资源简介

四川省仁寿县文宫中学2025届高三下学期三模数学试题
1．（2025·仁寿模拟）若复数满足，则的虚部与实部之差为（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·仁寿模拟）已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，焦距为，则该椭圆的方程为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·仁寿模拟）已知向量，则向量在上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·仁寿模拟）已知双曲线的焦距为，则的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·仁寿模拟）已知圆，若圆刚好被直线平分，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·仁寿模拟）某公司的两名同事计划今年国庆节期间从大理、丽江、洱海、玉龙雪山、蓝月谷这个著名旅游景点中随机选择一个游玩.若在两人中至少有一人选择大理的条件下，求两人选择的景点不同的概率为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·仁寿模拟）已知，，则（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·仁寿模拟）已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·仁寿模拟）下列说法正确的是（　　）
A．若数列前项和满足，则
B．在等差数列中，满足，则其前项和中最大
C．在等差数列中，满足，则数列的前9项和为定值
D．若等差数列中，，则使的最大的为15
10．（2025·仁寿模拟）已知圆，直线，则（　　）
A．当时，圆C上恰有两个点到直线的距离等于1
B．圆C与圆恰有三条公切线
C．直线恒过定点
D．直线与圆C有两个交点
11．（2025·仁寿模拟）已知函数是上的奇函数，对于任意，都有成立，当时，，给出下列结论，其中正确的是（　　）
A．
B．点是函数的图象的一个对称中心
C．函数在上单调递增
D．函数在上有个零点
12．（2025·仁寿模拟）已知抛物线方程为，则抛物线的准线方程为　 　．
13．（2025·仁寿模拟）如图，在梯形中，，且，若是线段上的动点，且，则的取值范围为　 　.
14．（2025·仁寿模拟）已知，函数
（1）若在上单调递增，则的取值范围为　 　；
（2）若对于任意实数，方程有且只有一个实数根，且，函数的图象与函数的图象有三个不同的交点，则的取值范围为　 　.
15．（2025·仁寿模拟）为了引导学生阅读世界经典文学名著，某学校举办“名著读书日”活动，每个月选择一天为“名著读书日”，并给出一些推荐书目．为了了解此活动促进学生阅读文学名著的情况，该校在此活动持续进行了一年之后，随机抽取了校内100名学生，调查他们在开始举办读书活动前后的一年时间内的名著阅读数量，所得数据如下表：
　 不少于5本 少于5本 合计
活动前 35 65 100
活动后 60 40 100
合计 95 105 200
（1）依据小概率值的独立性检验，分析举办该读书活动对学生阅读文学名著是否有促进作用；
（2）已知某学生计划在接下来的一年内阅读6本文学名著，其中4本国外名著，2本国内名著，现从6本名著中随机抽取3本在上半年读完，求上半年读完的国内名著本数的分布列及数学期望．
附：，其中．
临界值表：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
16．（2025·仁寿模拟）在中，角所对的边分别为，设向量，，，.
（1）求函数的最大值；
（2）若，，，求的面积.
17．（2025·仁寿模拟）如图，在圆锥中，为圆锥底面的直径，为底面圆周上一点，点在线段上，，．
（1）证明：平面；
（2）若圆锥的侧面积为，求二面角的正弦值．
18．（2025·仁寿模拟）已知数列满足，点在直线上.
（1）设，证明为等比数列：
（2）求数列的前项和；
（3）设的前项和为，证明：.
19．（2025·仁寿模拟）已知函数，其中.
（1）证明：当时，；
（2）若时，有极小值，求实数的取值范围；
（3）对任意的恒成立，求实数的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：由，
可得，
复数的虚部为，实部为，则的虚部与实部之差为.
故答案为：B.
【分析】利用复数代数形式的四则运算化简复数，再结合复数的概念求解即可.
2．【答案】D
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由题意可得：，即，
因为椭圆的离心率为，所以，解得，则，
故该椭圆的方程为.
故答案为：D.
【分析】易知椭圆的焦距求，再利用离心率求，根据的关系求，即可得椭圆的方程.
3．【答案】D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：易知，因为，所以，
即，
则向量在上的投影向量为.
故答案为：D.
【分析】易知，根据向量的模长公式求得，再根据投影向量的定义求解即可.
4．【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由题意可得：，，
因为，所以，解得，
则曲线的渐近线方程为.
故答案为：A.
【分析】由题意结合双曲线中的关系求得实半轴长，得双曲线的方程，再求渐近线的方程即可.
5．【答案】A
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：因为圆心为，且圆刚好被直线平分，
则圆心在直线上，
所以，
所以，
当且仅当时，即当时，等号成立，
因此，的最小值为.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件得出直线过圆心，从而可得，再将代数式与相乘，展开后利用基本不等式求最值的方法，从而得出的最小值.
6．【答案】B
【知识点】条件概率
【解析】【解答】解：设事件两人中至少有一人选择大理为，事件两人选择的景点不同为，
则，，
所以.
故答案为：B.
【分析】设事件两人中至少有一人选择大理为，事件两人选择的景点不同为，从而得出，的值，再结合条件概率公式得出在两人中至少有一人选择大理的条件下的两人选择的景点不同的概率.
7．【答案】D
【知识点】两角和与差的余弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为，
又因为，
所以，
所以，
所以
.
故答案为：D.
【分析】利用三角恒等变换和同角三角函数基本关系式，从而得出的值.
8．【答案】B
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：因为，
令，则，
因为在R上单调递增，
所以，
当时，可由向右平移得到，
结合与的图象可知，恒成立，
当时，由，得到，其中，
令，，则，
当时，；当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值，也是最小值，最小值为，
则，
综上所述，.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件变形得到，令，则，再根据的单调性得到，分和两种情况参变分离，从而得到，再构造，则求导判断其单调性，从而求出其最小值为，再利用不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数m的取值范围.
9．【答案】B,C,D
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差数列的性质；通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解：A、 若数列前项和满足①，
当时，，
当时，②，由①②可得，
经检验，不满足上式，则，故A错误；
B、数列为等差数列，满足，，
则，即，
因为，所以，则，，则数列的其前项和中最大，
故B正确；
C、等差数列中，满足，，
则数列的前9项和为定值，故C正确；
D、若，则，
即，又因为，所以，则数列前8项为正，从第9项开始为负，
因为，所以使的最大的为15，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据的关系求解即可判断A；利用等差数列的通项公式、求和公式结合等差数列的性质即可判断BCD.
10．【答案】B,C,D
【知识点】圆的标准方程；点与圆的位置关系；直线与圆的位置关系；两圆的公切线条数及方程的确定
【解析】【解答】解：A、当时，直线，
圆心到直线的距离为，圆C半径为6，
则4个点到直线的距离等于1，故A错误；
B、圆的标准方程为，
圆心为，半径为4，两圆的圆心距，
则两圆外切，有三条公切线，故B正确；
C、直线的方程转化为，
由，解得，则直线恒过定点，故C正确；
D、，即定点在圆C内，则直线与圆C相交且有两个交点，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】由题意，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离即可判断A；化圆一般方程为标准方程，再求两圆的圆心距，判断两圆的位置关系即可判断B；根据直线的方程即可判断C；由C选项直线恒过定点，判断直线定点与圆的位置关系即可判断D.
11．【答案】A,B
【知识点】奇偶性与单调性的综合；函数的周期性；函数的值；图形的对称性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：在中，令，得，
因为函数是R上的奇函数，
所以，故A正确；
因为，
所以是一个周期为的奇函数，
又因为是的对称中心，
所以也是函数的图象的一个对称中心，故B正确；
作出函数的部分图象如图所示，
易知函数在上不具单调性，故C不正确；
因为函数在上有个零点，故D不正确.
故答案为：AB.
【分析】由赋值，可得，则判断出选项A；从而可得是对称中心，则判断出选项B；作出函数图象，则判断出函数在上的单调性，再利用函数零点与函数图象与x轴交点横坐标的等价关系，则判断出选项C和选项D，从而找出正确的选项.
12．【答案】
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：抛物线的准线方程为.
故答案为：.
【分析】将抛物线方程转化为标准方程，从而求出抛物线的准线方程.
13．【答案】
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】解：以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示：
由题意可得：，因为，所以，
设，则（其中），
，
，
当时，取得最小值，当时，取得最大值21.
故答案为：．
【分析】以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，求得相应点的坐标，设，由平面向量数量积的坐标表示求得，再结合二次函数的性质求解即可．
14．【答案】；
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数单调性的性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：（1）由题意知：，
解得.
（2）因为对于任意实数，方程有且只有一个实数根，且，
所以，解得.
所以，
则函数的图象如图所示：
令，解得，则，
当函数过点时，，此时函数与有两个交点.
联立，
当时，即当时，此时函数与有两个交点，
因为函数的图象与函数的图象有三个不同的交点，
所以.
故答案为：；.
【分析】（1）先根据题意列出不等式组，解不等式组得出实数m的取值范围.
（2）先根据已知条件得到的值，从而画出分段函数的图象，再利用数形结合的思想方程的根和函数的图象与函数的图象交点的横坐标的等价关系，从而得到实数的取值范围.
15．【答案】（1）解：零假设：该读书活动对学生阅读文学名著没有促进作用；
由表中数据可知，
，
故可推断不成立，
则认为举办该读书活动对学生阅读文学名著有促进作用，该推断犯错误的概率不超过0.001．
（2）解：由题意可知，的可能取值为0、1、2，
则；
；
，
所以的分布列为：
0 1 2
所以的数学期望为：．
【知识点】独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据公式计算出，再利用独立性检验的方法，则认为举办该读书活动对学生阅读文学名著有促进作用，该推断犯错误的概率不超过0.001.
（2）利用已知条件得出上半年读完的国内名著本数X可能的取值，再由超几何分布的概率得出随机变量X的分布列，再根据随机变量的分布列求数学期望公式，从而得出随机变量X的数学期望.
（1）零假设：该读书活动对学生阅读文学名著没有促进作用；
由表中数据可知，，
故可推断不成立，即认为举办该读书活动对学生阅读文学名著有促进作用，该推断犯错误的概率不超过0.001．
（2）由题意可知，的可能取值为0、1、2，
；；；
所以的分布列为：
0 1 2
所以的数学期望为：．
16．【答案】（1）解：
，
因为，所以，
所以当，即时，有最大值；
（2）解：因为，所以，所以，
因为，所以，
由正弦定理，所以，，
又因为，所以，得，
由余弦定理有：，即，所以，
所以．
【知识点】平面向量的数量积运算；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；正弦定理；余弦定理；辅助角公式
【解析】【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算结合正余弦的二倍角公式、辅助角公式化简求得，再利用正弦函数的性质求最大值即可；
（2）由解得，再由利用正弦定理化边为角得，再结合余弦定理求得，最后根据三角形面积公式求解即可.
17．【答案】（1）证明：平面，，故以为坐标原点，为轴正方向，
为轴正方向，与同向的方向为轴正方向建立空间直角坐标系，
设，
故，，，，，
，，．
，，
则，，
，，平面，
平面.
（2）解：圆锥的侧面积，，
，
由（1）可知，为平面的法向量，
设平面的法向量为，
又因为，，
故，令，得，
则，
所以二面角的正弦值为．

【知识点】用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）利用线面垂直和线线垂直建立空间直角坐标系，再利用向量法证出、，再利用线面垂直的判定定理证出平面.
（2）根据圆锥的侧面积公式得出和的长，再求出平面、平面的一个法向量，则利用数量积求向量夹角公式和同角三角函数基本关系式得出二面角的正弦值.
（1）平面，，故以为坐标原点，为轴正方向，
为轴正方向，与同向的方向为轴正方向建立空间直角坐标系．
设，故，，，，，
，，．
，．
故，，
，，平面，平面；
（2）圆锥的侧面积，，
，
由（1）可知，为平面的法向量，
设平面的法向量为，而，，
故，令得，
则，
所以二面角的正弦值为．
18．【答案】（1）证明：因点在直线，则.
则，即，又，
所以是以为首项，公比为的等比数列；
（2）解：由（1）.
则；
（3）证明：由（2），.
则当时，；
当（）时，注意到，
则
则
.
综上，当时，.
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的前n项和；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）构造等比数列，利用等比数列的定义即可证明；
（2）由（1）可得利用等比数列的通项公式求得，再利用分组求和法可得答案；
（3）可证得，即可完成证明.
（1）证明：因点在直线，则.
则，即，又，
所以是以为首项，公比为的等比数列；
（2）由（1），.
则；
（3）证明：由（2），.
则当时，；
当（）时，注意到，
则
则
.
综上，当时，.
19．【答案】（1）证明：函数定义域为，，
易知对任意恒成立，
则函数在内单调递减，即，故当时，；
（2）解：函数，，，
令，对任意恒成立，
则函数在内单调递增，且，
当，即时，则对任意恒成立，即，
可知在内单调递增，无极值，不合题意；
当，即时，则在内存在唯一零点，
当时，，即；当时，，即；
可知在内单调递减，在内单调递增，
可知存在极小值，符合题意，
综上所述：实数的取值范围为；
（3）解：令函数，
，
原题意等价于对任意恒成立，且，则，解得，
若，因为，则，
则，
可知在内单调递增，则，即符合题意；
综上所述：实数的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导，利用导数判断函数的单调性，结合单调性分析证明即可；
（2）求导，令，利用导数可知函数在内单调递增，再分类讨论的符号，分析的极值，求实数的取值范围即可；
（3）构建，分析可知原题意等价于对任意恒成立，根据端点效应可得，并代入检验说明其充分性即可.
（1）因为，则对任意恒成立，
可知在内单调递减，则，
所以当时，.
（2）因为，则，
令，则对任意恒成立，
可知在内单调递增，则，
当，即时，则对任意恒成立，即，
可知在内单调递增，无极值，不合题意；
当，即时，则在内存在唯一零点，
当时，，即；当时，，即；
可知在内单调递减，在内单调递增，
可知存在极小值，符合题意；
综上所述：实数的取值范围为.
（3）令，
则，
原题意等价于对任意恒成立，
且，则，解得，
若，因为，则，
则，
可知在内单调递增，则，即符合题意；
综上所述：实数的取值范围为.
1 / 1四川省仁寿县文宫中学2025届高三下学期三模数学试题
1．（2025·仁寿模拟）若复数满足，则的虚部与实部之差为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：由，
可得，
复数的虚部为，实部为，则的虚部与实部之差为.
故答案为：B.
【分析】利用复数代数形式的四则运算化简复数，再结合复数的概念求解即可.
2．（2025·仁寿模拟）已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，焦距为，则该椭圆的方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由题意可得：，即，
因为椭圆的离心率为，所以，解得，则，
故该椭圆的方程为.
故答案为：D.
【分析】易知椭圆的焦距求，再利用离心率求，根据的关系求，即可得椭圆的方程.
3．（2025·仁寿模拟）已知向量，则向量在上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：易知，因为，所以，
即，
则向量在上的投影向量为.
故答案为：D.
【分析】易知，根据向量的模长公式求得，再根据投影向量的定义求解即可.
4．（2025·仁寿模拟）已知双曲线的焦距为，则的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由题意可得：，，
因为，所以，解得，
则曲线的渐近线方程为.
故答案为：A.
【分析】由题意结合双曲线中的关系求得实半轴长，得双曲线的方程，再求渐近线的方程即可.
5．（2025·仁寿模拟）已知圆，若圆刚好被直线平分，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：因为圆心为，且圆刚好被直线平分，
则圆心在直线上，
所以，
所以，
当且仅当时，即当时，等号成立，
因此，的最小值为.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件得出直线过圆心，从而可得，再将代数式与相乘，展开后利用基本不等式求最值的方法，从而得出的最小值.
6．（2025·仁寿模拟）某公司的两名同事计划今年国庆节期间从大理、丽江、洱海、玉龙雪山、蓝月谷这个著名旅游景点中随机选择一个游玩.若在两人中至少有一人选择大理的条件下，求两人选择的景点不同的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】条件概率
【解析】【解答】解：设事件两人中至少有一人选择大理为，事件两人选择的景点不同为，
则，，
所以.
故答案为：B.
【分析】设事件两人中至少有一人选择大理为，事件两人选择的景点不同为，从而得出，的值，再结合条件概率公式得出在两人中至少有一人选择大理的条件下的两人选择的景点不同的概率.
7．（2025·仁寿模拟）已知，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】两角和与差的余弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为，
又因为，
所以，
所以，
所以
.
故答案为：D.
【分析】利用三角恒等变换和同角三角函数基本关系式，从而得出的值.
8．（2025·仁寿模拟）已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：因为，
令，则，
因为在R上单调递增，
所以，
当时，可由向右平移得到，
结合与的图象可知，恒成立，
当时，由，得到，其中，
令，，则，
当时，；当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值，也是最小值，最小值为，
则，
综上所述，.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件变形得到，令，则，再根据的单调性得到，分和两种情况参变分离，从而得到，再构造，则求导判断其单调性，从而求出其最小值为，再利用不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数m的取值范围.
9．（2025·仁寿模拟）下列说法正确的是（　　）
A．若数列前项和满足，则
B．在等差数列中，满足，则其前项和中最大
C．在等差数列中，满足，则数列的前9项和为定值
D．若等差数列中，，则使的最大的为15
【答案】B,C,D
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差数列的性质；通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解：A、 若数列前项和满足①，
当时，，
当时，②，由①②可得，
经检验，不满足上式，则，故A错误；
B、数列为等差数列，满足，，
则，即，
因为，所以，则，，则数列的其前项和中最大，
故B正确；
C、等差数列中，满足，，
则数列的前9项和为定值，故C正确；
D、若，则，
即，又因为，所以，则数列前8项为正，从第9项开始为负，
因为，所以使的最大的为15，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据的关系求解即可判断A；利用等差数列的通项公式、求和公式结合等差数列的性质即可判断BCD.
10．（2025·仁寿模拟）已知圆，直线，则（　　）
A．当时，圆C上恰有两个点到直线的距离等于1
B．圆C与圆恰有三条公切线
C．直线恒过定点
D．直线与圆C有两个交点
【答案】B,C,D
【知识点】圆的标准方程；点与圆的位置关系；直线与圆的位置关系；两圆的公切线条数及方程的确定
【解析】【解答】解：A、当时，直线，
圆心到直线的距离为，圆C半径为6，
则4个点到直线的距离等于1，故A错误；
B、圆的标准方程为，
圆心为，半径为4，两圆的圆心距，
则两圆外切，有三条公切线，故B正确；
C、直线的方程转化为，
由，解得，则直线恒过定点，故C正确；
D、，即定点在圆C内，则直线与圆C相交且有两个交点，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】由题意，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离即可判断A；化圆一般方程为标准方程，再求两圆的圆心距，判断两圆的位置关系即可判断B；根据直线的方程即可判断C；由C选项直线恒过定点，判断直线定点与圆的位置关系即可判断D.
11．（2025·仁寿模拟）已知函数是上的奇函数，对于任意，都有成立，当时，，给出下列结论，其中正确的是（　　）
A．
B．点是函数的图象的一个对称中心
C．函数在上单调递增
D．函数在上有个零点
【答案】A,B
【知识点】奇偶性与单调性的综合；函数的周期性；函数的值；图形的对称性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：在中，令，得，
因为函数是R上的奇函数，
所以，故A正确；
因为，
所以是一个周期为的奇函数，
又因为是的对称中心，
所以也是函数的图象的一个对称中心，故B正确；
作出函数的部分图象如图所示，
易知函数在上不具单调性，故C不正确；
因为函数在上有个零点，故D不正确.
故答案为：AB.
【分析】由赋值，可得，则判断出选项A；从而可得是对称中心，则判断出选项B；作出函数图象，则判断出函数在上的单调性，再利用函数零点与函数图象与x轴交点横坐标的等价关系，则判断出选项C和选项D，从而找出正确的选项.
12．（2025·仁寿模拟）已知抛物线方程为，则抛物线的准线方程为　 　．
【答案】
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：抛物线的准线方程为.
故答案为：.
【分析】将抛物线方程转化为标准方程，从而求出抛物线的准线方程.
13．（2025·仁寿模拟）如图，在梯形中，，且，若是线段上的动点，且，则的取值范围为　 　.
【答案】
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】解：以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示：
由题意可得：，因为，所以，
设，则（其中），
，
，
当时，取得最小值，当时，取得最大值21.
故答案为：．
【分析】以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，求得相应点的坐标，设，由平面向量数量积的坐标表示求得，再结合二次函数的性质求解即可．
14．（2025·仁寿模拟）已知，函数
（1）若在上单调递增，则的取值范围为　 　；
（2）若对于任意实数，方程有且只有一个实数根，且，函数的图象与函数的图象有三个不同的交点，则的取值范围为　 　.
【答案】；
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数单调性的性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：（1）由题意知：，
解得.
（2）因为对于任意实数，方程有且只有一个实数根，且，
所以，解得.
所以，
则函数的图象如图所示：
令，解得，则，
当函数过点时，，此时函数与有两个交点.
联立，
当时，即当时，此时函数与有两个交点，
因为函数的图象与函数的图象有三个不同的交点，
所以.
故答案为：；.
【分析】（1）先根据题意列出不等式组，解不等式组得出实数m的取值范围.
（2）先根据已知条件得到的值，从而画出分段函数的图象，再利用数形结合的思想方程的根和函数的图象与函数的图象交点的横坐标的等价关系，从而得到实数的取值范围.
15．（2025·仁寿模拟）为了引导学生阅读世界经典文学名著，某学校举办“名著读书日”活动，每个月选择一天为“名著读书日”，并给出一些推荐书目．为了了解此活动促进学生阅读文学名著的情况，该校在此活动持续进行了一年之后，随机抽取了校内100名学生，调查他们在开始举办读书活动前后的一年时间内的名著阅读数量，所得数据如下表：
　 不少于5本 少于5本 合计
活动前 35 65 100
活动后 60 40 100
合计 95 105 200
（1）依据小概率值的独立性检验，分析举办该读书活动对学生阅读文学名著是否有促进作用；
（2）已知某学生计划在接下来的一年内阅读6本文学名著，其中4本国外名著，2本国内名著，现从6本名著中随机抽取3本在上半年读完，求上半年读完的国内名著本数的分布列及数学期望．
附：，其中．
临界值表：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】（1）解：零假设：该读书活动对学生阅读文学名著没有促进作用；
由表中数据可知，
，
故可推断不成立，
则认为举办该读书活动对学生阅读文学名著有促进作用，该推断犯错误的概率不超过0.001．
（2）解：由题意可知，的可能取值为0、1、2，
则；
；
，
所以的分布列为：
0 1 2
所以的数学期望为：．
【知识点】独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据公式计算出，再利用独立性检验的方法，则认为举办该读书活动对学生阅读文学名著有促进作用，该推断犯错误的概率不超过0.001.
（2）利用已知条件得出上半年读完的国内名著本数X可能的取值，再由超几何分布的概率得出随机变量X的分布列，再根据随机变量的分布列求数学期望公式，从而得出随机变量X的数学期望.
（1）零假设：该读书活动对学生阅读文学名著没有促进作用；
由表中数据可知，，
故可推断不成立，即认为举办该读书活动对学生阅读文学名著有促进作用，该推断犯错误的概率不超过0.001．
（2）由题意可知，的可能取值为0、1、2，
；；；
所以的分布列为：
0 1 2
所以的数学期望为：．
16．（2025·仁寿模拟）在中，角所对的边分别为，设向量，，，.
（1）求函数的最大值；
（2）若，，，求的面积.
【答案】（1）解：
，
因为，所以，
所以当，即时，有最大值；
（2）解：因为，所以，所以，
因为，所以，
由正弦定理，所以，，
又因为，所以，得，
由余弦定理有：，即，所以，
所以．
【知识点】平面向量的数量积运算；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；正弦定理；余弦定理；辅助角公式
【解析】【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算结合正余弦的二倍角公式、辅助角公式化简求得，再利用正弦函数的性质求最大值即可；
（2）由解得，再由利用正弦定理化边为角得，再结合余弦定理求得，最后根据三角形面积公式求解即可.
17．（2025·仁寿模拟）如图，在圆锥中，为圆锥底面的直径，为底面圆周上一点，点在线段上，，．
（1）证明：平面；
（2）若圆锥的侧面积为，求二面角的正弦值．
【答案】（1）证明：平面，，故以为坐标原点，为轴正方向，
为轴正方向，与同向的方向为轴正方向建立空间直角坐标系，
设，
故，，，，，
，，．
，，
则，，
，，平面，
平面.
（2）解：圆锥的侧面积，，
，
由（1）可知，为平面的法向量，
设平面的法向量为，
又因为，，
故，令，得，
则，
所以二面角的正弦值为．

【知识点】用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）利用线面垂直和线线垂直建立空间直角坐标系，再利用向量法证出、，再利用线面垂直的判定定理证出平面.
（2）根据圆锥的侧面积公式得出和的长，再求出平面、平面的一个法向量，则利用数量积求向量夹角公式和同角三角函数基本关系式得出二面角的正弦值.
（1）平面，，故以为坐标原点，为轴正方向，
为轴正方向，与同向的方向为轴正方向建立空间直角坐标系．
设，故，，，，，
，，．
，．
故，，
，，平面，平面；
（2）圆锥的侧面积，，
，
由（1）可知，为平面的法向量，
设平面的法向量为，而，，
故，令得，
则，
所以二面角的正弦值为．
18．（2025·仁寿模拟）已知数列满足，点在直线上.
（1）设，证明为等比数列：
（2）求数列的前项和；
（3）设的前项和为，证明：.
【答案】（1）证明：因点在直线，则.
则，即，又，
所以是以为首项，公比为的等比数列；
（2）解：由（1）.
则；
（3）证明：由（2），.
则当时，；
当（）时，注意到，
则
则
.
综上，当时，.
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的前n项和；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）构造等比数列，利用等比数列的定义即可证明；
（2）由（1）可得利用等比数列的通项公式求得，再利用分组求和法可得答案；
（3）可证得，即可完成证明.
（1）证明：因点在直线，则.
则，即，又，
所以是以为首项，公比为的等比数列；
（2）由（1），.
则；
（3）证明：由（2），.
则当时，；
当（）时，注意到，
则
则
.
综上，当时，.
19．（2025·仁寿模拟）已知函数，其中.
（1）证明：当时，；
（2）若时，有极小值，求实数的取值范围；
（3）对任意的恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）证明：函数定义域为，，
易知对任意恒成立，
则函数在内单调递减，即，故当时，；
（2）解：函数，，，
令，对任意恒成立，
则函数在内单调递增，且，
当，即时，则对任意恒成立，即，
可知在内单调递增，无极值，不合题意；
当，即时，则在内存在唯一零点，
当时，，即；当时，，即；
可知在内单调递减，在内单调递增，
可知存在极小值，符合题意，
综上所述：实数的取值范围为；
（3）解：令函数，
，
原题意等价于对任意恒成立，且，则，解得，
若，因为，则，
则，
可知在内单调递增，则，即符合题意；
综上所述：实数的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导，利用导数判断函数的单调性，结合单调性分析证明即可；
（2）求导，令，利用导数可知函数在内单调递增，再分类讨论的符号，分析的极值，求实数的取值范围即可；
（3）构建，分析可知原题意等价于对任意恒成立，根据端点效应可得，并代入检验说明其充分性即可.
（1）因为，则对任意恒成立，
可知在内单调递减，则，
所以当时，.
（2）因为，则，
令，则对任意恒成立，
可知在内单调递增，则，
当，即时，则对任意恒成立，即，
可知在内单调递增，无极值，不合题意；
当，即时，则在内存在唯一零点，
当时，，即；当时，，即；
可知在内单调递减，在内单调递增，
可知存在极小值，符合题意；
综上所述：实数的取值范围为.
（3）令，
则，
原题意等价于对任意恒成立，
且，则，解得，
若，因为，则，
则，
可知在内单调递增，则，即符合题意；
综上所述：实数的取值范围为.
1 / 1

展开更多......

收起↑