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广东省湛江市霞山区2024-2025学年七年级下学期期末数学试题
一、选择题:本大题共 10 小题，每小题3分，共30分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025七下·霞山期末） 下列四个实数中，是无理数的是（　　）
A． B． C．1.414 D．
【答案】D
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：， ， 1.414 是有理数不是无理数
故答案为：D .
【分析】根据无理数的定义：无限不循环得小数是无理数；由此判断即可解答.
2．（2025七下·霞山期末） 下列图案中，不能用平移得到的图案是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：B，C，D，中的图形都可以通过一个小单元图形平移得到；A不能平移得到；
故答案为：A .
【分析】根据平移的定义：将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移，由此逐一判断即可解答.
3．（2025七下·霞山期末） 下列调查中，适宜采用全面调查的是（　　）
A．了解湛江市712.08万居民的生活状况
B．了解我校七（1）班全体同学每周体育锻炼的时间
C．了解2025年五一期间外地游客对我市旅游景点的满意程度
D．调查市场上某种食品的食用添加剂含量是否符合国家标准
【答案】B
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、适合抽样调查，故A不符合题意；
B、适合全面调查，故B符合题意；
C、适合抽样调查，故C不符合题意；
D、适合抽样调查，故D不符合题意；
故答案为：B .
【分析】
根据定义：全面调查是指对构成调查对象的所有单位逐一地、无一遗漏地进行调查，需要耗费较多的人力、物力、财力和时间，逐一判断即可解答.
4．（2025七下·霞山期末） 近年来，国产动画电影蓬勃发展，其中《哪吒之魔童闹海》凭借其精美的画面、精彩的剧情以及深刻的主题，深受广大观众的喜爱. 这部电影在上映后引发了观影热潮，票房一路攀升. 2025年2月28日其全球累计票房（含预售及海外）突破140亿元，数据140亿用科学记数法可以表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 140亿 =14000000000=
故答案为：C .
【分析】 根据用科学记数法表示一个数，是把这个数写成 的形式，其中 ， 并且 是一个整数，n比原位数少1，由此即可解答.
5．（2025七下·霞山期末） 如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，有“想”字的一面的相对面上的字是（　　）
A．青 B．春 C．点 D．亮
【答案】D
【知识点】含图案的正方体的展开图
【解析】【解答】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“点”与“想"相对，面“亮"与面“春”相对，“青”与面“梦”相对.
故答案为：D .
【分析】根据正方体的平面展开图，解答即可.
6．（2025七下·霞山期末） 下列命题中，是真命题的是（　　）
A．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
B．互补的两个角是邻补角
C．在同一平面内，如果，，那么
D．在同一平面内，如果，，那么A，B，C 三点在同一条直线上
【答案】D
【知识点】邻补角；真命题与假命题；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：
A、两条直线被第三条直线所截，内错角相等的前提是这两条直线平行.若两直线不平行，内错角不相等，故A为假命题.
B、互补的两个角和为180°，但邻补角还需满足有一条公共边且另一边互为反向延长线(即相邻).仅互补不一定相邻，故B为假命题.
C、在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，而非垂直.若a⊥b且b⊥c，则a|| C，故C为假命题.
D、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.由于AB⊥且BC⊥l，说明A、B、C都在过B且垂直于l的直线上，因此三点共线，D为真命题.
故答案为：D .
【分析】根据命题额定义：判断正确的为真命题，判断错误的为假命题；因此根据两直线平行，内错角相等，可判断A；根据邻补角的定义可判断B；根据在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，可判断C；根据在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，可判断D；逐一判断即可解答.
7．（2025七下·霞山期末） 下列是二元一次方程组的解的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
把②代入①可得：x+4x=5，解得x=1；
再把x=1代入②可得：y=2
∴二元一次方程组的解为
故答案为：C .
【分析】根据代入消元法解二元一次方程组：把②代入①可得x=1；再把x=1代入②可得y=2，由此计算即可解答.
8．（2025七下·霞山期末） 如果 ，那么下列不等式不成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、由 可得 ，故A成立；
B、由 可得，故B不成立；
C、由 可得 ，故C成立；
D、由 可得 ，故D成立；
故答案为：B .
【分析】根据不等式的性质：不等式两边同时加上或者减去一个数，不等号的符号不改变；不等式左右两边同时乘除同一个正数，不等号的方向不改变；不等式左右两边同时乘除同一个负数，不等号的方向改变；逐一判断即可解答.
9．（2025七下·霞山期末） 学行线后，小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的（如图（1）—（4）），从图中可知，小敏画平行线的依据有（　　）
①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行.
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
【答案】C
【知识点】翻折变换（折叠问题）；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：
由折叠的作图过程可知小敏画平行线的依据有：③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行.
故答案为：C .
【分析】根据折叠的过程，图中的虚线与已知的直线垂直，故过点P所折折痕与虚线垂直，即可由作图过程可知，∠1=∠2， 即内错角相等；∠1=∠4，即同位角相等；解答即可.
10．（2025七下·霞山期末） 小明和小亮做加法游戏，小明在一个加数后面多写了一个0，得到的和为242；而小亮在另一个加数后面多写了一个0，得到的和为341，原来的两个加数分别是（　　）
A．21，32 B．12，23 C．31，22 D．41，42
【答案】A
【知识点】解二元一次方程组；二元一次方程组的应用-数字问题
【解析】【解答】解：设原来原来两个加数分别为x，y则：
解得
故答案为：A .
【分析】原来原来两个加数分别为x，y，根据已知条件列出二元一次方程组，计算即可解答.
二、填空题:本大题共5小题，每小题3分，共15分
11．（2025七下·霞山期末） 已知，则的补角是　 　.
【答案】157°
【知识点】补角
【解析】【解答】解：∵的补角=180-，
∴的补角=157°
故答案为：157° .
【分析】根据补角的定义：和为180的两个角，由此计算即可解答.
12．（2025七下·霞山期末） 若单项式 与 的是同类项，则 = 　 　.
【答案】5
【知识点】解一元一次方程；同类项的概念；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵ 与 的是同类项
∴m-2=4，n=1
解得：m=6，n=1
∴ =5
故答案为：5 .
【分析】根据同类项的定义是所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，由此列出方程m-2=4，n=1，计算即可解答.
13．（2025七下·霞山期末） 如图，直线$AB$，$CD$相交于点，，垂足为.若，则的度数是　 　.
【答案】60°
【知识点】垂线的概念；余角；补角
【解析】【解答】解：∵ ，
∴∠BOC= 180° - 150°= 30° ，
∵
∴∠BOM =90°，
∴∠COM= 90° - 30° = 60°，
故答案为：60° .
【分析】根据补角的定义先求解∠BOC= 180°-150°=30°，根据垂线的定义证明∠BOM =90°，再利用角的和差关系计算即可解答.
14．（2025七下·霞山期末） 对于任意一个实数，它的整数部分是指不超过这个数的最大整数，它的小数部分是这个数减去整数部分剩下的数. 如3.15的整数部分为3，小数部分为. 如果的小数部分是m，的整数部分是n，那么的值为　 　.
【答案】-5
【知识点】无理数的估值；解一元一次方程；无理数的混合运算；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∵的小数部分是m，的整数部分是n，
∴m=-9=-3+，n= 2，
∴ =-3+-2-=-5
故答案为：-5 .
【分析】先估算；再估算，，根据题干一个实数的整数部分是指不超过这个数的最大整数，它的小数部分是这个数减去整数部分剩下的数，即可得m=-3+，n= 2，代值计算即可解答.
15．（2025七下·霞山期末） 分别用黑、白两种颜色的正六边形地面砖按如下规律拼成若干个图案.第　 　个图案中有白色地砖2026块.
【答案】506
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：第一个黑色为1白色为6，
第二个黑色为2白色为10，
第三个黑色为3白色为14，
……
∴第n个图形白色为4n+2，
∴4n+2=2026，
解得n=506，
故答案为：506 .
【分析】现根据图形得规律写出前三个图形中白色地砖得块数，再发现第n个图形白色为4n+2，由此计算即可解答.
三、解答题(一):本大题共3小题，每小题7分，共21分
16．（2025七下·霞山期末） 计算：
【答案】解：原式=
=
=
【知识点】实数的绝对值；有理数乘法与乘方的互化；实数的混合运算（含开方）；开平方（求平方根）；开立方（求立方根）
【解析】【分析】先计算乘方得，再开方运算得，再算绝对值，再开立方运算得，最后计算加减即可解答.
17．（2025七下·霞山期末） 解方程组：
【答案】解：由①，得③
③-①得：，
解得：
把代入②中得，
解得
∴该二元一次方程组的解为
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】根据加减消元法解二元一次方程组：由①-①计算可得y的值；把代入②中可得x的值，计算即可解答.
18．（2025七下·霞山期末） 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来.
【答案】解：解不等式①得：
解不等式②得：
该不等式组的解集在数轴上表示如下：
所以该不等式组的解集为
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】先解不等式：解①得：，解②得：把解集表示在数轴上，写出解集即可解答.
四、解答题(二):本大题共3小题，每小题9分，共27分
19．（2025七下·霞山期末） 如图，在平面直角坐标系中，三角形 ABC 的顶点 C 的坐标为 (1， 3)，点 A，B 分别在格点上.
（1） 直接写出点 B 的坐标；
（2） 若把三角形 ABC 向上平移 3 个单位长度，再向右平移 2 个单位长度得到三角形 ，画出三角形 ；
（3） 求三角形 ABC 的面积.
【答案】（1）解：B(4，2)
（2）解：如图，三角形即为所求；
（3）解：
【知识点】点的坐标；三角形的面积；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】
解：（1）观察B点在一象限
∴B(4，2)
故答案为：B(4，2)；
【分析】（1）观察图形写出坐标即可解答；
（2） 把三角形 ABC 中的三个顶点分别 向上 平移 3 个单位长度，再向右平移 2 个单位长度，再画出图形即可解答；
（3）利用割补法求三角形面积等于的长方形减去周围小三角形的面积计算即可解答.
20．（2025七下·霞山期末） 【综合与实践】
为广泛开展“三个习惯”养成教育，某校兴趣小组调查了本校初中生参与家务劳动时间的情况，形成如下调查报告（不完整）.
调查目的 1.了解本校初中生一周参与家务劳动时间的情况； 2.给该校提出更好地培养学生参与家务劳动的建议.
调查方式 随机抽样调查 调查对象 部分初中生
调查内容 设每周做家务的总时间是x小时，你每周做家务的时间是(　　)(单选) A.0≤x＜1 B.1≤x＜2 C.2≤x＜3 D.x≥3
调查结果
（1） 参与本次调查的学生共有　 　人；
（2） 补全条形统计图，并计算扇形统计图中“D”所对应扇形的圆心角的度数；
（3） 若该校共有3250名学生，根据抽样调查结果，请你估计该校每周做家务的时间不少于3小时的学生人数；
（4） 请向该校提出一条合理的建议.
【答案】（1）50
（2）解：D组人数为：50-5-20-10=15人
补全条形统计图如图所示；
“D”所对应扇形的圆心角的度数为：
（3）解：（人）
答：估计该校每周做家务的时间不少于3小时的学生有 650 人.
（4）解：①开展劳动教育课程，教会学生做家务的方法；
②利用校园宣传栏宣传劳模事迹；
③周末、寒暑假，根据学生年龄特点和个性差异，适量地安排家庭劳动作业(如洗碗、洗衣服、整理衣服等)等等，言之有理即可.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
解：（1）观察C组：20=50
故答案为：50；
【分析】（1）由C组人数20除以所占比例，计算即可解答；
（2）先求到D组人数为：50-5-20-10=15人，补全图形即可；利用圆心角的度数360°乘以所占的比例，计算即可解答；
(3)利用总人数 3250 乘以所占的百分比，计算即可解答；
（4）此题答案不唯一，合理即可.
21．（2025七下·霞山期末） 2025年3月14日是第六个“国际数学日”，也叫“日”.某校数学组在“日”举行了数学游园活动，购买了一批钢笔和笔记本（每支钢笔的价格相同，每本笔记本的价格相同）作为奖品.已知购买2支钢笔和3本笔记本需62元，购买5支钢笔和1本笔记本需90元.
（1） 购买一支钢笔和一本笔记本各需多少钱？
（2） 若学校准备购买钢笔和笔记本共80件，并且购买的费用不超过1100元，则学校最多可以购买多少支钢笔？
【答案】（1）解：设购买一支钢笔需要x元，购买一本笔记本需要y元.
依题意可得
解得
答：购买一支钢笔需要16元，购买一本笔记本需要10元；
（2）解：设学校购买m支钢笔，则购买本笔记本，则
解得：
答：学校最多购买50支钢笔.
【知识点】解二元一次方程；解一元一次不等式；一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设购买一支钢笔需要x元，购买一本笔记本需要y元，列方程组计算即可解答；
(2)设学校购买m支钢笔，则购买本笔记本，列出不等式，计算即可解答.
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分.
22．（2025七下·霞山期末） 项目式学习活动主题：估算A0纸的长与宽
【知识储备】
（1） 如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形，则大正方形的边长为　 　.
一般结论：正方形的对角线与边长的比是　 　.
【项目素材】如图2，按照国际标准，A系列纸为长方形，其中A0纸的面积为.
将A0纸沿长边对折、裁开，便成两张A1纸；将A1纸沿长边对折、裁开，便成两张A2纸；将A2纸沿长边对折、裁开，便成两张A3纸；......，将AAn纸沿长边对折、裁开，便成两张A（n+1）纸.
（2）【任务探究】
任务一：A1纸面积是A2纸面积的　 　倍，A2纸周长是A4纸周长的　 　倍；
（3） 任务二：将一张A4纸按如图3所示进行两次折叠（折痕分别是AB和AE），观察发现点B恰好和点C重合，求A4纸的长与宽之比.
（4） 任务三：根据上述结论，估算A0纸的长和宽分别是多少毫米（结果取整数）.
（参考数据：，，，，，，，）
【答案】（1）；
（2）4；2
（3）解：由折叠的性质可知AC=AB，由（1）可知在正方形中AB： AF= ： 1，
∴AC ： AF=： 1，即A4纸的长宽之比为： 1；
（4）解：同理可知： A0纸的长与宽之比是
设A0纸的宽为x mm，则长为 ，
∵A0纸的面积为，
∴，
∴
∴，
∴
故 A0 纸的宽约为 841 mm，则长约为 1189 mm.
【知识点】无理数的估值；翻折变换（折叠问题）；利用开平方求未知数；等分面积模型
【解析】【解答】
解：（1） ∵两个边长为1的小正方形 ，合成一个大正方形面积为2，
∴ 大正方形的边长为； 正方形的对角线与边长的比是，
故答案为：；
(2)根据图2的面积关系发现： A1纸面积是A2纸面积的4倍， A2纸周长是A4纸周长 2倍；
故答案为：4，2；
【分析】（1）由等面积法可知一个大正方形面积为2，从而得到大正方形的边长为； 正方形的对角线与边长的比是，即可解答；
（2）根据图2的面积关系发现： A1纸面积是A2纸面积的4倍， A2纸周长是A4纸周长2倍，解答即可；
（3）由折叠的性质可知AC=AB，由（1）可知在正方形中AB： AF= ： 1，由此即可解答；
（4）设A0纸的宽为x mm，则长为 ，根据面积建立关系，计算即可解答.
23．（2025七下·霞山期末） 已知直线，直线MN分别交AB、CD于点M、N，P是AB、CD之间的一点，且位于直线MN左侧，连接PM，PN.
（1）【基础探究】
如图1，若，，则的度数为　 　度.
（2） 在图1中，探究、和的数量关系，并说明理由.
（3）【迁移应用】
直接利用（2）中的结论，解决下列问题：
如图2，若MP平分，NQ平分，NQ交MP的延长线于点Q，，则的度数为　 　度；
（4） 如图3，若，，ME交NP延长线于点E，NF交MP的延长线于点F，请问是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由.
【答案】（1）63
（2）解： ，理由如下：
如图1所示，过点P作，
，
，
，，
.
（3）80
（4）解：由（1）可得，
，
，
设，，
，，
，，
，，
，
，
是定值，.
【知识点】角的运算；猪蹄模型；平行公理的推论；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】
解： (1) ①如图所示，过点P作PHII AB，
∵AB//CD，
∴AB//PH//CD，
∴∠HPM= ∠AMP=18°，∠ HPN=∠CNP=45°
∴∠MPN=∠HPM+∠HPN=63° ，
故答案为： 63；
（3）由(1)可得：∠Q=∠AMQ+∠CNQ= 50°，
设∠CNQ=x，则∠AMQ=50° -x，
∵MP平分∠AMN， NQ平分∠CNP，
∴∠CNP= 2∠CNQ= 2x，∠AMN=2∠AMQ= 100° - 2x
∵AB//CD，
∴∠AMN+∠CNM= 180。
∴∠PNM+ 2x+ 100- 2x= 180°，
∴∠PNM= 80° ；
故答案为：80.
【分析】(1)根据平行线的性质可得∠HPM= ∠AMP=18°，∠ HPN=∠CNP=45°；再利用角度的和差运算得到∠MPN=∠HPM+∠HPN=63° ，即可解答；
（2）按照（1）的推理方法，解答即可；
（3）由（1）可得：∠Q=∠AMQ+∠CNQ= 50°，设∠CNQ=x，则∠AMQ=50° -x，利用角平分线的定义和平行线的性质计算即可解答；
(4)由（1）可得，设，，利用角度的和差运算求出比值即可解答.
1 / 1广东省湛江市霞山区2024-2025学年七年级下学期期末数学试题
一、选择题:本大题共 10 小题，每小题3分，共30分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025七下·霞山期末） 下列四个实数中，是无理数的是（　　）
A． B． C．1.414 D．
2．（2025七下·霞山期末） 下列图案中，不能用平移得到的图案是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025七下·霞山期末） 下列调查中，适宜采用全面调查的是（　　）
A．了解湛江市712.08万居民的生活状况
B．了解我校七（1）班全体同学每周体育锻炼的时间
C．了解2025年五一期间外地游客对我市旅游景点的满意程度
D．调查市场上某种食品的食用添加剂含量是否符合国家标准
4．（2025七下·霞山期末） 近年来，国产动画电影蓬勃发展，其中《哪吒之魔童闹海》凭借其精美的画面、精彩的剧情以及深刻的主题，深受广大观众的喜爱. 这部电影在上映后引发了观影热潮，票房一路攀升. 2025年2月28日其全球累计票房（含预售及海外）突破140亿元，数据140亿用科学记数法可以表示为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025七下·霞山期末） 如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，有“想”字的一面的相对面上的字是（　　）
A．青 B．春 C．点 D．亮
6．（2025七下·霞山期末） 下列命题中，是真命题的是（　　）
A．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
B．互补的两个角是邻补角
C．在同一平面内，如果，，那么
D．在同一平面内，如果，，那么A，B，C 三点在同一条直线上
7．（2025七下·霞山期末） 下列是二元一次方程组的解的是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025七下·霞山期末） 如果 ，那么下列不等式不成立的是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025七下·霞山期末） 学行线后，小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的（如图（1）—（4）），从图中可知，小敏画平行线的依据有（　　）
①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行.
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
10．（2025七下·霞山期末） 小明和小亮做加法游戏，小明在一个加数后面多写了一个0，得到的和为242；而小亮在另一个加数后面多写了一个0，得到的和为341，原来的两个加数分别是（　　）
A．21，32 B．12，23 C．31，22 D．41，42
二、填空题:本大题共5小题，每小题3分，共15分
11．（2025七下·霞山期末） 已知，则的补角是　 　.
12．（2025七下·霞山期末） 若单项式 与 的是同类项，则 = 　 　.
13．（2025七下·霞山期末） 如图，直线$AB$，$CD$相交于点，，垂足为.若，则的度数是　 　.
14．（2025七下·霞山期末） 对于任意一个实数，它的整数部分是指不超过这个数的最大整数，它的小数部分是这个数减去整数部分剩下的数. 如3.15的整数部分为3，小数部分为. 如果的小数部分是m，的整数部分是n，那么的值为　 　.
15．（2025七下·霞山期末） 分别用黑、白两种颜色的正六边形地面砖按如下规律拼成若干个图案.第　 　个图案中有白色地砖2026块.
三、解答题(一):本大题共3小题，每小题7分，共21分
16．（2025七下·霞山期末） 计算：
17．（2025七下·霞山期末） 解方程组：
18．（2025七下·霞山期末） 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来.
四、解答题(二):本大题共3小题，每小题9分，共27分
19．（2025七下·霞山期末） 如图，在平面直角坐标系中，三角形 ABC 的顶点 C 的坐标为 (1， 3)，点 A，B 分别在格点上.
（1） 直接写出点 B 的坐标；
（2） 若把三角形 ABC 向上平移 3 个单位长度，再向右平移 2 个单位长度得到三角形 ，画出三角形 ；
（3） 求三角形 ABC 的面积.
20．（2025七下·霞山期末） 【综合与实践】
为广泛开展“三个习惯”养成教育，某校兴趣小组调查了本校初中生参与家务劳动时间的情况，形成如下调查报告（不完整）.
调查目的 1.了解本校初中生一周参与家务劳动时间的情况； 2.给该校提出更好地培养学生参与家务劳动的建议.
调查方式 随机抽样调查 调查对象 部分初中生
调查内容 设每周做家务的总时间是x小时，你每周做家务的时间是(　　)(单选) A.0≤x＜1 B.1≤x＜2 C.2≤x＜3 D.x≥3
调查结果
（1） 参与本次调查的学生共有　 　人；
（2） 补全条形统计图，并计算扇形统计图中“D”所对应扇形的圆心角的度数；
（3） 若该校共有3250名学生，根据抽样调查结果，请你估计该校每周做家务的时间不少于3小时的学生人数；
（4） 请向该校提出一条合理的建议.
21．（2025七下·霞山期末） 2025年3月14日是第六个“国际数学日”，也叫“日”.某校数学组在“日”举行了数学游园活动，购买了一批钢笔和笔记本（每支钢笔的价格相同，每本笔记本的价格相同）作为奖品.已知购买2支钢笔和3本笔记本需62元，购买5支钢笔和1本笔记本需90元.
（1） 购买一支钢笔和一本笔记本各需多少钱？
（2） 若学校准备购买钢笔和笔记本共80件，并且购买的费用不超过1100元，则学校最多可以购买多少支钢笔？
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分.
22．（2025七下·霞山期末） 项目式学习活动主题：估算A0纸的长与宽
【知识储备】
（1） 如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形，则大正方形的边长为　 　.
一般结论：正方形的对角线与边长的比是　 　.
【项目素材】如图2，按照国际标准，A系列纸为长方形，其中A0纸的面积为.
将A0纸沿长边对折、裁开，便成两张A1纸；将A1纸沿长边对折、裁开，便成两张A2纸；将A2纸沿长边对折、裁开，便成两张A3纸；......，将AAn纸沿长边对折、裁开，便成两张A（n+1）纸.
（2）【任务探究】
任务一：A1纸面积是A2纸面积的　 　倍，A2纸周长是A4纸周长的　 　倍；
（3） 任务二：将一张A4纸按如图3所示进行两次折叠（折痕分别是AB和AE），观察发现点B恰好和点C重合，求A4纸的长与宽之比.
（4） 任务三：根据上述结论，估算A0纸的长和宽分别是多少毫米（结果取整数）.
（参考数据：，，，，，，，）
23．（2025七下·霞山期末） 已知直线，直线MN分别交AB、CD于点M、N，P是AB、CD之间的一点，且位于直线MN左侧，连接PM，PN.
（1）【基础探究】
如图1，若，，则的度数为　 　度.
（2） 在图1中，探究、和的数量关系，并说明理由.
（3）【迁移应用】
直接利用（2）中的结论，解决下列问题：
如图2，若MP平分，NQ平分，NQ交MP的延长线于点Q，，则的度数为　 　度；
（4） 如图3，若，，ME交NP延长线于点E，NF交MP的延长线于点F，请问是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：， ， 1.414 是有理数不是无理数
故答案为：D .
【分析】根据无理数的定义：无限不循环得小数是无理数；由此判断即可解答.
2．【答案】A
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：B，C，D，中的图形都可以通过一个小单元图形平移得到；A不能平移得到；
故答案为：A .
【分析】根据平移的定义：将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移，由此逐一判断即可解答.
3．【答案】B
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、适合抽样调查，故A不符合题意；
B、适合全面调查，故B符合题意；
C、适合抽样调查，故C不符合题意；
D、适合抽样调查，故D不符合题意；
故答案为：B .
【分析】
根据定义：全面调查是指对构成调查对象的所有单位逐一地、无一遗漏地进行调查，需要耗费较多的人力、物力、财力和时间，逐一判断即可解答.
4．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 140亿 =14000000000=
故答案为：C .
【分析】 根据用科学记数法表示一个数，是把这个数写成 的形式，其中 ， 并且 是一个整数，n比原位数少1，由此即可解答.
5．【答案】D
【知识点】含图案的正方体的展开图
【解析】【解答】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“点”与“想"相对，面“亮"与面“春”相对，“青”与面“梦”相对.
故答案为：D .
【分析】根据正方体的平面展开图，解答即可.
6．【答案】D
【知识点】邻补角；真命题与假命题；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：
A、两条直线被第三条直线所截，内错角相等的前提是这两条直线平行.若两直线不平行，内错角不相等，故A为假命题.
B、互补的两个角和为180°，但邻补角还需满足有一条公共边且另一边互为反向延长线(即相邻).仅互补不一定相邻，故B为假命题.
C、在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，而非垂直.若a⊥b且b⊥c，则a|| C，故C为假命题.
D、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.由于AB⊥且BC⊥l，说明A、B、C都在过B且垂直于l的直线上，因此三点共线，D为真命题.
故答案为：D .
【分析】根据命题额定义：判断正确的为真命题，判断错误的为假命题；因此根据两直线平行，内错角相等，可判断A；根据邻补角的定义可判断B；根据在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，可判断C；根据在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，可判断D；逐一判断即可解答.
7．【答案】C
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
把②代入①可得：x+4x=5，解得x=1；
再把x=1代入②可得：y=2
∴二元一次方程组的解为
故答案为：C .
【分析】根据代入消元法解二元一次方程组：把②代入①可得x=1；再把x=1代入②可得y=2，由此计算即可解答.
8．【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、由 可得 ，故A成立；
B、由 可得，故B不成立；
C、由 可得 ，故C成立；
D、由 可得 ，故D成立；
故答案为：B .
【分析】根据不等式的性质：不等式两边同时加上或者减去一个数，不等号的符号不改变；不等式左右两边同时乘除同一个正数，不等号的方向不改变；不等式左右两边同时乘除同一个负数，不等号的方向改变；逐一判断即可解答.
9．【答案】C
【知识点】翻折变换（折叠问题）；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：
由折叠的作图过程可知小敏画平行线的依据有：③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行.
故答案为：C .
【分析】根据折叠的过程，图中的虚线与已知的直线垂直，故过点P所折折痕与虚线垂直，即可由作图过程可知，∠1=∠2， 即内错角相等；∠1=∠4，即同位角相等；解答即可.
10．【答案】A
【知识点】解二元一次方程组；二元一次方程组的应用-数字问题
【解析】【解答】解：设原来原来两个加数分别为x，y则：
解得
故答案为：A .
【分析】原来原来两个加数分别为x，y，根据已知条件列出二元一次方程组，计算即可解答.
11．【答案】157°
【知识点】补角
【解析】【解答】解：∵的补角=180-，
∴的补角=157°
故答案为：157° .
【分析】根据补角的定义：和为180的两个角，由此计算即可解答.
12．【答案】5
【知识点】解一元一次方程；同类项的概念；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵ 与 的是同类项
∴m-2=4，n=1
解得：m=6，n=1
∴ =5
故答案为：5 .
【分析】根据同类项的定义是所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，由此列出方程m-2=4，n=1，计算即可解答.
13．【答案】60°
【知识点】垂线的概念；余角；补角
【解析】【解答】解：∵ ，
∴∠BOC= 180° - 150°= 30° ，
∵
∴∠BOM =90°，
∴∠COM= 90° - 30° = 60°，
故答案为：60° .
【分析】根据补角的定义先求解∠BOC= 180°-150°=30°，根据垂线的定义证明∠BOM =90°，再利用角的和差关系计算即可解答.
14．【答案】-5
【知识点】无理数的估值；解一元一次方程；无理数的混合运算；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∵的小数部分是m，的整数部分是n，
∴m=-9=-3+，n= 2，
∴ =-3+-2-=-5
故答案为：-5 .
【分析】先估算；再估算，，根据题干一个实数的整数部分是指不超过这个数的最大整数，它的小数部分是这个数减去整数部分剩下的数，即可得m=-3+，n= 2，代值计算即可解答.
15．【答案】506
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：第一个黑色为1白色为6，
第二个黑色为2白色为10，
第三个黑色为3白色为14，
……
∴第n个图形白色为4n+2，
∴4n+2=2026，
解得n=506，
故答案为：506 .
【分析】现根据图形得规律写出前三个图形中白色地砖得块数，再发现第n个图形白色为4n+2，由此计算即可解答.
16．【答案】解：原式=
=
=
【知识点】实数的绝对值；有理数乘法与乘方的互化；实数的混合运算（含开方）；开平方（求平方根）；开立方（求立方根）
【解析】【分析】先计算乘方得，再开方运算得，再算绝对值，再开立方运算得，最后计算加减即可解答.
17．【答案】解：由①，得③
③-①得：，
解得：
把代入②中得，
解得
∴该二元一次方程组的解为
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】根据加减消元法解二元一次方程组：由①-①计算可得y的值；把代入②中可得x的值，计算即可解答.
18．【答案】解：解不等式①得：
解不等式②得：
该不等式组的解集在数轴上表示如下：
所以该不等式组的解集为
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】先解不等式：解①得：，解②得：把解集表示在数轴上，写出解集即可解答.
19．【答案】（1）解：B(4，2)
（2）解：如图，三角形即为所求；
（3）解：
【知识点】点的坐标；三角形的面积；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】
解：（1）观察B点在一象限
∴B(4，2)
故答案为：B(4，2)；
【分析】（1）观察图形写出坐标即可解答；
（2） 把三角形 ABC 中的三个顶点分别 向上 平移 3 个单位长度，再向右平移 2 个单位长度，再画出图形即可解答；
（3）利用割补法求三角形面积等于的长方形减去周围小三角形的面积计算即可解答.
20．【答案】（1）50
（2）解：D组人数为：50-5-20-10=15人
补全条形统计图如图所示；
“D”所对应扇形的圆心角的度数为：
（3）解：（人）
答：估计该校每周做家务的时间不少于3小时的学生有 650 人.
（4）解：①开展劳动教育课程，教会学生做家务的方法；
②利用校园宣传栏宣传劳模事迹；
③周末、寒暑假，根据学生年龄特点和个性差异，适量地安排家庭劳动作业(如洗碗、洗衣服、整理衣服等)等等，言之有理即可.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
解：（1）观察C组：20=50
故答案为：50；
【分析】（1）由C组人数20除以所占比例，计算即可解答；
（2）先求到D组人数为：50-5-20-10=15人，补全图形即可；利用圆心角的度数360°乘以所占的比例，计算即可解答；
(3)利用总人数 3250 乘以所占的百分比，计算即可解答；
（4）此题答案不唯一，合理即可.
21．【答案】（1）解：设购买一支钢笔需要x元，购买一本笔记本需要y元.
依题意可得
解得
答：购买一支钢笔需要16元，购买一本笔记本需要10元；
（2）解：设学校购买m支钢笔，则购买本笔记本，则
解得：
答：学校最多购买50支钢笔.
【知识点】解二元一次方程；解一元一次不等式；一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设购买一支钢笔需要x元，购买一本笔记本需要y元，列方程组计算即可解答；
(2)设学校购买m支钢笔，则购买本笔记本，列出不等式，计算即可解答.
22．【答案】（1）；
（2）4；2
（3）解：由折叠的性质可知AC=AB，由（1）可知在正方形中AB： AF= ： 1，
∴AC ： AF=： 1，即A4纸的长宽之比为： 1；
（4）解：同理可知： A0纸的长与宽之比是
设A0纸的宽为x mm，则长为 ，
∵A0纸的面积为，
∴，
∴
∴，
∴
故 A0 纸的宽约为 841 mm，则长约为 1189 mm.
【知识点】无理数的估值；翻折变换（折叠问题）；利用开平方求未知数；等分面积模型
【解析】【解答】
解：（1） ∵两个边长为1的小正方形 ，合成一个大正方形面积为2，
∴ 大正方形的边长为； 正方形的对角线与边长的比是，
故答案为：；
(2)根据图2的面积关系发现： A1纸面积是A2纸面积的4倍， A2纸周长是A4纸周长 2倍；
故答案为：4，2；
【分析】（1）由等面积法可知一个大正方形面积为2，从而得到大正方形的边长为； 正方形的对角线与边长的比是，即可解答；
（2）根据图2的面积关系发现： A1纸面积是A2纸面积的4倍， A2纸周长是A4纸周长2倍，解答即可；
（3）由折叠的性质可知AC=AB，由（1）可知在正方形中AB： AF= ： 1，由此即可解答；
（4）设A0纸的宽为x mm，则长为 ，根据面积建立关系，计算即可解答.
23．【答案】（1）63
（2）解： ，理由如下：
如图1所示，过点P作，
，
，
，，
.
（3）80
（4）解：由（1）可得，
，
，
设，，
，，
，，
，，
，
，
是定值，.
【知识点】角的运算；猪蹄模型；平行公理的推论；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】
解： (1) ①如图所示，过点P作PHII AB，
∵AB//CD，
∴AB//PH//CD，
∴∠HPM= ∠AMP=18°，∠ HPN=∠CNP=45°
∴∠MPN=∠HPM+∠HPN=63° ，
故答案为： 63；
（3）由(1)可得：∠Q=∠AMQ+∠CNQ= 50°，
设∠CNQ=x，则∠AMQ=50° -x，
∵MP平分∠AMN， NQ平分∠CNP，
∴∠CNP= 2∠CNQ= 2x，∠AMN=2∠AMQ= 100° - 2x
∵AB//CD，
∴∠AMN+∠CNM= 180。
∴∠PNM+ 2x+ 100- 2x= 180°，
∴∠PNM= 80° ；
故答案为：80.
【分析】(1)根据平行线的性质可得∠HPM= ∠AMP=18°，∠ HPN=∠CNP=45°；再利用角度的和差运算得到∠MPN=∠HPM+∠HPN=63° ，即可解答；
（2）按照（1）的推理方法，解答即可；
（3）由（1）可得：∠Q=∠AMQ+∠CNQ= 50°，设∠CNQ=x，则∠AMQ=50° -x，利用角平分线的定义和平行线的性质计算即可解答；
(4)由（1）可得，设，，利用角度的和差运算求出比值即可解答.
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