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2025届广东省阳江市阳西县高三模拟预测数学试题
1．（2025·阳西模拟）若集合，则（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·阳西模拟）已知向量，，若，则实数（　　）
A．1 B．2 C． D．4
3．（2025·阳西模拟）在中，点D为边BC上一点，且，设，，试用，表示（　　）．
A． B．
C． D．
4．（2025·阳西模拟）小明同学在如下图所示的“汉诺塔”游戏中发现了数列递推的奥妙：有A、B、C三个木桩，A木桩上套有编号分别为1、2、3、4、5、6的六个圆环，规定每次只能将一个圆环从一个木桩移动到另一个木桩，且任意一个木桩上不能出现“编号较大的圆环在编号较小的圆环之上”的情况，现要将这六个圆环全部套到B木桩上，则所需的最少的次数为（　　）
A．31 B．63 C．127 D．128
5．（2025·阳西模拟）已知锐角，满足，则的最小值为（　　）
A．2 B． C． D．
6．（2025·阳西模拟）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示，轴，轴，，则的原图形的面积为（　　）
A．5 B．10 C． D．
7．（2025·阳西模拟）投篮测试中，每人投2次，至少投中1次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（　　）
A．0.24 B．0.48 C．0.84 D．0.94
8．（2025·阳西模拟）已知函数在处取得极小值，则m的值为（　　）
A． B．1 C．或1 D．或2
9．（2025·阳西模拟）已知函数（　　）
A．若在上单调递增，则实数的取值范围是
B．若在上存在单调递减区间，则实数的取值范围是
C．当在区间上不单调，则实数的取值范围是
D．若的单调递减区间为，则.
10．（2025·阳西模拟）在锐角中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且.则下列说法正确的是（　　）
A．
B．角B的范围是
C．若的平分线交BC于D，，，则
D．的取值范围是
11．（2025·阳西模拟）已知球O是棱长为2的正方体的外接球，为球O的直径，点P为该正方体表面上的一动点，则下列说法中正确的是（　　）
A．当P为中点时，直线与所成角的余弦值为
B．当三棱锥的体积为时，点P轨迹的长度为2
C．的最小值为
D．的最大值为
12．（2025·阳西模拟）在中，，，分别是角，，的对边，已知，的面积，点是线段的中点，点在线段上，且，线段与线段交于点，若点是三角形的重心，则的最小值为　 　.
13．（2025·阳西模拟）不等式 ＜1的解集为　 　
14．（2025·阳西模拟）已知全集，实数满足，集合，，则　 　.
15．（2025·阳西模拟）在中，角，，，所对边分别为，，，已知，且
（1）求
（2）若为边的中点，且，，求的面积.
16．（2025·阳西模拟）如图1，已知椭圆Γ的方程为和椭圆其中A，B分别是椭圆τ的左右顶点．若A，B恰好为椭圆Γ的两个焦点，椭圆Γ和椭圆τ有相同的离心率．
（1）求椭圆Γ的方程；
（2）如图2，若P是椭圆τ上一点，射线AP，BP分别交椭圆于，N，连接AN，BM（P，M，N均在x轴上方）．求证：NB，MA斜率之积为定值，求出这个定值；
（3）在（2）的条件下，若，且两条平行线的斜率为求正数k的值．
17．（2025·阳西模拟）如图，在四棱锥中，平面，底面四边形为直角梯形，，，，是的中点，是上的一点.
（1）证明：平面平面；
（2）若异面直线和垂直，求二面角的正弦值.
18．（2025·阳西模拟）小张同学入读某大学金融专业，过完年刚好得到红包20000元，她计划以此作为启动资金进行理财投资，每月月底获得的投资收益是该月月初投入资金的，并从中拿出1000元作为自己的生活费，余款作为资金全部投入下个月，如此继续．设第个月月底的投资总资金为．
（1）求数列的通项公式；
（2）如果小张同学想在第二年过年的时候给爷爷买一台全身按摩椅（商场标价为41388元），将一年后投资总资金全部取出来是否足够？
19．（2025·阳西模拟）已知数列与都是等差数列，其前项和分别为与，且，，，.
（1）求数列与的通项公式；
（2）求数列的前项和.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】交、并、补集的混合运算；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：已知得，即，解得，
所以，则，
所以.
故答案为：D
【分析】先利用分式不等式的解法求出集合，再利用交集和补集的定义即可求解解
2．【答案】C
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，所以，解得.
故答案为：C.
【分析】利用向量共线的坐标表示可得，求解即可求解.
3．【答案】D
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：由题意，画出图象如图所示：
可得．
故答案为：D．
【分析】利用平面向量的线性运算即可求解．
4．【答案】B
【知识点】数列的递推公式
【解析】【解答】解：当时，即只有个圆环，从一个木桩移动到另一个木桩，只需移动次，
所以.
当时，要把个圆环从木桩移动到木桩，我们可以先把上面个圆环从木桩借助木桩移动到木桩，这需要次；
然后把最大的第个圆环从木桩移动到木桩，这需要次；
最后再把木桩上的个圆环借助木桩移动到木桩，这又需要次.
所以可得递推公式.
由，变形可得.
那么数列是以为首项，为公比的等比数列.
根据等比数列通项公式可得，所以.
当时，将其代入，可得.
故答案为：B.
【分析】当时可得，当时的递推公式可得，再利用递推公式求出即可求解.
5．【答案】C
【知识点】基本不等式；两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】解：已知，可得，即，
所以，
则
，
当且仅当时，即，即时，
也就是时，等号成立.
故答案为：C
【分析】由题意可得，再利用基本不等式即可求解.
6．【答案】B
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：已知如图所示：
根据斜二测画法可知，轴，且，
原图形为，其中，且，
则的面积为．
故答案为：B
【分析】先利用斜二测画法将直观图还原为原图，再利用三角形的面积公式即可求解；
7．【答案】C
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件
【解析】【解答】解：由题意可知，该同学两次投篮都不中的概率为，
所以该同学通过测试的概率为.
故选：C.
【分析】利用相互独立事件的概率公式先求得两次投篮都不中的概率，进而利用对立事件即可求得投2次至少投中1次的概率，即求得该同学通过测试的概率.
8．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：求导得，则，
解得：或，
当时，，
由于，，，，
所以函数在时有极小值，
当时，，
由于，，，，
所以函数在时有极大值，故舍去，
故答案为：A.
【分析】先求导可得，再利用极值点的导数值为0，再进行检验即可求解.
9．【答案】A,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由函数可知：函数的定义域为，
求导可得.
A、因为在上单调递增，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
分离出参数，可得在上恒成立.
又因为二次函数在上单调递增，
所以在上，
所以，故A正确.
B、因为在上存在单调递减区间，
所以在上有解，即在上有解，
分离出参数，可得在上有解.
又因为二次函数在上单调递增，
所以在上，
所以，故B错误.
C、当时，.
令，解得.
因为在区间上不单调，
所以导数在区间上有极值点，
则，解得：，故选项C错误.
对于选项D：因为的单调递减区间为，
所以是的一个根，即，
解得：，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】由在上单调递增，可得在上恒成立，分离出参数可得，再利用二次函数的单调性可求出实数的范围即可判断A；利用在上存在单调递减区间，可得在上有解，分离出参数，再利用二次函数的单调性可求出实数的范围即可判断B；当时，得出，利用在区间上不单调，列出关于的不等式组，求出实数的范围即可判断C；利用的单调递减区间为，可知是的一个根，即可判断D.
10．【答案】A,C,D
【知识点】函数单调性的性质；简单的三角恒等变换；正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：利用正弦边化角可得，
所以，
A、又且，
所以，故A正确；
B、由上，可得，故B错误；
C、如下图示，设，则，，
由，则，且，
则，
所以，
而，且，则，所以，故C正确；
D、已知如图所示：
由，
而，且在上单调递增，
则值域为，故D正确.
故答案为：ACD
【分析】利用正弦定理可得，结合三角形内角的性质即可判断A；由A结论及三角形内角和列不等式即可判断B；设，则，，可得，利用三角恒等变换化简求值即可判断C；利用，结合B分析即可得范围即可判断D.
11．【答案】A,C,D
【知识点】平面向量的数量积运算；平行公理；球内接多面体；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：取线段的中点，连接，如图所示：
A、已知为线段中点，结合正方体的性质可知，，
且，
则四边形为平行四边形，则，
则直线与所成角的为或其补角，
容易得，
则在中利用余弦定理可得，，
则直线与所成角的余弦值为，故A正确；
B、连接，设点到平面的距离为，如图所示：
容易得的面积为，
由题意可得，得，
由正方体的性质可知，平面，
又平面，则，
又，，平面，则平面，
因，则点到平面的距离均为，
因，平面，平面，则平面，
同理可得平面，
因点P为该正方体表面上的一动点，则点的轨迹为线段，轨迹长度为，故B错误；
C、依题意可知即为正方体的中心如图所示：
，
又因为为球的直径，所以，
即可得，
又易知当点为正方体侧面的中心时，最小，最小值为，
则的最小值为，故C正确；
D、
，
则当时，取最大值，最大值为，故D正确.
故答案为：ACD
【分析】取线段的中点，利用平行公理可得，在中利用余弦定理可得即可判断A；先利用等体积可得，再利用线面垂直的判定定理可得平面，再结合点到平面的距离均为，即可判断B；利用向量的加法运算以及数量积的运算律得出，再利用点P在正方体的侧面运动可得的最小值即可判断C；利用数量积的定义即可判断D.
12．【答案】
【知识点】基本不等式；平面向量的基本定理；正弦定理
【解析】【解答】解：已知，
由正弦定理可得，整理得，
故，
因为，所以，
又因为，所以，
已知如图所示：
由题意可得，，
因为，，三点共线，
故可设，
又因，，三点共线，故，即，
所以，
因为，
所以，
于是，即
两边平方得：，
当且仅当时等号成立，
故，即，
所以的最小值为，
故答案为：.
【分析】先利用正弦定理进行边角互化可得，再利用余弦定理可得，再利用三角形面积公式可得，利用三点共线可得，，两边平方可得最后利用基本不等式即可求解.
13．【答案】（1，+∞）∪（﹣∞，0）
【知识点】其他不等式的解法
【解析】【解答】解：原不等式等价于 ，即x（x﹣1）＞0，
所以不等式的解集为（1，+∞）∪（﹣∞，0）；
故答案为：（1，+∞）∪（﹣∞，0）
【分析】首先移项通分，等价变形为整式不等式解之
14．【答案】
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：因为，则或，
又a＞b＞0，所以，所以，
故答案为：.
【分析】根据补集的运算先求出或，进而由a＞b＞0可知，再根据交集定义即可求得 ．
15．【答案】（1）解：因为，
由正弦定理得：，
则，
所以，
则
所以，，
或，，
则或，
又因为，所以，
所以，
则.
（2）解：在中，由余弦定理得：，所以①，
因为D为AB边的中点，
所以，
所以，
所以②，
②-①得：，
所以.

【知识点】简单的三角恒等变换；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由正弦定理将边转换角，再结合二倍角公式和辅助角公式以及三角形中边角关系、三角形内角和定理，从而得出角C的值.
（2）利用余弦定理和中线的性质，结合平面向量基本定理和数量积求向量的模的公式以及数量积的运算律，从而得出ab的值，再结合三角形的面积公式得出的面积.
（1）因为，由正弦定理得：，
则，
所以，则
所以，，或，，则，或，
又因为，所以，所以，故.
（2）在中由余弦定理得：，所以①，
因为D为AB边的中点，所以，
所以，
所以②，
②-①得：，
所以.
16．【答案】（1）解：由椭圆的方程可知，椭圆的离心率为，，
设椭圆的半焦距为，
由已知，，
所以，，
所以椭圆的方程为.
（2）解：设，则，的斜率即的斜率，的斜率即的斜率，
因为，，，
所以，
所以，斜率之积为定值，且定值为.
（3）解：设，由于，所以，
设直线方程为，直线方程为，
联立得：，
联立，，
因为且，
所以是方程的两个实数根，恒成立
，则，
，
整理得，
，
解得，又，
所以.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用椭圆是几何性质列关于的关系式，即可求解；
（2）设点坐标，用斜率的公式可得，再利用点P在椭圆上即可求解；
（3）设，联立方程组可得，利用根与系数关系和第二问的结论即可求解.
（1）由椭圆的方程可知，椭圆的离心率为，，
设椭圆的半焦距为，
由已知，，
所以，，
所以椭圆的方程为.
（2）设，则，的斜率即的斜率，的斜率即的斜率，
因为，，，
所以，
所以，斜率之积为定值，且定值为.
（3）设，由于，所以，
设直线方程为，直线方程为，
联立得：，
联立，，
因为且，
所以是方程的两个实数根，恒成立
，则，
，
整理得，
，
解得，又，
所以.
17．【答案】（1）证明：由题知，，
因为平面，平面，
所以，
因为平面，
所以平面，又平面，
所以，
又是中点，
所以，又平面，
所以平面，
又平面，
所以平面平面.
（2）解：由题知，以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系如图所示：
过作，因为，所以，
则，设，
则，即，
又，即，
所以，
所以，即，
则，
设平面的一个法向量，
平面的一个法向量，
则，取，可得，
又，可得，
取，可得，
令平面与平面的夹角为，
则，
所以，
即二面角的正弦值为.
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）利用线面垂直的性质定理可得，再利用等腰三角形三线合一可得，再利用面面垂直的判定定理即可得证；
（2）根据题目建立空间直角坐标系，设出点，利用和垂直以及在上，可得，再利用空间向量可得平面的一个法向量法求，平面的一个法向量，再利用二面角公式即可求解.
（1）由题知，，
因为平面，平面，
所以，
因为平面，
所以平面，又平面，
所以，
又是中点，
所以，又平面，
所以平面，
又平面，
所以平面平面.
（2）由题知，以为原点，所在直线分别为轴，
建立空间直角坐标系如图所示，
过作，因为，
所以，
则，设，
则，即，
又，即，
所以，
所以，即，
则，
设平面的一个法向量，
平面的一个法向量，
则，取，可得，
又，可得，
取，可得，
令平面与平面的夹角为，
则，
所以，
即二面角的正弦值为.
18．【答案】（1）解：依题意，第1个月底的投资总金额为
，可化为
可化为
又，
所以数列是首项为11000，公比为1.1的等比数列，
可得
故数列的通项公式为
（2）解：由（1）知
有
所以小张同学将一年理财投资总资金全部取出来是不够的．
【知识点】数列的求和；等比数列的实际应用
【解析】【分析】（1）由题意可得，再利用变形可得数列是首项为11000，公比为1.1的等比数列，再利用等比数列的通项公式即可求解；
（2）先求出=41350与41388比较大小即可求解.
（1）依题意，第1个月底的投资总金额为
，可化为
可化为
又，
所以数列是首项为11000，公比为1.1的等比数列，
可得
故数列的通项公式为
（2）由（1）知
有
所以小张同学将一年理财投资总资金全部取出来是不够的．
19．【答案】（1）解：设等差数列与的公差分别为、，
由，可得，解得，
所以，
由，，即，
所以，则，又，
所以，则；
（2）解：由（1）可得，
所以，
则，
所以
，
所以.
【知识点】数列的求和；等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】（1）设等差数列与的公差分别为、，再由题意可得，再利用等差数列的通项公式即可求解；
（2）由（1）可得，设，再利用错位相减法计算即可求解.
（1）设等差数列与的公差分别为、，
由，可得，解得，
所以，
由，，即，
所以，则，又，
所以，则；
（2）由（1）可得，
所以，
则，
所以
，
所以.
1 / 12025届广东省阳江市阳西县高三模拟预测数学试题
1．（2025·阳西模拟）若集合，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】交、并、补集的混合运算；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：已知得，即，解得，
所以，则，
所以.
故答案为：D
【分析】先利用分式不等式的解法求出集合，再利用交集和补集的定义即可求解解
2．（2025·阳西模拟）已知向量，，若，则实数（　　）
A．1 B．2 C． D．4
【答案】C
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，所以，解得.
故答案为：C.
【分析】利用向量共线的坐标表示可得，求解即可求解.
3．（2025·阳西模拟）在中，点D为边BC上一点，且，设，，试用，表示（　　）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：由题意，画出图象如图所示：
可得．
故答案为：D．
【分析】利用平面向量的线性运算即可求解．
4．（2025·阳西模拟）小明同学在如下图所示的“汉诺塔”游戏中发现了数列递推的奥妙：有A、B、C三个木桩，A木桩上套有编号分别为1、2、3、4、5、6的六个圆环，规定每次只能将一个圆环从一个木桩移动到另一个木桩，且任意一个木桩上不能出现“编号较大的圆环在编号较小的圆环之上”的情况，现要将这六个圆环全部套到B木桩上，则所需的最少的次数为（　　）
A．31 B．63 C．127 D．128
【答案】B
【知识点】数列的递推公式
【解析】【解答】解：当时，即只有个圆环，从一个木桩移动到另一个木桩，只需移动次，
所以.
当时，要把个圆环从木桩移动到木桩，我们可以先把上面个圆环从木桩借助木桩移动到木桩，这需要次；
然后把最大的第个圆环从木桩移动到木桩，这需要次；
最后再把木桩上的个圆环借助木桩移动到木桩，这又需要次.
所以可得递推公式.
由，变形可得.
那么数列是以为首项，为公比的等比数列.
根据等比数列通项公式可得，所以.
当时，将其代入，可得.
故答案为：B.
【分析】当时可得，当时的递推公式可得，再利用递推公式求出即可求解.
5．（2025·阳西模拟）已知锐角，满足，则的最小值为（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【知识点】基本不等式；两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】解：已知，可得，即，
所以，
则
，
当且仅当时，即，即时，
也就是时，等号成立.
故答案为：C
【分析】由题意可得，再利用基本不等式即可求解.
6．（2025·阳西模拟）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示，轴，轴，，则的原图形的面积为（　　）
A．5 B．10 C． D．
【答案】B
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：已知如图所示：
根据斜二测画法可知，轴，且，
原图形为，其中，且，
则的面积为．
故答案为：B
【分析】先利用斜二测画法将直观图还原为原图，再利用三角形的面积公式即可求解；
7．（2025·阳西模拟）投篮测试中，每人投2次，至少投中1次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（　　）
A．0.24 B．0.48 C．0.84 D．0.94
【答案】C
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件
【解析】【解答】解：由题意可知，该同学两次投篮都不中的概率为，
所以该同学通过测试的概率为.
故选：C.
【分析】利用相互独立事件的概率公式先求得两次投篮都不中的概率，进而利用对立事件即可求得投2次至少投中1次的概率，即求得该同学通过测试的概率.
8．（2025·阳西模拟）已知函数在处取得极小值，则m的值为（　　）
A． B．1 C．或1 D．或2
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：求导得，则，
解得：或，
当时，，
由于，，，，
所以函数在时有极小值，
当时，，
由于，，，，
所以函数在时有极大值，故舍去，
故答案为：A.
【分析】先求导可得，再利用极值点的导数值为0，再进行检验即可求解.
9．（2025·阳西模拟）已知函数（　　）
A．若在上单调递增，则实数的取值范围是
B．若在上存在单调递减区间，则实数的取值范围是
C．当在区间上不单调，则实数的取值范围是
D．若的单调递减区间为，则.
【答案】A,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由函数可知：函数的定义域为，
求导可得.
A、因为在上单调递增，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
分离出参数，可得在上恒成立.
又因为二次函数在上单调递增，
所以在上，
所以，故A正确.
B、因为在上存在单调递减区间，
所以在上有解，即在上有解，
分离出参数，可得在上有解.
又因为二次函数在上单调递增，
所以在上，
所以，故B错误.
C、当时，.
令，解得.
因为在区间上不单调，
所以导数在区间上有极值点，
则，解得：，故选项C错误.
对于选项D：因为的单调递减区间为，
所以是的一个根，即，
解得：，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】由在上单调递增，可得在上恒成立，分离出参数可得，再利用二次函数的单调性可求出实数的范围即可判断A；利用在上存在单调递减区间，可得在上有解，分离出参数，再利用二次函数的单调性可求出实数的范围即可判断B；当时，得出，利用在区间上不单调，列出关于的不等式组，求出实数的范围即可判断C；利用的单调递减区间为，可知是的一个根，即可判断D.
10．（2025·阳西模拟）在锐角中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且.则下列说法正确的是（　　）
A．
B．角B的范围是
C．若的平分线交BC于D，，，则
D．的取值范围是
【答案】A,C,D
【知识点】函数单调性的性质；简单的三角恒等变换；正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：利用正弦边化角可得，
所以，
A、又且，
所以，故A正确；
B、由上，可得，故B错误；
C、如下图示，设，则，，
由，则，且，
则，
所以，
而，且，则，所以，故C正确；
D、已知如图所示：
由，
而，且在上单调递增，
则值域为，故D正确.
故答案为：ACD
【分析】利用正弦定理可得，结合三角形内角的性质即可判断A；由A结论及三角形内角和列不等式即可判断B；设，则，，可得，利用三角恒等变换化简求值即可判断C；利用，结合B分析即可得范围即可判断D.
11．（2025·阳西模拟）已知球O是棱长为2的正方体的外接球，为球O的直径，点P为该正方体表面上的一动点，则下列说法中正确的是（　　）
A．当P为中点时，直线与所成角的余弦值为
B．当三棱锥的体积为时，点P轨迹的长度为2
C．的最小值为
D．的最大值为
【答案】A,C,D
【知识点】平面向量的数量积运算；平行公理；球内接多面体；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：取线段的中点，连接，如图所示：
A、已知为线段中点，结合正方体的性质可知，，
且，
则四边形为平行四边形，则，
则直线与所成角的为或其补角，
容易得，
则在中利用余弦定理可得，，
则直线与所成角的余弦值为，故A正确；
B、连接，设点到平面的距离为，如图所示：
容易得的面积为，
由题意可得，得，
由正方体的性质可知，平面，
又平面，则，
又，，平面，则平面，
因，则点到平面的距离均为，
因，平面，平面，则平面，
同理可得平面，
因点P为该正方体表面上的一动点，则点的轨迹为线段，轨迹长度为，故B错误；
C、依题意可知即为正方体的中心如图所示：
，
又因为为球的直径，所以，
即可得，
又易知当点为正方体侧面的中心时，最小，最小值为，
则的最小值为，故C正确；
D、
，
则当时，取最大值，最大值为，故D正确.
故答案为：ACD
【分析】取线段的中点，利用平行公理可得，在中利用余弦定理可得即可判断A；先利用等体积可得，再利用线面垂直的判定定理可得平面，再结合点到平面的距离均为，即可判断B；利用向量的加法运算以及数量积的运算律得出，再利用点P在正方体的侧面运动可得的最小值即可判断C；利用数量积的定义即可判断D.
12．（2025·阳西模拟）在中，，，分别是角，，的对边，已知，的面积，点是线段的中点，点在线段上，且，线段与线段交于点，若点是三角形的重心，则的最小值为　 　.
【答案】
【知识点】基本不等式；平面向量的基本定理；正弦定理
【解析】【解答】解：已知，
由正弦定理可得，整理得，
故，
因为，所以，
又因为，所以，
已知如图所示：
由题意可得，，
因为，，三点共线，
故可设，
又因，，三点共线，故，即，
所以，
因为，
所以，
于是，即
两边平方得：，
当且仅当时等号成立，
故，即，
所以的最小值为，
故答案为：.
【分析】先利用正弦定理进行边角互化可得，再利用余弦定理可得，再利用三角形面积公式可得，利用三点共线可得，，两边平方可得最后利用基本不等式即可求解.
13．（2025·阳西模拟）不等式 ＜1的解集为　 　
【答案】（1，+∞）∪（﹣∞，0）
【知识点】其他不等式的解法
【解析】【解答】解：原不等式等价于 ，即x（x﹣1）＞0，
所以不等式的解集为（1，+∞）∪（﹣∞，0）；
故答案为：（1，+∞）∪（﹣∞，0）
【分析】首先移项通分，等价变形为整式不等式解之
14．（2025·阳西模拟）已知全集，实数满足，集合，，则　 　.
【答案】
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：因为，则或，
又a＞b＞0，所以，所以，
故答案为：.
【分析】根据补集的运算先求出或，进而由a＞b＞0可知，再根据交集定义即可求得 ．
15．（2025·阳西模拟）在中，角，，，所对边分别为，，，已知，且
（1）求
（2）若为边的中点，且，，求的面积.
【答案】（1）解：因为，
由正弦定理得：，
则，
所以，
则
所以，，
或，，
则或，
又因为，所以，
所以，
则.
（2）解：在中，由余弦定理得：，所以①，
因为D为AB边的中点，
所以，
所以，
所以②，
②-①得：，
所以.

【知识点】简单的三角恒等变换；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由正弦定理将边转换角，再结合二倍角公式和辅助角公式以及三角形中边角关系、三角形内角和定理，从而得出角C的值.
（2）利用余弦定理和中线的性质，结合平面向量基本定理和数量积求向量的模的公式以及数量积的运算律，从而得出ab的值，再结合三角形的面积公式得出的面积.
（1）因为，由正弦定理得：，
则，
所以，则
所以，，或，，则，或，
又因为，所以，所以，故.
（2）在中由余弦定理得：，所以①，
因为D为AB边的中点，所以，
所以，
所以②，
②-①得：，
所以.
16．（2025·阳西模拟）如图1，已知椭圆Γ的方程为和椭圆其中A，B分别是椭圆τ的左右顶点．若A，B恰好为椭圆Γ的两个焦点，椭圆Γ和椭圆τ有相同的离心率．
（1）求椭圆Γ的方程；
（2）如图2，若P是椭圆τ上一点，射线AP，BP分别交椭圆于，N，连接AN，BM（P，M，N均在x轴上方）．求证：NB，MA斜率之积为定值，求出这个定值；
（3）在（2）的条件下，若，且两条平行线的斜率为求正数k的值．
【答案】（1）解：由椭圆的方程可知，椭圆的离心率为，，
设椭圆的半焦距为，
由已知，，
所以，，
所以椭圆的方程为.
（2）解：设，则，的斜率即的斜率，的斜率即的斜率，
因为，，，
所以，
所以，斜率之积为定值，且定值为.
（3）解：设，由于，所以，
设直线方程为，直线方程为，
联立得：，
联立，，
因为且，
所以是方程的两个实数根，恒成立
，则，
，
整理得，
，
解得，又，
所以.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用椭圆是几何性质列关于的关系式，即可求解；
（2）设点坐标，用斜率的公式可得，再利用点P在椭圆上即可求解；
（3）设，联立方程组可得，利用根与系数关系和第二问的结论即可求解.
（1）由椭圆的方程可知，椭圆的离心率为，，
设椭圆的半焦距为，
由已知，，
所以，，
所以椭圆的方程为.
（2）设，则，的斜率即的斜率，的斜率即的斜率，
因为，，，
所以，
所以，斜率之积为定值，且定值为.
（3）设，由于，所以，
设直线方程为，直线方程为，
联立得：，
联立，，
因为且，
所以是方程的两个实数根，恒成立
，则，
，
整理得，
，
解得，又，
所以.
17．（2025·阳西模拟）如图，在四棱锥中，平面，底面四边形为直角梯形，，，，是的中点，是上的一点.
（1）证明：平面平面；
（2）若异面直线和垂直，求二面角的正弦值.
【答案】（1）证明：由题知，，
因为平面，平面，
所以，
因为平面，
所以平面，又平面，
所以，
又是中点，
所以，又平面，
所以平面，
又平面，
所以平面平面.
（2）解：由题知，以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系如图所示：
过作，因为，所以，
则，设，
则，即，
又，即，
所以，
所以，即，
则，
设平面的一个法向量，
平面的一个法向量，
则，取，可得，
又，可得，
取，可得，
令平面与平面的夹角为，
则，
所以，
即二面角的正弦值为.
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）利用线面垂直的性质定理可得，再利用等腰三角形三线合一可得，再利用面面垂直的判定定理即可得证；
（2）根据题目建立空间直角坐标系，设出点，利用和垂直以及在上，可得，再利用空间向量可得平面的一个法向量法求，平面的一个法向量，再利用二面角公式即可求解.
（1）由题知，，
因为平面，平面，
所以，
因为平面，
所以平面，又平面，
所以，
又是中点，
所以，又平面，
所以平面，
又平面，
所以平面平面.
（2）由题知，以为原点，所在直线分别为轴，
建立空间直角坐标系如图所示，
过作，因为，
所以，
则，设，
则，即，
又，即，
所以，
所以，即，
则，
设平面的一个法向量，
平面的一个法向量，
则，取，可得，
又，可得，
取，可得，
令平面与平面的夹角为，
则，
所以，
即二面角的正弦值为.
18．（2025·阳西模拟）小张同学入读某大学金融专业，过完年刚好得到红包20000元，她计划以此作为启动资金进行理财投资，每月月底获得的投资收益是该月月初投入资金的，并从中拿出1000元作为自己的生活费，余款作为资金全部投入下个月，如此继续．设第个月月底的投资总资金为．
（1）求数列的通项公式；
（2）如果小张同学想在第二年过年的时候给爷爷买一台全身按摩椅（商场标价为41388元），将一年后投资总资金全部取出来是否足够？
【答案】（1）解：依题意，第1个月底的投资总金额为
，可化为
可化为
又，
所以数列是首项为11000，公比为1.1的等比数列，
可得
故数列的通项公式为
（2）解：由（1）知
有
所以小张同学将一年理财投资总资金全部取出来是不够的．
【知识点】数列的求和；等比数列的实际应用
【解析】【分析】（1）由题意可得，再利用变形可得数列是首项为11000，公比为1.1的等比数列，再利用等比数列的通项公式即可求解；
（2）先求出=41350与41388比较大小即可求解.
（1）依题意，第1个月底的投资总金额为
，可化为
可化为
又，
所以数列是首项为11000，公比为1.1的等比数列，
可得
故数列的通项公式为
（2）由（1）知
有
所以小张同学将一年理财投资总资金全部取出来是不够的．
19．（2025·阳西模拟）已知数列与都是等差数列，其前项和分别为与，且，，，.
（1）求数列与的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1）解：设等差数列与的公差分别为、，
由，可得，解得，
所以，
由，，即，
所以，则，又，
所以，则；
（2）解：由（1）可得，
所以，
则，
所以
，
所以.
【知识点】数列的求和；等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】（1）设等差数列与的公差分别为、，再由题意可得，再利用等差数列的通项公式即可求解；
（2）由（1）可得，设，再利用错位相减法计算即可求解.
（1）设等差数列与的公差分别为、，
由，可得，解得，
所以，
由，，即，
所以，则，又，
所以，则；
（2）由（1）可得，
所以，
则，
所以
，
所以.
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