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广东省汕头市潮南区陈店公校2025年中考二模数学试题
1．（2025·潮南模拟）数轴上表示数m和m+2的点到原点的距离相等，则m为（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·潮南模拟）下列立体图形中，主视图是圆的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·潮南模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025·潮南模拟）将有理数用四舍五入法精确到千位是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·潮南模拟）如图，，点E在AB上，EC平分∠AED，若∠1＝65°，则∠2的度数为（　　）
A．45° B．50° C．57.5° D．65°
6．（2025·潮南模拟）已知关于x的一元二次方程无实数根，则函数与函数的图象交点个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．（2025·潮南模拟）若与是同类项，则点关于原点的对称点所在象限为（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．（2025·潮南模拟）如图，在中，，以点A为圆心，3为半径的圆与边相切于点D，与，分别交于点E和点G，点F是优弧上一点，，则的度数是（　　）
A．50° B．48° C．45° D．36°
9．（2025·潮南模拟）如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·潮南模拟）已知抛物线（a、b、c是常数，）的顶点为．小烨同学得出以下结论：①；②当时，随的增大而减小；③若的一个根为3，则；④抛物线是由抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的．其中一定正确的是（　　）
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
11．（2025·潮南模拟）要使代数式 有意义，则x的最大值是　 　．
12．（2025·潮南模拟）若是关于的方程的解，则的值是　 　．
13．（2025·潮南模拟）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的面积为12，点B在y轴上，点C在反比例函数y=的图象上，则k的值为　 　.
14．（2025·潮南模拟）有数学4，5，6的三张卡片，将这三张卡片任意摆成一个三位数，摆出的三位数是5的倍数的概率是　 　．
15．（2025·潮南模拟）如图，在中，，，，D为的中点．若点E在边上，且，则的长为　 　
16．（2025·潮南模拟）解不等式组：，并写出它的所有整数解．
17．（2025·潮南模拟）为了解学生完成书面作业所用时间的情况，进一步优化作业管理，某中学从全校学生中随机抽取部分学生，对他们一周平均每天完成书面作业的时间（单位：分钟）进行调查．将调查数据进行整理后分为五组：A组“”；B组“”；C组“”；D组“”；E组“”．现将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次调查的样本容量是______，请补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，A组对应的圆心角的度数是______°，本次调查数据的中位数落在_______组内．
18．（2025·潮南模拟）数学活动小组到某广场测量标志性建筑的高度．如图，他们在地面上点测得最高点的仰角为，再向前至点，又测得最高点的仰角为，点在同一直线上，求该建筑物的高度．
（精确到．参考数据：，，，）
19．（2025·潮南模拟）已知a、b是正实数，那么，是恒成立的．
（1）由恒成立，请你说明恒成立；
（2）如图，已知是直径，点P是弧上异于点A和点B的一点，连接，作，垂足为C，，，由此图说明恒成立．
20．（2025·潮南模拟）今年植树节期间，某景观园林公司购进一批成捆的，两种树苗，每捆种树苗比每捆种树苗多10棵，每捆种树苗和每捆种树苗的价格分别是630元和600元，而每棵种树苗和每棵种树苗的价格分别是这一批树苗平均每棵价格的0.9倍和1.2倍．
（1）求这一批树苗平均每棵的价格是多少元？
（2）如果购进的这批树苗共5500棵，种树苗至多购进3500棵，为了使购进的这批树苗的费用最低，应购进种树苗和种树苗各多少棵？并求出最低费用．
21．（2025·潮南模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点（与点A，B不重合），过点C作直线PQ，使得∠ACQ＝∠ABC．
（1）求证：直线PQ是⊙O的切线．
（2）过点A作AD⊥PQ于点D，交⊙O于点E，若⊙O的半径为2，sin∠DAC＝，求图中阴影部分的面积．
22．（2025·潮南模拟）如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连结AP并延长AP交CD于F点，
（1）求证：四边形AECF为平行四边形；
（2）若△AEP是等边三角形，连结BP，求证：△APB≌△EPC；
（3）若矩形ABCD的边AB=6，BC=4，求△CPF的面积．
23．（2025·潮南模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A（－1，0）和点B（0，3），顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点P的坐标；
（3）将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点M，使得MP＋ME的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】相反数及有理数的相反数；一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【解答】∵数轴上表示数m和m+2的点到原点的距离相等，，
∴和互为相反数，
∴+=0，
解得m=-1．
故答案为：D．
【分析】根据题意先求出和互为相反数，再求出+=0，最后求解即可。
2．【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：棱柱的主视图是矩形（中间只有一条线段），不符合题意；
圆柱的主视图是矩形，不符合题意；
圆锥的主视图是等腰三角形，不符合题意；
球体的主视图是圆，符合题意；
故选：D．
【分析】本题考查了几何体三视图，根据主左一样高，主俯一样宽，俯左一样长，分别得出棱柱，圆柱，圆锥，球体的主视图，结合选项，即可得到答案.
3．【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；平方差公式及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，原选项计算错误，不符合题意；
B、，原选项计算错误，不符合题意；
C、，原选项计算错误，不符合题意；
D、，原选项计算正确，符合题意；
故选D．
【分析】根据平方差公式，同底数幂的乘除法则，积的乘方和幂的乘方法则逐项进行判断即可求出答案.
4．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：；
故答案为：C．
【分析】科学记数法是把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式.
5．【答案】B
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念；补角
【解析】【解答】解：∵ ，∴∠AEC=∠1（两直线平行，内错角相等），
∵EC平分∠AED，
∴∠AEC=∠CED=∠1，
∵∠1=65°，
∴∠CED =∠1=65°，
∴∠2=180°-∠CED -∠1=180°-65°-65°=50°．
故选：B．
【分析】根据直线平行性质可得∠AEC=∠1，再根据角平分线定义可得 ∠AEC=∠CED=∠1， 则 ∠CED =∠1=65°， 再根据补角即可求出答案.
6．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；反比例函数的图象；正比例函数的图象
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+1-k=0没有实根，
∴△=b2-4ac＜0，即22-4(1-k)＜0，
解得k＜0，
∴正比例函数y=kx得图象经过二四象限，
又∵反比例函数的图象图象两支分布在第一、三象限，
∴函数y=kx与函数的图象没有交点.即交点的个数为零.
故答案为：A.
【分析】由一元二次方程根与系数的关系并结合题意得△=b2-4ac＜0，据此列出关于字母k的不等式，求解可得k的取值范围；然后根据正比例函数y=kx中，k＞0图象经过一三象限，k＜0图象经过二四象限；反比例函数中，k＞0图象两支分布在一三象限，k＜0图象两支分布在二四象限；分别判断出两个函数图象经过的象限，即可得出两函数图象交点的个数.
7．【答案】D
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征；同类项的概念；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵与是同类项，
∴，
解得，
∴点即为，
关于原点的对称点为，
∴点为在第四象限，
故选：D
【分析】根据同类项的定义可得n，m，再根据关于原点对称的点的坐标特征及各象限内点的坐标特征即可求出答案.
8．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的性质；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：连接AD，则AD=AG=3，
∵BC与圆A相切于点D，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt△ADB中，AB=6，则cos∠BAD==，
∴∠BAD=60°，
∵∠CDE=18°，
∴∠ADE=90°﹣18°=72°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=72°，
∴∠DAE=180°﹣2×72°=36°，
∴∠GAC=36°+60°=96°，
∴∠GFE=∠GAC=48°，
故选：B．
【分析】连接AD，则AD=AG=3，根据切线性质可得 ∠ADB=∠ADC=90°， 再根据特殊角的三角函数值可得 ∠BAD=60°， 根据角之间的关系可得 ∠ADE=72°，再根据等边对等角可得 ∠ADE=∠AED=72°， 再根据三角形内角和定理可得∠DAE，根据角之间的关系可得∠GAC，再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可求出答案.
9．【答案】B
【知识点】正方形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，，，
∴，，，
∵，
∴
∴，，
∴，
则，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
在中，，
故答案为：B．
【分析】根据平行线得到，求出，然后利用，可以得到，利用相似三角形的对应边成比例求出，再在中利用勾股定理解题即可．
10．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：根据题意可得：，
∴b=-2a，
，
∴b=-2a＞0，即，
将（1，2）代入 得，
，
的值可正也可负，
不能确定的正负，故①错误；
， 顶点为 ，
抛物线开口向下，且关于直线对称，
当时，随的增大而减小，故②正确；
，的一个根为3
，
，故③正确；
抛物线，
将向左平移1个单位得：，
抛物线是由抛物线向左平移1个单位得到的，故④错误；
正确的有②③.
故答案为：B．
【分析】根据抛物线的顶点坐标公式可得，结合，得b=-2a＞0，进而将顶点坐标代入抛物线解析式得，由此可判断①；由抛物线开口向下，且关于直线对称，故根据抛物线的增减性可判断②；用a表示b、c的值，再解方程即可判断③，由平移法则即可判断④．
11．【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵代数式 有意义，
∴1﹣2x≥0，解得x≤ ，
∴x的最大值是 ．
故答案为： ．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．
12．【答案】2021
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵是关于的方程的解，
∴，
∴，
∴．
故答案为：2021．
【分析】x=3代入方程可得，化简代数值再整体代入即可求出答案.
13．【答案】-6
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；菱形的性质
【解析】【解答】解：因为四边形OABC是菱形，
所以对角线互相垂直平分，
所以点A和点C关于y轴对称，点C在反比例函数上，
设点C的坐标为(x，)，则点A的坐标为(－x，)，点B的坐标为(0，)，
因此AC=－2x，OB=，
根据菱形的面积等于对角线乘积的一半得：
，
解得
故答案为：-6．
【分析】根据菱形性质可得点A和点C关于y轴对称，点C在反比例函数上，设点C的坐标为(x，)，则点A的坐标为(－x，)，点B的坐标为(0，)，根据两点间距离可得AC=－2x，OB=，再根据菱形面积即可求出答案.
14．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：
，
三位数有6个，是5的倍数的三位数是：465，645；
三位数是5的倍数的概率为：；
故答案为：．
【分析】画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出是5的倍数的结果，再根据概率公式即可求出答案.
15．【答案】1或2
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；三角形的中位线定理；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：在中，，，，
∴，，，
∵点D为的中点，
，
，
，
如图，当时，
，，
，
，
，
如图，当时，取的中点H，连接，
∵点D是中点，点H是的中点，
，，
，，
，
，
，
故答案为：1或2．
【分析】根据含30°角的直角三角形性质可得，根据勾股定理可得AB，根据线段中点可得AD，再根据边之间的关系可得DE，分情况讨论：当时，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案；当时，取的中点H，连接，根据三角形中位线定理可得，，再根据含30°角的直角三角形性质即可求出答案.
16．【答案】解：，
解不等式①，得．
解不等式②，得．
∴原不等式组的解集为．
∴它的所有整数解为：、0、1．
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】分别求出各个不等式的解集，再取解集相交的部分，即可得到不等式组的解集，再取整数解即可得到答案．
17．【答案】（1）50；
补全条形图如下：
（2）36，C
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数
【解析】【解答】（1）解：；
组人数为：，
故答案为：50；
（2）
；
∵，
∴本次调查数据的中位数落在C组内，
故答案为：36；C．
【分析】（1）组人数除以所占的比例求出总人数，进而求出组人数，补全条形图即可；
（2）用360度乘以组人数所占的比例进行求解即可；根据中位数的求法求解即可．
（1）解：；
组人数为：，补全条形图如下：
故答案为：50；
（2）；
∵，
∴本次调查数据的中位数落在C组内，
故答案为：36；C．
18．【答案】解：根据题意得，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
答：该建筑物的高度约为．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；母子模型
【解析】【分析】根据题意得到，分别在和在中，利用正切解答即可．
19．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
由垂线段最短可知，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；垂线段最短及其应用；圆周角定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据完全平方公式可得，化简即可求出答案.
（2） 根据圆周角定理可得，再根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，即，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）证明：∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
由垂线段最短可知，
∴．
20．【答案】解：（1）设这一批树苗平均每棵的价格是元，
根据题意，得，
解之，得．
经检验知，是原分式方程的根，并符合题意．
答：这一批树苗平均每棵的价格是20元．
（2）由（1）可知种树苗每棵价格为元，种树苗每棵价格为元，
设购进种树苗棵，这批树苗的费用为，则
．
∵是的一次函数，，随着的增大而减小，，
∴当棵时，最小．此时，种树苗有棵，．
答：购进种树苗3500棵，种树苗2000棵，能使得购进这批树苗的费用最低为111000元．
【知识点】分式方程的实际应用；一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设这一批树苗平均每棵的价格是元，分别表示出两种树苗的数量，根据“每捆种树苗比每捆种树苗多10棵”列方程，解方程即可求出答案.
（2）设购进种树苗棵，这批树苗的费用为，得到w与t的关系式，根据题意得到t的取值范围，结合一次函数的性质即可求出答案.
21．【答案】解：（1）证明：如图，连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠CAB＝∠ACO．
∵∠ACQ＝∠ABC，
∴∠CAB+∠ABC＝∠ACO+∠ACQ＝∠OCQ＝90°，即OC⊥PQ，
∴直线PQ是⊙O的切线．
（2）连接OE，
∵sin∠DAC＝，AD⊥PQ，
∴∠DAC＝30°，∠ACD＝∠ABC=60°．
∴∠BAC=30°，
∴∠BAD=∠DAC+∠BAC=60°，
又∵OA＝OE，
∴△AEO为等边三角形，
∴∠AOE＝60°．
∴S阴影＝S扇形﹣S△AEO
＝S扇形﹣OA OE sin60°
＝
＝．
∴图中阴影部分的面积为﹣．
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定与性质；求特殊角的三角函数值；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理可得∠ACB＝90°，再根据等边对等角可得∠CAB＝∠ACO，再根据角之间的关系可得∠CAB+∠ABC＝∠ACO+∠ACQ＝∠OCQ＝90°，即OC⊥PQ，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）连接OE，根据特殊角的三角函数值可得∠DAC＝30°，∠ACD＝∠ABC=60°，再根据角之间的关系可得∠BAD=∠DAC+∠BAC=60°，根据等边三角形判定定理可得△AEO为等边三角形，则∠AOE＝60°，再根据S阴影＝S扇形﹣S△AEO，结合扇形及三角形面积即可求出答案.
22．【答案】解：（1）由折叠得到BE=PE，EC⊥PB，
∵E为AB的中点，
∴AE=EB，即AE=PE，
∴∠EBP=∠EPB，∠EAP=∠EPA，
∵∠AEP为△EBP的外角，
∴∠AEP=2∠EPB，设∠EPB=x，则∠AEP=2x，∠APE=（180°-2x）÷2=90°﹣x，
∴∠APB=∠APE+∠EPB=x+90°﹣x=90°，即BP⊥AF，
∴AF∥EC，
∵AE∥FC，
∴四边形AECF为平行四边形；
（2）∵△AEP为等边三角形，
∴∠BAP=∠AEP=60°，AP=AE=EP=EB，
∵∠PEC=∠BEC，
∴∠PEC=∠BEC=60°，
∵∠BAP+∠ABP=90°，∠ABP+∠BEQ=90°，
∴∠BAP=∠BEQ，
在△ABP和△EBC中，
∵∠APB=∠EBC=90°，∠BAP=∠BEQ，AP=EB，
∴△ABP≌△EBC（AAS），
∵△EBC≌△EPC，
∴△ABP≌△EPC；
（3）过P作PM⊥DC，交DC于点M，
在Rt△EBC中，EB=3，BC=4，
根据勾股定理得：EC==5，
∵S△EBC=EB BC=EC BQ，∴BQ==，
由折叠得：BP=2BQ=，
在Rt△ABP中，AB=6，BP=，根据勾股定理得：AP==，
∵四边形AECF为平行四边形，
∴AF=EC=5，FC=AE=3，
∴PF==，
∵PM∥AD，
∴，即，
解得：PM=，
则S△PFC=FC PM==．
【知识点】三角形的外角性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1） 由折叠得到BE=PE，EC⊥PB， 根据线段中点可得AE=EB，即AE=PE，根据等边对等角可得 ∠EBP=∠EPB，∠EAP=∠EPA， 再根据三角形外角性质可得 ∠AEP=2∠EPB，设∠EPB=x，则∠AEP=2x，∠APE=90°﹣x，再根据角之间的关系可得 ∠APB=90°，即BP⊥AF，根据直线平行判定定理可得AF∥EC，再根据平行四边形判定定理即可求出答案.
（2）根据等边三角形性质可得∠BAP=∠AEP=60°，AP=AE=EP=EB，再根据角之间的关系可得∠BAP=∠BEQ，再根据全等三角形判定定理可得△ABP≌△EBC（AAS），即可求出答案.
（3）过P作PM⊥DC，交DC于点M，根据勾股定理可得EC，再根据三角形面积可得BQ，由折叠得：BP=2BQ=，再根据勾股定理可得AP，根据平行四边形判定定理可得 AF=EC=5，FC=AE=3，PF=，再根据平行线分线段成比例定理可得PM，再根据三角形面积即可求出答案.
23．【答案】（1）解：将点代入得：，
解得，
则抛物线的解析式为．
（2）解：抛物线的对称轴为直线，其顶点的坐标为，
设点的坐标为，则，
由旋转的性质得：，
，即，
将点代入得：，
解得或（舍去），
当时，，
所以点的坐标为．
（3）解：抛物线的顶点的坐标为，
则将其先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度恰好落在原点，
这时点落在点的位置，且，
，即，恰好在对称轴直线上，
如图，作点关于轴的对称点，连接，
则，
由两点之间线段最短可知，与轴的交点即为所求的点，此时的值最小，即的值最小，
由轴对称的性质得：，
设直线的解析式为，
将点代入得：，
解得，
则直线的解析式为，
当时，，
故在轴上存在点，使得的值最小，此时点的坐标为．
【知识点】一元二次方程的其他应用；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；轴对称的应用-最短距离问题；旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点A，B坐标代入抛物线解析式即可求出答案.
（2）设点的坐标为，则，由旋转的性质得：，则，将点P坐标代入抛物线解析式即可求出答案.
（3）根据点的平移性质可得，恰好在对称轴直线上，作点关于轴的对称点，连接，则，由两点之间线段最短可知，与轴的交点即为所求的点，此时的值最小，即的值最小，由轴对称的性质得：，设直线的解析式为，根据待定系数法将点P，E'坐标代入解析式即可求出答案.
（1）解：将点代入得：，
解得，
则抛物线的解析式为．
（2）解：抛物线的对称轴为直线，其顶点的坐标为，
设点的坐标为，则，
由旋转的性质得：，
，即，
将点代入得：，
解得或（舍去），
当时，，
所以点的坐标为．
（3）解：抛物线的顶点的坐标为，
则将其先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度恰好落在原点，
这时点落在点的位置，且，
，即，恰好在对称轴直线上，
如图，作点关于轴的对称点，连接，
则，
由两点之间线段最短可知，与轴的交点即为所求的点，此时的值最小，即的值最小，
由轴对称的性质得：，
设直线的解析式为，
将点代入得：，
解得，
则直线的解析式为，
当时，，
故在轴上存在点，使得的值最小，此时点的坐标为．
1 / 1广东省汕头市潮南区陈店公校2025年中考二模数学试题
1．（2025·潮南模拟）数轴上表示数m和m+2的点到原点的距离相等，则m为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相反数及有理数的相反数；一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【解答】∵数轴上表示数m和m+2的点到原点的距离相等，，
∴和互为相反数，
∴+=0，
解得m=-1．
故答案为：D．
【分析】根据题意先求出和互为相反数，再求出+=0，最后求解即可。
2．（2025·潮南模拟）下列立体图形中，主视图是圆的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：棱柱的主视图是矩形（中间只有一条线段），不符合题意；
圆柱的主视图是矩形，不符合题意；
圆锥的主视图是等腰三角形，不符合题意；
球体的主视图是圆，符合题意；
故选：D．
【分析】本题考查了几何体三视图，根据主左一样高，主俯一样宽，俯左一样长，分别得出棱柱，圆柱，圆锥，球体的主视图，结合选项，即可得到答案.
3．（2025·潮南模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；平方差公式及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，原选项计算错误，不符合题意；
B、，原选项计算错误，不符合题意；
C、，原选项计算错误，不符合题意；
D、，原选项计算正确，符合题意；
故选D．
【分析】根据平方差公式，同底数幂的乘除法则，积的乘方和幂的乘方法则逐项进行判断即可求出答案.
4．（2025·潮南模拟）将有理数用四舍五入法精确到千位是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：；
故答案为：C．
【分析】科学记数法是把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式.
5．（2025·潮南模拟）如图，，点E在AB上，EC平分∠AED，若∠1＝65°，则∠2的度数为（　　）
A．45° B．50° C．57.5° D．65°
【答案】B
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念；补角
【解析】【解答】解：∵ ，∴∠AEC=∠1（两直线平行，内错角相等），
∵EC平分∠AED，
∴∠AEC=∠CED=∠1，
∵∠1=65°，
∴∠CED =∠1=65°，
∴∠2=180°-∠CED -∠1=180°-65°-65°=50°．
故选：B．
【分析】根据直线平行性质可得∠AEC=∠1，再根据角平分线定义可得 ∠AEC=∠CED=∠1， 则 ∠CED =∠1=65°， 再根据补角即可求出答案.
6．（2025·潮南模拟）已知关于x的一元二次方程无实数根，则函数与函数的图象交点个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；反比例函数的图象；正比例函数的图象
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+1-k=0没有实根，
∴△=b2-4ac＜0，即22-4(1-k)＜0，
解得k＜0，
∴正比例函数y=kx得图象经过二四象限，
又∵反比例函数的图象图象两支分布在第一、三象限，
∴函数y=kx与函数的图象没有交点.即交点的个数为零.
故答案为：A.
【分析】由一元二次方程根与系数的关系并结合题意得△=b2-4ac＜0，据此列出关于字母k的不等式，求解可得k的取值范围；然后根据正比例函数y=kx中，k＞0图象经过一三象限，k＜0图象经过二四象限；反比例函数中，k＞0图象两支分布在一三象限，k＜0图象两支分布在二四象限；分别判断出两个函数图象经过的象限，即可得出两函数图象交点的个数.
7．（2025·潮南模拟）若与是同类项，则点关于原点的对称点所在象限为（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征；同类项的概念；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵与是同类项，
∴，
解得，
∴点即为，
关于原点的对称点为，
∴点为在第四象限，
故选：D
【分析】根据同类项的定义可得n，m，再根据关于原点对称的点的坐标特征及各象限内点的坐标特征即可求出答案.
8．（2025·潮南模拟）如图，在中，，以点A为圆心，3为半径的圆与边相切于点D，与，分别交于点E和点G，点F是优弧上一点，，则的度数是（　　）
A．50° B．48° C．45° D．36°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的性质；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：连接AD，则AD=AG=3，
∵BC与圆A相切于点D，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt△ADB中，AB=6，则cos∠BAD==，
∴∠BAD=60°，
∵∠CDE=18°，
∴∠ADE=90°﹣18°=72°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=72°，
∴∠DAE=180°﹣2×72°=36°，
∴∠GAC=36°+60°=96°，
∴∠GFE=∠GAC=48°，
故选：B．
【分析】连接AD，则AD=AG=3，根据切线性质可得 ∠ADB=∠ADC=90°， 再根据特殊角的三角函数值可得 ∠BAD=60°， 根据角之间的关系可得 ∠ADE=72°，再根据等边对等角可得 ∠ADE=∠AED=72°， 再根据三角形内角和定理可得∠DAE，根据角之间的关系可得∠GAC，再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可求出答案.
9．（2025·潮南模拟）如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正方形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，，，
∴，，，
∵，
∴
∴，，
∴，
则，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
在中，，
故答案为：B．
【分析】根据平行线得到，求出，然后利用，可以得到，利用相似三角形的对应边成比例求出，再在中利用勾股定理解题即可．
10．（2025·潮南模拟）已知抛物线（a、b、c是常数，）的顶点为．小烨同学得出以下结论：①；②当时，随的增大而减小；③若的一个根为3，则；④抛物线是由抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的．其中一定正确的是（　　）
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：根据题意可得：，
∴b=-2a，
，
∴b=-2a＞0，即，
将（1，2）代入 得，
，
的值可正也可负，
不能确定的正负，故①错误；
， 顶点为 ，
抛物线开口向下，且关于直线对称，
当时，随的增大而减小，故②正确；
，的一个根为3
，
，故③正确；
抛物线，
将向左平移1个单位得：，
抛物线是由抛物线向左平移1个单位得到的，故④错误；
正确的有②③.
故答案为：B．
【分析】根据抛物线的顶点坐标公式可得，结合，得b=-2a＞0，进而将顶点坐标代入抛物线解析式得，由此可判断①；由抛物线开口向下，且关于直线对称，故根据抛物线的增减性可判断②；用a表示b、c的值，再解方程即可判断③，由平移法则即可判断④．
11．（2025·潮南模拟）要使代数式 有意义，则x的最大值是　 　．
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵代数式 有意义，
∴1﹣2x≥0，解得x≤ ，
∴x的最大值是 ．
故答案为： ．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．
12．（2025·潮南模拟）若是关于的方程的解，则的值是　 　．
【答案】2021
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵是关于的方程的解，
∴，
∴，
∴．
故答案为：2021．
【分析】x=3代入方程可得，化简代数值再整体代入即可求出答案.
13．（2025·潮南模拟）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的面积为12，点B在y轴上，点C在反比例函数y=的图象上，则k的值为　 　.
【答案】-6
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；菱形的性质
【解析】【解答】解：因为四边形OABC是菱形，
所以对角线互相垂直平分，
所以点A和点C关于y轴对称，点C在反比例函数上，
设点C的坐标为(x，)，则点A的坐标为(－x，)，点B的坐标为(0，)，
因此AC=－2x，OB=，
根据菱形的面积等于对角线乘积的一半得：
，
解得
故答案为：-6．
【分析】根据菱形性质可得点A和点C关于y轴对称，点C在反比例函数上，设点C的坐标为(x，)，则点A的坐标为(－x，)，点B的坐标为(0，)，根据两点间距离可得AC=－2x，OB=，再根据菱形面积即可求出答案.
14．（2025·潮南模拟）有数学4，5，6的三张卡片，将这三张卡片任意摆成一个三位数，摆出的三位数是5的倍数的概率是　 　．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：
，
三位数有6个，是5的倍数的三位数是：465，645；
三位数是5的倍数的概率为：；
故答案为：．
【分析】画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出是5的倍数的结果，再根据概率公式即可求出答案.
15．（2025·潮南模拟）如图，在中，，，，D为的中点．若点E在边上，且，则的长为　 　
【答案】1或2
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；三角形的中位线定理；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：在中，，，，
∴，，，
∵点D为的中点，
，
，
，
如图，当时，
，，
，
，
，
如图，当时，取的中点H，连接，
∵点D是中点，点H是的中点，
，，
，，
，
，
，
故答案为：1或2．
【分析】根据含30°角的直角三角形性质可得，根据勾股定理可得AB，根据线段中点可得AD，再根据边之间的关系可得DE，分情况讨论：当时，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案；当时，取的中点H，连接，根据三角形中位线定理可得，，再根据含30°角的直角三角形性质即可求出答案.
16．（2025·潮南模拟）解不等式组：，并写出它的所有整数解．
【答案】解：，
解不等式①，得．
解不等式②，得．
∴原不等式组的解集为．
∴它的所有整数解为：、0、1．
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】分别求出各个不等式的解集，再取解集相交的部分，即可得到不等式组的解集，再取整数解即可得到答案．
17．（2025·潮南模拟）为了解学生完成书面作业所用时间的情况，进一步优化作业管理，某中学从全校学生中随机抽取部分学生，对他们一周平均每天完成书面作业的时间（单位：分钟）进行调查．将调查数据进行整理后分为五组：A组“”；B组“”；C组“”；D组“”；E组“”．现将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次调查的样本容量是______，请补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，A组对应的圆心角的度数是______°，本次调查数据的中位数落在_______组内．
【答案】（1）50；
补全条形图如下：
（2）36，C
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数
【解析】【解答】（1）解：；
组人数为：，
故答案为：50；
（2）
；
∵，
∴本次调查数据的中位数落在C组内，
故答案为：36；C．
【分析】（1）组人数除以所占的比例求出总人数，进而求出组人数，补全条形图即可；
（2）用360度乘以组人数所占的比例进行求解即可；根据中位数的求法求解即可．
（1）解：；
组人数为：，补全条形图如下：
故答案为：50；
（2）；
∵，
∴本次调查数据的中位数落在C组内，
故答案为：36；C．
18．（2025·潮南模拟）数学活动小组到某广场测量标志性建筑的高度．如图，他们在地面上点测得最高点的仰角为，再向前至点，又测得最高点的仰角为，点在同一直线上，求该建筑物的高度．
（精确到．参考数据：，，，）
【答案】解：根据题意得，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
答：该建筑物的高度约为．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；母子模型
【解析】【分析】根据题意得到，分别在和在中，利用正切解答即可．
19．（2025·潮南模拟）已知a、b是正实数，那么，是恒成立的．
（1）由恒成立，请你说明恒成立；
（2）如图，已知是直径，点P是弧上异于点A和点B的一点，连接，作，垂足为C，，，由此图说明恒成立．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
由垂线段最短可知，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；垂线段最短及其应用；圆周角定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据完全平方公式可得，化简即可求出答案.
（2） 根据圆周角定理可得，再根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，即，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）证明：∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
由垂线段最短可知，
∴．
20．（2025·潮南模拟）今年植树节期间，某景观园林公司购进一批成捆的，两种树苗，每捆种树苗比每捆种树苗多10棵，每捆种树苗和每捆种树苗的价格分别是630元和600元，而每棵种树苗和每棵种树苗的价格分别是这一批树苗平均每棵价格的0.9倍和1.2倍．
（1）求这一批树苗平均每棵的价格是多少元？
（2）如果购进的这批树苗共5500棵，种树苗至多购进3500棵，为了使购进的这批树苗的费用最低，应购进种树苗和种树苗各多少棵？并求出最低费用．
【答案】解：（1）设这一批树苗平均每棵的价格是元，
根据题意，得，
解之，得．
经检验知，是原分式方程的根，并符合题意．
答：这一批树苗平均每棵的价格是20元．
（2）由（1）可知种树苗每棵价格为元，种树苗每棵价格为元，
设购进种树苗棵，这批树苗的费用为，则
．
∵是的一次函数，，随着的增大而减小，，
∴当棵时，最小．此时，种树苗有棵，．
答：购进种树苗3500棵，种树苗2000棵，能使得购进这批树苗的费用最低为111000元．
【知识点】分式方程的实际应用；一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设这一批树苗平均每棵的价格是元，分别表示出两种树苗的数量，根据“每捆种树苗比每捆种树苗多10棵”列方程，解方程即可求出答案.
（2）设购进种树苗棵，这批树苗的费用为，得到w与t的关系式，根据题意得到t的取值范围，结合一次函数的性质即可求出答案.
21．（2025·潮南模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点（与点A，B不重合），过点C作直线PQ，使得∠ACQ＝∠ABC．
（1）求证：直线PQ是⊙O的切线．
（2）过点A作AD⊥PQ于点D，交⊙O于点E，若⊙O的半径为2，sin∠DAC＝，求图中阴影部分的面积．
【答案】解：（1）证明：如图，连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠CAB＝∠ACO．
∵∠ACQ＝∠ABC，
∴∠CAB+∠ABC＝∠ACO+∠ACQ＝∠OCQ＝90°，即OC⊥PQ，
∴直线PQ是⊙O的切线．
（2）连接OE，
∵sin∠DAC＝，AD⊥PQ，
∴∠DAC＝30°，∠ACD＝∠ABC=60°．
∴∠BAC=30°，
∴∠BAD=∠DAC+∠BAC=60°，
又∵OA＝OE，
∴△AEO为等边三角形，
∴∠AOE＝60°．
∴S阴影＝S扇形﹣S△AEO
＝S扇形﹣OA OE sin60°
＝
＝．
∴图中阴影部分的面积为﹣．
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定与性质；求特殊角的三角函数值；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理可得∠ACB＝90°，再根据等边对等角可得∠CAB＝∠ACO，再根据角之间的关系可得∠CAB+∠ABC＝∠ACO+∠ACQ＝∠OCQ＝90°，即OC⊥PQ，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）连接OE，根据特殊角的三角函数值可得∠DAC＝30°，∠ACD＝∠ABC=60°，再根据角之间的关系可得∠BAD=∠DAC+∠BAC=60°，根据等边三角形判定定理可得△AEO为等边三角形，则∠AOE＝60°，再根据S阴影＝S扇形﹣S△AEO，结合扇形及三角形面积即可求出答案.
22．（2025·潮南模拟）如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连结AP并延长AP交CD于F点，
（1）求证：四边形AECF为平行四边形；
（2）若△AEP是等边三角形，连结BP，求证：△APB≌△EPC；
（3）若矩形ABCD的边AB=6，BC=4，求△CPF的面积．
【答案】解：（1）由折叠得到BE=PE，EC⊥PB，
∵E为AB的中点，
∴AE=EB，即AE=PE，
∴∠EBP=∠EPB，∠EAP=∠EPA，
∵∠AEP为△EBP的外角，
∴∠AEP=2∠EPB，设∠EPB=x，则∠AEP=2x，∠APE=（180°-2x）÷2=90°﹣x，
∴∠APB=∠APE+∠EPB=x+90°﹣x=90°，即BP⊥AF，
∴AF∥EC，
∵AE∥FC，
∴四边形AECF为平行四边形；
（2）∵△AEP为等边三角形，
∴∠BAP=∠AEP=60°，AP=AE=EP=EB，
∵∠PEC=∠BEC，
∴∠PEC=∠BEC=60°，
∵∠BAP+∠ABP=90°，∠ABP+∠BEQ=90°，
∴∠BAP=∠BEQ，
在△ABP和△EBC中，
∵∠APB=∠EBC=90°，∠BAP=∠BEQ，AP=EB，
∴△ABP≌△EBC（AAS），
∵△EBC≌△EPC，
∴△ABP≌△EPC；
（3）过P作PM⊥DC，交DC于点M，
在Rt△EBC中，EB=3，BC=4，
根据勾股定理得：EC==5，
∵S△EBC=EB BC=EC BQ，∴BQ==，
由折叠得：BP=2BQ=，
在Rt△ABP中，AB=6，BP=，根据勾股定理得：AP==，
∵四边形AECF为平行四边形，
∴AF=EC=5，FC=AE=3，
∴PF==，
∵PM∥AD，
∴，即，
解得：PM=，
则S△PFC=FC PM==．
【知识点】三角形的外角性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1） 由折叠得到BE=PE，EC⊥PB， 根据线段中点可得AE=EB，即AE=PE，根据等边对等角可得 ∠EBP=∠EPB，∠EAP=∠EPA， 再根据三角形外角性质可得 ∠AEP=2∠EPB，设∠EPB=x，则∠AEP=2x，∠APE=90°﹣x，再根据角之间的关系可得 ∠APB=90°，即BP⊥AF，根据直线平行判定定理可得AF∥EC，再根据平行四边形判定定理即可求出答案.
（2）根据等边三角形性质可得∠BAP=∠AEP=60°，AP=AE=EP=EB，再根据角之间的关系可得∠BAP=∠BEQ，再根据全等三角形判定定理可得△ABP≌△EBC（AAS），即可求出答案.
（3）过P作PM⊥DC，交DC于点M，根据勾股定理可得EC，再根据三角形面积可得BQ，由折叠得：BP=2BQ=，再根据勾股定理可得AP，根据平行四边形判定定理可得 AF=EC=5，FC=AE=3，PF=，再根据平行线分线段成比例定理可得PM，再根据三角形面积即可求出答案.
23．（2025·潮南模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A（－1，0）和点B（0，3），顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点P的坐标；
（3）将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点M，使得MP＋ME的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：将点代入得：，
解得，
则抛物线的解析式为．
（2）解：抛物线的对称轴为直线，其顶点的坐标为，
设点的坐标为，则，
由旋转的性质得：，
，即，
将点代入得：，
解得或（舍去），
当时，，
所以点的坐标为．
（3）解：抛物线的顶点的坐标为，
则将其先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度恰好落在原点，
这时点落在点的位置，且，
，即，恰好在对称轴直线上，
如图，作点关于轴的对称点，连接，
则，
由两点之间线段最短可知，与轴的交点即为所求的点，此时的值最小，即的值最小，
由轴对称的性质得：，
设直线的解析式为，
将点代入得：，
解得，
则直线的解析式为，
当时，，
故在轴上存在点，使得的值最小，此时点的坐标为．
【知识点】一元二次方程的其他应用；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；轴对称的应用-最短距离问题；旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点A，B坐标代入抛物线解析式即可求出答案.
（2）设点的坐标为，则，由旋转的性质得：，则，将点P坐标代入抛物线解析式即可求出答案.
（3）根据点的平移性质可得，恰好在对称轴直线上，作点关于轴的对称点，连接，则，由两点之间线段最短可知，与轴的交点即为所求的点，此时的值最小，即的值最小，由轴对称的性质得：，设直线的解析式为，根据待定系数法将点P，E'坐标代入解析式即可求出答案.
（1）解：将点代入得：，
解得，
则抛物线的解析式为．
（2）解：抛物线的对称轴为直线，其顶点的坐标为，
设点的坐标为，则，
由旋转的性质得：，
，即，
将点代入得：，
解得或（舍去），
当时，，
所以点的坐标为．
（3）解：抛物线的顶点的坐标为，
则将其先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度恰好落在原点，
这时点落在点的位置，且，
，即，恰好在对称轴直线上，
如图，作点关于轴的对称点，连接，
则，
由两点之间线段最短可知，与轴的交点即为所求的点，此时的值最小，即的值最小，
由轴对称的性质得：，
设直线的解析式为，
将点代入得：，
解得，
则直线的解析式为，
当时，，
故在轴上存在点，使得的值最小，此时点的坐标为．
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