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广东省东莞市石碣新民学校2025年中考数学原创信息卷(三)
1．（2025·东莞模拟）中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家，早在我国西汉时期的《九章算术》中就引入了负数． 若在粮谷计算中，益实一斗（增加1斗） 记为斗，那么损实5斗（减少5斗） 记为（ ）
A．斗 B．斗 C．斗 D．斗
2．（2025·东莞模拟）石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度应为，用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·东莞模拟）下列图形是正方体展开图的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025·东莞模拟）如图，直线l与直线a、b分别相交，且，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·东莞模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·东莞模拟）如图，小明与小敏玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点O即跷跷板的中点到地面的距离是，当小明从水平位置上升时，小敏离地面的高度是（　　）．
A． B． C． D．
7．（2025·东莞模拟）某市举办了“传诵经典”青少年演讲比赛，其中综合荣誉分占30%，现场演讲分占70%，小明参加并在这两项中分别取得90分和80分的成绩，则小明的最终成绩为 (　　)
A．81分 B．82分 C．83分 D．84分
8．（2025·东莞模拟）解分式方程时，下列去分母变形正确的是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·东莞模拟）如图，点在半径为3的上，，则的长为（　　）
A．3 B． C． D．
10．（2025·东莞模拟）已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
11．（2025·东莞模拟）比较大小：4　 　（填“>”“<”或“=”）.
12．（2025·东莞模拟）若点在轴上，则点M的坐标是　 　．
13．（2025·东莞模拟）某种风衣每件按进价的1.8倍标价，再降价40元售出后，每件可以获得120元的利润，那么该种风衣每件的进价为　 　元．
14．（2025·东莞模拟）如图，在中，，平分，则的面积是　 　．
15．（2025·东莞模拟）如图，正方形和正方形的边长分别是4和2，连接，H是的中点，连接，则的长为　 　．
16．（2025·东莞模拟）解不等式组：．
17．（2025·东莞模拟）如图，已知线段a，h．
（1）求作：，使，且，高；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）若，，请求等腰三角形的腰长．
18．（2025·东莞模拟）“准、绳、规、矩”是我国古代使用的测量工具．一个简单结构的“矩”指两条边成直角的曲尺（如图1），它的两条边分别是a，b，中国古代的天文和数学著作《周髀算经》中简明扼要地阐述了“矩”的功能，如“偃矩以望高”就是把“矩”仰立放置可以测量物体的高度．如图2，从“矩”EFG的一端E处望向一根木杆（木杆的宽度忽略不计）的顶端B处，使视线通过“矩”的另一端G处，测得，，若“矩”的边，求木杆的长．
19．（2025·东莞模拟）2024年11月20日，是我国第一艘无人飞船 神舟一号任务成功25周年．为普及航空航天知识，提升学生民族自豪感，南山某校当日组织七、八年级全体同学开展航空航天知识竞赛．现从七、八年级各随机抽取15名学生的竞赛成绩进行数据整理分析：
【数据收集】
七年级：69，70，71，74，76，80，83，84，85，85、89，92，93，96，98；
八年级：57，68，74，76，79，82，85，88，88，88，90，91，92，92，95；
【数据整理】
　
七年级 0 1 a 6 4
八年级 1 1 3 5 5
【数据分析】
年级 平均数 中位数 众数
七年级 83 b 85
八年级 83 88 c
根据以上信息，解答下列问题：
（1）a=　 　，b=　 　，c=　 　；
（2）你认为哪个年级竞赛成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）竞赛成绩在90分及以上的学生可以获得奖品，如果该校七年级有540名学生，八年级有600名学生，估计七、八年级可以获得奖品的学生总人数为多少？
20．（2025·东莞模拟）图1是一款高清视频设备．图2是该设备放置在水平桌面上的示意图，垂直于水平桌面，垂足为点，点处有一个摄像头．经测量，厘米，厘米，．
（1）求摄像头到桌面的距离；
（2）如果摄像头可拍摄的视角，且，求桌面上可拍摄区域的宽度（的长）．
（参考数据：，．）
21．（2025·东莞模拟）在项目化学习中，甲、乙两小组分别利用函数知识研究在不同条件下某物质的质量随时间的变化情况．设实验时间为分钟，甲、乙两小组研究的该物质的质量分别为克、克，与的几组对应值如下表：
0 5 10 15 20
25 23.5 20 14.5 7
25 20 15 10 5
（1）根据上表中各组对应值，在如图所示的平面直角坐标系中画出函数的图象．
（2）在你所学的一次函数、二次函数及反比例函数中，请选择合适的函数来反映与的变化规律，说明你选择的理由，并分别求出的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）．
（3）在上述实验中，当实验时间为多少分钟时，甲、乙两小组所研究的该物质的质量之差达到最大？最大为多少克？
22．（2025·东莞模拟）【问题背景】如图1，在平面直角坐标系中，有一矩形，，对角线，相交于点，，反比例函数与矩形交于点H，G，．
【问题解决】
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求的值；
（3）如图2，过点作于点于点，求的值．
23．（2025·东莞模拟）【问题情境】如图1，在矩形中，，．在上取一点E，，点F是边上的一个动点，以为一边作四边形，使点N落在边上，点M落在矩形内或其边上．
【知识技能】（1）如图1，当四边形是正方形时，的面积为_____；
【构建联系】（2）如图2，当四边形是菱形时，若，的面积为S，求S与x之间的函数解析式；
【拓展应用】（3）如图3，正方形是某小区旁一块边长为100米的空地，为了提升附近居民的生活环境，现要把这块空地及其周边打造成一个生态公园．按设计要求，为广场区域，正方形是休息区，是儿童娱乐区，，点N在边的延长线上．为满足各区域及绿化用地，想让广场的面积尽可能小，求面积的最小值及这时点D到点E的距离．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】具有相反意义的量
【解析】【解答】解：若在粮谷计算中，益实一斗（增加1斗）记为斗，那么损实5斗（减少5斗） 记为斗，
故选：C．
【分析】根据正数和负数是一组具有相反意义的量即可求出答案.
2．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：将用科学记数法表示为．
故选：D.
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数．
3．【答案】C
【知识点】正方体的几种展开图的识别
【解析】【解答】解：A、有“田”字形，不是正方体展开图，不符合题意；
B、不属于正方体展开图，不符合题意；
C、属于正方体展开图的型，符合题意；
D、有“凹”字形，不是正方体展开图，不符合题意；
故选：C．
【分析】根据正方体展开图的特征逐项进行判断即可求出答案.
4．【答案】B
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵，，
∴．
故选：B．
【分析】根据直线平行性质即可求出答案.
5．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A．，选项错误，不符合题意；
B．，选项正确，符合题意；
C．，选项错误，不符合题意；
D．，选项错误，不符合题意；
故选：B．
【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方，单项式除以单项式，合并同类项法则逐项进行判断即可求出答案.
6．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴小敏离地面的高度是，
故选：B．
【分析】根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
7．【答案】C
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】小明的最终比赛成绩为：90x30%+80x70%=27+56=83（分），
故答案为：C．
【分析】根据加权平均数的公式计算，即可求解．
8．【答案】A
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：，
方程两边同乘以得．
故选：A
【分析】等号两边同时乘以即可求出答案.
9．【答案】C
【知识点】圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：
．
故答案为：C．
【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠AOB=60°，再根据弧长公式即可求出答案.
10．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由函数图象可知，
∴，故A选项不符合题意；
∵抛物线与轴有两个不同的交点，
∴方程有两个不相等的实数根，则
∴，故B选项不符合题意；
∵抛物线的对称轴为直线
∴时的函数值与时的函数值相等，
由函数图象可知，时函数值小于零，
∴时函数值也小于零，即，故C选项符合题意；
∵抛物线的对称轴为直线
∴即，故D选项不符合题意；
故选：C．
【分析】根据二次函数图象，性质与系数的关系逐项进行判断即可求出答案.
11．【答案】<
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：∵4，
，
∴4.
故答案为：＜.
【分析】首先根据算术平方根的概念可得4=，据此进行比较.
12．【答案】
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点在轴上，∴a-2=0，解得a=2，
故a+3=2+3=5，
故点的坐标为，
故答案为：．
【分析】本题考查了y轴上点的坐标的特点，根据y轴上点的横坐标为0，得出方程a-2=0，求得a的值，进而得到点M的坐标，得到答案.
13．【答案】200
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设该商品每件的进价为x元，根据题意得：
，
解得：，
∴该商品每件的进价为200元．
故答案为：200．
【分析】设该商品每件的进价为x元，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
14．【答案】2
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：作，如图所示：
∵平分，
∴
∵，
∴的面积，
故答案为：
【分析】
首先，通过作垂线DE到AB，并利用角平分线的性质可得DE=DC=1，然后利用三角形面积公式，即面积等于底乘以高除以2，可以计算出三角形ABD的面积。
15．【答案】
【知识点】最简二次根式；勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图所示，延长交于M，
∵正方形和正方形的边长分别是4和2，
∴，
，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∵，H是的中点，
∴，
故答案为：．
【分析】延长交于M，根据正方形性质可得，
，再根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，根据边之间的关系可得DM，MF，再根据勾股定理可得DF，再根据直角三角形斜边上的中线性质即可求出答案.

16．【答案】解：
解不等式①，得；
解不等式②，得；
不等式组的解集为．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】先分别求出每一个不等式的解集，然后根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
17．【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：∵是的高，即，
∴，
∴，
∴等腰三角形的腰长为13．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；尺规作图-直线、射线、线段；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）先作射线，以点B为圆心，以线段a的长为半径画弧交射线于C，作线段的垂直平分线交于D，以D为圆心，以线段h的长为半径画弧交线段的垂直平分线于A，连接，则即为所求；
（2）根据等腰三角形三线合一定理得到的长，再由勾股定理求出的长即可得到答案．
（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：∵是的高，即，
∴，
∴，
∴等腰三角形的腰长为13．
18．【答案】解：由题意可得：为矩形，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴(米) ．
【知识点】矩形的判定与性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】根据矩形性质可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得BC，再根据边之间的关系即可求出答案.
19．【答案】（1）4；84；88
（2）解：八年级的成绩较好，理由如下：
两个年级的平均数相同，八年级的中位数和众数均比七年级高，所以八年级的成绩较好．
（3）解：（人）；
答：七、八年级可以获得奖品的学生总人数为 344人．
【知识点】频数与频率；频数（率）分布表；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）由表格知，七年级竞赛成绩在的人数是；
七年级竞赛成绩最中间的是84，所以中位数；八年级竞赛成绩出现次数最多的是88，所以众数.
故答案为：4，84，88；
【分析】（1）根据频数的定义，中位数和众数求出a、b、c的值即可求解；
（2）根据众数和中位数的定义结合题意分析即可求解；
（3）根据样本估计总体结合题意即可求解。
（1）解：由表格知，七年级竞赛成绩在的人数是；
七年级竞赛成绩最中间的是84，所以中位数；八年级竞赛成绩出现次数最多的是88，所以众数.
故答案为：4，84，88；
（2）解：八年级的成绩较好，理由如下：
两个年级的平均数相同，八年级的中位数和众数均比七年级高，所以八年级的成绩较好．
（3）解：（人）；
答：七、八年级可以获得奖品的学生总人数为 344人．
20．【答案】（1）解：过点作，过点作，垂足分别为点、，
，，
，
，，
，
，
．
答：摄像头到桌面的距离是．
（2）解：过点作，垂足为，
，，
设，，则，，，
，，
，
，
解得：，
，
答：桌面上可拍摄区域的宽度为．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）过点作，过点作，垂足分别为点、，根据角之间的关系可得，再根据正弦定义可得CF，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）过点作，垂足为，设，，则，，，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案.
（1）解：过点作，过点作，垂足分别为点、，
，，
，
，，
，
，
．
答：摄像头到桌面的距离是．
（2）解：过点作，垂足为，
，，
设，，则，，，
，，
，
，
解得：，
，
答：桌面上可拍摄区域的宽度为．
21．【答案】（1）解：函数的图象如图所示．
（2）解：由图可知、函数的图象是抛物线的一部分．所以是关于的二次函数，
函数的图象是直线的一部分，所以是关于的一次函数．
由题意可设．把点和点分别代入，得
，
解得，
；
设．把点和点分别代入，得
，解得，
；
（3）解：
，
∵，
当时，取最大值，最大值为．
答：当实验时间为分钟时，甲、乙两小组所研究的该物质的质量之差达到最大，最大为克．
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）先分别描点再连线，注意两个函数图象的区别，一个是直线、一个是抛物线；
（2）一次函数一般设表达式为而二次函数一般设表达式为，再分别取两点坐标代入得方程组即可；
（3）因为的结果还是一个二次函数，则求的最值，实际是求新的二次函数的顶点坐标．
（1）解：函数的图象如图所示．
（2）解：由图可知、函数的图象是抛物线的一部分．所以是关于的二次函数，
函数的图象是直线的一部分，所以是关于的一次函数．
由题意可设．把点和点分别代入，得
，
解得，
；
设．把点和点分别代入，得
，解得，
；
（3）解：
，
∵，
当时，取最大值，最大值为．
答：当实验时间为分钟时，甲、乙两小组所研究的该物质的质量之差达到最大，最大为克．
22．【答案】（1）解：在矩形中，
∵，，，
∴，，
在中，，
∵，，
∴，即，
将点代入中，得，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴

（3）解：连接，如图，
∵四边形是矩形，
∴，，，
由（1）知，，
∴，
∴，
∴．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理；矩形的性质；几何图形的面积计算-割补法；求正切值
【解析】【分析】（1）根据矩形性质可得，，再根据勾股定理可得AO，则，即，再根据待定系数法将点H坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
（2）根据正切定义即可求出答案.
（3）连接，根据矩形性质可得，，，再根据，结合三角形面积即可求出答案.
（1）解：在矩形中，
∵，，，
∴，，
在中，，
∵，，
∴，即，
将点代入中，得，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴
（3）解：连接，如图，
∵四边形是矩形，
∴，，，
由（1）知，，
∴，
∴，
∴．
23．【答案】（1）5；
（2）如图②，连接，作于点Q，则，
∴．
∵四边形是菱形，
∴．
∴，
∵矩形中，，
∴．
∴，
即．
∵，
∴．
∴．
∵
∴．
∴S与x之间的函数关系式；
（3）存在．如图③，分别延长交于点K，则四边形是矩形．
∵四边形为正方形，
∴．
∵，
∴四边形为平行四边形．
设，，，
则
，
∵，
∴当时，平方米．
此时米．
∴的最大值为3750平方米，这时点D到点E的距离为米．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；几何图形的面积计算-割补法；二次函数的实际应用-几何问题；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴，，
∴，
∴．
故答案为：5
【分析】（1）根据矩形性质可得，则，再根据正方形性质可得，再根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得BF，再根据勾股定理可得EF，BM，再根据三角形面积即可求出答案.
（2）连接，作于点Q，则，则，根据菱形性质可得，则，根据矩形性质可得，再根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据三角形面积即可求出答案.
（3）分别延长交于点K，则四边形是矩形，根据正方形性质可得，再根据平行四边形判定定理可得四边形为平行四边形，设，，，则，结合二次函数性质即可求出答案.
1 / 1广东省东莞市石碣新民学校2025年中考数学原创信息卷(三)
1．（2025·东莞模拟）中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家，早在我国西汉时期的《九章算术》中就引入了负数． 若在粮谷计算中，益实一斗（增加1斗） 记为斗，那么损实5斗（减少5斗） 记为（ ）
A．斗 B．斗 C．斗 D．斗
【答案】C
【知识点】具有相反意义的量
【解析】【解答】解：若在粮谷计算中，益实一斗（增加1斗）记为斗，那么损实5斗（减少5斗） 记为斗，
故选：C．
【分析】根据正数和负数是一组具有相反意义的量即可求出答案.
2．（2025·东莞模拟）石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度应为，用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：将用科学记数法表示为．
故选：D.
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数．
3．（2025·东莞模拟）下列图形是正方体展开图的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】正方体的几种展开图的识别
【解析】【解答】解：A、有“田”字形，不是正方体展开图，不符合题意；
B、不属于正方体展开图，不符合题意；
C、属于正方体展开图的型，符合题意；
D、有“凹”字形，不是正方体展开图，不符合题意；
故选：C．
【分析】根据正方体展开图的特征逐项进行判断即可求出答案.
4．（2025·东莞模拟）如图，直线l与直线a、b分别相交，且，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵，，
∴．
故选：B．
【分析】根据直线平行性质即可求出答案.
5．（2025·东莞模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A．，选项错误，不符合题意；
B．，选项正确，符合题意；
C．，选项错误，不符合题意；
D．，选项错误，不符合题意；
故选：B．
【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方，单项式除以单项式，合并同类项法则逐项进行判断即可求出答案.
6．（2025·东莞模拟）如图，小明与小敏玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点O即跷跷板的中点到地面的距离是，当小明从水平位置上升时，小敏离地面的高度是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴小敏离地面的高度是，
故选：B．
【分析】根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
7．（2025·东莞模拟）某市举办了“传诵经典”青少年演讲比赛，其中综合荣誉分占30%，现场演讲分占70%，小明参加并在这两项中分别取得90分和80分的成绩，则小明的最终成绩为 (　　)
A．81分 B．82分 C．83分 D．84分
【答案】C
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】小明的最终比赛成绩为：90x30%+80x70%=27+56=83（分），
故答案为：C．
【分析】根据加权平均数的公式计算，即可求解．
8．（2025·东莞模拟）解分式方程时，下列去分母变形正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：，
方程两边同乘以得．
故选：A
【分析】等号两边同时乘以即可求出答案.
9．（2025·东莞模拟）如图，点在半径为3的上，，则的长为（　　）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：
．
故答案为：C．
【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠AOB=60°，再根据弧长公式即可求出答案.
10．（2025·东莞模拟）已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由函数图象可知，
∴，故A选项不符合题意；
∵抛物线与轴有两个不同的交点，
∴方程有两个不相等的实数根，则
∴，故B选项不符合题意；
∵抛物线的对称轴为直线
∴时的函数值与时的函数值相等，
由函数图象可知，时函数值小于零，
∴时函数值也小于零，即，故C选项符合题意；
∵抛物线的对称轴为直线
∴即，故D选项不符合题意；
故选：C．
【分析】根据二次函数图象，性质与系数的关系逐项进行判断即可求出答案.
11．（2025·东莞模拟）比较大小：4　 　（填“>”“<”或“=”）.
【答案】<
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：∵4，
，
∴4.
故答案为：＜.
【分析】首先根据算术平方根的概念可得4=，据此进行比较.
12．（2025·东莞模拟）若点在轴上，则点M的坐标是　 　．
【答案】
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点在轴上，∴a-2=0，解得a=2，
故a+3=2+3=5，
故点的坐标为，
故答案为：．
【分析】本题考查了y轴上点的坐标的特点，根据y轴上点的横坐标为0，得出方程a-2=0，求得a的值，进而得到点M的坐标，得到答案.
13．（2025·东莞模拟）某种风衣每件按进价的1.8倍标价，再降价40元售出后，每件可以获得120元的利润，那么该种风衣每件的进价为　 　元．
【答案】200
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设该商品每件的进价为x元，根据题意得：
，
解得：，
∴该商品每件的进价为200元．
故答案为：200．
【分析】设该商品每件的进价为x元，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
14．（2025·东莞模拟）如图，在中，，平分，则的面积是　 　．
【答案】2
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：作，如图所示：
∵平分，
∴
∵，
∴的面积，
故答案为：
【分析】
首先，通过作垂线DE到AB，并利用角平分线的性质可得DE=DC=1，然后利用三角形面积公式，即面积等于底乘以高除以2，可以计算出三角形ABD的面积。
15．（2025·东莞模拟）如图，正方形和正方形的边长分别是4和2，连接，H是的中点，连接，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】最简二次根式；勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图所示，延长交于M，
∵正方形和正方形的边长分别是4和2，
∴，
，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∵，H是的中点，
∴，
故答案为：．
【分析】延长交于M，根据正方形性质可得，
，再根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，根据边之间的关系可得DM，MF，再根据勾股定理可得DF，再根据直角三角形斜边上的中线性质即可求出答案.

16．（2025·东莞模拟）解不等式组：．
【答案】解：
解不等式①，得；
解不等式②，得；
不等式组的解集为．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】先分别求出每一个不等式的解集，然后根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
17．（2025·东莞模拟）如图，已知线段a，h．
（1）求作：，使，且，高；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）若，，请求等腰三角形的腰长．
【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：∵是的高，即，
∴，
∴，
∴等腰三角形的腰长为13．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；尺规作图-直线、射线、线段；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）先作射线，以点B为圆心，以线段a的长为半径画弧交射线于C，作线段的垂直平分线交于D，以D为圆心，以线段h的长为半径画弧交线段的垂直平分线于A，连接，则即为所求；
（2）根据等腰三角形三线合一定理得到的长，再由勾股定理求出的长即可得到答案．
（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：∵是的高，即，
∴，
∴，
∴等腰三角形的腰长为13．
18．（2025·东莞模拟）“准、绳、规、矩”是我国古代使用的测量工具．一个简单结构的“矩”指两条边成直角的曲尺（如图1），它的两条边分别是a，b，中国古代的天文和数学著作《周髀算经》中简明扼要地阐述了“矩”的功能，如“偃矩以望高”就是把“矩”仰立放置可以测量物体的高度．如图2，从“矩”EFG的一端E处望向一根木杆（木杆的宽度忽略不计）的顶端B处，使视线通过“矩”的另一端G处，测得，，若“矩”的边，求木杆的长．
【答案】解：由题意可得：为矩形，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴(米) ．
【知识点】矩形的判定与性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】根据矩形性质可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得BC，再根据边之间的关系即可求出答案.
19．（2025·东莞模拟）2024年11月20日，是我国第一艘无人飞船 神舟一号任务成功25周年．为普及航空航天知识，提升学生民族自豪感，南山某校当日组织七、八年级全体同学开展航空航天知识竞赛．现从七、八年级各随机抽取15名学生的竞赛成绩进行数据整理分析：
【数据收集】
七年级：69，70，71，74，76，80，83，84，85，85、89，92，93，96，98；
八年级：57，68，74，76，79，82，85，88，88，88，90，91，92，92，95；
【数据整理】
　
七年级 0 1 a 6 4
八年级 1 1 3 5 5
【数据分析】
年级 平均数 中位数 众数
七年级 83 b 85
八年级 83 88 c
根据以上信息，解答下列问题：
（1）a=　 　，b=　 　，c=　 　；
（2）你认为哪个年级竞赛成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）竞赛成绩在90分及以上的学生可以获得奖品，如果该校七年级有540名学生，八年级有600名学生，估计七、八年级可以获得奖品的学生总人数为多少？
【答案】（1）4；84；88
（2）解：八年级的成绩较好，理由如下：
两个年级的平均数相同，八年级的中位数和众数均比七年级高，所以八年级的成绩较好．
（3）解：（人）；
答：七、八年级可以获得奖品的学生总人数为 344人．
【知识点】频数与频率；频数（率）分布表；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）由表格知，七年级竞赛成绩在的人数是；
七年级竞赛成绩最中间的是84，所以中位数；八年级竞赛成绩出现次数最多的是88，所以众数.
故答案为：4，84，88；
【分析】（1）根据频数的定义，中位数和众数求出a、b、c的值即可求解；
（2）根据众数和中位数的定义结合题意分析即可求解；
（3）根据样本估计总体结合题意即可求解。
（1）解：由表格知，七年级竞赛成绩在的人数是；
七年级竞赛成绩最中间的是84，所以中位数；八年级竞赛成绩出现次数最多的是88，所以众数.
故答案为：4，84，88；
（2）解：八年级的成绩较好，理由如下：
两个年级的平均数相同，八年级的中位数和众数均比七年级高，所以八年级的成绩较好．
（3）解：（人）；
答：七、八年级可以获得奖品的学生总人数为 344人．
20．（2025·东莞模拟）图1是一款高清视频设备．图2是该设备放置在水平桌面上的示意图，垂直于水平桌面，垂足为点，点处有一个摄像头．经测量，厘米，厘米，．
（1）求摄像头到桌面的距离；
（2）如果摄像头可拍摄的视角，且，求桌面上可拍摄区域的宽度（的长）．
（参考数据：，．）
【答案】（1）解：过点作，过点作，垂足分别为点、，
，，
，
，，
，
，
．
答：摄像头到桌面的距离是．
（2）解：过点作，垂足为，
，，
设，，则，，，
，，
，
，
解得：，
，
答：桌面上可拍摄区域的宽度为．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）过点作，过点作，垂足分别为点、，根据角之间的关系可得，再根据正弦定义可得CF，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）过点作，垂足为，设，，则，，，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案.
（1）解：过点作，过点作，垂足分别为点、，
，，
，
，，
，
，
．
答：摄像头到桌面的距离是．
（2）解：过点作，垂足为，
，，
设，，则，，，
，，
，
，
解得：，
，
答：桌面上可拍摄区域的宽度为．
21．（2025·东莞模拟）在项目化学习中，甲、乙两小组分别利用函数知识研究在不同条件下某物质的质量随时间的变化情况．设实验时间为分钟，甲、乙两小组研究的该物质的质量分别为克、克，与的几组对应值如下表：
0 5 10 15 20
25 23.5 20 14.5 7
25 20 15 10 5
（1）根据上表中各组对应值，在如图所示的平面直角坐标系中画出函数的图象．
（2）在你所学的一次函数、二次函数及反比例函数中，请选择合适的函数来反映与的变化规律，说明你选择的理由，并分别求出的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）．
（3）在上述实验中，当实验时间为多少分钟时，甲、乙两小组所研究的该物质的质量之差达到最大？最大为多少克？
【答案】（1）解：函数的图象如图所示．
（2）解：由图可知、函数的图象是抛物线的一部分．所以是关于的二次函数，
函数的图象是直线的一部分，所以是关于的一次函数．
由题意可设．把点和点分别代入，得
，
解得，
；
设．把点和点分别代入，得
，解得，
；
（3）解：
，
∵，
当时，取最大值，最大值为．
答：当实验时间为分钟时，甲、乙两小组所研究的该物质的质量之差达到最大，最大为克．
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）先分别描点再连线，注意两个函数图象的区别，一个是直线、一个是抛物线；
（2）一次函数一般设表达式为而二次函数一般设表达式为，再分别取两点坐标代入得方程组即可；
（3）因为的结果还是一个二次函数，则求的最值，实际是求新的二次函数的顶点坐标．
（1）解：函数的图象如图所示．
（2）解：由图可知、函数的图象是抛物线的一部分．所以是关于的二次函数，
函数的图象是直线的一部分，所以是关于的一次函数．
由题意可设．把点和点分别代入，得
，
解得，
；
设．把点和点分别代入，得
，解得，
；
（3）解：
，
∵，
当时，取最大值，最大值为．
答：当实验时间为分钟时，甲、乙两小组所研究的该物质的质量之差达到最大，最大为克．
22．（2025·东莞模拟）【问题背景】如图1，在平面直角坐标系中，有一矩形，，对角线，相交于点，，反比例函数与矩形交于点H，G，．
【问题解决】
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求的值；
（3）如图2，过点作于点于点，求的值．
【答案】（1）解：在矩形中，
∵，，，
∴，，
在中，，
∵，，
∴，即，
将点代入中，得，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴

（3）解：连接，如图，
∵四边形是矩形，
∴，，，
由（1）知，，
∴，
∴，
∴．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理；矩形的性质；几何图形的面积计算-割补法；求正切值
【解析】【分析】（1）根据矩形性质可得，，再根据勾股定理可得AO，则，即，再根据待定系数法将点H坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
（2）根据正切定义即可求出答案.
（3）连接，根据矩形性质可得，，，再根据，结合三角形面积即可求出答案.
（1）解：在矩形中，
∵，，，
∴，，
在中，，
∵，，
∴，即，
将点代入中，得，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴
（3）解：连接，如图，
∵四边形是矩形，
∴，，，
由（1）知，，
∴，
∴，
∴．
23．（2025·东莞模拟）【问题情境】如图1，在矩形中，，．在上取一点E，，点F是边上的一个动点，以为一边作四边形，使点N落在边上，点M落在矩形内或其边上．
【知识技能】（1）如图1，当四边形是正方形时，的面积为_____；
【构建联系】（2）如图2，当四边形是菱形时，若，的面积为S，求S与x之间的函数解析式；
【拓展应用】（3）如图3，正方形是某小区旁一块边长为100米的空地，为了提升附近居民的生活环境，现要把这块空地及其周边打造成一个生态公园．按设计要求，为广场区域，正方形是休息区，是儿童娱乐区，，点N在边的延长线上．为满足各区域及绿化用地，想让广场的面积尽可能小，求面积的最小值及这时点D到点E的距离．
【答案】（1）5；
（2）如图②，连接，作于点Q，则，
∴．
∵四边形是菱形，
∴．
∴，
∵矩形中，，
∴．
∴，
即．
∵，
∴．
∴．
∵
∴．
∴S与x之间的函数关系式；
（3）存在．如图③，分别延长交于点K，则四边形是矩形．
∵四边形为正方形，
∴．
∵，
∴四边形为平行四边形．
设，，，
则
，
∵，
∴当时，平方米．
此时米．
∴的最大值为3750平方米，这时点D到点E的距离为米．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；几何图形的面积计算-割补法；二次函数的实际应用-几何问题；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴，，
∴，
∴．
故答案为：5
【分析】（1）根据矩形性质可得，则，再根据正方形性质可得，再根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得BF，再根据勾股定理可得EF，BM，再根据三角形面积即可求出答案.
（2）连接，作于点Q，则，则，根据菱形性质可得，则，根据矩形性质可得，再根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据三角形面积即可求出答案.
（3）分别延长交于点K，则四边形是矩形，根据正方形性质可得，再根据平行四边形判定定理可得四边形为平行四边形，设，，，则，结合二次函数性质即可求出答案.
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