率、其他的频率，即可补全频数分布表，再用“其他”类的占比乘以即可解答；
（3）根据题意画出树状图，根据概率的运算利用符合题意的情况数2除以总的情况数12即可解答．
（1），
∴八年级一班一共有40名学生；
故答案为：40
（2）小说的频数为：；
戏剧的频率为；
其他的频率为，
补全频数分布表如图所示；
类别 频数（人数） 频率
小说 20 0.5
戏剧 4 0.1
散文 10 0.25
其他 6 0.15
合计 40 1
在扇形统计图中，“其他”类所占的圆心角度数为；
（3）画树状图，如图所示：
所有等可能的情况有12种，其中恰好是甲与乙的情况有2种，
∴．
22．（2025·中山模拟）如图1，在中，，，．以为直径作．是圆上一点且，是延长线上一点，射线与的延长线交于点，与交于点，设，．
（1）求的半径．
（2）求关于的关系式．
（3）如图2，连接，当是以为腰的等腰三角形时，求的值．
【答案】（1）解：在中，，，．
∴，
∴的半径为；
（2）解：延长交于M，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴；

（3）解：当时，连接，，
∵，
∴，
∵，
∴经过圆心，
∴，
∴，
；
当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
【知识点】勾股定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的性质-对应边；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）根据勾股定理求出直径长，即可解答；
（2）延长交于M，利用AA证明，利用相似三角形的性质列出比例式，计算即可解答；
（3）分类讨论：当时，连接，；当时，，再分别根据等腰三角形的性质求出x，再利用（2）中的结论求出y即可解答．
（1）解：在中，，，．
∴，
∴的半径为；
（2）解：延长交于M，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴；
（3）解：当时，连接，，
∵，
∴，
∵，
∴经过圆心，
∴，
∴，
；
当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
23．（2025·中山模拟）【问题呈现】
如图1，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点E、F（点F与点C，D不重合）．探索线段之间的数量关系．
【问题初探】
（1）爱动脑筋的小悦发现，通过证明两个三角形全等，可以得到结论．请你写出线段、、之间的数量关系，并说明理由；
【问题引申】
（2）如图2，将图1中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你帮小悦得出此时线段、、之间的数量关系是 ；
【问题解决】
（3）如图3，在（2）的条件下，当菱形的边长为8，点P运动至与A点距离恰好为7的位置，且旋转至时，的长度为 ．
【答案】解：（1）结论：．
理由：如图1中，
正方形的对角线，交于点，
，，
，
，
在和中
，
，
，
；
（2）；
（3）4或2
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定；菱形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】
解：（2）结论变为，理由如下：
如图2中，取的中点T，连接，
四边形为的菱形，
，，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
故答案为：；
（3）如图3﹣1中，当点P靠近点B时，过点A作于H，连接，作交于G．
是等边三角形，，
，，
在中，，
，
由（2）可知，，
；
如图中，当点靠近点时，同法可得，，
，
，
综上所述，满足条件的的值为或；
故答案为：4或2．
【分析】
（1）根据正方形的性质可得，，再利用ASA证明，得到，即可解答；
（2）取的中点，连接，根据菱形的性质可得是等边三角形，即可利用ASA可证明得到，即可解答；
（3）分两种情况：当点靠近点时；当点靠近点时；过点作于，连接，作交于，结合（2），根据勾股定理和等边三角形的性质通过计算线段的和差，求解即可解答．
1 / 1广东省中山市第一中学2025年中考数学模拟测试（5月）
1．（2025·中山模拟）（　　）
A． B．2 C． D．1
2．（2025·中山模拟）下列图形中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·中山模拟）2023年春节黄金周，旅游名城桂林接待游客约3750000人次．将数据3750000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·中山模拟）如图，直线c与直线a、b都相交，若，，则（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·中山模拟）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，平行于y轴，且，则点B的坐标为（ ）
A． B．
C．或 D．或
6．（2025·中山模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025·中山模拟）抛掷一枚质地均匀的硬币，若抛掷8次都是正面朝上，则抛掷第9次（　　）
A．正面朝上的可能性大
B．反面朝上的可能性大
C．正面朝上与反面朝上的可能性一样大
D．无法确定
8．（2025·中山模拟）已知二次函数的图象经过两点，则下列关系式正确的是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·中山模拟）如图，点是反比例函数的图象上的一点，过点作轴，垂足为，点为轴上的一点，连接，，若的面积为，则的值是（　　）
A．6 B． C．12 D．
10．（2025·中山模拟）在正方形中，，点是边的中点，连接，延长至点，使得，过点作，分别交、于两点，连接，，，下列结论：①；②；③；④． 正确的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
11．（2025·中山模拟）分解因式：　 　．
12．（2025·中山模拟）如果菱形的高是，且相邻两个内角的度数之比为，那么这个菱形的边长为　 　．
13．（2025·中山模拟）生活中随处可见数学之美，例如梧桐树叶的叶脉中蕴含着黄金分割．如图，P为叶脉（是线段）的黄金分割点，即满足，如果的长度为，则的长度为　 　．（结果保留根号）
14．（2025·中山模拟）已知关于x的一元二次方程没有实数根，则m的取值范围是　 　．
15．（2025·中山模拟）如图，矩形，，，E为中点，F为直线上动点，B、G关于对称，连接，点P为平面上的动点，满足，则的最小值　 　．
16．（2025·中山模拟）计算：．
17．（2025·中山模拟）甲、乙两个工程队计划参与一项工程建设，已知甲队单独完成这项工程所需的天数是乙队单独完成所需天数的倍；若由甲队先单独施工天，乙队再加入，两队还需同时施工天，才能完成这项工程．
（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为元，乙队每天的施工费用为元，若该工程由甲、乙两工程队合作完成，则所需的施工费用是多少元？
18．（2025·中山模拟）如图，太阳能电池板宽为，点O是的中点，是灯杆．地面上三点D，E与C在一条直线上，，．在D处测得电池板边缘点B的仰角为，在E处测得电池板边缘点B的仰角为．此时点A、B与E在一条直线上．求太阳能电池板宽的长度．（结果精确到． 参考数据：）
19．（2025·中山模拟）如图，已知，，．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出边的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若（1）中作的垂直平分线与边交于点D，且点D是上靠近点A的三等分点．求的度数．
20．（2025·中山模拟）根据以下素材，探索完成任务
设计小区大门灯笼的悬挂方案
素材一 图1是某小区的正门，图2是正门的示意图， 小航查阅相关资料获得以下信息：①正门是由一个矩形和一个抛物线形拱组成的轴对称图形，②矩形的宽为，高为，抛物线形拱的高为．
素材二 为迎接龙年春节，拟在图1正门抛物线形拱上悬挂直径为的灯笼，如图3为了美观，要求悬挂灯笼的数量为双数，且平均分布，间隔在之间．
问题解决
任务1 确定拋物线形拱形状 在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式
任务2 探究悬挂数量 给出符合所有悬挂条件的灯笼数量．
任务3 拟定设计方案 根据你建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标
21．（2025·中山模拟）八年级一班开展了“读一本好书”的活动，班委会对学生阅读书籍的情况进行了问卷调查，问卷设置了“小说”“戏剧”“散文”“其他”四个类型，每位同学仅选一项，根据调查结果绘制了不完整的频数分布表和扇形统计图．
类别 频数（人数） 频率
小说 0.5
戏剧 4
散文 10 0.25
其他 6
合计 1
根据图表提供的信息，解答下列问题：
（1）八年级一班一共有　 　学生；
（2）请补全频数分布表，并求出扇形统计图中“其他”类所占的圆心角度数；
（3）在调查问卷中，甲、乙、丙、丁四位同学选择了“戏剧”类，现从以上四位同学中任意选出2名同学参加学校的戏剧兴趣小组，请用画树状图或列表法的方法，求选取的2人恰好是甲和乙的概率．
22．（2025·中山模拟）如图1，在中，，，．以为直径作．是圆上一点且，是延长线上一点，射线与的延长线交于点，与交于点，设，．
（1）求的半径．
（2）求关于的关系式．
（3）如图2，连接，当是以为腰的等腰三角形时，求的值．
23．（2025·中山模拟）【问题呈现】
如图1，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点E、F（点F与点C，D不重合）．探索线段之间的数量关系．
【问题初探】
（1）爱动脑筋的小悦发现，通过证明两个三角形全等，可以得到结论．请你写出线段、、之间的数量关系，并说明理由；
【问题引申】
（2）如图2，将图1中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你帮小悦得出此时线段、、之间的数量关系是 ；
【问题解决】
（3）如图3，在（2）的条件下，当菱形的边长为8，点P运动至与A点距离恰好为7的位置，且旋转至时，的长度为 ．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】化简多重符号有理数
【解析】【解答】解：，
故答案为：A．
【分析】
根据符号化简原则：同号得正，异号得负，即可解答．
2．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故A不符合题意；
B、不是轴对称图形，故B不符合题意；
C、不是轴对称图形，故C不符合题意；
D、是轴对称图形，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】
根据轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴；逐一判断即可解答．
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：；
故答案为：C．
【分析】
根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数， 其中n比原位数少1，即可解答.
4．【答案】B
【知识点】内错角的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵，，
，
故答案为：B．
【分析】
根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等，求出的度数，即可解答．
5．【答案】C
【知识点】点的坐标；线段上的两点间的距离
【解析】【解答】解：点A的坐标为，平行于y轴，
点B的横坐标为，
，
点B的纵坐标为：或，
点B的坐标为：或．
故答案为：C．
【分析】
根据两点构成的线段平行于y轴的性质：横坐标相同，可得出点B的横坐标为，再由即可得到点B的坐标，解答即可．
6．【答案】C
【知识点】单项式乘多项式；负整数指数幂；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故A错误；
B、不是同类项，不能合并，故B错误；
C、，故C正确；
D、，故D错误；
故答案为：C
【分析】
根据积得乘方得，可判断A；根据同类项得合并法则不是同类项，不能合并，可判断B；根据负指出幂得，可判断C；根据单项式乘以多项式得法则得，可判断D，逐一判断即可解答.
7．【答案】C
【知识点】可能性的大小
【解析】【解答】解：抛掷一枚质地均匀的硬币，若抛掷8次都是正面朝上，则抛掷第9次正面朝上与反面朝上的可能性一样大，
故答案为：C．
【分析】
根据概率定义，大量重复试验事件发生的频率接近事件发生的可能性的大小（概率），由此解答即可.
8．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²的性质
【解析】【解答】解：关于轴的对称点为，
中二次项系数，
当时，值随值的增大而增大，
和的横坐标，
，
故答案为：C．
【分析】
根据二次函数图象的性质：当时，值随值的增大而增大，即可由横坐标得到，解答即可．
9．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；等分面积模型
【解析】【解答】解：连结，如图，
∵轴，
∴，
∴，而，
∴，
∵，
∴，
故答案为：D．
【分析】
连结，根据等面积法利用三角形面积公式得到，再根据反比例函数的比例系数的几何意义得到，然后去绝对值即可得到满足条件的的值，解答即可.
10．【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：①、，，，
，
，
，故①正确；
②、由①可得：，
∴，
，，
，
，故②正确；
③、，
，
，，，
，
，
，
，
，
∴，
，
，故③不正确；
④、，，
，
，，
，
，
，
，故④正确．
综上，正确的有①②④，
故答案为：B．
【分析】
根据已知条件利用AAS证明，由即可判断①；结合①根据全等三角形的性质得，即可由HL证明即可判断②；先根据已知条件利用HL证明，再利用全等三角形的性质证明，于是得到从而得可判断 ③ ；先根据面积公式计算出，再利用AA判定，利用相似中的面积之比求出和的面积，可判断④；逐一判断即可解答．
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】
根据因式分解的步骤：先提出公因式，分解因式即可解答．
12．【答案】6
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的性质
【解析】【解答】解：
如图所示∶过点D作于点E，
四边形是菱形，相邻两内角的度数之比为
则，
在中，
，
，
即菱形的边长为∶．
故答案为∶6．
【分析】
利用菱形的性质结合已知得出的数，再利用所对边与斜边的关系得出的长，计算即可解答．
13．【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵P为叶脉的黄金分割点，
∴．
故答案为：．
【分析】
根据黄金分割的定义：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项，即，叫做把线段黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点．其中，并且线段的黄金分割点有两个，利用定义计算即可解答．
14．【答案】
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程没有实数根，
∴且，
解得，
故答案为：．
【分析】
根据方程的根的判别式且，计算即可解答．
15．【答案】
【知识点】三角形三边关系；矩形的性质；圆周角定理；轴对称的性质
【解析】【解答】解：∵B、G关于对称，
∴，且
∵E为中点，则为的中位线，
∴，
∴，
∵，即，
∴点在以为弦，圆周角的圆上，（要使最小，则点要靠近蒂点，即点在的右侧）
设圆心为，连接，，，，，过点作，
则，
∵，
∴，则为等腰直角三角形，
∴，
又∵为中点，
∴，，
又∵四边形是矩形，
∴，，
∴四边形是正方形，
∴，，
∴，
由三角形三边关系可得：，当点在线段上时去等号，
∴的最小值为，
故答案为：．
【分析】由题意可知，，可得，可知点在以为弦，圆周角的圆上，（要使最小，则点要靠近蒂点，即点在的右侧），设圆心为，连接，，，，，过点作，可知为等腰直角三角形，求得，，，，再由三角形三边关系可得：，当点在线段上时去等号，即可求得的最小值．
16．【答案】解：原式
．
【知识点】实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先分别求出有理数除法、负指数幂、锐角三角函数，再合并同类二次根式即可得结果.
17．【答案】（1）解：设乙队单独完成这项工程需天，则甲队单独完成这项工程需天，根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解且符合题意，
∴．
答：甲队单独完成这项工程需天，乙队单独完成这项工程需天.
（2）解：根据题意得：（元）．
答：所需的施工费用是元．
【知识点】解分式方程；有理数混合运算的实际应用；分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】
（1）设乙队单独完成这项工程需天，则甲队单独完成这项工程需天，利用甲队完成的工程量乙队完成的工程量总工程量，可列出关于x的分式方程，求解并检验，即可解答；
（2）利用总施工费用两队每天所需施工费用之和两队合作完成工程所需时间，即可解答.
（1）解：设乙队单独完成这项工程需天，则甲队单独完成这项工程需天，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解且符合题意，
∴．
答：甲队单独完成这项工程需天，乙队单独完成这项工程需天；
（2）根据题意得：（元）．
答：所需的施工费用是元．
18．【答案】解：如图所示，过B作于M，于N，
∴，
，
∴和都是等腰直角三角形，
设，
∴，，
∴在中，，
∵，
∴解得，，
∵，
∴，
∴，
∴
∴，
∴太阳能电池板宽的长度约为，
【知识点】等腰三角形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；余弦的概念；正切的概念
【解析】【分析】
过B作于M，于N，得到，，从而可判定和都是等腰直角三角形，设，解直角三角形即可得到结论，解答即可.
19．【答案】（1）解：如图所示，即为所要求作的边的垂直平分线；
（2）解：连接，
∵垂直平分，
∴，
∵点D是上靠近点A的三等分点，
∴，
∴，
∵，
在中，，
∴，
∴，
∴；
∴的度数．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；求特殊角的三角函数值；尺规作图-垂直平分线；正弦的概念
【解析】【分析】（1）分别以B，C为圆心画弧，再利用垂直平分线的作图步骤作图即可解答；
（2）由垂直平分得到，然后结合题意得到，再利用三角函数求出，然后利用三角形内角和定理求出，再利用三角形外角的性质和等边对等角求解即可解答．
20．【答案】解：任务1：以中点为原点，以所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
∵矩形的宽为，高为，抛物线形拱的高为，
∴抛物线的顶点，且过点，
设抛物线的解析式为：，
把点代入得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
任务2：设悬挂个灯笼，
依题意得：，
解得：，
∵灯笼的个数为双数，
∴符合悬挂条件的灯笼数量为4个；
任务3：由题意得间隔为，
∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标为．
【知识点】一元一次不等式组的应用；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】
任务1：以中点为原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系，可得抛物线的顶点，且过点，然后利用待定系数法把代入，计算即可解答；
任务2：设悬挂个灯笼，先根据“间隔在之间”列不等式，计算求解，再根据“悬挂灯笼的数量为双数”计算即可解答；
任务3：先求出间隔的距离，然后计算即可解答．
21．【答案】（1）40
（2）解：小说的频数为：；戏剧的频率为；
其他的频率为，
补全频数分布表如图所示；
类别 频数（人数） 频率
小说 20 0.5
戏剧 4 0.1
散文 10 0.25
其他 6 0.15
合计 40 1
在扇形统计图中，“其他”类所占的圆心角度数为；
（3）解：画树状图，如图所示：
所有等可能的情况有12种，其中恰好是甲与乙的情况有2种，
∴．
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】
解：（1），
∴八年级一班一共有40名学生；
故答案为：40
【分析】
（1）观察图表利用散文的频数10除以频率0.25即可解答；
（2）先求出小说的频数、戏剧的频率、其他的频率，即可补全频数分布表，再用“其他”类的占比乘以即可解答；
（3）根据题意画出树状图，根据概率的运算利用符合题意的情况数2除以总的情况数12即可解答．
（1），
∴八年级一班一共有40名学生；
故答案为：40
（2）小说的频数为：；
戏剧的频率为；
其他的频率为，
补全频数分布表如图所示；
类别 频数（人数） 频率
小说 20 0.5
戏剧 4 0.1
散文 10 0.25
其他 6 0.15
合计 40 1
在扇形统计图中，“其他”类所占的圆心角度数为；
（3）画树状图，如图所示：
所有等可能的情况有12种，其中恰好是甲与乙的情况有2种，
∴．
22．【答案】（1）解：在中，，，．
∴，
∴的半径为；
（2）解：延长交于M，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴；

（3）解：当时，连接，，
∵，
∴，
∵，
∴经过圆心，
∴，
∴，
；
当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
【知识点】勾股定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的性质-对应边；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）根据勾股定理求出直径长，即可解答；
（2）延长交于M，利用AA证明，利用相似三角形的性质列出比例式，计算即可解答；
（3）分类讨论：当时，连接，；当时，，再分别根据等腰三角形的性质求出x，再利用（2）中的结论求出y即可解答．
（1）解：在中，，，．
∴，
∴的半径为；
（2）解：延长交于M，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴；
（3）解：当时，连接，，
∵，
∴，
∵，
∴经过圆心，
∴，
∴，
；
当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
23．【答案】解：（1）结论：．
理由：如图1中，
正方形的对角线，交于点，
，，
，
，
在和中
，
，
，
；
（2）；
（3）4或2
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定；菱形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】
解：（2）结论变为，理由如下：
如图2中，取的中点T，连接，
四边形为的菱形，
，，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
故答案为：；
（3）如图3﹣1中，当点P靠近点B时，过点A作于H，连接，作交于G．
是等边三角形，，
，，
在中，，
，
由（2）可知，，
；
如图中，当点靠近点时，同法可得，，
，
，
综上所述，满足条件的的值为或；
故答案为：4或2．
【分析】
（1）根据正方形的性质可得，，再利用ASA证明，得到，即可解答；
（2）取的中点，连接，根据菱形的性质可得是等边三角形，即可利用ASA可证明得到，即可解答；
（3）分两种情况：当点靠近点时；当点靠近点时；过点作于，连接，作交于，结合（2），根据勾股定理和等边三角形的性质通过计算线段的和差，求解即可解答．
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