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2025届上海市敬业中学高三高考三模考试数学试题
1．（2025·上海市模拟）不等式的解集为　 　.
【答案】
【知识点】不等式的解集
【解析】【解答】解：由题意可得，，解得，
所以不等式的解集为，
故答案为：.
【分析】将分式不等式 转化为求解即可.
2．（2025·上海市模拟）函数的定义域为　 　.
【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：由题意可知，，解得且x≠2，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
【分析】根据被开根数非负性以及分母不为零列不等式组求解即可求得函数的定义域.
3．（2025·上海市模拟）双曲线的渐近线方程为　 　．
【答案】y=±2x（±2x+y=0，或2x±y=0或±2x-y=0）
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由双曲线方程可知，，则
渐近线方程.
故答案为：y=±2x（±2x+y=0，或2x±y=0或±2x-y=0）
【分析】根据题意由双曲线的简单性质求出a与b的取值，从而即可得出渐近线的方程。
4．（2025·上海市模拟）已知，则　 　.
【答案】
【知识点】二倍角的余弦公式；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】利用诱导公式可得，进而利用二倍角的余弦公式代入数值求解即可.
5．（2025·上海市模拟）已知集合，，则　 　.
【答案】
【知识点】交集及其运算；函数的定义域及其求法；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：因为，所以，所以集合.
因为，所以，所以集合.
所以.
故答案为：.
【分析】先分别求出集合与集合，再根据交集的定义求出即可.
6．（2025·上海市模拟）二项式展开式中的常数项为　 　.（用数字作答）
【答案】
【知识点】二项展开式
【解析】【解答】解：二项式展开式通项为，
令4-2k=0，解得k=2，
所以二项式展开式中的常数项为.
故答案为：.
【分析】先求得二项式展开式的通项，进而令x的指数为0，求得对应的k的值，再计算即可求得常数项.
7．（2025·上海市模拟）设复数（为虚数单位），则的最大值为　 　.
【答案】3
【知识点】复数的模；含三角函数的复合函数的值域与最值；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：由题意可得，.
所以
因为的取值范围是，所以当时，取得最大值.
此时.
所以的最大值为，即的最大值为.
故答案为：.
【分析】根据题意先求得z-2i，进而根据复数的模的计算公式求出的表达式，再结合三角函数的性质求出其最大值即可.
8．（2025·上海市模拟）若向量，满足，，且，则向量，的夹角大小为　 　.
【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：由题意可知，，即，解得，
所以，
因为，所以.
故答案为：.
【分析】根据数量积的运算律可得，进而利用夹角公式即可求得向量，的夹角 .
9．（2025·上海市模拟）已知数列的通项公式为（为正整数），则数列的前项和的最小值为　 　.
【答案】
【知识点】数列的前n项和
【解析】【解答】解：由题意可知，数列 为单调递增的数列，
当时，当时，
所以当n=3时， 前项和取得最小值，最小值为.
故答案为：.
【分析】根据数列的单调性，结合数列通项的正负可知当n=3时， 前项和取得最小值，进而求出S3的值即可.
10．（2025·上海市模拟）如图，、是椭圆：与双曲线：的公共焦点，A、B分别是、在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是　 　.
【答案】
【知识点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：因为，所以，
由题意可知，解得，
因为四边形为矩形，所以，
由勾股定理可知，，
即，解得，
所以的离心率.
故答案为：.
【分析】利用双曲线方程求出焦点坐标，再利用双曲线、椭圆的定义列方程组可知，结合矩形的条件列式求出，进而根据离心率的公式即可求得C1的离心率.
11．（2025·上海市模拟）某工厂有甲、乙、丙三条生产线同时生产同一产品，这三条生产线生产产品的次品率分别为，假设这三条生产线产品产量的比为，现从这三条生产线上随机任意选取100件产品，则次品数的数学期望为　 　.
【答案】
【知识点】二项分布；全概率公式
【解析】【解答】解：记“选取的产品为次品”为事件B，"此件次品来自甲生产线"为事件，“此件次品来自乙生产线”为事件，“此件次品来自丙生产线”为事件，
由题意可得，，，
由全概率的公式可得，
从这三条生产线上随机任意选取1件产品为次品数的概率为，
则任意选取100件产品，设次品数为，则，所以.
故答案为：.
【分析】记“选取的产品为次品”为事件B，"此件次品来自甲生产线"为事件，“此件次品来自乙生产线”为事件，“此件次品来自丙生产线”为事件，由题意可得，，，再利用全概率公式求出，任意选取100件产品，设次品数为，则，结合二项分布的期望公式求解即可.
12．（2025·上海市模拟）已知正四棱锥的侧棱长为，则当该正四棱锥的体积最大时，它的高等于　 　.
【答案】3
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设正四棱锥的底面边长为a，高为h，则，
设，连接，
易得，平面，
因为平面，所以.
在中，，所以，
所以正四棱锥的体积，
令，所以，
令，解得；令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，正四棱锥的体积取得最大值.
故答案为：3.
【分析】设正四棱锥的底面边长为a，高为h，根据勾股定理可得，根据棱锥的体积公式可得，利用导数判断函数单调性从而求得体积取最大值时正四棱锥的高.
13．（2025·上海市模拟）若复数（为虚数单位），则（　　）
A．在复平面对应的点位于第四象限
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的加减运算；共轭复数；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：
A、复数在复平面内对应的点为，位于第四象限，故选项A正确；
B、，故选项B错误；
C、，故选项C错误；
D、，故选项D错误.
故选：A.
【分析】先利用复数的除法法则求得，根据复数的几何意义即可判断选项A；根据共轭复数的概念即可判断选项B；利用复数的减法运算即可判断选项C；利用复数的乘法运算即可判断选项D.
14．（2025·上海市模拟）为了研究某种商品的广告投入和收益之间的相关关系，某研究小组收集了5组样本数据如表所示，得到线性回归方程为，则当广告投入为10万元时，收益的预测值为（　　）万元．
/万元 1 2 3 4 5
/万元 0.50 0.80 1.00 1.20 1.50
A．2.48 B．2.58 C．2.68 D．2.88
【答案】C
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】解：由题意可知，，
所以样本数据中心点为：
代入回归方程得，解得：，
所以线性回归方程为
所以当时，．
故选：C.
【分析】求得样本中心点，代入回归方程中可求得，进而可得到回归方程的表达式，计算即可求得当广告投入为10万元时收益的预测值 .
15．（2025·上海市模拟）已知球O的表面积为，球面上有A，B，C，D四点，，，与平面所成的角均为，若是正三角形，则（　　）
A． B． C．2 D．3
【答案】D
【知识点】棱锥的结构特征；球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：由题意可得，
三棱锥为正三棱锥，球O为该正三棱锥的外接球，
设其半径为，
因为球O的表面积为，
所以，
设，则正的边长为，
取中点，连接，作，根据正三棱锥的性质可知球心O在上，
如下图所示：
根据线面角的定义知，则，
因为，，
所以，
在中，，
所以，
解得或，
则，
故答案为：D.
【分析】由题意可得三棱锥为正三棱锥，则正三棱锥的外接球的球心在高线上，从而作出图形，根据外接球的表面积求出外接球的半径为，，则根据线面角的定义得出，再根据勾股定理列出关于的等式，从而解出的值，进而得出AB的长.
16．（2025·上海市模拟）过点向曲线：（为正整数）引斜率为的切线，切点为，则下列结论不正确的是（　　）
A． B．
C．数列的前项和为 D．
【答案】C
【知识点】对数的性质与运算法则；余弦函数的性质；直线与圆锥曲线的综合问题；数列的前n项和
【解析】【解答】解：A、设直线，
联立，消y整理得，
由题意可知，，解得（负值舍去），故选项A正确；
B、所以，
所以，故选项B正确；
C、所以，所以，
所以，故选项C错误；
D、因为，，
所以，
设，则，
可得在上单调递增，
则时，，
又，则，故选项D正确.
故选：C.
【分析】设直线，联立消元可得一元二次方程，进而由列式求得kn即可判断选项A；解一元二次方程即可求得进而求得切点横坐标，结合对数的运算法则计算即可判断选项B；利用方程求得切点纵坐标，进而可求得，结合等差数列的求和公式计算可判断选项C；令，结合导数可得在上单调递增，进而可判断选项D.
17．（2025·上海市模拟）在中，角，，所对边的边长分别为，，，且满足
（1）求角的值；
（2）若，求周长的最大值.
【答案】（1）解：由正弦定理可得，即
由余弦定理可得，
因为所以

（2）解：由余弦定理可知， ，所以
所以
所以，当且仅当时，等号成立，
所以
所以三角形的周长的最大值为
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）通过正弦定理进行边角互化可得，再利用余弦定理即可求得cosC的值，进而可求出角的值.
（2）根据余弦定理得到关于、的等式，然后结合基本不等式求出的取值范围，进而得出三角形周长的最大值.
（1）因 ，
利用正弦定理：整理得
由于故
（2）由于利用余弦定理： ，
所以利用基本不等式：
整理得：，(当且仅当时，等号成立）
所以
故三角形的周长的最大值为
18．（2025·上海市模拟）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，，是底面半径，，为劣弧的中点.
（1）证明：平面；
（2）若圆锥底面半径为1，高为2，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
【答案】（1）证明：如图所示，连接，
因为点是劣弧的中点，，
所以.
因为，所以为等边三角形.
所以，所以，
因为平面，不在平面上，
所以平面.
（2）解：如图所示，过点作交于点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系
所以、、、，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
所以，令，则x1=4，y1=0，
所以，
设平面的一个法向量为，
所以，令，则，，
所以，
所以，
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】（1）根据已知条件可证得，进而可知，根据线面平行的判定定理即可证得平面 ；
（2）首先建立空间直角坐标系，先求得平面和平面的法向量，进而利用夹角公式即可求得平面与平面所成锐二面角的余弦值 .
（1）连接，如图所示.
因为点是劣弧的中点，，
所以.
因为，所以为等边三角形.
所以，根据内错角相等，两直线平行，
所以，因为平面，而不在平面上，
所以平面.
（2）过点作交于点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示.
则、、、，
设平面的一个法向量为，，，
则，取，则，
设平面的一个法向量为，，，
则，取，可得，，则，
所以，，
因此，当四边形面积最大时，平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
19．（2025·上海市模拟）为了研究高三年级学生的性别和身高是否大于的关联性，随机调查了某中学部分高三年级的学生，整理得到如下列联表 （单位：人)：
性别 身高 合计
低于 不低于
女 14 5 19
男 8 10 18
合计 22 15 37
（1）依据的独立性检验，能否认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联
（2）从身高不低于的15 名学生中随机抽取三名学生，设抽取的三名学生中女生人数为，求的分布列及期望.
（3）若低于的8 名男生身高数据的平均数为，方差为，不低于的10名男生身高数据的平均数为，方差为 .请估计该中学男生身高数据的平均数和方差.
附： .
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】（1）解：零假设：该中学高三年级学生的性别与身高无关联
由题意可得，，
根据小概率值的独立性检验可知零假设不成立，可以认为性别与身高有关联
（2）解：由题意可得随机变量的所有可能取值为，
所以
所以随机变量的分布列为：
0 1 2 3
所以，期望为.
（3）解：由题意知，18名男生身高数据的平均数，
18 名男生身高数据的方差
，
所以，该中学男生身高数据的平均数为174，方差为59.
【知识点】用样本的数字特征估计总体的数字特征；独立性检验；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；超几何分布
【解析】【分析】（1）先提出零假设，进而根据列联表中的数据求得，再结合附表即可得出结论
（2）根据题意，得到变量的所有可能取值为，利用超几何分布求得相应的概率，得出分布列，再利用期望的公式即可求出；
（3）根据题意，结合分层抽样的平均数和方差的计算公式求得18名男生身高数据的平均数和方差，即可估计该中学男生身高数据的平均数和方差. .
（1）解：零假设：该中学高三年级学生的性别与身高无关联
根据列联表中的数据，经计算得，
由此可知根据小概率值的独立性检验，零假设不成立，
可以认为性别与身高有关联
（2）解：由题意，可得随机变量的可能取值为，
可得
所以随机变量的分布列为：
0 1 2 3
所以，期望为，
（3）解：由题意知，18名男生身高数据的平均数，
18 名男生身高数据的方差
，
所以，该中学男生身高数据的平均数为174，方差为59.
20．（2025·上海市模拟）已知抛物线，点在上，为常数，，按如下方式依次构造点，过点作轴的垂线交于点，过且斜率为的直线与的另一个交点为.记的坐标为.
（1）当时，求；
（2）设，证明：数列是等差数列；
（3）设为的面积，证明：为定值.
【答案】（1）解：
因为点在上，所以，解得，
所以的坐标为，所以直线的方程为：，
联立，整理得y2-y-2=0，解得y=2或y=-1，
当y=2时，x=2，
所以.

（2）证明：法一：由题意知的坐标为，所以，
又因为，
两式相减得，即，
由题意知，可得，
所以数列是以1为首项，为公差的等差数列，
所以，可得，
所以，
可得，所以数列是等差数列.
法二：
由题意知的坐标为，
所以直线的方程为，
由，可得，
由题意知是直线与的公共点，所以，
所以数列是以1为首项，为公差的等差数列，
所以，可得，
所以，
所以，所以数列是等差数列.
（3）证明：法一：的三个顶点为，
因为，两式相减得，即，
所以直线的斜率为，
可得，
直线的方程为，
即，
设到直线的距离为，则
所以，
所以为定值.
法2：
的三个顶点为，
可得，
，
所以
，
所以为定值.
法3：
要证为定值，只需证，
即证与面积相等，
因为，两式相减得，
即，
所以直线的斜率为，
同理可得直线的斜率为
所以，可得点到直线的距离相等，
所以，即为定值.
【知识点】等差数列概念与表示；平面内点到直线的距离公式；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由点在列式即可求得，根据直线的方程联立抛物线方程即可求得；
（2）由点差法可得，进而，确定是等差数列，可得，进而依次得到，进而可得，即得，即可证得数列是等差数列 ；
（3）由，由点差法可，
进而可得直线的斜率为，可得，由直线的方程为，可得到直线的距离为，进而，即可证得为定值. .
（1）
因为点在上，所以，解得，
由题意知的坐标为，直线的方程为：，
由，整理得，解得.
（2）法一：由题意知的坐标为，
所以，又，
两式相减得，即，
由题意知，可得，
所以数列是以1为首项，为公差的等差数列，
所以，可得，
所以，
可得，所以数列是等差数列.
法二：
由题意知的坐标为，
所以直线的方程为，
由，可得，
由题意知是直线与的公共点，所以，
所以数列是以1为首项，为公差的等差数列，
所以，可得，
所以，
所以，所以数列是等差数列.
（3）法一：的三个顶点为，
因为，两式相减得，即，
所以直线的斜率为，
可得，
直线的方程为，
即，
设到直线的距离为，则
所以，
所以为定值.
法2：
的三个顶点为，
可得，
，
所以
，
所以为定值.
法3：
要证为定值，只需证，
即证与面积相等，
因为，两式相减得，
即，
所以直线的斜率为，
同理可得直线的斜率为
所以，可得点到直线的距离相等，
所以，即为定值.
21．（2025·上海市模拟）已知定义在上的函数的图像上存在，两点，记直线的方程为，若直线恰为曲线的一条切线（，为切点），且对上的任意的，均有，则称函数为“切线支撑”函数.
（1）试判断函数是否为“切线支撑”函数.若是，写出一组点，；否则，请说明理由；
（2）证明：函数为“切线支撑”函数；
（3）已知为“切线支撑”函数，求实数的取值范围
【答案】（1）解：，显然，
令，即，
所以，，解得，
所以，是的极小值点，且为曲线的一条切线，
所以函数是“切线支撑”函数，
可取，．
（2）证明：证明：因为，
设，，
所以，点处的切线方程为和，
所以，
所以，，
不妨取，，所以，
所以解得，，所以，
不妨取．所以切线的方程为，
又，所以函数为“切线支撑”函数．
（3）解：当时，，所以在上为增函数，所以切点，不可能都在轴的右侧；当时，，所以在上为增函数，所以切点，不可能都在轴的左侧；
所以切点，必在轴的两侧．
不妨设，，，
当时，，
所以点处的切线方程为，
即；
当时，，所以点处的切线方程为，
即，
因为，两点处的切线重合，所以，所以，
设，，
所以，所以在上单调递增，
又当时，，所以，即，
设点处的切线方程为，
设，
则，
所以当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，
所以，所以，
设点处的切线方程为，
则，即，
所以为“切线支撑”函数，
综上可得，实数的取值范围为．

【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；辅助角公式
【解析】【分析】（1）先由降幂公式二倍角的余弦公式和辅助角公式可得，根据正弦函数即可得到，令可得，根据函数性质和定义可知，是的极小值点，且为曲线的一条切线，进而即可求得A，B坐标；
（2）对函数 进行求导，由函数新定义结合导数的意义得到，点处的切线方程，再结合正弦函数的性质即可证得函数为“切线支撑”函数；；
（3）先由导数分析单调性得到切点，必在轴的两侧，再利用导数的意义得到切线方程，然后结合函数新定义构造函数，分析单调性得到极值．
（1），
显然，
令，得，，即，
所以，是的极小值点，且为曲线的一条切线，
所以函数是“切线支撑”函数，
可取，．
（2）证明：因为，设，，
所以，点处的切线方程为和，
所以，
所以，，
不妨取，，则，即，，
所以，不妨取．则切线的方程为，
又，所以函数为“切线支撑”函数．
（3）当时，，所以在上为增函数，所以切点，不可能都在轴的右侧；
当时，，所以在上为增函数，所以切点，不可能都在轴的左侧；
所以切点，必在轴的两侧．
不妨设，，，
当时，，所以点处的切线方程为，
即；
当时，，所以点处的切线方程为，
即，
因为，两点处的切线重合，所以，
设，，则，
所以在上单调递增，
又当时，，所以，即，
设点处的切线方程为，
设，
则，
所以当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，
所以，所以，
设点处的切线方程为，
则，即，
所以为“切线支撑”函数，
综上可得，实数的取值范围为．
1 / 12025届上海市敬业中学高三高考三模考试数学试题
1．（2025·上海市模拟）不等式的解集为　 　.
2．（2025·上海市模拟）函数的定义域为　 　.
3．（2025·上海市模拟）双曲线的渐近线方程为　 　．
4．（2025·上海市模拟）已知，则　 　.
5．（2025·上海市模拟）已知集合，，则　 　.
6．（2025·上海市模拟）二项式展开式中的常数项为　 　.（用数字作答）
7．（2025·上海市模拟）设复数（为虚数单位），则的最大值为　 　.
8．（2025·上海市模拟）若向量，满足，，且，则向量，的夹角大小为　 　.
9．（2025·上海市模拟）已知数列的通项公式为（为正整数），则数列的前项和的最小值为　 　.
10．（2025·上海市模拟）如图，、是椭圆：与双曲线：的公共焦点，A、B分别是、在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是　 　.
11．（2025·上海市模拟）某工厂有甲、乙、丙三条生产线同时生产同一产品，这三条生产线生产产品的次品率分别为，假设这三条生产线产品产量的比为，现从这三条生产线上随机任意选取100件产品，则次品数的数学期望为　 　.
12．（2025·上海市模拟）已知正四棱锥的侧棱长为，则当该正四棱锥的体积最大时，它的高等于　 　.
13．（2025·上海市模拟）若复数（为虚数单位），则（　　）
A．在复平面对应的点位于第四象限
B．
C．
D．
14．（2025·上海市模拟）为了研究某种商品的广告投入和收益之间的相关关系，某研究小组收集了5组样本数据如表所示，得到线性回归方程为，则当广告投入为10万元时，收益的预测值为（　　）万元．
/万元 1 2 3 4 5
/万元 0.50 0.80 1.00 1.20 1.50
A．2.48 B．2.58 C．2.68 D．2.88
15．（2025·上海市模拟）已知球O的表面积为，球面上有A，B，C，D四点，，，与平面所成的角均为，若是正三角形，则（　　）
A． B． C．2 D．3
16．（2025·上海市模拟）过点向曲线：（为正整数）引斜率为的切线，切点为，则下列结论不正确的是（　　）
A． B．
C．数列的前项和为 D．
17．（2025·上海市模拟）在中，角，，所对边的边长分别为，，，且满足
（1）求角的值；
（2）若，求周长的最大值.
18．（2025·上海市模拟）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，，是底面半径，，为劣弧的中点.
（1）证明：平面；
（2）若圆锥底面半径为1，高为2，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
19．（2025·上海市模拟）为了研究高三年级学生的性别和身高是否大于的关联性，随机调查了某中学部分高三年级的学生，整理得到如下列联表 （单位：人)：
性别 身高 合计
低于 不低于
女 14 5 19
男 8 10 18
合计 22 15 37
（1）依据的独立性检验，能否认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联
（2）从身高不低于的15 名学生中随机抽取三名学生，设抽取的三名学生中女生人数为，求的分布列及期望.
（3）若低于的8 名男生身高数据的平均数为，方差为，不低于的10名男生身高数据的平均数为，方差为 .请估计该中学男生身高数据的平均数和方差.
附： .
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
20．（2025·上海市模拟）已知抛物线，点在上，为常数，，按如下方式依次构造点，过点作轴的垂线交于点，过且斜率为的直线与的另一个交点为.记的坐标为.
（1）当时，求；
（2）设，证明：数列是等差数列；
（3）设为的面积，证明：为定值.
21．（2025·上海市模拟）已知定义在上的函数的图像上存在，两点，记直线的方程为，若直线恰为曲线的一条切线（，为切点），且对上的任意的，均有，则称函数为“切线支撑”函数.
（1）试判断函数是否为“切线支撑”函数.若是，写出一组点，；否则，请说明理由；
（2）证明：函数为“切线支撑”函数；
（3）已知为“切线支撑”函数，求实数的取值范围
答案解析部分
1．【答案】
【知识点】不等式的解集
【解析】【解答】解：由题意可得，，解得，
所以不等式的解集为，
故答案为：.
【分析】将分式不等式 转化为求解即可.
2．【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：由题意可知，，解得且x≠2，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
【分析】根据被开根数非负性以及分母不为零列不等式组求解即可求得函数的定义域.
3．【答案】y=±2x（±2x+y=0，或2x±y=0或±2x-y=0）
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由双曲线方程可知，，则
渐近线方程.
故答案为：y=±2x（±2x+y=0，或2x±y=0或±2x-y=0）
【分析】根据题意由双曲线的简单性质求出a与b的取值，从而即可得出渐近线的方程。
4．【答案】
【知识点】二倍角的余弦公式；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】利用诱导公式可得，进而利用二倍角的余弦公式代入数值求解即可.
5．【答案】
【知识点】交集及其运算；函数的定义域及其求法；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：因为，所以，所以集合.
因为，所以，所以集合.
所以.
故答案为：.
【分析】先分别求出集合与集合，再根据交集的定义求出即可.
6．【答案】
【知识点】二项展开式
【解析】【解答】解：二项式展开式通项为，
令4-2k=0，解得k=2，
所以二项式展开式中的常数项为.
故答案为：.
【分析】先求得二项式展开式的通项，进而令x的指数为0，求得对应的k的值，再计算即可求得常数项.
7．【答案】3
【知识点】复数的模；含三角函数的复合函数的值域与最值；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：由题意可得，.
所以
因为的取值范围是，所以当时，取得最大值.
此时.
所以的最大值为，即的最大值为.
故答案为：.
【分析】根据题意先求得z-2i，进而根据复数的模的计算公式求出的表达式，再结合三角函数的性质求出其最大值即可.
8．【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：由题意可知，，即，解得，
所以，
因为，所以.
故答案为：.
【分析】根据数量积的运算律可得，进而利用夹角公式即可求得向量，的夹角 .
9．【答案】
【知识点】数列的前n项和
【解析】【解答】解：由题意可知，数列 为单调递增的数列，
当时，当时，
所以当n=3时， 前项和取得最小值，最小值为.
故答案为：.
【分析】根据数列的单调性，结合数列通项的正负可知当n=3时， 前项和取得最小值，进而求出S3的值即可.
10．【答案】
【知识点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：因为，所以，
由题意可知，解得，
因为四边形为矩形，所以，
由勾股定理可知，，
即，解得，
所以的离心率.
故答案为：.
【分析】利用双曲线方程求出焦点坐标，再利用双曲线、椭圆的定义列方程组可知，结合矩形的条件列式求出，进而根据离心率的公式即可求得C1的离心率.
11．【答案】
【知识点】二项分布；全概率公式
【解析】【解答】解：记“选取的产品为次品”为事件B，"此件次品来自甲生产线"为事件，“此件次品来自乙生产线”为事件，“此件次品来自丙生产线”为事件，
由题意可得，，，
由全概率的公式可得，
从这三条生产线上随机任意选取1件产品为次品数的概率为，
则任意选取100件产品，设次品数为，则，所以.
故答案为：.
【分析】记“选取的产品为次品”为事件B，"此件次品来自甲生产线"为事件，“此件次品来自乙生产线”为事件，“此件次品来自丙生产线”为事件，由题意可得，，，再利用全概率公式求出，任意选取100件产品，设次品数为，则，结合二项分布的期望公式求解即可.
12．【答案】3
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设正四棱锥的底面边长为a，高为h，则，
设，连接，
易得，平面，
因为平面，所以.
在中，，所以，
所以正四棱锥的体积，
令，所以，
令，解得；令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，正四棱锥的体积取得最大值.
故答案为：3.
【分析】设正四棱锥的底面边长为a，高为h，根据勾股定理可得，根据棱锥的体积公式可得，利用导数判断函数单调性从而求得体积取最大值时正四棱锥的高.
13．【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的加减运算；共轭复数；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：
A、复数在复平面内对应的点为，位于第四象限，故选项A正确；
B、，故选项B错误；
C、，故选项C错误；
D、，故选项D错误.
故选：A.
【分析】先利用复数的除法法则求得，根据复数的几何意义即可判断选项A；根据共轭复数的概念即可判断选项B；利用复数的减法运算即可判断选项C；利用复数的乘法运算即可判断选项D.
14．【答案】C
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】解：由题意可知，，
所以样本数据中心点为：
代入回归方程得，解得：，
所以线性回归方程为
所以当时，．
故选：C.
【分析】求得样本中心点，代入回归方程中可求得，进而可得到回归方程的表达式，计算即可求得当广告投入为10万元时收益的预测值 .
15．【答案】D
【知识点】棱锥的结构特征；球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：由题意可得，
三棱锥为正三棱锥，球O为该正三棱锥的外接球，
设其半径为，
因为球O的表面积为，
所以，
设，则正的边长为，
取中点，连接，作，根据正三棱锥的性质可知球心O在上，
如下图所示：
根据线面角的定义知，则，
因为，，
所以，
在中，，
所以，
解得或，
则，
故答案为：D.
【分析】由题意可得三棱锥为正三棱锥，则正三棱锥的外接球的球心在高线上，从而作出图形，根据外接球的表面积求出外接球的半径为，，则根据线面角的定义得出，再根据勾股定理列出关于的等式，从而解出的值，进而得出AB的长.
16．【答案】C
【知识点】对数的性质与运算法则；余弦函数的性质；直线与圆锥曲线的综合问题；数列的前n项和
【解析】【解答】解：A、设直线，
联立，消y整理得，
由题意可知，，解得（负值舍去），故选项A正确；
B、所以，
所以，故选项B正确；
C、所以，所以，
所以，故选项C错误；
D、因为，，
所以，
设，则，
可得在上单调递增，
则时，，
又，则，故选项D正确.
故选：C.
【分析】设直线，联立消元可得一元二次方程，进而由列式求得kn即可判断选项A；解一元二次方程即可求得进而求得切点横坐标，结合对数的运算法则计算即可判断选项B；利用方程求得切点纵坐标，进而可求得，结合等差数列的求和公式计算可判断选项C；令，结合导数可得在上单调递增，进而可判断选项D.
17．【答案】（1）解：由正弦定理可得，即
由余弦定理可得，
因为所以

（2）解：由余弦定理可知， ，所以
所以
所以，当且仅当时，等号成立，
所以
所以三角形的周长的最大值为
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）通过正弦定理进行边角互化可得，再利用余弦定理即可求得cosC的值，进而可求出角的值.
（2）根据余弦定理得到关于、的等式，然后结合基本不等式求出的取值范围，进而得出三角形周长的最大值.
（1）因 ，
利用正弦定理：整理得
由于故
（2）由于利用余弦定理： ，
所以利用基本不等式：
整理得：，(当且仅当时，等号成立）
所以
故三角形的周长的最大值为
18．【答案】（1）证明：如图所示，连接，
因为点是劣弧的中点，，
所以.
因为，所以为等边三角形.
所以，所以，
因为平面，不在平面上，
所以平面.
（2）解：如图所示，过点作交于点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系
所以、、、，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
所以，令，则x1=4，y1=0，
所以，
设平面的一个法向量为，
所以，令，则，，
所以，
所以，
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】（1）根据已知条件可证得，进而可知，根据线面平行的判定定理即可证得平面 ；
（2）首先建立空间直角坐标系，先求得平面和平面的法向量，进而利用夹角公式即可求得平面与平面所成锐二面角的余弦值 .
（1）连接，如图所示.
因为点是劣弧的中点，，
所以.
因为，所以为等边三角形.
所以，根据内错角相等，两直线平行，
所以，因为平面，而不在平面上，
所以平面.
（2）过点作交于点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示.
则、、、，
设平面的一个法向量为，，，
则，取，则，
设平面的一个法向量为，，，
则，取，可得，，则，
所以，，
因此，当四边形面积最大时，平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
19．【答案】（1）解：零假设：该中学高三年级学生的性别与身高无关联
由题意可得，，
根据小概率值的独立性检验可知零假设不成立，可以认为性别与身高有关联
（2）解：由题意可得随机变量的所有可能取值为，
所以
所以随机变量的分布列为：
0 1 2 3
所以，期望为.
（3）解：由题意知，18名男生身高数据的平均数，
18 名男生身高数据的方差
，
所以，该中学男生身高数据的平均数为174，方差为59.
【知识点】用样本的数字特征估计总体的数字特征；独立性检验；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；超几何分布
【解析】【分析】（1）先提出零假设，进而根据列联表中的数据求得，再结合附表即可得出结论
（2）根据题意，得到变量的所有可能取值为，利用超几何分布求得相应的概率，得出分布列，再利用期望的公式即可求出；
（3）根据题意，结合分层抽样的平均数和方差的计算公式求得18名男生身高数据的平均数和方差，即可估计该中学男生身高数据的平均数和方差. .
（1）解：零假设：该中学高三年级学生的性别与身高无关联
根据列联表中的数据，经计算得，
由此可知根据小概率值的独立性检验，零假设不成立，
可以认为性别与身高有关联
（2）解：由题意，可得随机变量的可能取值为，
可得
所以随机变量的分布列为：
0 1 2 3
所以，期望为，
（3）解：由题意知，18名男生身高数据的平均数，
18 名男生身高数据的方差
，
所以，该中学男生身高数据的平均数为174，方差为59.
20．【答案】（1）解：
因为点在上，所以，解得，
所以的坐标为，所以直线的方程为：，
联立，整理得y2-y-2=0，解得y=2或y=-1，
当y=2时，x=2，
所以.

（2）证明：法一：由题意知的坐标为，所以，
又因为，
两式相减得，即，
由题意知，可得，
所以数列是以1为首项，为公差的等差数列，
所以，可得，
所以，
可得，所以数列是等差数列.
法二：
由题意知的坐标为，
所以直线的方程为，
由，可得，
由题意知是直线与的公共点，所以，
所以数列是以1为首项，为公差的等差数列，
所以，可得，
所以，
所以，所以数列是等差数列.
（3）证明：法一：的三个顶点为，
因为，两式相减得，即，
所以直线的斜率为，
可得，
直线的方程为，
即，
设到直线的距离为，则
所以，
所以为定值.
法2：
的三个顶点为，
可得，
，
所以
，
所以为定值.
法3：
要证为定值，只需证，
即证与面积相等，
因为，两式相减得，
即，
所以直线的斜率为，
同理可得直线的斜率为
所以，可得点到直线的距离相等，
所以，即为定值.
【知识点】等差数列概念与表示；平面内点到直线的距离公式；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由点在列式即可求得，根据直线的方程联立抛物线方程即可求得；
（2）由点差法可得，进而，确定是等差数列，可得，进而依次得到，进而可得，即得，即可证得数列是等差数列 ；
（3）由，由点差法可，
进而可得直线的斜率为，可得，由直线的方程为，可得到直线的距离为，进而，即可证得为定值. .
（1）
因为点在上，所以，解得，
由题意知的坐标为，直线的方程为：，
由，整理得，解得.
（2）法一：由题意知的坐标为，
所以，又，
两式相减得，即，
由题意知，可得，
所以数列是以1为首项，为公差的等差数列，
所以，可得，
所以，
可得，所以数列是等差数列.
法二：
由题意知的坐标为，
所以直线的方程为，
由，可得，
由题意知是直线与的公共点，所以，
所以数列是以1为首项，为公差的等差数列，
所以，可得，
所以，
所以，所以数列是等差数列.
（3）法一：的三个顶点为，
因为，两式相减得，即，
所以直线的斜率为，
可得，
直线的方程为，
即，
设到直线的距离为，则
所以，
所以为定值.
法2：
的三个顶点为，
可得，
，
所以
，
所以为定值.
法3：
要证为定值，只需证，
即证与面积相等，
因为，两式相减得，
即，
所以直线的斜率为，
同理可得直线的斜率为
所以，可得点到直线的距离相等，
所以，即为定值.
21．【答案】（1）解：，显然，
令，即，
所以，，解得，
所以，是的极小值点，且为曲线的一条切线，
所以函数是“切线支撑”函数，
可取，．
（2）证明：证明：因为，
设，，
所以，点处的切线方程为和，
所以，
所以，，
不妨取，，所以，
所以解得，，所以，
不妨取．所以切线的方程为，
又，所以函数为“切线支撑”函数．
（3）解：当时，，所以在上为增函数，所以切点，不可能都在轴的右侧；当时，，所以在上为增函数，所以切点，不可能都在轴的左侧；
所以切点，必在轴的两侧．
不妨设，，，
当时，，
所以点处的切线方程为，
即；
当时，，所以点处的切线方程为，
即，
因为，两点处的切线重合，所以，所以，
设，，
所以，所以在上单调递增，
又当时，，所以，即，
设点处的切线方程为，
设，
则，
所以当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，
所以，所以，
设点处的切线方程为，
则，即，
所以为“切线支撑”函数，
综上可得，实数的取值范围为．

【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；辅助角公式
【解析】【分析】（1）先由降幂公式二倍角的余弦公式和辅助角公式可得，根据正弦函数即可得到，令可得，根据函数性质和定义可知，是的极小值点，且为曲线的一条切线，进而即可求得A，B坐标；
（2）对函数 进行求导，由函数新定义结合导数的意义得到，点处的切线方程，再结合正弦函数的性质即可证得函数为“切线支撑”函数；；
（3）先由导数分析单调性得到切点，必在轴的两侧，再利用导数的意义得到切线方程，然后结合函数新定义构造函数，分析单调性得到极值．
（1），
显然，
令，得，，即，
所以，是的极小值点，且为曲线的一条切线，
所以函数是“切线支撑”函数，
可取，．
（2）证明：因为，设，，
所以，点处的切线方程为和，
所以，
所以，，
不妨取，，则，即，，
所以，不妨取．则切线的方程为，
又，所以函数为“切线支撑”函数．
（3）当时，，所以在上为增函数，所以切点，不可能都在轴的右侧；
当时，，所以在上为增函数，所以切点，不可能都在轴的左侧；
所以切点，必在轴的两侧．
不妨设，，，
当时，，所以点处的切线方程为，
即；
当时，，所以点处的切线方程为，
即，
因为，两点处的切线重合，所以，
设，，则，
所以在上单调递增，
又当时，，所以，即，
设点处的切线方程为，
设，
则，
所以当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，
所以，所以，
设点处的切线方程为，
则，即，
所以为“切线支撑”函数，
综上可得，实数的取值范围为．
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