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预习衔接.夯实基础 利用相似三角形测高
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 大连期中）数学活动课上，小明为了测量学校旗杆的高度，在他脚下放了一面镜子，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到旗杆顶端C，此时∠AEB＝∠CED，小明画出如图所示的示意图，并估计他的眼睛与地面的距离为1.5m，同时测得BE＝30cm，BD＝2.3m，则旗杆的高度为（　　）
A．10m B．11.5m C．22.5m D．40m
2．（2024秋 济南期中）“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由如图所示（单位：尺），已知井的截面图为矩形ABCD，设井深为x尺，下列所列方程中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024秋 济阳区期中）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条边DE＝0.4m，EF＝0.3m，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝20m，则树高AB为（　　）
A．16.5m B．13.5m C．15m D．12m
4．（2024 宝安区校级模拟）图1是《墨经》中记载的“小孔成像”实验图，图2是其示意图，其中物距BF＝2m，像距CE＝1m．若像的高度CD是0.9m，则物体的高度AB为（　　）
A．1.2m B．1.5m C．1.8m D．2.4m
5．（2024秋 南山区期中）如图，在A时测得旗杆的影长是4米，B时测得旗杆的影长是16米，若两次的日照光线恰好垂直，则旗杆的高度是（　　）米．
A．5 B．6 C．7 D．8
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 济南期中）如图，利用标杆DA测量楼高，点C，A，B在同一直线上，DA⊥CB，EB⊥CB，垂足分别为A，B．若测得影长AB＝16米，DA＝3米，影长CA＝4米，则楼高EB为 　 　米．
7．（2024秋 龙岗区期中）图（a）是燕尾夹，图（b）是燕尾夹简化的示意图，夹臂AC，BD可分别绕点M，N旋转，不考虑夹臂的粗细，且此时夹嘴闭合（即C，D两点重合），AM＝BN＝20mm，CM＝DN＝15mm，MN＝8mm．如图（c），当夹子完全张开时（即A，B两点重合），夹嘴间的距离CD的长为 　 　mm．
8．（2024春 芝罘区期末）如图是一个自制的小孔成像装置，其中箱体的长度是8cm．一只长20cm的蜡烛放在距离箱体32cm的位置，则蜡烛在屏幕CD上成的像长是 　 　．
9．（2024秋 滕州市校级期中）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条边DE＝0.4m，EF＝0.3m，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝20m，则树高AB为 　 　．
10．（2024 亭湖区一模）图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面AB＝　 　．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 泰兴市期中）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝10，点D是AB的中点．请用无刻度直尺和圆规在AC边上作出点E，使△ADE∽△ACB，并求AE的长．
12．（2024秋 西安期中）如图，在数学实践活动课上，小辰准备测量一座电视塔的高度．他站在该电视塔的影子上前后移动，直到他自己影子的顶端正好与电视塔的影子的顶端重合（点E处），此时他与该塔的距离BD＝22m．已知电视塔、小辰均与地面BE垂直，且小辰的身高CD＝1.7m，他的影长DE＝2m．求该电视塔的高度（AB）．
13．（2024秋 合浦县期中）为了测量水平地面上一棵不可攀的树的高度，某学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在与树底端B相距8米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE＝2米，观察者目高CD＝1.5米，求树AB的高度．
14．（2024 石家庄模拟）为测量操场上悬挂国旗的旗杆的高度，设计的测量方案如图所示：标杆高度CD＝3m，标杆与旗杆的水平距离BD＝15m，人的眼睛与地面的高度EF＝1.6m，人与标杆CD的水平距离DF＝2m，E，C，A三点共线，求旗杆AB的高度．
15．（2024秋 昌平区期中）如图，小明欲测量一座信号发射塔的高度．他站在该塔的影子上前后移动，直到他自己影子的顶端正好与塔的影子的顶端重合，此时他与该塔的距离CE＝20米．已知小明的身高DE为1.8米，他的影长AE为2米．求信号发射塔的高度BC．
预习衔接.夯实基础 利用相似三角形测高
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 大连期中）数学活动课上，小明为了测量学校旗杆的高度，在他脚下放了一面镜子，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到旗杆顶端C，此时∠AEB＝∠CED，小明画出如图所示的示意图，并估计他的眼睛与地面的距离为1.5m，同时测得BE＝30cm，BD＝2.3m，则旗杆的高度为（　　）
A．10m B．11.5m C．22.5m D．40m
【考点】相似三角形的应用．
【专题】图形的相似；应用意识．
【答案】A
【分析】根据镜面反射性质，可求出∠AEB＝∠CED，再利用垂直求∠ABE＝∠CDE＝90°，得出△AEB∽△CED，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案．
【解答】解：由题意得，AB＝1.5m，BE＝0.3m，
根据镜面反射可知：∠AEB＝∠CED，
∵AB⊥BD，DE⊥BD，
∴∠ABE＝∠CDE＝90°，
∴△AEB∽△CED，
∴，
∵BD＝2.3m，
∴ED＝2m，
∴，
解得CD＝10，
则旗杆的高度为10米．
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于熟练掌握镜面反射的基本性质和相似三角形的性质．
2．（2024秋 济南期中）“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由如图所示（单位：尺），已知井的截面图为矩形ABCD，设井深为x尺，下列所列方程中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】相似三角形的应用；由实际问题抽象出分式方程．
【答案】D
【分析】根据题意可证明△EFD∽△EBC得到，然后代入数值即可得到答案．
【解答】解：如图，
∵DF∥BC，
∴△EFD∽△EBC，
∴，
∵DF＝0.4，BC＝5，DE＝5，CD＝x，
∴，
故选：D．
【点评】本题主要考查了相似三角形的应用举例，证明△EFD∽△EBC是解题的关键．
3．（2024秋 济阳区期中）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条边DE＝0.4m，EF＝0.3m，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝20m，则树高AB为（　　）
A．16.5m B．13.5m C．15m D．12m
【考点】相似三角形的应用．
【专题】图形的相似；应用意识．
【答案】A
【分析】利用Rt△DEF和Rt△BCD相似求得BC的长后加上边DF到地面的高度AC，即可求得树高AB．
【解答】解：∵∠DEF＝∠DCB＝90°，∠D＝∠D，
∴△DEF∽△DCB，
∴，
∵DE＝0.4m，EF＝0.3m，CD＝20m，
∴，
∴CB＝15m，
∴AB＝AC+BC＝1.5+15＝16.5（m）．
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型．
4．（2024 宝安区校级模拟）图1是《墨经》中记载的“小孔成像”实验图，图2是其示意图，其中物距BF＝2m，像距CE＝1m．若像的高度CD是0.9m，则物体的高度AB为（　　）
A．1.2m B．1.5m C．1.8m D．2.4m
【考点】相似三角形的应用．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】C
【分析】由相似三角形对应高的比等于相似比，得到AB：DC＝BF：CE，代入有关数据即可求出AB＝1.8m．
【解答】解：∵△OAB∽△ODC，
∴AB：DC＝BF：CE，
∵CD＝0.9m，BF＝2m，CE＝1m，
∴AB：0.9＝2：1，
∴AB＝1.8m，
故选：C．
【点评】本题考查相似三角形的应用，关键是掌握相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于相似比．
5．（2024秋 南山区期中）如图，在A时测得旗杆的影长是4米，B时测得旗杆的影长是16米，若两次的日照光线恰好垂直，则旗杆的高度是（　　）米．
A．5 B．6 C．7 D．8
【考点】相似三角形的应用．
【专题】图形的相似；应用意识．
【答案】D
【分析】利用等角的余角相等得到∠QPC＝∠D，则可判断Rt△PCQ∽Rt△DPQ，然后利用相似比可计算出PQ．
【解答】解：如图，∠CPD＝90°，QC＝4m，QD＝16m，
∵PQ⊥CD，
∴∠PQC＝90°，
∴∠C+∠QPC＝90°，
而∠C+∠D＝90°，
∴∠QPC＝∠D，
∴Rt△PCQ∽Rt△DPQ，
∴，
即，
∴PQ＝8，
即旗杆的高度为8m．
故选：D．
【点评】本题主要考查了相似三角形的应用，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的性质．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 济南期中）如图，利用标杆DA测量楼高，点C，A，B在同一直线上，DA⊥CB，EB⊥CB，垂足分别为A，B．若测得影长AB＝16米，DA＝3米，影长CA＝4米，则楼高EB为 　12　米．
【考点】相似三角形的应用．
【专题】图形的相似；运算能力．
【答案】12．
【分析】根据垂直定义可得∠DAC＝∠EBA＝90°，再利用平行线的性质可得∠DCA＝∠EAB，从而可得△DCA∽△EAB，然后利用相似三角形的性质进行计算即可解答．
【解答】解：∵DA⊥CB，EB⊥CB，
∴∠DAC＝∠EBA＝90°，
∵DC∥EA，
∴∠DCA＝∠EAB，
∴△DCA∽△EAB，
∴，
∴，
解得：EB＝12，
∴楼高EB为12米，
故答案为：12．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
7．（2024秋 龙岗区期中）图（a）是燕尾夹，图（b）是燕尾夹简化的示意图，夹臂AC，BD可分别绕点M，N旋转，不考虑夹臂的粗细，且此时夹嘴闭合（即C，D两点重合），AM＝BN＝20mm，CM＝DN＝15mm，MN＝8mm．如图（c），当夹子完全张开时（即A，B两点重合），夹嘴间的距离CD的长为 　14　mm．
【考点】相似三角形的应用．
【专题】图形的相似；应用意识．
【答案】14．
【分析】连接CD，根据已知可证△AMN∽△ACD，然后利用相似三角形的性质，进行计算即可解答．
【解答】解：连接CD，如图，
∵AM＝BN＝20mm，CM＝DN＝15mm，MN＝8mm，
∴，
又∵∠A＝∠A，
∴△AMN∽△ACD，
∴，
∴CD14（mm），
∴夹嘴间的距离CD为14mm；
故答案为：14．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
8．（2024春 芝罘区期末）如图是一个自制的小孔成像装置，其中箱体的长度是8cm．一只长20cm的蜡烛放在距离箱体32cm的位置，则蜡烛在屏幕CD上成的像长是 　5cm　．
【考点】相似三角形的应用．
【专题】图形的相似；应用意识．
【答案】5cm．
【分析】先根据题意，通过作辅助线构造相似三角形，再利用三角形相似的性质得到相似比，然后根据比例性质计算．
【解答】解：如图，过点O作EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，
根据题意知：AB＝20cm，OF＝8cm，OE＝32cm，
∵AB∥CD，
∴△OAB∽△ODC，
∴，即，
∴CD＝5cm．
故答案为：5cm．
【点评】本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．
9．（2024秋 滕州市校级期中）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条边DE＝0.4m，EF＝0.3m，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝20m，则树高AB为 　16.5m　．
【考点】相似三角形的应用．
【专题】图形的相似；运算能力．
【答案】16.5m．
【分析】利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的长后加上小明同学的身高即可求得树高AB．
【解答】解：∵∠DEF＝∠BCD＝90°，∠D＝∠D，
∴△DEF∽△DCB，
∴，
∵DE＝0.4m，EF＝0.3m，AC＝1.5m，CD＝20m，
∴，
∴BC＝15（m），
∴AB＝AC+BC＝1.5+15＝16.5（m）．
故答案为：16.5m．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型．
10．（2024 亭湖区一模）图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面AB＝　3cm　．
【考点】相似三角形的应用．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】3cm．
【分析】高脚杯前后的两个三角形相似．根据相似三角形的判定和性质即可得出结果．
【解答】解：如图：过O作OM⊥CD，垂足为M，过O作ON⊥AB，垂足为N，
∵CD∥AB，
∴△CDO∽ABO，即相似比为，
∴，
∵OM＝15﹣7＝8（cm），ON＝11﹣7＝4（cm），
∴，
∴AB＝3cm，
故答案为：3cm．
【点评】本题考查相似三角形的应用，解本题的关键熟练掌握相似三角形的判定与性质．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 泰兴市期中）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝10，点D是AB的中点．请用无刻度直尺和圆规在AC边上作出点E，使△ADE∽△ACB，并求AE的长．
【考点】作图﹣相似变换．
【专题】图形的相似；尺规作图；几何直观；推理能力．
【答案】作图见解析，AE＝1.8．
【分析】以C为圆心，DA为半径作弧与CB，CA相交，两交点确定线段a，以D为圆心，DA为半径作弧，以A为圆心，线段a为半径作弧，两弧交于一点，连接点D与交点并延长与CA相交，即为点E；由△ADE∽△ACB得到，代入数据即可求解AE．
【解答】解：作图如下；
∵△ADE∽△ACB，
∴，
∵AB＝6，AC＝10，点D是AB的中点，
∴AD＝3，
∴，
解得：AE＝1.8．
【点评】本题考查了作图﹣相似变换，熟练掌握作一个角等于已知角的方法是解答本题的关键．
12．（2024秋 西安期中）如图，在数学实践活动课上，小辰准备测量一座电视塔的高度．他站在该电视塔的影子上前后移动，直到他自己影子的顶端正好与电视塔的影子的顶端重合（点E处），此时他与该塔的距离BD＝22m．已知电视塔、小辰均与地面BE垂直，且小辰的身高CD＝1.7m，他的影长DE＝2m．求该电视塔的高度（AB）．
【考点】相似三角形的应用．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】20.4m．
【分析】利用相似三角形的判定与性质求解即可．
【解答】解：∵AB⊥BE，CD⊥BE，
∴AB∥CD，
∴△ABE∽△CDE，
∴，
∴，
∴，
∴AB＝20.4（m）．
【点评】本题考查了相似三角形应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
13．（2024秋 合浦县期中）为了测量水平地面上一棵不可攀的树的高度，某学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在与树底端B相距8米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE＝2米，观察者目高CD＝1.5米，求树AB的高度．
【考点】相似三角形的应用．
【专题】图形的相似；应用意识．
【答案】6米．
【分析】根据镜面反射的性质求出△ABE∽△CDE，再根据其相似比解答．
【解答】解：根据题意得∠CDE＝∠ABE＝90°，∠CED＝∠AEB，
∴△ABE∽△CDE，
∴，
∵BE＝8，CD＝1.5，DE＝2，
∴，
解得AB＝6，
答：树AB的高度为6米．
【点评】此题考查相似三角形的应用，应用反射的基本性质，得出三角形相似，运用相似比是解题的关键．
14．（2024 石家庄模拟）为测量操场上悬挂国旗的旗杆的高度，设计的测量方案如图所示：标杆高度CD＝3m，标杆与旗杆的水平距离BD＝15m，人的眼睛与地面的高度EF＝1.6m，人与标杆CD的水平距离DF＝2m，E，C，A三点共线，求旗杆AB的高度．
【考点】相似三角形的应用．
【专题】图形的相似；运算能力；推理能力；应用意识．
【答案】13.5m．
【分析】利用三角形相似中的比例关系，首先由题目和图形可看出，求AB的长度分成了2个部分，AH和HB部分，其中HB＝EF＝1.6m，剩下的问题就是求AH的长度，利用△CGE∽△AHE，得出，把相关条件代入即可求得AH＝11.9，于是得到结论．
【解答】解：过E作EH⊥AB于H，交CD于G，
∵CD⊥FB，AB⊥FB，
则四边形EFDG和四边形BHGD是矩形，
∴CD∥AB，EF＝GD＝HB，EG＝FD，EH＝FB，
∴△CGE∽△AHE，
∴，
即：，
∴，
∴AH＝11.9，
∴AB＝AH+HB＝AH+EF＝11.9+1.6＝13.5（m）．
答：旗杆AB的高度为13.5m．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，主要用到的解题思想是把梯形问题转化成三角形问题，利用三角形相似比列方程来求未知线段的长度．
15．（2024秋 昌平区期中）如图，小明欲测量一座信号发射塔的高度．他站在该塔的影子上前后移动，直到他自己影子的顶端正好与塔的影子的顶端重合，此时他与该塔的距离CE＝20米．已知小明的身高DE为1.8米，他的影长AE为2米．求信号发射塔的高度BC．
【考点】相似三角形的应用．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】先证明△ABC△∽ADE，利用三角形相似的性质即可求解．
【解答】解：∵BC⊥AC，DE⊥AC，
∴DE∥BC，
∴△ABC△∽ADE，
∴，
∵CE＝20，DE＝1.8，AE＝2，
∴AC＝CE+AE＝22，
∴，
∴BC＝19.8（米），
∴信号发射塔的高度为19.8米．
【点评】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，证明△ABC△∽ADE是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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