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浙江省绍兴诸暨市新晖联盟2025年中考三模数学试题
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（2025·诸暨模拟）某日上午八点绍兴市的气温为-1℃，下午两点，气温比上午八点上升了3℃，则下午两点的气温为（　　）
A．-4℃ B．-2℃ C．2℃ D．4℃
【答案】C
【知识点】有理数的加法实际应用
【解析】【解答】解：下午两点的气温为：-1+3=2(℃).
故答案为：C.
【分析】根据有理数的加法法则即可求解.
2．（2025·诸暨模拟）太阳直径大约是1392000千米，相当于地球直径的109倍，数据1392000用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：数据1392000用科学记数法表示为1.392×106，
故答案为：B.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
3．（2025·诸暨模拟）如图，交通锥是由一个圆台和长方体底座组成的一种临时道路标示，则其俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从上边看，是一个正方形，正方形内部有两个同心圆.
故答案为：C.
【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案.
4．（2025·诸暨模拟）二次根式中x的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：x-3≥0，解得：x≥3，
故答案为：A.
【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数大于等于0，即可求解.
5．（2025·诸暨模拟）下列式子中，正确的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；单项式除以单项式；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A.，故该选项不正确，不符合题意；
B.，故该选项不正确，不符合题意；
C.，故该选项不正确，不符合题意；
D.，故该选项正确，符合题意．
故选：D．
【分析】
同底数幂的乘法，底数不变，指数相加；
积的乘方，每积的每一个因式先乘方，再把所得的幂相乘；
两数和或差的完全平方等于这两数和平方和加上或减去这两数乘积的2倍；
单项式除以单项式，系数的商作为商的系数，相同字母作同底数幂的除法运算，对于只在被除式中出现的字母连同它的指数作为商的一个因式．
6．（2025·诸暨模拟）如图是“小孔成像”示意图，保持蜡烛与光屏平行，测得点O到蜡烛、光屏的距离分别为10cm，6cm.若CD为2cm，则AB长为（　　）
A．cm B．2cm C．cm D．cm
【答案】D
【知识点】8字型相似模型
【解析】【解答】解：如图：过点O作OE⊥AB，垂足为E，延长EO交CD于点F，
由题意得：OF⊥CD，AB//CD
∴∠OAB=∠OCD，∠OBA=∠ODC，
∴△OAB∽△OCD，
∴
∴
解得：
∴AB的长为，
故答案为：D.
【分析】过点O作OE⊥AB，垂足为E，延长EO交CD于点F，根据题意可得：OF⊥CD，AB//CD，然后证明8字模型相似三角形，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答.
7．（2025·诸暨模拟）如图，点O在的边AC上，经过点C，且与AB相切于点B.若，，则扇形BOC的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆周角定理；切线的性质；扇形面积的计算；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，设AC与☉O的另一个交点为点D，连接BD，
∵AB是切线，
∴∠OBA=90°
∵OC=1，AC=3，
∴OB=1，OA=2，CD=2，
∴
∴∠A=30°，
∴∠AOB=90°-30°=60°，
∴∠BOC=120°，
∴
故答案为：A.
【分析】设AC与☉O的另一个交点为点D，连接BD，解直角三角形求出∠A=30°，然后可得∠AOB和∠BOC的度数，再根据扇形面积公式计算即可.
8．（2025·诸暨模拟）甲、乙两组同学在植树活动中均植树120棵，已知甲组每小时比乙组多种10棵，且甲组比乙组提前2小时完成.设乙组每小时植树x棵，可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设乙组每小时植树x棵，可列出方程为 ，
故答案为：A.
【分析】直接利用甲组每小时比乙组多种植10棵，且甲组比乙组提前2小时完成，进而得出等式求出答案.
9．（2025·诸暨模拟）已知点，为二次函数图象上的两点（不为顶点），则以下判断正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²的性质
【解析】【解答】解：∵y=x2，a=1>0，对称轴为y轴，
∴在y轴左侧，y随x的增大而减小，在y轴右侧，y随x的增大而增大，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大；
A、x1>x2，y1不一定大于y2，
例如x1=1时，y1=1，x2=-2时，y2=4，此时x1>x2
但是y1B、x1例如x1=-2时y1=4，x2=1时，y2=1，此时x1但是y1>y2；故选项B错误，不符合题意；
C、当x1x2>(x2)2，即：x1x2>x2x2>0，
∴x1x2>0，
当x1y2，
当x1>x2>0时，y1>y2，
当x1x2>(x2)2时，y1>y2，
故选项C正确，符合题意；
D、当x1x2<(x2)2，即：y1不一定小于y2，
例如x1=-2时，y1=4，x2=1时，y2=1，
此时x1x2=-2<(x2)2=1，但是y1>y2；故选项D错误，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据二次函数的性质，逐一进行判断即可.
10．（2025·诸暨模拟）如图，已知AB为⊙O的直径，弦AC，BD相交于点E，M在AE上，连结DM.若AB=1，∠DMC=∠B，则cos∠AED的值始终等于线段长（　　）
A．DM B．EM C．AM D．CM
【答案】A
【知识点】圆周角定理；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：连接DC，BC，
∵∠DMC=∠ABD，∠ABD=∠ACD，
∴∠DMC=∠ACD，
∴DM=DC，
∵AB为☉O直径，
∴∠ACB=90°
∴
∵∠AED=∠CEB
∴
∵∠DEC=∠AEB，
∴△DEC∽△AEB，
∴
∴，
∴cos∠AED=DM，
故答案为：A.
【分析】连接DC，BC，根据同弧所对的圆周角相等可得∠ABD=∠ACD，从而可得∠DMC=∠ACD，进而可得DM=DC，再利用直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=90°，从而可得，然后再证明8字模型相似三角形△DEC∽△AEB，利用相似三角形的性质即可解答.
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．（2025·诸暨模拟）分解因式： =　 　.
【答案】(2x+3)(2x-3)
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】利用平方差公式得： (2x+3)(2x-3).
【分析】观察此多项式的特点：含有两项，两项符号相反且都能写成平方形式，因此利用平方差公式分解因式.
12．（2025·诸暨模拟）一个不透明的袋子里装有4个红球和6个白球，它们除颜色外其余都相同.从袋中任意摸出一个球，摸出白球的概率是　 　.
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：袋子里装有4个红球和6个白球， 从袋中任意摸出一个球， 共有10种结果，每种结果出现的可能性相同，摸出白球的结果为6种，故摸出白球的概率为
故答案为：.
【分析】从袋子中任意摸出一个球共有10种结果，摸出白球的结果为6种，根据即可得出答案.
13．（2025·诸暨模拟）不等式2x-1的解集是　 　.
【答案】
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：去分母，得：x-1>4x-2，
移项及合并同类项，得：-3x>-1，
系数化为1，得：，
故答案为：.
【分析】根据解一元一次不等式的方法，可以求得该不等式的解集.
14．（2025·诸暨模拟）一段圆弧形公路弯道的半径为200m，圆心角为18°，则该弯道的长度为　 　m（结果保留π）.
【答案】20π
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：该弯道的长度为
故答案为：20π.
【分析】根据弧长公式，代入数据计算即可.
15．（2025·诸暨模拟）在平面直角坐标系中，反比例函数y=(k>0)的图象如图所示，等边三角形ABC的顶点A在该反比例函数图象上，AB⊥x轴于点B，OB=1.若顶点C恰好落在y= (k>0)的图象上，则k=　 　.
【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；等边三角形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：过点C作CD⊥x轴于点D，
∵OB=1，△ABC是等边三角形，
∴设点A（1，k），则BC=AB=k，∠ABC=60°，
∵AB⊥x轴，CD⊥x轴，
∴AB∥CD，
∴∠ABC=∠BCD=60°，
∴，
∴点C，
∴
解之：k=.
故答案为：
【分析】 过点C作CD⊥x轴于点D，利用等边三角形的性质，设点A（1，k），则BC=AB=k，∠ABC=60°，同时可证得AB∥CD，利用平行线的性质可得到∠BCD=60°；再利用解直角三角形求出BD，CD的长，可得到C的坐标，将点C的坐标代入 y=，可得到关于k的方程，解方程求出k的值.
16．（2025·诸暨模拟） 如图，矩形 ABCD 中，BC=9，E 为BC 上一点，将△ABE 沿着 AE 翻折得到△AFE，连结 CF.若∠FEC=2∠FCE，且CF=6，则 BE 的长为　 　，AB 的长为　 　
【答案】4；
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：连接，过点作于点，设交于点，如图所示：
∵将沿着AE翻折得到，
∴FE=BE，
∴，
∴
∵，即，
∴
∴
∵，，
∴，
∵，
在中，
设，则
在中，，
∴，
解得：
即，
∵将△ABE 沿着 AE 翻折得到△AFE，
∴，
∴
∴
在中，，
∴，
∵
∴在中，
在中，，
故答案为：，
【分析】连接，过点作于点，设交于点，先根据折叠的性质得到FE=BE，进而根据等腰三角形的性质（等边对等角）得到，等量代换得到，根据等腰三角形的判定得到，再结合题意运用勾股定理求出FG，设，则，根据勾股定理求出x即BE的长，从而根据折叠的性质得到，即，，再解直角三角形求出边长即可。
三、解答题（本题有8小题，共72分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．（2025·诸暨模拟）计算：.
【答案】解：原式=3-3+
=
【知识点】负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】原式利用绝对值的代数意义，算术平方根定义，以及负整数指数幂法则计算即可得到结果.
18．（2025·诸暨模拟）解方程组：
【答案】解：
①+②得：6x=42，
解得：x=7
将x=7代入①得：14+y=23，
解得：y=9，
故原方程组的解为
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】根据加减消元法即可求解.
19．（2025·诸暨模拟）小乐和小嘉同时从学校出发，分别骑自行车沿同一条路线到体育馆进行锻炼，图中折线O-A-B-C和线段OD分别表示小乐和小嘉离学校的距离y（米）与时间x（分钟）的函数关系的图象，且两人骑车速度均保持不变，根据图中信息，解答下列问题：
（1）求出小嘉离学校的距离）（米）与时间x（分钟）的函数表达式，并直接写出图中a的值.
（2）出发后经过15分钟，小乐和小嘉相距多少米？
【答案】（1）解：设小嘉离学校的距离y（米）与时间x（分钟）的函数表达式为，把(6，1200)代入解析式得：，解得，
∴小嘉离学校的距离y（米）与时间x（分钟）的函数表达式为；
a=12
（2）解：15×200-1200-300×(15-12)=900(米)，
答：出发后经过15分钟，小乐和小嘉相距900米
【知识点】一次函数的图象；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】(1)用待定系数法求函数解析式；求出小乐的速度，再求a的值；
(2)用小嘉的路程减去小乐的路程即可得出结论.
20．（2025·诸暨模拟）某校为了解该校学生参加课外体育活动的情况，采取抽样调查的方法从篮球、排球、乒乓球、足球及其他五个方面调查了若干名学生的兴趣爱好（每人只能选其中一项），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）这次考察中一共调查了　 　名学生：“排球”部分所对应的圆心角为　 　度.
（2）补全条形统计图.
（3）若全校有3000名学生，试估计该校喜欢乒乓球的学生约有多少人？
【答案】（1）150；43.2
（2）解：篮球的人数为：150×30%=45(名)，
如图，
（3）解：3000×14%=420(名)，
答：该校喜欢乒乓球的学生约有420人
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】解：(1)在这次考查中一共调查了学生：30÷20% = 150(名)
“排球”部分所对应的圆心角为：360°×(1-14%-24%-20%-30%)=43.2°，
故答案为：150；43.2.
【分析】(1)根据其它的百分比和频数可求总数；利用扇形图所对的圆心角的度数=百分比乘以360度即可求得；
(2)利用总数和百分比求出频数再补全条形图；
(3)用样本估计总体即可.
21．（2025·诸暨模拟）图1，图2分别是某型号拉杆箱的实物图与平面示意图，具体信息如下：水平滑杆DE、箱长BC、拉杆AB的长度都相等，即DE=BC=AB，点B，F在线段AC
上，点C在DE上，支撑点F到箱底C的距离FC=32cm，CE：CD=1：5，DF⊥AC于点F，∠DCF=50°，请根据以上信息，解决下列问题：
（1）求水平滑杆DE的长度；
（2）求拉杆端点A到水平滑杆DE的距离h的值（结果保留到1cm）.（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）.
【答案】（1）解：∵DF⊥AC于点F，∠DCF=50°，
在Rt△CDF中，，
∴，
∵CE：CD=1：5，
∴DE=60cm
（2）解：过A作AG⊥ED，交ED的延长线于G，
∵DE=BC=AB，DE=60cm，
∴AC=120cm，
在Rt△ACG中，，
∴h=AG=AC·sin50°=120×0.77=92.4≈92(cm)
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】(1)过F作FH⊥DE于H，解直角三角形即可得到结论；
(2)过A作AG⊥ED交BD的延长线于G，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论.
22．（2025·诸暨模拟）如图，在矩形中，，点E在上，，F为的中点，连结，分别交于点G，H，连结．
（1）求证：．
（2）当时，求的长．
【答案】（1）证明：∵四边形是矩形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵F为的中点，
∴是的中位线，
∴；
（2）解：由（1）知，，∵，
∴，
∵，，F为的中点，
∴，，
在矩形中，，
∴
∴，，
∴，，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；矩形的性质；三角形的中位线定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】
（1）由于矩形的对边相等，即CD=2AD，由矩形的性质得，又，则，即DE=AD，则E为CD中点，又F为CB中点，即EF为的中位线，是BD=2EF；
（2）由（1）的结论知，由于矩形ABCD中，，由两直线平行内错角相等可，，由于E、F分别是边CD、CB的中点，则由相似比知DG等于BG的一半，BH等于DH的一半，即，则．
23．（2025·诸暨模拟）【综合与实践】某兴趣小组开展综合实践活动：在中，，D为AC上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF.设点P的运动时间为t，正方形DPEF的面积为S，探究S与t的关系.
（1）初步感知：如图1，当点P由点C运动到点B时，①当时，　 　.②S关于t的函数解析式为　 　.
（2）当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象.请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段AB的长.
（3）延伸探究：若存在3个时刻）对应的正方形DPEF的面积均相等.
① ；
②当时，求正方形DPEF的面积.
【答案】（1）3；s=t2+2(0≤t≤2)
（2）解：由(1)知，抛物线过点(2，6)，顶点为：(4，2)，
则抛物线的表达式为：S=a(t-4)2+2
将(2，6)代入上式得：6=a(2-4)2+2，
解得：a=1，
则抛物线的表达式为：S=(t-4)2+2=t2-8t+18(2≤x≤8)，
当S=18时，则t2-8t+18=18，
解得：t=0(舍去)或8，
则AB=8-2=6
（3）解：①4；
②从图象看t2，t3关于t=4对称，
则t1+t2=8②，
而t3=6t1③，
由①②③得：4-t1+6t1=8，
解得：t1=0.8，
当t1=0.8时，S=t2+2=2.64
即正方形DPEF的面积为2.64.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的图象；三角形-动点问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】解：(1)①②在Rt△PCD中，，PC=t，
则S=PD2=t2+2，
当S=6时，即t2+2=6，
解得：t=2(负值已舍去)，
即BC=2，
当t=1时，S=t2+2=3，
故答案为：①3；②S=t2+2(0≤t≤2).
(3)在题干图中画出S=t2+2(0≤t≤2)，如图：
从两个函数表达式看，两个函数a相同，都为1，
若存在3个时刻t1，t2，t3(t1则t1，t2，t3如图所示，此时符合题意；
①从图象看，t1，t2关于t=2对称，
则，
则t1+t2=4①，
故答案为：4.
【分析】(1)在Rt△PCD中，，PC=t，则S=PD2=t2+2，即可求解；
(2)用待定系数法求出函数表达式，进而求解；
(3)①从图象看，t1、t2关于x=2对称，则，即可求解；
②从图象看t2、t3关于t=4对称，进而求解.
24．（2025·诸暨模拟）如图，AB为O0的弦，点C在弧AB上，AB平分∠OBC，过点C作CE⊥OA于点E，交AB于点F，连结OF.
（1）求证：.
（2）求的值.
（3）当时，判断的形状，并说明理由.
【答案】（1）证明：∵AB平分∠OBC，
∴∠OBA=∠ABC，
又∵∠OBA=∠OAB，
∴BC∥OA
（2）解：连结OC，过点O作OD⊥BC于点D，
则BC=2BD=2CD；CE⊥OA，
∴四边形OECD为矩形，∴CD=OE，
，即
（3）解：是等腰三角形，理由如下：.
.
.
由（1）可知，易证，可得，
如图2，过点O分别作AC，AB的垂线，垂足分别为M，N.
设，则，.，，易证可得，，易得，，
在Rt中，，，即是等腰三角形
【知识点】矩形的判定与性质；垂径定理；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)由AB平分∠OBC，可得∠OBA=∠ABC，又由∠OBA=∠OAB，根据平行线的性质即可得出结论；
(2)连结OC，过点O作OD⊥BC于点D，先证明四边形OECD为矩形，进而即可得出结论；
(3)过点O分别作AC，AB的垂线，垂足分别为M，N.先证明△BCF∽△AEF，可得，设BF=2x，则AF=3x，AB=5x，再证明△AFC∽△ACB，可得，最后再通过勾股定理求解即可.
1 / 1浙江省绍兴诸暨市新晖联盟2025年中考三模数学试题
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（2025·诸暨模拟）某日上午八点绍兴市的气温为-1℃，下午两点，气温比上午八点上升了3℃，则下午两点的气温为（　　）
A．-4℃ B．-2℃ C．2℃ D．4℃
2．（2025·诸暨模拟）太阳直径大约是1392000千米，相当于地球直径的109倍，数据1392000用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·诸暨模拟）如图，交通锥是由一个圆台和长方体底座组成的一种临时道路标示，则其俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025·诸暨模拟）二次根式中x的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·诸暨模拟）下列式子中，正确的是(　　)
A． B．
C． D．
6．（2025·诸暨模拟）如图是“小孔成像”示意图，保持蜡烛与光屏平行，测得点O到蜡烛、光屏的距离分别为10cm，6cm.若CD为2cm，则AB长为（　　）
A．cm B．2cm C．cm D．cm
7．（2025·诸暨模拟）如图，点O在的边AC上，经过点C，且与AB相切于点B.若，，则扇形BOC的面积为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·诸暨模拟）甲、乙两组同学在植树活动中均植树120棵，已知甲组每小时比乙组多种10棵，且甲组比乙组提前2小时完成.设乙组每小时植树x棵，可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
9．（2025·诸暨模拟）已知点，为二次函数图象上的两点（不为顶点），则以下判断正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．（2025·诸暨模拟）如图，已知AB为⊙O的直径，弦AC，BD相交于点E，M在AE上，连结DM.若AB=1，∠DMC=∠B，则cos∠AED的值始终等于线段长（　　）
A．DM B．EM C．AM D．CM
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．（2025·诸暨模拟）分解因式： =　 　.
12．（2025·诸暨模拟）一个不透明的袋子里装有4个红球和6个白球，它们除颜色外其余都相同.从袋中任意摸出一个球，摸出白球的概率是　 　.
13．（2025·诸暨模拟）不等式2x-1的解集是　 　.
14．（2025·诸暨模拟）一段圆弧形公路弯道的半径为200m，圆心角为18°，则该弯道的长度为　 　m（结果保留π）.
15．（2025·诸暨模拟）在平面直角坐标系中，反比例函数y=(k>0)的图象如图所示，等边三角形ABC的顶点A在该反比例函数图象上，AB⊥x轴于点B，OB=1.若顶点C恰好落在y= (k>0)的图象上，则k=　 　.
16．（2025·诸暨模拟） 如图，矩形 ABCD 中，BC=9，E 为BC 上一点，将△ABE 沿着 AE 翻折得到△AFE，连结 CF.若∠FEC=2∠FCE，且CF=6，则 BE 的长为　 　，AB 的长为　 　
三、解答题（本题有8小题，共72分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．（2025·诸暨模拟）计算：.
18．（2025·诸暨模拟）解方程组：
19．（2025·诸暨模拟）小乐和小嘉同时从学校出发，分别骑自行车沿同一条路线到体育馆进行锻炼，图中折线O-A-B-C和线段OD分别表示小乐和小嘉离学校的距离y（米）与时间x（分钟）的函数关系的图象，且两人骑车速度均保持不变，根据图中信息，解答下列问题：
（1）求出小嘉离学校的距离）（米）与时间x（分钟）的函数表达式，并直接写出图中a的值.
（2）出发后经过15分钟，小乐和小嘉相距多少米？
20．（2025·诸暨模拟）某校为了解该校学生参加课外体育活动的情况，采取抽样调查的方法从篮球、排球、乒乓球、足球及其他五个方面调查了若干名学生的兴趣爱好（每人只能选其中一项），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）这次考察中一共调查了　 　名学生：“排球”部分所对应的圆心角为　 　度.
（2）补全条形统计图.
（3）若全校有3000名学生，试估计该校喜欢乒乓球的学生约有多少人？
21．（2025·诸暨模拟）图1，图2分别是某型号拉杆箱的实物图与平面示意图，具体信息如下：水平滑杆DE、箱长BC、拉杆AB的长度都相等，即DE=BC=AB，点B，F在线段AC
上，点C在DE上，支撑点F到箱底C的距离FC=32cm，CE：CD=1：5，DF⊥AC于点F，∠DCF=50°，请根据以上信息，解决下列问题：
（1）求水平滑杆DE的长度；
（2）求拉杆端点A到水平滑杆DE的距离h的值（结果保留到1cm）.（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）.
22．（2025·诸暨模拟）如图，在矩形中，，点E在上，，F为的中点，连结，分别交于点G，H，连结．
（1）求证：．
（2）当时，求的长．
23．（2025·诸暨模拟）【综合与实践】某兴趣小组开展综合实践活动：在中，，D为AC上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF.设点P的运动时间为t，正方形DPEF的面积为S，探究S与t的关系.
（1）初步感知：如图1，当点P由点C运动到点B时，①当时，　 　.②S关于t的函数解析式为　 　.
（2）当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象.请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段AB的长.
（3）延伸探究：若存在3个时刻）对应的正方形DPEF的面积均相等.
① ；
②当时，求正方形DPEF的面积.
24．（2025·诸暨模拟）如图，AB为O0的弦，点C在弧AB上，AB平分∠OBC，过点C作CE⊥OA于点E，交AB于点F，连结OF.
（1）求证：.
（2）求的值.
（3）当时，判断的形状，并说明理由.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】有理数的加法实际应用
【解析】【解答】解：下午两点的气温为：-1+3=2(℃).
故答案为：C.
【分析】根据有理数的加法法则即可求解.
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：数据1392000用科学记数法表示为1.392×106，
故答案为：B.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
3．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从上边看，是一个正方形，正方形内部有两个同心圆.
故答案为：C.
【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案.
4．【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：x-3≥0，解得：x≥3，
故答案为：A.
【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数大于等于0，即可求解.
5．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；单项式除以单项式；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A.，故该选项不正确，不符合题意；
B.，故该选项不正确，不符合题意；
C.，故该选项不正确，不符合题意；
D.，故该选项正确，符合题意．
故选：D．
【分析】
同底数幂的乘法，底数不变，指数相加；
积的乘方，每积的每一个因式先乘方，再把所得的幂相乘；
两数和或差的完全平方等于这两数和平方和加上或减去这两数乘积的2倍；
单项式除以单项式，系数的商作为商的系数，相同字母作同底数幂的除法运算，对于只在被除式中出现的字母连同它的指数作为商的一个因式．
6．【答案】D
【知识点】8字型相似模型
【解析】【解答】解：如图：过点O作OE⊥AB，垂足为E，延长EO交CD于点F，
由题意得：OF⊥CD，AB//CD
∴∠OAB=∠OCD，∠OBA=∠ODC，
∴△OAB∽△OCD，
∴
∴
解得：
∴AB的长为，
故答案为：D.
【分析】过点O作OE⊥AB，垂足为E，延长EO交CD于点F，根据题意可得：OF⊥CD，AB//CD，然后证明8字模型相似三角形，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答.
7．【答案】A
【知识点】圆周角定理；切线的性质；扇形面积的计算；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，设AC与☉O的另一个交点为点D，连接BD，
∵AB是切线，
∴∠OBA=90°
∵OC=1，AC=3，
∴OB=1，OA=2，CD=2，
∴
∴∠A=30°，
∴∠AOB=90°-30°=60°，
∴∠BOC=120°，
∴
故答案为：A.
【分析】设AC与☉O的另一个交点为点D，连接BD，解直角三角形求出∠A=30°，然后可得∠AOB和∠BOC的度数，再根据扇形面积公式计算即可.
8．【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设乙组每小时植树x棵，可列出方程为 ，
故答案为：A.
【分析】直接利用甲组每小时比乙组多种植10棵，且甲组比乙组提前2小时完成，进而得出等式求出答案.
9．【答案】C
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²的性质
【解析】【解答】解：∵y=x2，a=1>0，对称轴为y轴，
∴在y轴左侧，y随x的增大而减小，在y轴右侧，y随x的增大而增大，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大；
A、x1>x2，y1不一定大于y2，
例如x1=1时，y1=1，x2=-2时，y2=4，此时x1>x2
但是y1B、x1例如x1=-2时y1=4，x2=1时，y2=1，此时x1但是y1>y2；故选项B错误，不符合题意；
C、当x1x2>(x2)2，即：x1x2>x2x2>0，
∴x1x2>0，
当x1y2，
当x1>x2>0时，y1>y2，
当x1x2>(x2)2时，y1>y2，
故选项C正确，符合题意；
D、当x1x2<(x2)2，即：y1不一定小于y2，
例如x1=-2时，y1=4，x2=1时，y2=1，
此时x1x2=-2<(x2)2=1，但是y1>y2；故选项D错误，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据二次函数的性质，逐一进行判断即可.
10．【答案】A
【知识点】圆周角定理；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：连接DC，BC，
∵∠DMC=∠ABD，∠ABD=∠ACD，
∴∠DMC=∠ACD，
∴DM=DC，
∵AB为☉O直径，
∴∠ACB=90°
∴
∵∠AED=∠CEB
∴
∵∠DEC=∠AEB，
∴△DEC∽△AEB，
∴
∴，
∴cos∠AED=DM，
故答案为：A.
【分析】连接DC，BC，根据同弧所对的圆周角相等可得∠ABD=∠ACD，从而可得∠DMC=∠ACD，进而可得DM=DC，再利用直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=90°，从而可得，然后再证明8字模型相似三角形△DEC∽△AEB，利用相似三角形的性质即可解答.
11．【答案】(2x+3)(2x-3)
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】利用平方差公式得： (2x+3)(2x-3).
【分析】观察此多项式的特点：含有两项，两项符号相反且都能写成平方形式，因此利用平方差公式分解因式.
12．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：袋子里装有4个红球和6个白球， 从袋中任意摸出一个球， 共有10种结果，每种结果出现的可能性相同，摸出白球的结果为6种，故摸出白球的概率为
故答案为：.
【分析】从袋子中任意摸出一个球共有10种结果，摸出白球的结果为6种，根据即可得出答案.
13．【答案】
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：去分母，得：x-1>4x-2，
移项及合并同类项，得：-3x>-1，
系数化为1，得：，
故答案为：.
【分析】根据解一元一次不等式的方法，可以求得该不等式的解集.
14．【答案】20π
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：该弯道的长度为
故答案为：20π.
【分析】根据弧长公式，代入数据计算即可.
15．【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；等边三角形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：过点C作CD⊥x轴于点D，
∵OB=1，△ABC是等边三角形，
∴设点A（1，k），则BC=AB=k，∠ABC=60°，
∵AB⊥x轴，CD⊥x轴，
∴AB∥CD，
∴∠ABC=∠BCD=60°，
∴，
∴点C，
∴
解之：k=.
故答案为：
【分析】 过点C作CD⊥x轴于点D，利用等边三角形的性质，设点A（1，k），则BC=AB=k，∠ABC=60°，同时可证得AB∥CD，利用平行线的性质可得到∠BCD=60°；再利用解直角三角形求出BD，CD的长，可得到C的坐标，将点C的坐标代入 y=，可得到关于k的方程，解方程求出k的值.
16．【答案】4；
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：连接，过点作于点，设交于点，如图所示：
∵将沿着AE翻折得到，
∴FE=BE，
∴，
∴
∵，即，
∴
∴
∵，，
∴，
∵，
在中，
设，则
在中，，
∴，
解得：
即，
∵将△ABE 沿着 AE 翻折得到△AFE，
∴，
∴
∴
在中，，
∴，
∵
∴在中，
在中，，
故答案为：，
【分析】连接，过点作于点，设交于点，先根据折叠的性质得到FE=BE，进而根据等腰三角形的性质（等边对等角）得到，等量代换得到，根据等腰三角形的判定得到，再结合题意运用勾股定理求出FG，设，则，根据勾股定理求出x即BE的长，从而根据折叠的性质得到，即，，再解直角三角形求出边长即可。
17．【答案】解：原式=3-3+
=
【知识点】负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】原式利用绝对值的代数意义，算术平方根定义，以及负整数指数幂法则计算即可得到结果.
18．【答案】解：
①+②得：6x=42，
解得：x=7
将x=7代入①得：14+y=23，
解得：y=9，
故原方程组的解为
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】根据加减消元法即可求解.
19．【答案】（1）解：设小嘉离学校的距离y（米）与时间x（分钟）的函数表达式为，把(6，1200)代入解析式得：，解得，
∴小嘉离学校的距离y（米）与时间x（分钟）的函数表达式为；
a=12
（2）解：15×200-1200-300×(15-12)=900(米)，
答：出发后经过15分钟，小乐和小嘉相距900米
【知识点】一次函数的图象；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】(1)用待定系数法求函数解析式；求出小乐的速度，再求a的值；
(2)用小嘉的路程减去小乐的路程即可得出结论.
20．【答案】（1）150；43.2
（2）解：篮球的人数为：150×30%=45(名)，
如图，
（3）解：3000×14%=420(名)，
答：该校喜欢乒乓球的学生约有420人
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】解：(1)在这次考查中一共调查了学生：30÷20% = 150(名)
“排球”部分所对应的圆心角为：360°×(1-14%-24%-20%-30%)=43.2°，
故答案为：150；43.2.
【分析】(1)根据其它的百分比和频数可求总数；利用扇形图所对的圆心角的度数=百分比乘以360度即可求得；
(2)利用总数和百分比求出频数再补全条形图；
(3)用样本估计总体即可.
21．【答案】（1）解：∵DF⊥AC于点F，∠DCF=50°，
在Rt△CDF中，，
∴，
∵CE：CD=1：5，
∴DE=60cm
（2）解：过A作AG⊥ED，交ED的延长线于G，
∵DE=BC=AB，DE=60cm，
∴AC=120cm，
在Rt△ACG中，，
∴h=AG=AC·sin50°=120×0.77=92.4≈92(cm)
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】(1)过F作FH⊥DE于H，解直角三角形即可得到结论；
(2)过A作AG⊥ED交BD的延长线于G，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论.
22．【答案】（1）证明：∵四边形是矩形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵F为的中点，
∴是的中位线，
∴；
（2）解：由（1）知，，∵，
∴，
∵，，F为的中点，
∴，，
在矩形中，，
∴
∴，，
∴，，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；矩形的性质；三角形的中位线定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】
（1）由于矩形的对边相等，即CD=2AD，由矩形的性质得，又，则，即DE=AD，则E为CD中点，又F为CB中点，即EF为的中位线，是BD=2EF；
（2）由（1）的结论知，由于矩形ABCD中，，由两直线平行内错角相等可，，由于E、F分别是边CD、CB的中点，则由相似比知DG等于BG的一半，BH等于DH的一半，即，则．
23．【答案】（1）3；s=t2+2(0≤t≤2)
（2）解：由(1)知，抛物线过点(2，6)，顶点为：(4，2)，
则抛物线的表达式为：S=a(t-4)2+2
将(2，6)代入上式得：6=a(2-4)2+2，
解得：a=1，
则抛物线的表达式为：S=(t-4)2+2=t2-8t+18(2≤x≤8)，
当S=18时，则t2-8t+18=18，
解得：t=0(舍去)或8，
则AB=8-2=6
（3）解：①4；
②从图象看t2，t3关于t=4对称，
则t1+t2=8②，
而t3=6t1③，
由①②③得：4-t1+6t1=8，
解得：t1=0.8，
当t1=0.8时，S=t2+2=2.64
即正方形DPEF的面积为2.64.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的图象；三角形-动点问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】解：(1)①②在Rt△PCD中，，PC=t，
则S=PD2=t2+2，
当S=6时，即t2+2=6，
解得：t=2(负值已舍去)，
即BC=2，
当t=1时，S=t2+2=3，
故答案为：①3；②S=t2+2(0≤t≤2).
(3)在题干图中画出S=t2+2(0≤t≤2)，如图：
从两个函数表达式看，两个函数a相同，都为1，
若存在3个时刻t1，t2，t3(t1则t1，t2，t3如图所示，此时符合题意；
①从图象看，t1，t2关于t=2对称，
则，
则t1+t2=4①，
故答案为：4.
【分析】(1)在Rt△PCD中，，PC=t，则S=PD2=t2+2，即可求解；
(2)用待定系数法求出函数表达式，进而求解；
(3)①从图象看，t1、t2关于x=2对称，则，即可求解；
②从图象看t2、t3关于t=4对称，进而求解.
24．【答案】（1）证明：∵AB平分∠OBC，
∴∠OBA=∠ABC，
又∵∠OBA=∠OAB，
∴BC∥OA
（2）解：连结OC，过点O作OD⊥BC于点D，
则BC=2BD=2CD；CE⊥OA，
∴四边形OECD为矩形，∴CD=OE，
，即
（3）解：是等腰三角形，理由如下：.
.
.
由（1）可知，易证，可得，
如图2，过点O分别作AC，AB的垂线，垂足分别为M，N.
设，则，.，，易证可得，，易得，，
在Rt中，，，即是等腰三角形
【知识点】矩形的判定与性质；垂径定理；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)由AB平分∠OBC，可得∠OBA=∠ABC，又由∠OBA=∠OAB，根据平行线的性质即可得出结论；
(2)连结OC，过点O作OD⊥BC于点D，先证明四边形OECD为矩形，进而即可得出结论；
(3)过点O分别作AC，AB的垂线，垂足分别为M，N.先证明△BCF∽△AEF，可得，设BF=2x，则AF=3x，AB=5x，再证明△AFC∽△ACB，可得，最后再通过勾股定理求解即可.
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