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黑龙江省龙东地区2025年中考数学真题
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（2025·黑龙江）下列运算正确的是（　　）
A．， B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、a4.a3=a7，所以A不正确；
B、2a与3b不是同类项，不能合并，所以B不正确；
C：，所以C正确；
D：，所以D不正确。
故答案为：C.
【分析】根据幂的运算性质同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得A不正确；根据积得乘方及幂的乘方的性质可得C正确；根据合并同类项法则可得B不正确；根据平方差公式，可得D不正确，即可得出答案。
2．（2025·黑龙江）我国古代有很多关于数学的伟大发现，其中包括很多美丽的图案，下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．杨辉三角
B．割圆术示意图
C．赵爽弦图
D．洛书
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、杨辉三角是轴对称图形，不是中心对称图形，所以A不符合题意；
B、割圆术示意图既是轴对称图形又是中心对称图形，所以B符合题意；
C：赵爽弦图不是轴对称图形，是中心对称图形，所以C不符合题意；
D：洛书既不是轴对称图形又不是中心对称图形，所以D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，分别进行判断，即可得出答案。
3．（2025·黑龙江）2025年2月7日至2月14日第九届亚冬会在哈尔滨市举办，本届亚冬会的吉祥物是一对可爱的东北虎“滨滨”和“妮妮”。某专卖店“滨滨”和“妮妮”套盒纪念品连续六天的销售量（单位：套）分别为：136，140，129，180，136，154，这组数据的众数和中位数分别是（　　）
A．136，136 B．138，136 C．136，129 D．136，138
【答案】D
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：把一组数据按照从小到大的顺序重新排列为：129，136，136，140，154，180，
所以 这组数据的众数，是 ：136，中位数是：，
所以这组数据的众数和中位数分别是：136，138.
故答案为：D.
【分析】把一组数据按照从小到大的顺序重新排列为：129，136，136，140，154，180，然后根据众数的中位数的定义，可分别得出答案，即可得出答案。
4．（2025·黑龙江）一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图和俯视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少是（　　）
A．7 B．8 C．6 D．5
【答案】A
【知识点】由三视图判断小正方体的个数
【解析】【解答】解：由主视图可知：俯视图上的5个位置中，左侧一列的三个位置最少有一个位置是2个正方体，右侧一列的两个位置中，至少有一个位置是2个正方体，
所以 组成该几何体所需小正方体的个数最少是 ：5+2=7.
故答案为：A.
【分析】结合主视图可以分析得出俯视图中左右两列的位置上小正方体的最少个数，从而得出组成该几何体所需小正方体的最少个数。
5．（2025·黑龙江）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具。某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解： 设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，
根据题意，得：
故答案为：B.
【分析】根据一元二次方程的应用中的增长率问题，找出变化以前的量8000辆，变化以后的量12000辆，以及变化次数2，即可列出方程。
6．（2025·黑龙江）已知关于x的分式方程解为负数，则k的值为（　　）
A． B．
C．且 D．且
【答案】A
【知识点】解分式方程；已知不等式的解（集）求参数
【解析】【解答】解：，
方程两边都乘（x-4)，得：x+k+2k=3（x-4)，
解整式方程，得：x=，
∵ 关于x的分式方程解为负数，
∴＜0且-4≠0，
∴k＜-4。
故答案为：A.
【分析】首先解关于x的分式方程，得到方程的解为x=，然后根据 关于x的分式方程解为负数，可得出＜0且-4≠0，解不等式即可得出k＜-4。
7．（2025·黑龙江）为促进学生德智体美劳全面发展，某校计划用1200元购买足球和篮球用于课外活动，其中足球80元/个，篮球120元/个，共有多少种购买方案（　　）
A．6 B．7 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【解答】解：设购买足球x个，购买篮球y个，根据题意，可得：
80x + 120y=1200，化简可得x = 15-，
因为x，y均为正整数，所以y必须是2的倍数，且购买 购买足球和篮球 的总金额为1200元，所以y＜，即y＜10，
∴当y = 2时，x=15 - 3=12；
当y = 4时，x=15-6 = 9；
当y = 6时，x=15 - 9=6；
当y = 8时，x=15-12 = 3；
当y = 10时，x=15 - 15=0（舍去，因为要求购买足球和篮球，x不能为0）；
所以满足条件的购买方案有4种。
共有4种购买方案。
故答案为： C 。
【分析】设购买足球x个，购买篮球y个，根据总价 = 单价×数量，可得到关于x、y的方程，再结合x、y为正整数来确定购买方案。
8．（2025·黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，点A、点B都在双曲线上，且点A在点B的右侧，点A的横坐标为，，则k的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥y轴于 D，AC与BD相交于点E。
∵∠AOB = ∠ABO =45°，
∴OA= AB，∠▽OAB=90°。
又∵∠▽ACO =∠AEB =90°，∠AOC+∠OAC = 90°，∠OAC +∠BAE =90°，
∴∠AOC=∠BAE。
在△AOC和△BAE中：∠ACO=∠BEA，∠AOC = ∠BAE，OA=AB
∴△AOC≌△BAE
∵点A的横坐标为-1，
把x=-1代入中，
可得y =-k，
∴A(- 1，- k)，则OC =1，AC =-k。
由△AOC ≌△BAE可得AE=0C=1， BE = AC =- k，
BD=BE-DE，DE=0C=1，
∴ BD=-k-1；CD=CE+DE，CE= AC =-k，
∴CD=-k+1，则B(-k-1，k- 1)。
∵点A(-1，- k)，点B(-k-1，k-1)都在双曲线y=-上，
∴(-1)x (- k)=(-k- 1)x(k-1)。
整理为： k2+k-1=0。
解方程可得：，
∵A在第二象限，k＜0
∴
故答案为：D.
【分析】本题涉及反比例函数的性质以及等腰三角形的性质。通过作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的性质得到点的坐标关系，进而结合反比例函数的表达式求解k的值。
9．（2025·黑龙江）如图，在中，，点D、E分别在边AB和BC上，且，，连接DE，点M、N分别是AC、DE的中点，连接MN，则MN的长度为（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：过点D作BC的平行线，交CN的延长线于点H，连接AH，
∵点N是DE的中点，
∴DN=EN，
∵DH∥BC，
∴∠ADH=∠B=90°，
∠DHN=∠ECN，∠HDN=∠ECN，
∴△HDN≌△CEN，
∴HD=CE=3，HN=CN，
在Rt△ADH中：AH=，
又∵M是AC的中点，
∴MN是△ACH的中位线，
∴MN=.
故答案为：A.
【分析】过点D作BC的平行线，交CN的延长线于点H，连接AH，构造全等三角形△HDN≌△CEN，将已知线段进行转化HD=CE=3，利用勾股定理求得线段AH的长度，再利用三角形中位线定理求出线段 MN 的长度。
10．（2025·黑龙江）如图，在正方形ABCD中，点F在BC边上（不与点B、C重合），点E在CB的延长线上，且BE=BF，连接AC、AE、AF，过点E作于点G，分别交AB、AC、DC于点M、H、N．则下列结论：①；②；③；④若，则；⑤图中共有5个等腰三角形．其中正确的结论是（　　）
A．①②③⑤ B．①②④⑤ C．①②③④ D．①③④⑤
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；解直角三角形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点B作BK∥MN，交直线CD于点K，交AF于点Q，
∴∠BQF=∠EGF=90°，
∵AB∥CD，
∴四边形BMNK是平行四边形，
∴BK=MN，
又∠CBK+∠AFB=90°，∠FAB+∠AFB=90°，
∴∠CBK=∠FAB，
∵AB=CB，∠ABF=∠BCK=90°，
∴△ABF≌△BCK，
∴AF=BK，
∴MN=AF，即①成立；
∵BK∥MN，
∴∠CBK=∠CEN，
∴∠CEN=∠FAB，
∵BE=BF，
∴AE=AF，
∴∠EAB=∠FAB，
∵∠EAH=∠EAB+∠BAC=∠EAB+45°，
∠EHA=∠CEN+∠ACB=∠CEN+45°=∠FAB+45°，
∴∠EAH=∠EHA，即②成立；
∵∠NEC=∠BAF，∠BCD=∠ABC=90°，
∴△NEC△BAF，
∴
∴EN.BF=CN.AF，
∵∠EAH=∠AHE=∠CHN = 45°+a， ∠ACE = ∠ACN =45°，
∴△AEC△HNC，
∴
∴CN·AE=EC.HN，
∵AE = AF，
∴CN.AF=EC.HN，
.·.EN.BF=EC.HN，故结论③正确；
过点F作FP⊥AC，如图2所示，
设BF =3x，由BF：FC=3：4可得FC=4x， AB=BC = 7x，
∴ AF2 = AB2 + BF2 = (7x)2 + (3x)2 = 58x2，
∵PF= FC●sin∠ACB=4x，
∴AP = x，
∴tan∠FAC=，即结论④正确；
设∠CEN=α，则：∠CNE=90°-α，∠CHN=∠AHE=α+45°，α＜45°，
∴∠CNE≠∠CHN，
∴CNH不一定是等腰三角形，
故等腰三角形有ABC，ADCAEFAEH共四个，故结论⑤错误
故答案为：C.
【分析】：过点B作BK∥MN，交直线CD于点K，交AF于点Q，得出平行四边形BMNK，进而得出BK=MN，然后再通过证明△ABF≌△BCK，得出AF=BK，进一步等量代换，即可得出①正确；然后证明∠EHA=∠CEN+∠ACB=∠FAB+45°，∠EAH=∠EAB+∠BAC=∠EAB+45°，进一步的得出∠EAH=∠EHA，即可得出②正确；再通过证明△NEC△BAF，△AEC△HNC， 可得出EN.BF=CN.AF，CN.AF=EC.HN，进一步即可得出EN.BF=EC.HN，即③正确；再过点F作FP⊥AC，如图2所示，设BF =3x，根据勾股定理可求得PF= FC●sin∠ACB=4x，AP = x，根据正切定义，即可得出④正确；设∠CEN=α，则：∠CNE=90°-α，∠CHN=∠AHE=α+45°，α＜45°，∠CNE≠∠CHN，可得出CNH不一定是等腰三角形，易证ABC，ADCAEFAEH是等腰三角形，故而⑤不正确，即可得出正确选项。
二、填空题（每小题3分，共30分）
11．（2025·黑龙江）电影《哪吒之魔童闹海》自上映以来，好评如潮，截至2025年4月22日，总票房已超157亿元，再次刷新中国电影票房纪录。将数据157亿用科学记数法表示为　 　
【答案】1.57×1010
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 157亿 =157×108=1.57×1010.
故答案为：1.57×1010.
【分析】首先把亿改写为108，进一步得出 157亿 =1.57 ×1010.
12．（2025·黑龙江）在函数中，自变量的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵当分式分母不为0时，分式有意义，
∴，
解得，
故答案为：.
【分析】根据分式有意义的条件：分母不为0，列出不等式，解此不等式即可求解.
13．（2025·黑龙江）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，请添加一个条件　 　，使平行四边形ABCD为菱形。
【答案】AC⊥BD
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：根据菱形的判定定理：对角线垂直的平行四边形是菱形，可添加AC⊥BD；根据菱形的定义邻边相等的平行四边形是菱形可添加，即AB=BC(答案不唯一）。
故答案为：AC⊥BD或AB=BC(答案不唯一）.
【分析】根据菱形不同的判定方法，可添加不同的条件AC⊥BD或AB=BC(答案不唯一）。
14．（2025·黑龙江）如图，随机闭合开关中的两个，能让两盏灯泡同时发光的概率为　 　．
【答案】
【知识点】概率公式；用列举法求概率
【解析】【解答】解：首先根据电路图可知：只有同时关闭K1，K3时， 能让两盏灯泡同时发光，
树状图分析如下：
∴ 让两盏灯泡同时发光的概率 =
故答案为：.
【分析】首先根据电路图可知：只有同时关闭K1，K3时， 能让两盏灯泡同时发光，然后根据树状图分析可得所有机会均等的结果有6种，能让两盏灯泡同时发光的有2种，故而根据概率计算公式可得出答案。
15．（2025·黑龙江）关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是　 　。
【答案】-2≤a＜-1
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解： 不等式组，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：x＞a，
∴不等式组的解集为：，
∵ 不等式组有3个整数解，
∴ 不等式组的3个整数解为：1，0，-1，
∴-2≤a＜-1。
故答案为：-2≤a＜-1.
【分析】首先解不等式组，求得不等式组的解集，然后根据不等式组整数解的情况，可得出不等式的整数解，进而得出A的取值范围。
16．（2025·黑龙江）如图，PA、PB是圆O的切线，A、B为切点，AC是直径，，　 　
【答案】70°
【知识点】三角形内角和定理；切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：∵PA、PB是圆O的切线，A、B为切点，AC是直径，
∴∠CAP=90°，PA=PB，
∵，
∴∠PAB=∠PBA=55°，
∴∠P=180°-55°×2=70°。
故答案为：70°.
【分析】首先根据切线的性质定理得出∠CAP=90°，根据且切线长定理得出PA=PB，进而得出∠PAB=∠PBA=55°，再根据三角形内角和定理得出∠P的度数即可。
17．（2025·黑龙江）若圆锥的底面半径为3，高为4，则圆锥侧面展开图的面积为　 　。
【答案】15π
【知识点】扇形面积的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵ 圆锥的底面半径为3，高为4，
∴圆锥的母线长为：，
底面周长为：2π×3=6π，
∴ 圆锥侧面展开图的面积为 ：。
故答案为：15π.
【分析】首先根据圆锥的底面半径为3，高为4，求出圆锥的母线长和圆锥的底面周长，即圆锥侧面展开图的半径和弧长，然后根据扇形面积计算公式，即可求得圆锥侧面展开图的面积。
18．（2025·黑龙江）如图，已知中，，，，点M是内部一点，连接AM、BM、CM，若，则的最小值为　 　。
【答案】
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；胡不归模型；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：在BC上取一点G，使CG=1，
又∵BC=9，CM=3，，
又∵∠MCG=∠MCB，
∴△MCG∽△BCM，
∴，
∴MG=，
∴AM+=AM+MG≥AG，
∴AG=，
∴AM+MG≥，
即当M在AG上时，AM+MG的最小值为。
故答案为：.
【分析】在BC上取一点G，使CG=1，首先可根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似证得△MCG∽△BCM，进而得出，即MG=，然后可得出AM+=AM+MG≥AG，再根据勾股定理求出AG的长度，即可得出答案。
19．（2025·黑龙江）如图，在矩形ABCD中，，，点E是边CD的中点，点F是对角线AC上一动点，作点C关于直线EF的对称点P，若，则CF的长为　 　。
【答案】3或9
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图所示，连接PC交直线EF于点G，延长PE交AC于点H，可分成两种情况：①点P在AC的上方时，
∵在矩形ABCD中，AD=6，∠CAD =60°，∠ACD =30°，
∴.AC=2AD=12，CD=，
∵点E是边CD的中点，
∴CE==3，
∵点C关于直线EF的对称点P，
∴PE=CE=3，∠EGC = ∠EGP=90°，
∵PH⊥AC，
：.∠EHC =∠EHF =90°，∠ACD=30°， ∠ACD+∠CEH=∠ACD +∠CAD =90°，
∴∠CEH =∠CAD=60°，
∴∠PEC=120°，
∵PE=CE，
∴∠CPE=PCE=-(180°- ∠PEC) = 30°，
∵∠PEG=∠FEH，∠EGP =∠EHF=90°，
∴∠CPE= ∠EFC=30°，
∴CEF是等腰三角形，
∵PE⊥AC，
∴ CF=2EH，
∴在RtCEH中：EH=，
∴CH=，
∴ CF=2EH=9；
②点P在AC的下方时，如图所示：
∵，∠ACD=30°，
∴∠CEH=60°，
∴CEP是等边三角形，
∴EP=EC=3，
∴EH=，
又EG⊥C P，
∴∠PEG= ∠PEC=30°，
∴tan∠PEG=，
∴HF=tan∠PEG.EH=
又CH=，
∴CF=CH-HF=.
故答案为：3或9.
【分析】如图所示，连接PC交直线EF于点G，延长PE交AC于点H，可分成两种情况：①点P在AC的上方时，如图所示，可根据矩形性质，勾股定理及等腰三角形的性质，轴对称性质可求得CF=9；②点P在AC的下方时，如图所示：可根据矩形性质，勾股定理及等腰三角形的性质，轴对称性质可求得CF=3；从而得出答案为3或9.
20．（2025·黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B．四边形，，，，都是正方形，顶点。，，，，都在x轴上，顶点，，，，都在直线上，连接，，，，分别交，，，，于点，，，，．设，，，，…的面积分别为，，，，，则　 　．
【答案】
【知识点】正方形的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；坐标系中的两点距离公式；探索规律-函数上点的规律；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：当x=0时，=3，
∴点B的坐标为（0，3）
∵点B1在直线y =-x +3上，
设点B1的坐标是(x1，-x1+3)，则点A1的坐标是(x1，0)，点C1的坐标是(0，-12x1+3)，
∵四边形OA1B1C1是正方形，
∴ OA1 = A1B1， OA1∥ C1B1，
∴x1=-x1+3，
解得： x1=2，
∴B1的坐标是(2，2)，
∴正方形OA1B1C1的边长为2，
∴0C1=0A1 = A1B1 =B1C1=2
∴BC1=BC -0C1=3-2=1，
∵OA1∥C1B1，
∴△BC1D1∽△BOA1，
∴，
∴
解得：C1D1=
∴BD1 =B1C1-C1D1=2-=
∴S△BB1D1=BD1×BC1=；
设点B2的坐标为(x2，+3)，
则点A2的坐标是(x2，0)，点C2的坐标是(2，)，
∴A1A2=x2-x1 =x2 -2，
∵四边形A1 A2B2C2是正方形，
∴A1 A2 = B2A2， A1 A2 ∥ C2B2 ∴x2-2=-，
解得： x2=
∴A1A2=x2-x1=-2=
∴B2的坐标是（)，
∴A1A2=A2B2= B2C2 = A1C2 =，
∴B1C2=2-=，
∵ A1A2∥ C2B2，
∴△B1 C2D2∽△B1 A1 A2 ，
，
解得：C2D2=，
∴B2D2 = B2C2 - C2D2 =
∴S△B1B2D2=×B1C2 =，
∵B1的坐标是(2，2)，B2的坐标是()，
∴B1B2=，
∵ B1的坐标是(2，2)，点B2的坐标是(0，3)，
∴BB1 =
∵C
又∵四边形OA1B1C1和A1 A2B2C2均为正方形，
∴B1C1∥ x轴，B2C2∥ x轴
∴B1C1∥B2C2，
∴∠BB1C1 = ∠B1B2C2，
∴△BB1D1∽△B1B2D2，且相似比为，
∴，
∴当S△BB1D1=时，
S△B2B2D2==
同理可证△B1 B2D2∽△B2B3D3，且相似比为，
则S△B2B3D3=，
......
∴ S2025 = S△B2024B2025 D2025 =（
故答案为：
【分析】首先求出直线与坐标轴的交点坐标，再根据正方形的性质找出各点坐标的规律，进而得到相关线段的长度关系，利用相似三角形的性质求出各个三角形的面积表达式，找出面积的规律从而求解。
三、解答题（满分60分）
21．（2025·黑龙江）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：原式
当 时
原式
【知识点】求特殊角的三角函数值；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】首先根据分式的混合运算法则进行分式的化简，得出最简形式，然后再根据60°锐角的正弦值求出a的值，然后再代入化简后的分式中，进行二次根式的化简，即可得出结果。
22．（2025·黑龙江）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为．
（1）将向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到，画出两次平移后的，并写出点的坐标；
（2）画出绕原点O逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标；
（3）在（2）的条件下，求点旋转到点的过程中，所经过的路径长（结果保留π）。
【答案】（1）解：如图所示：
△A1B1C1即为所求，
C1(4， 1)
（2）解：如图所示： △A2B2C2即为所求，
C2(-1， 4)
（3）解：∵C1(4， 1)，
∴OC1=，
∴点旋转到点的过程中，所经过的路径长=.
【知识点】作图﹣平移；作图﹣旋转；弧长及其计算
【解析】【分析】（1）根据平移的方向和单位长度，即可得出平移后的各对应点的位置，顺次连接即可得出平移后的三角形；
（2）根据旋转的方向和角度即可得出旋转之后的各对应点的位置，顺次连接，即可得出旋转之后的三角形；
（3）根据点C1的坐标，首先求得旋转到点 路径的半径，然后根据旋转角度为90°，利用弧长计算公式即可求得所经过的路径长。
23．（2025·黑龙江）如图，抛物线交x轴于点A、点B，交y轴于点C，且点A在点B的左侧，顶点坐标为．
（1）求b与c的值。
（2）在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使的面积与的面积相等．若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由。
【答案】（1）解：由已知得：
整理，得：
∴b=-6， c=5；
（2）点P的横坐标为：
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】(2)存在，理由如下：如图，过点B作x轴的垂线，并在垂线上在x轴的上方取BD=4，连接AD，
对于抛物线y=x2 - 6x+5，当y=0，x2-6x+5=0，解得：x1=1，x2=5，当x = 0，y=5，
0B=0C=5，AB=5-1=4，∵∠COB=90°，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
过点B作x轴的垂线，在x轴上方的垂线上截取 BD=BA=4.
连接AD与BC交于点E，则D(5，4)
∴∠DBC=90°-∠OBC=45°=∠OCB，
∴BC⊥AD，ED =EA，
过点D作BC平行线与抛物线交点即为点P，
设直线BC：y=mx+n，
根据B、C的坐标可求得直线BC：y=-x+5，
如图，抛物线y=x2 - 6x+5，
∵BC∥PD，
设直线PD：y=-x+q，
代入D(5，4)得： -5+q=4，解得：q=9，
∴直线PD：y=-x+9，
与抛物线解析式联立得：
整理得：x2-5x-4=0，
解得：
∴ 点P的横坐标为：
【分析】（1）根据抛物线的顶点坐标， 利用二次函数的顶点式可得出解析式的顶点式，然后再把它转化成一般式，即可得出b与c的值 ；
（2）先求出△ABC的面积，再根据△PBC与△ABC面积相等这一条件，求出点P的坐标。
24．（2025·黑龙江） 2025年6月5日是中国的第11个环境日，育华中学八年级学生积极参加公益活动，为了解活动时间（单位：h），张老师随机抽取了该校八年级m名学生进行问卷调查，用得到的数据绘制出如下两幅不完整的统计图。
请根据相关信息，解答下列问题：
（1） ▲ ．扇形统计图中 ▲ ．并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，求参加公益活动时间为7h所对应扇形圆心角的度数；
（3）若育华中学八年级共有学生1200人，请根据样本数据，估计育华中学八年级参加公益活动的时间是10h的学生有多少人？
【答案】（1）解：200；30；
补全图形如图所示

（2）解：参加公益活动时间7h所对应扇形圆心角的度数：
（3）解：(人)
答：估计该校八年级学生参加公益活动的时间是10h的人数为240人.
(如果其他方法正确，请参考标准答案酌情给分)
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）m=20÷10%=200；
，
∴a=30；
参加公益活动时间为7h 的人数为=200-（20+30+60+40）=50（人），
并补全条形统计图即可。
故第1空答案为：200；第2空答案为：30；
【分析】（1）根据活动时长6h的占抽取总人数的10%，可列式20÷10%=200（人），求出m的值；进一步可求得活动时间8h所占的比例为：，即可得出a=30；
（2）首先由（1）知参加公益活动时间为7h 的人数为50人，然后求出50占200的百分比，再乘360°即可得出参加公益活动时间为7h所对应扇形圆心角的度数；
（3）首先求出八年级抽取学生中参加公益活动的时间是10h的学生所占的比例，估计育华中学八年级学生参加公益活动的时间是10h的学生所占的比例，然后用 育华中学八年级 学生总数1200乘所得比例即可。
25．（2025·黑龙江）一条公路上依次有A、B、C三地，一辆轿车从A地出发途经B地接人，停留一段时间后原速驶往C地；一辆货车从C地出发，送货到达B地后立即原路原速返回C地（卸货时间忽略不计）。两车同时出发，轿车比货车晚到达终点，两车均按各自速度匀速行驶。如图是轿车和货车距各自出发地的距离y（单位：km）与轿车的行驶时间x（单位：h）之间的函数图象，结合图象回答下列问题：
（1）图中a的值是　 　，b的值是　 　；
（2）在货车从B地返回C地的过程中，求货车距出发地的距离y（单位：km）与行驶时间x（单位：h）之间的函数解析式；
（3）直接写出轿车出发多长时间与货车相距40km。
【答案】（1）300；2
（2）解：货车从C地出发再返回C地所用时间：
∴点N 的坐标是 ( ， 0)
货车到达B地的时间： 点M 的坐标是 ( ， 120) 设MN的解析式为y= kx+b(k≠0)
将M 的坐标( ， 120)， N 的坐标 (， 0) 代入解析式y= kx+b(k≠0)中，
得
解得
货车从B地返回C地的过程中y与x的函数解析式是：
（3）轿车经过 h或h或 h轿车和货车相距40km。
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：（1）由图像可知：A地与B地之间的距离为180千米，B和C两地之间的距离是120千米，
所以A地经B地到C地总长度为：180+120=300（米），即a=300；
又由图像知：轿车1.5小时行驶180千米，
所以轿车的行驶速度为：（千米/小时），
所以如果轿车不接人从A至B，再到C所需时间为：300120=2.5（小时），
所以3-2.5=0.5，
所以b=1.5+0.5=2；
故第1空答案为：300；第2空答案为：2；
（3）解：由（1）知：轿车的速度为120千米/小时，货车的速度为：240（3-）=90（千米/小时），
所以：货车从C地至B地时的函数关系式为：y=90x（0＜x≤1.5）
轿车在从A地到B地时据出发地的距离y与行驶事件之间的函数关系式为：y=120x（0＜x≤1.5），
设轿车接人之后在从B地到C地时据出发地的距离y与行驶事件之间的函数关系式为：y=kx+b，
由（2，180）和（3，200），可得：，
解得：，
所以y=120x-60(2＜x≤3)，
轿车与货车相距40km可分为以下三种情况：①当0x≤时：120x+90x=300-40，解得x=；②当1.5≤x≤2时：90（x-）=40，解得x=；当2＜x时：300-（-90x+240）=120x-60+40，解得：x=。
综上可得：轿车经过 h或h或 h轿车和货车相距40km。
【分析】（1）首先根据图像获取信息：A地与B地之间的距离为180千米，B和C两地之间的距离是120千米，即可得出a=300；然后求出轿车不接人从A至B，再到C所需时间为：300120=2.5（小时），从而得出接人所需时间2.5小时，进一步即可得出b=1.5+0.5=2；
（2）首先根据题意可分别求得点M和点N的坐标，然后利用待定系数法，即可得出函数关系式；
（3）首先求出不同时段轿车和货车y与x之间的函数关系是，然后分成三种情况进行分析，即可得出轿车出发多长时间与货车相距40km时的方程式，解方程即可得出结果。
26．（2025·黑龙江）已知：如图，中，，设，点D是直线BC上一动点，连接AD，将线段AD绕点A顺时针旋转α至AE，连接DE、BE，过点E作，交直线BC于点F．探究如下：
（1）若时，
如图①，点D在CB延长线上时，易证：；
如图②，点D在BC延长线上时，试探究线段BF、DF、BC之间存在怎样的数量关系，请写出结论，并说明理由。
（2）若，点D在CB延长线上时，如图③，猜想线段BF、DF、BC之间又有怎样的数量关系？请直接写出结论，不需要证明。
【答案】（1）解：（1）如图①
∵， ∠BAC=α=60°，
∴是等边三角形，
∴∠ACB=∠ABC=60°，
∵∠DAE=α=60°
∴∠BAC+∠BAD=∠DAE+∠BAD
∴∠DAC=∠EAB
由旋转性质知：AD=AE，
在和中：
∵AC=AB，∠DAC=∠EAB，AD=AE，
∴≌，
∴CD=BE，
∴∠ABE=∠ACD=60°，
∴∠EBF=60°，
∵，
∴∠BEF=-30°，
∴BE=2BF，
∴CD=2BF，
∵CD=DF+BF+BC，
∴；
图②的结论是： BF=DF-BC
证明： ∵AB=AC ∠BAC=α=60°
∴△ABC 是等边三角形
∵AE=AD ∠EAD=α=60°
∴△ADE 是等边三角形
∴∠BAE=∠CAD
∴△BAE≌△CAD (SAS)
∴BE=CD ∠AEB=∠ADC
∴∠EBF=∠EAD=60°
∵EF⊥BC
∴∠BEF=30°
∴BE=2BF
又∵BE=CD
∴2BF=BD-BC=BF+DF-BC
∴BF= DF-BC
（2）解：3BF= DF+BC
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】解：（2）图③的结论是： 3BF= DF+BC
∵∠BAC=α=120°，∠DAE=α=120°，
∴∠BAC+∠BAD=∠DAE+∠BAD，即∠DAC=∠EAB
在和中：
∵AC=AB，∠DAC=∠EAB，AD=AE，
∴≌，
∴CD=BE，
∴∠ABE=∠ACD=∠ABC=，
∴∠ABF=∠ABE+∠ABC=60°，
∵AF⊥BC，
∴∠BEF=30°，
∴BE=2BF，
∴CD=2BF，
∵CD=DF+CF，CF=BC-BF，
∴2BF=DF+BC-BF，
∴3BF= DF+BC。
【分析】（1）本题主要涉及等边三角形的判定与性质以及三角形全等的判定与性质。通过证明三角形全等得到线段和角的关系，进而推导出线段之间的数量关系。
（2）通过旋转得到相等的线段和角，构造全等三角形来探究线段之间的关系
27．（2025·黑龙江） 2024年8月6日，第十二届世界运动会口号“运动无限，气象万千”在京发布，吉祥物“蜀宝”和“锦仔”亮相。第一中学为鼓励学生积极参加体育活动，准备购买“蜀宝”和“锦仔”奖励在活动中表现优秀的学生。已知购买3个“蜀宝”和1个“锦仔”共需花费332元，购买2个“蜀宝”和3个“锦仔”共需380元。
（1）购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要多少元？
（2）若学校计划购买这两种吉祥物共30个，投入资金不少于2160元又不多于2200元，有哪几种购买方案？
（3）设学校投入资金W元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？
【答案】（1）解：设购买一个“蜀宝”需要x元，购买一个“锦仔”需要y元，由题意得：
解得：
答： 购买一个“蜀宝”需要88元，购买一个“锦仔”68元
（2）解：设购买“蜀宝” a个， 则购买“锦仔”(30-a) 个.由题意得：
1880+688(30-2)≥22000
解得： 6≤a≤8
∵a和(30-a)均为正整数
∴a=6，7，8
30-a=24，23，22
共有3种购买方案：
方案一：购买“蜀宝”6个，购买“锦仔”24个；
方案二：购买“蜀宝”7个，购买“锦仔”23个；
方案三：购买“蜀宝”8个，购买“锦仔”22个.
（3）解：由题意可得：
W=88a+68(30-a)=20a+2040∵k=20＞0
∴W随a的增大而增大∴当a=6时， 元
答：学校购买“蜀宝”6个，购买“锦仔”24个，投入资金最少，最少资金是2160元.
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设购买一个“蜀宝”需要x元，购买一个“锦仔”需要y元，根据购买3个“蜀宝”和1个“锦仔”共需花费332元，购买2个“蜀宝”和3个“锦仔”共需380元，可得方程组，解方程组求得方程组的解，即可得出答案；
（2）设购买“蜀宝” a个， 则购买“锦仔”(30-a) 个，根据 投入资金不少于2160元又不多于2200元， 可得出不等式1880+688(30-2)≥22000，解不等式求得不等式的解集，进一步即可得出不等式的整数解，即可得出购买方案；
（3） 设学校投入资金W元，购买“蜀宝” a个， 则购买“锦仔”(30-a) 个，由（1）可知购买一个“蜀宝”需要88元，购买一个“锦仔”68元，可得出W=88a+68(30-a)=20a+2040，然后根据一次函数的增减性，结合（2）的方案，即可得出当a取最小值6时， 需要的资金最少 ，并可进一步求出最小值。
28．（2025·黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，，OA的长是一元二次方程的根，过点C作交OA于点Q，交对角线OB于点P．动点M从点O以每秒1个单位长度的速度沿OA向终点A运动，动点N从点B以每秒个单位长度的速度沿BO向终点O运动，M、N两点同时出发，设运动时间为t秒。
（1）求点P坐标；
（2）连接MN、PM，求的面积S关于运动时间t的函数解析式；
（3）当时，在对角线OB上是否存在一点E，使得是含角的等腰三角形．若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由。
【答案】（1）解：
解得 x1=6， x2=-3
∵OA 的长是 的根
∴OA=6
∵四边形OABC 为菱形
∴OA=OC=6
∴∠COA=60°
又∵CQ⊥OA
∴∠OCQ=30°
∴OQ=3
∵四边形OABC 为菱形
∴OB 平分∠COA
∴∠POQ=30°
∴点 P的坐标为P (3，)
（2）解：过点M作MK⊥OB于点K，
OM=t ，则
由(1) 得： 则 …1分
当0＜ t ＜4时
当4＜ t≤6时
综上所述
（3）解：
【知识点】分段函数；列二次函数关系式；三角形的面积；菱形的性质；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】解：（3）存在， 如图
当t=3时，OM =3，点M和点Q重合，BN =， ON =，∠ONM = ∠NOM=30°，
假设在对角线OB上存在一点E，使得△MNE是含30°角的等腰三角形，
当∠EMN为顶角时，点E1与点O重合，E1(0，0)；当∠MEN为顶角时，点E2与点P重合，E2(3，)；
当∠ENM为顶角时，NE=NM =0M=3，
设Eз(，a)，则OE3 = 2a，∵ OEз + NEз =ON，
∴2a+3=3
∴a=，
∴，
∴E3(，)
综上，当t=3时，在对角线OB上存在一点E，使得△MNE是含30°角的等腰三角形，
【分析】（1）首先求解一元二次方程得到菱形的边长，再利用三角函数求出相关角度和线段长度，进而确定点 P 的坐标；
（2）根据不同的运动阶段，利用三角形面积公式来求解三角形PMN的面积S关于运动时间t的函数解析式。首先要找到三角形的底和高与时间t的关系；
（3）当t=3时，OM =3，点M和点Q重合，BN =， ON =，∠ONM = ∠NOM=30°，
假设在对角线OB上存在一点E，使得△MNE是含30°角的等腰三角形， 可分成三种情况进行分析 ：当∠EMN为顶角时， E1(0，0) ；当∠MEN为顶角时， E2(3，)； 当∠ENM为顶角时， E3(，) ，综上即可得出当t=3时，在对角线OB上存在一点 使得△MNE是含30°角的等腰三角形。
1 / 1黑龙江省龙东地区2025年中考数学真题
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（2025·黑龙江）下列运算正确的是（　　）
A．， B．
C． D．
2．（2025·黑龙江）我国古代有很多关于数学的伟大发现，其中包括很多美丽的图案，下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．杨辉三角
B．割圆术示意图
C．赵爽弦图
D．洛书
3．（2025·黑龙江）2025年2月7日至2月14日第九届亚冬会在哈尔滨市举办，本届亚冬会的吉祥物是一对可爱的东北虎“滨滨”和“妮妮”。某专卖店“滨滨”和“妮妮”套盒纪念品连续六天的销售量（单位：套）分别为：136，140，129，180，136，154，这组数据的众数和中位数分别是（　　）
A．136，136 B．138，136 C．136，129 D．136，138
4．（2025·黑龙江）一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图和俯视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少是（　　）
A．7 B．8 C．6 D．5
5．（2025·黑龙江）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具。某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（　　）
A．
B．
C．
D．
6．（2025·黑龙江）已知关于x的分式方程解为负数，则k的值为（　　）
A． B．
C．且 D．且
7．（2025·黑龙江）为促进学生德智体美劳全面发展，某校计划用1200元购买足球和篮球用于课外活动，其中足球80元/个，篮球120元/个，共有多少种购买方案（　　）
A．6 B．7 C．4 D．5
8．（2025·黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，点A、点B都在双曲线上，且点A在点B的右侧，点A的横坐标为，，则k的值为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·黑龙江）如图，在中，，点D、E分别在边AB和BC上，且，，连接DE，点M、N分别是AC、DE的中点，连接MN，则MN的长度为（　　）
A． B． C．2 D．
10．（2025·黑龙江）如图，在正方形ABCD中，点F在BC边上（不与点B、C重合），点E在CB的延长线上，且BE=BF，连接AC、AE、AF，过点E作于点G，分别交AB、AC、DC于点M、H、N．则下列结论：①；②；③；④若，则；⑤图中共有5个等腰三角形．其中正确的结论是（　　）
A．①②③⑤ B．①②④⑤ C．①②③④ D．①③④⑤
二、填空题（每小题3分，共30分）
11．（2025·黑龙江）电影《哪吒之魔童闹海》自上映以来，好评如潮，截至2025年4月22日，总票房已超157亿元，再次刷新中国电影票房纪录。将数据157亿用科学记数法表示为　 　
12．（2025·黑龙江）在函数中，自变量的取值范围是　 　．
13．（2025·黑龙江）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，请添加一个条件　 　，使平行四边形ABCD为菱形。
14．（2025·黑龙江）如图，随机闭合开关中的两个，能让两盏灯泡同时发光的概率为　 　．
15．（2025·黑龙江）关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是　 　。
16．（2025·黑龙江）如图，PA、PB是圆O的切线，A、B为切点，AC是直径，，　 　
17．（2025·黑龙江）若圆锥的底面半径为3，高为4，则圆锥侧面展开图的面积为　 　。
18．（2025·黑龙江）如图，已知中，，，，点M是内部一点，连接AM、BM、CM，若，则的最小值为　 　。
19．（2025·黑龙江）如图，在矩形ABCD中，，，点E是边CD的中点，点F是对角线AC上一动点，作点C关于直线EF的对称点P，若，则CF的长为　 　。
20．（2025·黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B．四边形，，，，都是正方形，顶点。，，，，都在x轴上，顶点，，，，都在直线上，连接，，，，分别交，，，，于点，，，，．设，，，，…的面积分别为，，，，，则　 　．
三、解答题（满分60分）
21．（2025·黑龙江）先化简，再求值：，其中．
22．（2025·黑龙江）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为．
（1）将向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到，画出两次平移后的，并写出点的坐标；
（2）画出绕原点O逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标；
（3）在（2）的条件下，求点旋转到点的过程中，所经过的路径长（结果保留π）。
23．（2025·黑龙江）如图，抛物线交x轴于点A、点B，交y轴于点C，且点A在点B的左侧，顶点坐标为．
（1）求b与c的值。
（2）在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使的面积与的面积相等．若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由。
24．（2025·黑龙江） 2025年6月5日是中国的第11个环境日，育华中学八年级学生积极参加公益活动，为了解活动时间（单位：h），张老师随机抽取了该校八年级m名学生进行问卷调查，用得到的数据绘制出如下两幅不完整的统计图。
请根据相关信息，解答下列问题：
（1） ▲ ．扇形统计图中 ▲ ．并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，求参加公益活动时间为7h所对应扇形圆心角的度数；
（3）若育华中学八年级共有学生1200人，请根据样本数据，估计育华中学八年级参加公益活动的时间是10h的学生有多少人？
25．（2025·黑龙江）一条公路上依次有A、B、C三地，一辆轿车从A地出发途经B地接人，停留一段时间后原速驶往C地；一辆货车从C地出发，送货到达B地后立即原路原速返回C地（卸货时间忽略不计）。两车同时出发，轿车比货车晚到达终点，两车均按各自速度匀速行驶。如图是轿车和货车距各自出发地的距离y（单位：km）与轿车的行驶时间x（单位：h）之间的函数图象，结合图象回答下列问题：
（1）图中a的值是　 　，b的值是　 　；
（2）在货车从B地返回C地的过程中，求货车距出发地的距离y（单位：km）与行驶时间x（单位：h）之间的函数解析式；
（3）直接写出轿车出发多长时间与货车相距40km。
26．（2025·黑龙江）已知：如图，中，，设，点D是直线BC上一动点，连接AD，将线段AD绕点A顺时针旋转α至AE，连接DE、BE，过点E作，交直线BC于点F．探究如下：
（1）若时，
如图①，点D在CB延长线上时，易证：；
如图②，点D在BC延长线上时，试探究线段BF、DF、BC之间存在怎样的数量关系，请写出结论，并说明理由。
（2）若，点D在CB延长线上时，如图③，猜想线段BF、DF、BC之间又有怎样的数量关系？请直接写出结论，不需要证明。
27．（2025·黑龙江） 2024年8月6日，第十二届世界运动会口号“运动无限，气象万千”在京发布，吉祥物“蜀宝”和“锦仔”亮相。第一中学为鼓励学生积极参加体育活动，准备购买“蜀宝”和“锦仔”奖励在活动中表现优秀的学生。已知购买3个“蜀宝”和1个“锦仔”共需花费332元，购买2个“蜀宝”和3个“锦仔”共需380元。
（1）购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要多少元？
（2）若学校计划购买这两种吉祥物共30个，投入资金不少于2160元又不多于2200元，有哪几种购买方案？
（3）设学校投入资金W元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？
28．（2025·黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，，OA的长是一元二次方程的根，过点C作交OA于点Q，交对角线OB于点P．动点M从点O以每秒1个单位长度的速度沿OA向终点A运动，动点N从点B以每秒个单位长度的速度沿BO向终点O运动，M、N两点同时出发，设运动时间为t秒。
（1）求点P坐标；
（2）连接MN、PM，求的面积S关于运动时间t的函数解析式；
（3）当时，在对角线OB上是否存在一点E，使得是含角的等腰三角形．若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由。
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、a4.a3=a7，所以A不正确；
B、2a与3b不是同类项，不能合并，所以B不正确；
C：，所以C正确；
D：，所以D不正确。
故答案为：C.
【分析】根据幂的运算性质同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得A不正确；根据积得乘方及幂的乘方的性质可得C正确；根据合并同类项法则可得B不正确；根据平方差公式，可得D不正确，即可得出答案。
2．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、杨辉三角是轴对称图形，不是中心对称图形，所以A不符合题意；
B、割圆术示意图既是轴对称图形又是中心对称图形，所以B符合题意；
C：赵爽弦图不是轴对称图形，是中心对称图形，所以C不符合题意；
D：洛书既不是轴对称图形又不是中心对称图形，所以D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，分别进行判断，即可得出答案。
3．【答案】D
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：把一组数据按照从小到大的顺序重新排列为：129，136，136，140，154，180，
所以 这组数据的众数，是 ：136，中位数是：，
所以这组数据的众数和中位数分别是：136，138.
故答案为：D.
【分析】把一组数据按照从小到大的顺序重新排列为：129，136，136，140，154，180，然后根据众数的中位数的定义，可分别得出答案，即可得出答案。
4．【答案】A
【知识点】由三视图判断小正方体的个数
【解析】【解答】解：由主视图可知：俯视图上的5个位置中，左侧一列的三个位置最少有一个位置是2个正方体，右侧一列的两个位置中，至少有一个位置是2个正方体，
所以 组成该几何体所需小正方体的个数最少是 ：5+2=7.
故答案为：A.
【分析】结合主视图可以分析得出俯视图中左右两列的位置上小正方体的最少个数，从而得出组成该几何体所需小正方体的最少个数。
5．【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解： 设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，
根据题意，得：
故答案为：B.
【分析】根据一元二次方程的应用中的增长率问题，找出变化以前的量8000辆，变化以后的量12000辆，以及变化次数2，即可列出方程。
6．【答案】A
【知识点】解分式方程；已知不等式的解（集）求参数
【解析】【解答】解：，
方程两边都乘（x-4)，得：x+k+2k=3（x-4)，
解整式方程，得：x=，
∵ 关于x的分式方程解为负数，
∴＜0且-4≠0，
∴k＜-4。
故答案为：A.
【分析】首先解关于x的分式方程，得到方程的解为x=，然后根据 关于x的分式方程解为负数，可得出＜0且-4≠0，解不等式即可得出k＜-4。
7．【答案】C
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【解答】解：设购买足球x个，购买篮球y个，根据题意，可得：
80x + 120y=1200，化简可得x = 15-，
因为x，y均为正整数，所以y必须是2的倍数，且购买 购买足球和篮球 的总金额为1200元，所以y＜，即y＜10，
∴当y = 2时，x=15 - 3=12；
当y = 4时，x=15-6 = 9；
当y = 6时，x=15 - 9=6；
当y = 8时，x=15-12 = 3；
当y = 10时，x=15 - 15=0（舍去，因为要求购买足球和篮球，x不能为0）；
所以满足条件的购买方案有4种。
共有4种购买方案。
故答案为： C 。
【分析】设购买足球x个，购买篮球y个，根据总价 = 单价×数量，可得到关于x、y的方程，再结合x、y为正整数来确定购买方案。
8．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥y轴于 D，AC与BD相交于点E。
∵∠AOB = ∠ABO =45°，
∴OA= AB，∠▽OAB=90°。
又∵∠▽ACO =∠AEB =90°，∠AOC+∠OAC = 90°，∠OAC +∠BAE =90°，
∴∠AOC=∠BAE。
在△AOC和△BAE中：∠ACO=∠BEA，∠AOC = ∠BAE，OA=AB
∴△AOC≌△BAE
∵点A的横坐标为-1，
把x=-1代入中，
可得y =-k，
∴A(- 1，- k)，则OC =1，AC =-k。
由△AOC ≌△BAE可得AE=0C=1， BE = AC =- k，
BD=BE-DE，DE=0C=1，
∴ BD=-k-1；CD=CE+DE，CE= AC =-k，
∴CD=-k+1，则B(-k-1，k- 1)。
∵点A(-1，- k)，点B(-k-1，k-1)都在双曲线y=-上，
∴(-1)x (- k)=(-k- 1)x(k-1)。
整理为： k2+k-1=0。
解方程可得：，
∵A在第二象限，k＜0
∴
故答案为：D.
【分析】本题涉及反比例函数的性质以及等腰三角形的性质。通过作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的性质得到点的坐标关系，进而结合反比例函数的表达式求解k的值。
9．【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：过点D作BC的平行线，交CN的延长线于点H，连接AH，
∵点N是DE的中点，
∴DN=EN，
∵DH∥BC，
∴∠ADH=∠B=90°，
∠DHN=∠ECN，∠HDN=∠ECN，
∴△HDN≌△CEN，
∴HD=CE=3，HN=CN，
在Rt△ADH中：AH=，
又∵M是AC的中点，
∴MN是△ACH的中位线，
∴MN=.
故答案为：A.
【分析】过点D作BC的平行线，交CN的延长线于点H，连接AH，构造全等三角形△HDN≌△CEN，将已知线段进行转化HD=CE=3，利用勾股定理求得线段AH的长度，再利用三角形中位线定理求出线段 MN 的长度。
10．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；解直角三角形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点B作BK∥MN，交直线CD于点K，交AF于点Q，
∴∠BQF=∠EGF=90°，
∵AB∥CD，
∴四边形BMNK是平行四边形，
∴BK=MN，
又∠CBK+∠AFB=90°，∠FAB+∠AFB=90°，
∴∠CBK=∠FAB，
∵AB=CB，∠ABF=∠BCK=90°，
∴△ABF≌△BCK，
∴AF=BK，
∴MN=AF，即①成立；
∵BK∥MN，
∴∠CBK=∠CEN，
∴∠CEN=∠FAB，
∵BE=BF，
∴AE=AF，
∴∠EAB=∠FAB，
∵∠EAH=∠EAB+∠BAC=∠EAB+45°，
∠EHA=∠CEN+∠ACB=∠CEN+45°=∠FAB+45°，
∴∠EAH=∠EHA，即②成立；
∵∠NEC=∠BAF，∠BCD=∠ABC=90°，
∴△NEC△BAF，
∴
∴EN.BF=CN.AF，
∵∠EAH=∠AHE=∠CHN = 45°+a， ∠ACE = ∠ACN =45°，
∴△AEC△HNC，
∴
∴CN·AE=EC.HN，
∵AE = AF，
∴CN.AF=EC.HN，
.·.EN.BF=EC.HN，故结论③正确；
过点F作FP⊥AC，如图2所示，
设BF =3x，由BF：FC=3：4可得FC=4x， AB=BC = 7x，
∴ AF2 = AB2 + BF2 = (7x)2 + (3x)2 = 58x2，
∵PF= FC●sin∠ACB=4x，
∴AP = x，
∴tan∠FAC=，即结论④正确；
设∠CEN=α，则：∠CNE=90°-α，∠CHN=∠AHE=α+45°，α＜45°，
∴∠CNE≠∠CHN，
∴CNH不一定是等腰三角形，
故等腰三角形有ABC，ADCAEFAEH共四个，故结论⑤错误
故答案为：C.
【分析】：过点B作BK∥MN，交直线CD于点K，交AF于点Q，得出平行四边形BMNK，进而得出BK=MN，然后再通过证明△ABF≌△BCK，得出AF=BK，进一步等量代换，即可得出①正确；然后证明∠EHA=∠CEN+∠ACB=∠FAB+45°，∠EAH=∠EAB+∠BAC=∠EAB+45°，进一步的得出∠EAH=∠EHA，即可得出②正确；再通过证明△NEC△BAF，△AEC△HNC， 可得出EN.BF=CN.AF，CN.AF=EC.HN，进一步即可得出EN.BF=EC.HN，即③正确；再过点F作FP⊥AC，如图2所示，设BF =3x，根据勾股定理可求得PF= FC●sin∠ACB=4x，AP = x，根据正切定义，即可得出④正确；设∠CEN=α，则：∠CNE=90°-α，∠CHN=∠AHE=α+45°，α＜45°，∠CNE≠∠CHN，可得出CNH不一定是等腰三角形，易证ABC，ADCAEFAEH是等腰三角形，故而⑤不正确，即可得出正确选项。
11．【答案】1.57×1010
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 157亿 =157×108=1.57×1010.
故答案为：1.57×1010.
【分析】首先把亿改写为108，进一步得出 157亿 =1.57 ×1010.
12．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵当分式分母不为0时，分式有意义，
∴，
解得，
故答案为：.
【分析】根据分式有意义的条件：分母不为0，列出不等式，解此不等式即可求解.
13．【答案】AC⊥BD
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：根据菱形的判定定理：对角线垂直的平行四边形是菱形，可添加AC⊥BD；根据菱形的定义邻边相等的平行四边形是菱形可添加，即AB=BC(答案不唯一）。
故答案为：AC⊥BD或AB=BC(答案不唯一）.
【分析】根据菱形不同的判定方法，可添加不同的条件AC⊥BD或AB=BC(答案不唯一）。
14．【答案】
【知识点】概率公式；用列举法求概率
【解析】【解答】解：首先根据电路图可知：只有同时关闭K1，K3时， 能让两盏灯泡同时发光，
树状图分析如下：
∴ 让两盏灯泡同时发光的概率 =
故答案为：.
【分析】首先根据电路图可知：只有同时关闭K1，K3时， 能让两盏灯泡同时发光，然后根据树状图分析可得所有机会均等的结果有6种，能让两盏灯泡同时发光的有2种，故而根据概率计算公式可得出答案。
15．【答案】-2≤a＜-1
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解： 不等式组，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：x＞a，
∴不等式组的解集为：，
∵ 不等式组有3个整数解，
∴ 不等式组的3个整数解为：1，0，-1，
∴-2≤a＜-1。
故答案为：-2≤a＜-1.
【分析】首先解不等式组，求得不等式组的解集，然后根据不等式组整数解的情况，可得出不等式的整数解，进而得出A的取值范围。
16．【答案】70°
【知识点】三角形内角和定理；切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：∵PA、PB是圆O的切线，A、B为切点，AC是直径，
∴∠CAP=90°，PA=PB，
∵，
∴∠PAB=∠PBA=55°，
∴∠P=180°-55°×2=70°。
故答案为：70°.
【分析】首先根据切线的性质定理得出∠CAP=90°，根据且切线长定理得出PA=PB，进而得出∠PAB=∠PBA=55°，再根据三角形内角和定理得出∠P的度数即可。
17．【答案】15π
【知识点】扇形面积的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵ 圆锥的底面半径为3，高为4，
∴圆锥的母线长为：，
底面周长为：2π×3=6π，
∴ 圆锥侧面展开图的面积为 ：。
故答案为：15π.
【分析】首先根据圆锥的底面半径为3，高为4，求出圆锥的母线长和圆锥的底面周长，即圆锥侧面展开图的半径和弧长，然后根据扇形面积计算公式，即可求得圆锥侧面展开图的面积。
18．【答案】
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；胡不归模型；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：在BC上取一点G，使CG=1，
又∵BC=9，CM=3，，
又∵∠MCG=∠MCB，
∴△MCG∽△BCM，
∴，
∴MG=，
∴AM+=AM+MG≥AG，
∴AG=，
∴AM+MG≥，
即当M在AG上时，AM+MG的最小值为。
故答案为：.
【分析】在BC上取一点G，使CG=1，首先可根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似证得△MCG∽△BCM，进而得出，即MG=，然后可得出AM+=AM+MG≥AG，再根据勾股定理求出AG的长度，即可得出答案。
19．【答案】3或9
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图所示，连接PC交直线EF于点G，延长PE交AC于点H，可分成两种情况：①点P在AC的上方时，
∵在矩形ABCD中，AD=6，∠CAD =60°，∠ACD =30°，
∴.AC=2AD=12，CD=，
∵点E是边CD的中点，
∴CE==3，
∵点C关于直线EF的对称点P，
∴PE=CE=3，∠EGC = ∠EGP=90°，
∵PH⊥AC，
：.∠EHC =∠EHF =90°，∠ACD=30°， ∠ACD+∠CEH=∠ACD +∠CAD =90°，
∴∠CEH =∠CAD=60°，
∴∠PEC=120°，
∵PE=CE，
∴∠CPE=PCE=-(180°- ∠PEC) = 30°，
∵∠PEG=∠FEH，∠EGP =∠EHF=90°，
∴∠CPE= ∠EFC=30°，
∴CEF是等腰三角形，
∵PE⊥AC，
∴ CF=2EH，
∴在RtCEH中：EH=，
∴CH=，
∴ CF=2EH=9；
②点P在AC的下方时，如图所示：
∵，∠ACD=30°，
∴∠CEH=60°，
∴CEP是等边三角形，
∴EP=EC=3，
∴EH=，
又EG⊥C P，
∴∠PEG= ∠PEC=30°，
∴tan∠PEG=，
∴HF=tan∠PEG.EH=
又CH=，
∴CF=CH-HF=.
故答案为：3或9.
【分析】如图所示，连接PC交直线EF于点G，延长PE交AC于点H，可分成两种情况：①点P在AC的上方时，如图所示，可根据矩形性质，勾股定理及等腰三角形的性质，轴对称性质可求得CF=9；②点P在AC的下方时，如图所示：可根据矩形性质，勾股定理及等腰三角形的性质，轴对称性质可求得CF=3；从而得出答案为3或9.
20．【答案】
【知识点】正方形的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；坐标系中的两点距离公式；探索规律-函数上点的规律；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：当x=0时，=3，
∴点B的坐标为（0，3）
∵点B1在直线y =-x +3上，
设点B1的坐标是(x1，-x1+3)，则点A1的坐标是(x1，0)，点C1的坐标是(0，-12x1+3)，
∵四边形OA1B1C1是正方形，
∴ OA1 = A1B1， OA1∥ C1B1，
∴x1=-x1+3，
解得： x1=2，
∴B1的坐标是(2，2)，
∴正方形OA1B1C1的边长为2，
∴0C1=0A1 = A1B1 =B1C1=2
∴BC1=BC -0C1=3-2=1，
∵OA1∥C1B1，
∴△BC1D1∽△BOA1，
∴，
∴
解得：C1D1=
∴BD1 =B1C1-C1D1=2-=
∴S△BB1D1=BD1×BC1=；
设点B2的坐标为(x2，+3)，
则点A2的坐标是(x2，0)，点C2的坐标是(2，)，
∴A1A2=x2-x1 =x2 -2，
∵四边形A1 A2B2C2是正方形，
∴A1 A2 = B2A2， A1 A2 ∥ C2B2 ∴x2-2=-，
解得： x2=
∴A1A2=x2-x1=-2=
∴B2的坐标是（)，
∴A1A2=A2B2= B2C2 = A1C2 =，
∴B1C2=2-=，
∵ A1A2∥ C2B2，
∴△B1 C2D2∽△B1 A1 A2 ，
，
解得：C2D2=，
∴B2D2 = B2C2 - C2D2 =
∴S△B1B2D2=×B1C2 =，
∵B1的坐标是(2，2)，B2的坐标是()，
∴B1B2=，
∵ B1的坐标是(2，2)，点B2的坐标是(0，3)，
∴BB1 =
∵C
又∵四边形OA1B1C1和A1 A2B2C2均为正方形，
∴B1C1∥ x轴，B2C2∥ x轴
∴B1C1∥B2C2，
∴∠BB1C1 = ∠B1B2C2，
∴△BB1D1∽△B1B2D2，且相似比为，
∴，
∴当S△BB1D1=时，
S△B2B2D2==
同理可证△B1 B2D2∽△B2B3D3，且相似比为，
则S△B2B3D3=，
......
∴ S2025 = S△B2024B2025 D2025 =（
故答案为：
【分析】首先求出直线与坐标轴的交点坐标，再根据正方形的性质找出各点坐标的规律，进而得到相关线段的长度关系，利用相似三角形的性质求出各个三角形的面积表达式，找出面积的规律从而求解。
21．【答案】解：原式
当 时
原式
【知识点】求特殊角的三角函数值；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】首先根据分式的混合运算法则进行分式的化简，得出最简形式，然后再根据60°锐角的正弦值求出a的值，然后再代入化简后的分式中，进行二次根式的化简，即可得出结果。
22．【答案】（1）解：如图所示：
△A1B1C1即为所求，
C1(4， 1)
（2）解：如图所示： △A2B2C2即为所求，
C2(-1， 4)
（3）解：∵C1(4， 1)，
∴OC1=，
∴点旋转到点的过程中，所经过的路径长=.
【知识点】作图﹣平移；作图﹣旋转；弧长及其计算
【解析】【分析】（1）根据平移的方向和单位长度，即可得出平移后的各对应点的位置，顺次连接即可得出平移后的三角形；
（2）根据旋转的方向和角度即可得出旋转之后的各对应点的位置，顺次连接，即可得出旋转之后的三角形；
（3）根据点C1的坐标，首先求得旋转到点 路径的半径，然后根据旋转角度为90°，利用弧长计算公式即可求得所经过的路径长。
23．【答案】（1）解：由已知得：
整理，得：
∴b=-6， c=5；
（2）点P的横坐标为：
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】(2)存在，理由如下：如图，过点B作x轴的垂线，并在垂线上在x轴的上方取BD=4，连接AD，
对于抛物线y=x2 - 6x+5，当y=0，x2-6x+5=0，解得：x1=1，x2=5，当x = 0，y=5，
0B=0C=5，AB=5-1=4，∵∠COB=90°，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
过点B作x轴的垂线，在x轴上方的垂线上截取 BD=BA=4.
连接AD与BC交于点E，则D(5，4)
∴∠DBC=90°-∠OBC=45°=∠OCB，
∴BC⊥AD，ED =EA，
过点D作BC平行线与抛物线交点即为点P，
设直线BC：y=mx+n，
根据B、C的坐标可求得直线BC：y=-x+5，
如图，抛物线y=x2 - 6x+5，
∵BC∥PD，
设直线PD：y=-x+q，
代入D(5，4)得： -5+q=4，解得：q=9，
∴直线PD：y=-x+9，
与抛物线解析式联立得：
整理得：x2-5x-4=0，
解得：
∴ 点P的横坐标为：
【分析】（1）根据抛物线的顶点坐标， 利用二次函数的顶点式可得出解析式的顶点式，然后再把它转化成一般式，即可得出b与c的值 ；
（2）先求出△ABC的面积，再根据△PBC与△ABC面积相等这一条件，求出点P的坐标。
24．【答案】（1）解：200；30；
补全图形如图所示

（2）解：参加公益活动时间7h所对应扇形圆心角的度数：
（3）解：(人)
答：估计该校八年级学生参加公益活动的时间是10h的人数为240人.
(如果其他方法正确，请参考标准答案酌情给分)
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）m=20÷10%=200；
，
∴a=30；
参加公益活动时间为7h 的人数为=200-（20+30+60+40）=50（人），
并补全条形统计图即可。
故第1空答案为：200；第2空答案为：30；
【分析】（1）根据活动时长6h的占抽取总人数的10%，可列式20÷10%=200（人），求出m的值；进一步可求得活动时间8h所占的比例为：，即可得出a=30；
（2）首先由（1）知参加公益活动时间为7h 的人数为50人，然后求出50占200的百分比，再乘360°即可得出参加公益活动时间为7h所对应扇形圆心角的度数；
（3）首先求出八年级抽取学生中参加公益活动的时间是10h的学生所占的比例，估计育华中学八年级学生参加公益活动的时间是10h的学生所占的比例，然后用 育华中学八年级 学生总数1200乘所得比例即可。
25．【答案】（1）300；2
（2）解：货车从C地出发再返回C地所用时间：
∴点N 的坐标是 ( ， 0)
货车到达B地的时间： 点M 的坐标是 ( ， 120) 设MN的解析式为y= kx+b(k≠0)
将M 的坐标( ， 120)， N 的坐标 (， 0) 代入解析式y= kx+b(k≠0)中，
得
解得
货车从B地返回C地的过程中y与x的函数解析式是：
（3）轿车经过 h或h或 h轿车和货车相距40km。
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：（1）由图像可知：A地与B地之间的距离为180千米，B和C两地之间的距离是120千米，
所以A地经B地到C地总长度为：180+120=300（米），即a=300；
又由图像知：轿车1.5小时行驶180千米，
所以轿车的行驶速度为：（千米/小时），
所以如果轿车不接人从A至B，再到C所需时间为：300120=2.5（小时），
所以3-2.5=0.5，
所以b=1.5+0.5=2；
故第1空答案为：300；第2空答案为：2；
（3）解：由（1）知：轿车的速度为120千米/小时，货车的速度为：240（3-）=90（千米/小时），
所以：货车从C地至B地时的函数关系式为：y=90x（0＜x≤1.5）
轿车在从A地到B地时据出发地的距离y与行驶事件之间的函数关系式为：y=120x（0＜x≤1.5），
设轿车接人之后在从B地到C地时据出发地的距离y与行驶事件之间的函数关系式为：y=kx+b，
由（2，180）和（3，200），可得：，
解得：，
所以y=120x-60(2＜x≤3)，
轿车与货车相距40km可分为以下三种情况：①当0x≤时：120x+90x=300-40，解得x=；②当1.5≤x≤2时：90（x-）=40，解得x=；当2＜x时：300-（-90x+240）=120x-60+40，解得：x=。
综上可得：轿车经过 h或h或 h轿车和货车相距40km。
【分析】（1）首先根据图像获取信息：A地与B地之间的距离为180千米，B和C两地之间的距离是120千米，即可得出a=300；然后求出轿车不接人从A至B，再到C所需时间为：300120=2.5（小时），从而得出接人所需时间2.5小时，进一步即可得出b=1.5+0.5=2；
（2）首先根据题意可分别求得点M和点N的坐标，然后利用待定系数法，即可得出函数关系式；
（3）首先求出不同时段轿车和货车y与x之间的函数关系是，然后分成三种情况进行分析，即可得出轿车出发多长时间与货车相距40km时的方程式，解方程即可得出结果。
26．【答案】（1）解：（1）如图①
∵， ∠BAC=α=60°，
∴是等边三角形，
∴∠ACB=∠ABC=60°，
∵∠DAE=α=60°
∴∠BAC+∠BAD=∠DAE+∠BAD
∴∠DAC=∠EAB
由旋转性质知：AD=AE，
在和中：
∵AC=AB，∠DAC=∠EAB，AD=AE，
∴≌，
∴CD=BE，
∴∠ABE=∠ACD=60°，
∴∠EBF=60°，
∵，
∴∠BEF=-30°，
∴BE=2BF，
∴CD=2BF，
∵CD=DF+BF+BC，
∴；
图②的结论是： BF=DF-BC
证明： ∵AB=AC ∠BAC=α=60°
∴△ABC 是等边三角形
∵AE=AD ∠EAD=α=60°
∴△ADE 是等边三角形
∴∠BAE=∠CAD
∴△BAE≌△CAD (SAS)
∴BE=CD ∠AEB=∠ADC
∴∠EBF=∠EAD=60°
∵EF⊥BC
∴∠BEF=30°
∴BE=2BF
又∵BE=CD
∴2BF=BD-BC=BF+DF-BC
∴BF= DF-BC
（2）解：3BF= DF+BC
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】解：（2）图③的结论是： 3BF= DF+BC
∵∠BAC=α=120°，∠DAE=α=120°，
∴∠BAC+∠BAD=∠DAE+∠BAD，即∠DAC=∠EAB
在和中：
∵AC=AB，∠DAC=∠EAB，AD=AE，
∴≌，
∴CD=BE，
∴∠ABE=∠ACD=∠ABC=，
∴∠ABF=∠ABE+∠ABC=60°，
∵AF⊥BC，
∴∠BEF=30°，
∴BE=2BF，
∴CD=2BF，
∵CD=DF+CF，CF=BC-BF，
∴2BF=DF+BC-BF，
∴3BF= DF+BC。
【分析】（1）本题主要涉及等边三角形的判定与性质以及三角形全等的判定与性质。通过证明三角形全等得到线段和角的关系，进而推导出线段之间的数量关系。
（2）通过旋转得到相等的线段和角，构造全等三角形来探究线段之间的关系
27．【答案】（1）解：设购买一个“蜀宝”需要x元，购买一个“锦仔”需要y元，由题意得：
解得：
答： 购买一个“蜀宝”需要88元，购买一个“锦仔”68元
（2）解：设购买“蜀宝” a个， 则购买“锦仔”(30-a) 个.由题意得：
1880+688(30-2)≥22000
解得： 6≤a≤8
∵a和(30-a)均为正整数
∴a=6，7，8
30-a=24，23，22
共有3种购买方案：
方案一：购买“蜀宝”6个，购买“锦仔”24个；
方案二：购买“蜀宝”7个，购买“锦仔”23个；
方案三：购买“蜀宝”8个，购买“锦仔”22个.
（3）解：由题意可得：
W=88a+68(30-a)=20a+2040∵k=20＞0
∴W随a的增大而增大∴当a=6时， 元
答：学校购买“蜀宝”6个，购买“锦仔”24个，投入资金最少，最少资金是2160元.
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设购买一个“蜀宝”需要x元，购买一个“锦仔”需要y元，根据购买3个“蜀宝”和1个“锦仔”共需花费332元，购买2个“蜀宝”和3个“锦仔”共需380元，可得方程组，解方程组求得方程组的解，即可得出答案；
（2）设购买“蜀宝” a个， 则购买“锦仔”(30-a) 个，根据 投入资金不少于2160元又不多于2200元， 可得出不等式1880+688(30-2)≥22000，解不等式求得不等式的解集，进一步即可得出不等式的整数解，即可得出购买方案；
（3） 设学校投入资金W元，购买“蜀宝” a个， 则购买“锦仔”(30-a) 个，由（1）可知购买一个“蜀宝”需要88元，购买一个“锦仔”68元，可得出W=88a+68(30-a)=20a+2040，然后根据一次函数的增减性，结合（2）的方案，即可得出当a取最小值6时， 需要的资金最少 ，并可进一步求出最小值。
28．【答案】（1）解：
解得 x1=6， x2=-3
∵OA 的长是 的根
∴OA=6
∵四边形OABC 为菱形
∴OA=OC=6
∴∠COA=60°
又∵CQ⊥OA
∴∠OCQ=30°
∴OQ=3
∵四边形OABC 为菱形
∴OB 平分∠COA
∴∠POQ=30°
∴点 P的坐标为P (3，)
（2）解：过点M作MK⊥OB于点K，
OM=t ，则
由(1) 得： 则 …1分
当0＜ t ＜4时
当4＜ t≤6时
综上所述
（3）解：
【知识点】分段函数；列二次函数关系式；三角形的面积；菱形的性质；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】解：（3）存在， 如图
当t=3时，OM =3，点M和点Q重合，BN =， ON =，∠ONM = ∠NOM=30°，
假设在对角线OB上存在一点E，使得△MNE是含30°角的等腰三角形，
当∠EMN为顶角时，点E1与点O重合，E1(0，0)；当∠MEN为顶角时，点E2与点P重合，E2(3，)；
当∠ENM为顶角时，NE=NM =0M=3，
设Eз(，a)，则OE3 = 2a，∵ OEз + NEз =ON，
∴2a+3=3
∴a=，
∴，
∴E3(，)
综上，当t=3时，在对角线OB上存在一点E，使得△MNE是含30°角的等腰三角形，
【分析】（1）首先求解一元二次方程得到菱形的边长，再利用三角函数求出相关角度和线段长度，进而确定点 P 的坐标；
（2）根据不同的运动阶段，利用三角形面积公式来求解三角形PMN的面积S关于运动时间t的函数解析式。首先要找到三角形的底和高与时间t的关系；
（3）当t=3时，OM =3，点M和点Q重合，BN =， ON =，∠ONM = ∠NOM=30°，
假设在对角线OB上存在一点E，使得△MNE是含30°角的等腰三角形， 可分成三种情况进行分析 ：当∠EMN为顶角时， E1(0，0) ；当∠MEN为顶角时， E2(3，)； 当∠ENM为顶角时， E3(，) ，综上即可得出当t=3时，在对角线OB上存在一点 使得△MNE是含30°角的等腰三角形。
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