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2025届江苏省盐城市建湖县第二中学高三三模数学试题
1．（2025·建湖模拟）“，使”的一个充分不必要条件是（　　）
A． B．
C． D．或
2．（2025·建湖模拟）已知复数，则（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·建湖模拟）的奇偶性是（　　）
A．偶函数 B．奇函数
C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数
4．（2025·建湖模拟）如图，往一个正四棱台密闭容器内倒入的水，水面高度恰好为棱台高度的，且，，则这个容器的容积为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·建湖模拟）已知非零向量满足，向量在向量方向上的投影向量是，则与的夹角为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·建湖模拟）已知过抛物线的焦点F且倾斜角为θ的直线l交C于A，B两点，O为坐标原点，若的面积为，则θ的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
7．（2025·建湖模拟）在的展开式中含项的系数为15，则展开式中二项式系数最大的是第（　　）项
A．2 B．3 C．4 D．5
8．（2025·建湖模拟）设曲线在处的切线与轴交点的横坐标为，则的值为（　　）
A． B．
C． D．1
9．（2025·建湖模拟）已知某品牌汽车某年销量记录如下表所示：
月份x 1 2 3 4 5 6
销量y（万辆） 11.7 12.4 13.8 13.2 14.6 15.3
针对上表数据，下列说法正确的有（　　）
A．销量的极差为3.6
B．销量的60%分位数是13.2
C．销量的平均数与中位数相等
D．若销量关于月份的回归方程为，则
10．（2025·建湖模拟）在中，，则（　　）
A． B．的面积为8
C． D．的内切圆半径是
11．（2025·建湖模拟）已知数列的通项公式为，若数列是递减数列，则实数k不能取的值是（　　）
A． B．0 C．1 D．2
12．（2025·建湖模拟）已知，则　 　.
13．（2025·建湖模拟）若随机事件、满足：，，，则　 　.
14．（2025·建湖模拟）已知函数有三个零点，则实数的取值范围是　 　.
15．（2025·建湖模拟）已知公差的等差数列的前n项的和为，且，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前n项的和.
16．（2025·建湖模拟）已知函数，其中．
（1）当时，求的图象在处的切线方程；
（2）若函数在区间上存在极值，求的取值范围．
17．（2025·建湖模拟）如图，在三棱柱中，分别为的中点.
（1）证明：平面；
（2）若侧面底面，底面是等边三角形，侧面是菱形，且，求直线与侧面所成角的正弦值.
18．（2025·建湖模拟）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A、B，左、右焦点分别为．过右焦点的直线l交椭圆于点M、N，且的周长为16．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）记直线AM、BN的斜率分别为，证明：为定值．
19．（2025·建湖模拟）在中国诗词大会的比赛中，选手需要回答两组题展示自己的诗词储备.
（1）第一组题是情境共答题，参与比赛者需根据情境填写诗句.小王知道该诗句的概率是，且小王在不知道该诗句的情况下，答对的概率是.记事件A为“小王答对第一组题”，事件B为“小王知道该诗句”.
（ⅰ）求小王答对第一组题的概率；
（ⅱ）在小王答对第一组题的情况下，求他知道该诗句的概率.
（2）小王答对第一组题后开始答第二组题.第二组题为画中有诗，该环节共有三道题，每一题答题相互独立，但难度逐级上升，小王知道第n题的诗句的概率仍为，但是在不知道该诗句的情况下，答对的概率为，已知每一题答对的得分表如下（答错得分为0）：
题号 第1题 第2题 第3题
得分 2分 4分 6分
若获得8分及以上则挑战成功，求小王挑战成功的概率.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：当时，有解；
当时，二次函数开口向上，所以有解；
当时，有解，则，
解得；
综上可得；
因为真包含于，
所以“，使”的一个充分不必要条件是.
故答案为：C.
【分析】分、、三种情况讨论，即可求出参数的取值范围，再利用集合的包含关系判断即可求解.
2．【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的加减运算；复数的模
【解析】【解答】解：因为，
所以，
故选： C.
【分析】依复数的除法运算法则先求得复数z，进而根据复数的加法运算法则和复数模的运算计算即可求得|z+i|.
3．【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：因为，，
所以，
所以函数是偶函数.
故选：A.
【分析】先利用诱导公式化简函数可得，进而再结合诱导公式和函数奇偶性的定义即可得出结论.
4．【答案】A
【知识点】台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设水体对应的台体的高为，则水体对应台体的上底面是边长为的正方形，
所以，解得，
所以容器的高为，所以容器的容积为，
故选：A.
【分析】设水体对应的台体的高为，根据条件可知水体对应台体的上底面是边长为的正方形，进而利用台体的体积公式可求出的值，即可知容器的高为，再利用台体的体积公式可求出这个容器的容积.
5．【答案】A
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为向量在向量方向上的投影向量是，
所以，
设非零向量的夹角为，
根据题意，可得，且，
所以．
故答案为：A.
【分析】根据数量积求投影向量的公式，从而可得，再代入数量积求向量夹角公式，从而得出与的夹角.
6．【答案】C
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：由题意，得，
设直线，
联立抛物线，
得，
则，
由韦达定理，得，
则
所以，圆心O到直线的距离为，
所以，
解得，
所以或.
故答案为：C.
【分析】先利用抛物线标准方程得出焦点坐标，再联立直线方程与抛物线方程得出韦达定理式，再利用弦长公式得出AB的长，再结合点到直线的距离公式得出圆心O到直线的距离，则由三角形面积公式和已知条件得出直线的斜率，最后由直线的斜率和直线的倾斜角的关系式，从而得出θ的值.
7．【答案】C
【知识点】二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【解答】解：根据二项式定理可知的展开式的通项为：
.
由已知条件，可得，解得.
根据二项式定理的性质可知，该展开式中二项式系数最大的是第4项.
故答案为：C.
【分析】根据二项式定理得出展开式的通项，再结合已知条件列出方程组，从而求出的值，再结合二项式定理的性质得出展开式中二项式系数最大的项.
8．【答案】A
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：由，
可得，
所以曲线在处的切线方程是，
令，得，
所以
.
故答案为：A．
【分析】先求导，再由导数的几何意义得出切线方程，从而得出，再结合对数运算法则得出的值.
9．【答案】A,C,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；线性回归方程；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：对于A，因为销量的最大值为15.3，最小值为11.7，
所以，极差为，故A正确；
对于B，将销量按照从小到大排列为：，
由，可知销量的60%分位数是第四个数13.8，故B错误；
对于C，因为销量的平均数为，
又因为中位数为，故C正确；
对于D，因为，，
又因为样本中心点在回归直线上，
所以，
解得，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据一组数据的极差定义、百分位数求解方法、平均数公式和中位数求解方法，从而判断出选项A、选项B和选项C；再根据样本点在回归直线上的特征，则可得的值，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
10．【答案】A,B,D
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；二倍角的余弦公式；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：因为，所以，
由余弦定理得：，
所以，故A正确；
因为，
所以，故B正确；
因为，故C错误；
设的内切圆半径为，
则，
所以，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用二倍角的余弦公式得出的值，再利用余弦定理得出的长，则判断出选项A；由得出的值，再结合三角形的面积公式，从而得出的面积，则判断出选项B；利用数量积的定义判断出选项C；设的内切圆半径为，由得出的值，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
11．【答案】A,B
【知识点】函数恒成立问题；数列的函数特性
【解析】【解答】解：由题意和数列是递减数列，
对于一切的恒成立，
则对于一切的恒成立，
所以对于一切的恒成立，
当时，有最大值，
则，
所以.
故答案为：AB.
【分析】根据数列的单调性可知，从而可得，再根据不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数的取值范围.
12．【答案】
【知识点】两角和与差的余弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：由，
可得，
所以，
所以，
所以.
故答案为：.
【分析】利用两角和与差的余弦公式和同角三角函数的商数关系，从而得出的值.
13．【答案】
【知识点】互斥事件的概率加法公式；条件概率
【解析】【解答】解：因为，，
所以，
所以，
由条件概率公式，
可得.
故答案为：.
【分析】利用并事件的概率公式结合已知条件，从而求出的值，再利用条件概率公式得出的值.
14．【答案】
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系；函数极限
【解析】【解答】解：由题意，
可得函数最多只有一个零点，
若零点存在，
则，解得，
由，得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，
当时，，
所以最多有两个零点，
因为有三个零点，
所以有两个零点，
则，
解得，
所以实数的取值范围为。
综上所述：实数的取值范围为.
故答案为：.
【分析】利用已知条件分析出函数的零点个数，再利用导数判断函数的单调性，从而得出其最值，再判断函数在每段上的零点个数，则根据零点分布情况建立不等式组，解不等式组得出实数的取值范围.
15．【答案】（1）解：因为成等比数列，
则，且，
则，
所以，
解得或（舍去），
所以.

（2）解：设数列的前n项的和为，
因为，
所以，
所以
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和；等比中项
【解析】【分析】（1）根据题意结合等比中项和等差数列的通项公式，从而解方程得出公差的值，再利用等差数列的通项公式得出数列的通项公式.
（2）由题意结合（1）中数列的通项公式，从而可得，再利用裂项相消法得出数列的前n项的和.
（1）因为成等比数列，则，
且，则，即，解得或（舍去），
所以.
（2）设数列的前n项的和为，
因为，则，
所以.
16．【答案】（1）解：当时，，定义域为，
所以，，，
所以的图象在处的切线方程为，
即，化为一般式为．
（2）解：因为函数，定义域为，
所以，
又因为函数在区间上存在极值，
所以在上必存在变号零点，
则在上必存在零点，
因为和二次函数的性质，
可知只需，
解得，
则实数的取值范围是．
【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）由b的值得出函数的解析式，再求出函数的定义域，则求导得到，再利用导数的几何意义得出切线的斜率，再根据代入法得出切点坐标，最后由点斜式得出函数的图象在处的切线方程.
（2）先求导，再利用函数在区间上存在极值，从而得到在上必存在变号零点，则函数在上必存在零点，由和二次函数的性质，只需，从而得到关于b的不等式，解不等式得出实数b的取值范围.
（1）当时，，定义域为，
所以，，，
所以的图象在处的切线方程为，
即，
化为一般式为．
（2）函数，定义域为，
所以，
因为函数在区间上存在极值，
所以在上必存在变号零点，
即在上必存在零点，
由于，由二次函数性质可知只需，
解得，即的取值范围是．
17．【答案】（1）证明：取的中点，连接，如图所示：
因为为的中点，所以，
又因为为的中点，所以，且，
又因为，所以，且，所以四边形是平行四边形，所以，
又因为平面平面，所以平面；
（2）解：取的中点，连接，因为底面是等边三角形，所以，
因为侧面是菱形，且，所以，
又侧面底面，侧面底面侧面，所以底面，
以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
设三棱柱的各棱长为2，则，，
，，
设平面的法向量为，则，即，
令，得，则平面的一个法向量为，
设直线与侧面所成的角为，
则，
故直线与侧面所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）取的中点，连接，由题意可得：四边形是平行四边形，再利用线面平行的判定定理证明平面即可；
（2）因为侧面底面，得到底面，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求线面角即可.
（1）如图，取的中点，连接.
因为为的中点，所以，且.
因为为的中点，所以.
又，所以，且，所以四边形是平行四边形，所以.
又平面平面，所以平面.
（2）如图，取的中点，连接.因为底面是等边三角形，
所以.
因为侧面是菱形，且，
所以.
又侧面底面，侧面底面侧面，
所以底面.
以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，
建立空间直角坐标系，不妨设三棱柱的各棱长为2，
则，，
故，.
设侧面的法向量为，
则即
令，得，所以侧面的一个法向量为.
设直线与侧面所成的角为，
则
，
故直线与侧面所成角的正弦值为.
18．【答案】（1）解：由的周长为16和椭圆的定义，
可知：，即，
因为离心率为，所以，
则，
所以椭圆C的方程为：．
（2）解：依题意，直线l与x轴不重合，
设直线l的方程为：，
联立，得：，
因为在椭圆内，所以，
即，易知该不等式恒成立，
设，
由韦达定理得．
又因为，
则，
注意到，即：，
所以.
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由已知条件结合三角形周长公式、椭圆定义、离心率公式、椭圆中a，b，c三者的关系式，从而确定的值，进而得出椭圆的标准方程.
（2）设直线的方程为：，与椭圆方程联立，消去得到关于的一元二次方程，由韦达定理得到，，再把用，表示出来，从而化简证出为定值.
（1）由的周长为16，及椭圆的定义，可知：，即，
又离心率为所以
．
所以椭圆C的方程为：．
（2）依题意，直线l与x轴不重合，
设l的方程为：．
联立得：，
因为在椭圆内，所以，
即，易知该不等式恒成立，
设，
由韦达定理得．
又，则
注意到，即：
.
19．【答案】（1）解：（i）由题意可知，所以.
而，，
所以小王答对第一组题的概率.
（ii）由贝叶斯公式可知，小王答对第一组题的情况下，他知道该诗句的概率为.
（2）解：设事件为“小王答对第二组题中的第题”（），
所以；
；
.
设事件D为“小王挑战成功"，则，且两两互斥，
因为.
.
.
所以小王挑战成功的概率.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；条件概率与独立事件；全概率公式；贝叶斯公式
【解析】【分析】（1）（i）根据已知条件可知，，，，
根据全概率公式计算即可求得小王答对第一组题的概率；
（ii）运用贝叶斯公式计算即可求得在小王答对第一组题的情况下，求他知道该诗句的概率；
（2）先分别计算答对每一题的概率，再根据获得分及以上的得分情况，分析出不同的答题组合，答对第、题，答错第题；答对第、题，答错第题；答对第、、题，利用相互独立事件概率的乘法公式计算出每种组合的概率，根据互斥事件的概率公式计算即可得到小王挑战成功的概率.
（1）（i）已知，则.
在知道诗句的情况下一定答对，即；在不知道诗句的情况下答对的概率.
根据全概率公式，将上述概率值代入可得：
.
（ii）计算在小王答对第一组题的情况下，他知道该诗句的概率
根据贝叶斯公式.
由前面计算可知，，，代入可得：
.
（2）设事件为“小王答对第二组题中的第题”（）.
已知小王知道第题诗句的概率为，不知道该诗句的情况下答对的概率为.
则；
；
.
因为获得分及以上则挑战成功，所以有以下几种情况：
答对第、题，答错第题，其概率为.
答对第、题，答错第题，其概率为.
答对第、、题，其概率为.
因为这几种情况互斥，所以小王挑战成功的概率为：
.
1 / 12025届江苏省盐城市建湖县第二中学高三三模数学试题
1．（2025·建湖模拟）“，使”的一个充分不必要条件是（　　）
A． B．
C． D．或
【答案】C
【知识点】命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：当时，有解；
当时，二次函数开口向上，所以有解；
当时，有解，则，
解得；
综上可得；
因为真包含于，
所以“，使”的一个充分不必要条件是.
故答案为：C.
【分析】分、、三种情况讨论，即可求出参数的取值范围，再利用集合的包含关系判断即可求解.
2．（2025·建湖模拟）已知复数，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的加减运算；复数的模
【解析】【解答】解：因为，
所以，
故选： C.
【分析】依复数的除法运算法则先求得复数z，进而根据复数的加法运算法则和复数模的运算计算即可求得|z+i|.
3．（2025·建湖模拟）的奇偶性是（　　）
A．偶函数 B．奇函数
C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数
【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：因为，，
所以，
所以函数是偶函数.
故选：A.
【分析】先利用诱导公式化简函数可得，进而再结合诱导公式和函数奇偶性的定义即可得出结论.
4．（2025·建湖模拟）如图，往一个正四棱台密闭容器内倒入的水，水面高度恰好为棱台高度的，且，，则这个容器的容积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设水体对应的台体的高为，则水体对应台体的上底面是边长为的正方形，
所以，解得，
所以容器的高为，所以容器的容积为，
故选：A.
【分析】设水体对应的台体的高为，根据条件可知水体对应台体的上底面是边长为的正方形，进而利用台体的体积公式可求出的值，即可知容器的高为，再利用台体的体积公式可求出这个容器的容积.
5．（2025·建湖模拟）已知非零向量满足，向量在向量方向上的投影向量是，则与的夹角为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为向量在向量方向上的投影向量是，
所以，
设非零向量的夹角为，
根据题意，可得，且，
所以．
故答案为：A.
【分析】根据数量积求投影向量的公式，从而可得，再代入数量积求向量夹角公式，从而得出与的夹角.
6．（2025·建湖模拟）已知过抛物线的焦点F且倾斜角为θ的直线l交C于A，B两点，O为坐标原点，若的面积为，则θ的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：由题意，得，
设直线，
联立抛物线，
得，
则，
由韦达定理，得，
则
所以，圆心O到直线的距离为，
所以，
解得，
所以或.
故答案为：C.
【分析】先利用抛物线标准方程得出焦点坐标，再联立直线方程与抛物线方程得出韦达定理式，再利用弦长公式得出AB的长，再结合点到直线的距离公式得出圆心O到直线的距离，则由三角形面积公式和已知条件得出直线的斜率，最后由直线的斜率和直线的倾斜角的关系式，从而得出θ的值.
7．（2025·建湖模拟）在的展开式中含项的系数为15，则展开式中二项式系数最大的是第（　　）项
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【解答】解：根据二项式定理可知的展开式的通项为：
.
由已知条件，可得，解得.
根据二项式定理的性质可知，该展开式中二项式系数最大的是第4项.
故答案为：C.
【分析】根据二项式定理得出展开式的通项，再结合已知条件列出方程组，从而求出的值，再结合二项式定理的性质得出展开式中二项式系数最大的项.
8．（2025·建湖模拟）设曲线在处的切线与轴交点的横坐标为，则的值为（　　）
A． B．
C． D．1
【答案】A
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：由，
可得，
所以曲线在处的切线方程是，
令，得，
所以
.
故答案为：A．
【分析】先求导，再由导数的几何意义得出切线方程，从而得出，再结合对数运算法则得出的值.
9．（2025·建湖模拟）已知某品牌汽车某年销量记录如下表所示：
月份x 1 2 3 4 5 6
销量y（万辆） 11.7 12.4 13.8 13.2 14.6 15.3
针对上表数据，下列说法正确的有（　　）
A．销量的极差为3.6
B．销量的60%分位数是13.2
C．销量的平均数与中位数相等
D．若销量关于月份的回归方程为，则
【答案】A,C,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；线性回归方程；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：对于A，因为销量的最大值为15.3，最小值为11.7，
所以，极差为，故A正确；
对于B，将销量按照从小到大排列为：，
由，可知销量的60%分位数是第四个数13.8，故B错误；
对于C，因为销量的平均数为，
又因为中位数为，故C正确；
对于D，因为，，
又因为样本中心点在回归直线上，
所以，
解得，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据一组数据的极差定义、百分位数求解方法、平均数公式和中位数求解方法，从而判断出选项A、选项B和选项C；再根据样本点在回归直线上的特征，则可得的值，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
10．（2025·建湖模拟）在中，，则（　　）
A． B．的面积为8
C． D．的内切圆半径是
【答案】A,B,D
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；二倍角的余弦公式；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：因为，所以，
由余弦定理得：，
所以，故A正确；
因为，
所以，故B正确；
因为，故C错误；
设的内切圆半径为，
则，
所以，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用二倍角的余弦公式得出的值，再利用余弦定理得出的长，则判断出选项A；由得出的值，再结合三角形的面积公式，从而得出的面积，则判断出选项B；利用数量积的定义判断出选项C；设的内切圆半径为，由得出的值，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
11．（2025·建湖模拟）已知数列的通项公式为，若数列是递减数列，则实数k不能取的值是（　　）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A,B
【知识点】函数恒成立问题；数列的函数特性
【解析】【解答】解：由题意和数列是递减数列，
对于一切的恒成立，
则对于一切的恒成立，
所以对于一切的恒成立，
当时，有最大值，
则，
所以.
故答案为：AB.
【分析】根据数列的单调性可知，从而可得，再根据不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数的取值范围.
12．（2025·建湖模拟）已知，则　 　.
【答案】
【知识点】两角和与差的余弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：由，
可得，
所以，
所以，
所以.
故答案为：.
【分析】利用两角和与差的余弦公式和同角三角函数的商数关系，从而得出的值.
13．（2025·建湖模拟）若随机事件、满足：，，，则　 　.
【答案】
【知识点】互斥事件的概率加法公式；条件概率
【解析】【解答】解：因为，，
所以，
所以，
由条件概率公式，
可得.
故答案为：.
【分析】利用并事件的概率公式结合已知条件，从而求出的值，再利用条件概率公式得出的值.
14．（2025·建湖模拟）已知函数有三个零点，则实数的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系；函数极限
【解析】【解答】解：由题意，
可得函数最多只有一个零点，
若零点存在，
则，解得，
由，得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，
当时，，
所以最多有两个零点，
因为有三个零点，
所以有两个零点，
则，
解得，
所以实数的取值范围为。
综上所述：实数的取值范围为.
故答案为：.
【分析】利用已知条件分析出函数的零点个数，再利用导数判断函数的单调性，从而得出其最值，再判断函数在每段上的零点个数，则根据零点分布情况建立不等式组，解不等式组得出实数的取值范围.
15．（2025·建湖模拟）已知公差的等差数列的前n项的和为，且，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前n项的和.
【答案】（1）解：因为成等比数列，
则，且，
则，
所以，
解得或（舍去），
所以.

（2）解：设数列的前n项的和为，
因为，
所以，
所以
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和；等比中项
【解析】【分析】（1）根据题意结合等比中项和等差数列的通项公式，从而解方程得出公差的值，再利用等差数列的通项公式得出数列的通项公式.
（2）由题意结合（1）中数列的通项公式，从而可得，再利用裂项相消法得出数列的前n项的和.
（1）因为成等比数列，则，
且，则，即，解得或（舍去），
所以.
（2）设数列的前n项的和为，
因为，则，
所以.
16．（2025·建湖模拟）已知函数，其中．
（1）当时，求的图象在处的切线方程；
（2）若函数在区间上存在极值，求的取值范围．
【答案】（1）解：当时，，定义域为，
所以，，，
所以的图象在处的切线方程为，
即，化为一般式为．
（2）解：因为函数，定义域为，
所以，
又因为函数在区间上存在极值，
所以在上必存在变号零点，
则在上必存在零点，
因为和二次函数的性质，
可知只需，
解得，
则实数的取值范围是．
【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）由b的值得出函数的解析式，再求出函数的定义域，则求导得到，再利用导数的几何意义得出切线的斜率，再根据代入法得出切点坐标，最后由点斜式得出函数的图象在处的切线方程.
（2）先求导，再利用函数在区间上存在极值，从而得到在上必存在变号零点，则函数在上必存在零点，由和二次函数的性质，只需，从而得到关于b的不等式，解不等式得出实数b的取值范围.
（1）当时，，定义域为，
所以，，，
所以的图象在处的切线方程为，
即，
化为一般式为．
（2）函数，定义域为，
所以，
因为函数在区间上存在极值，
所以在上必存在变号零点，
即在上必存在零点，
由于，由二次函数性质可知只需，
解得，即的取值范围是．
17．（2025·建湖模拟）如图，在三棱柱中，分别为的中点.
（1）证明：平面；
（2）若侧面底面，底面是等边三角形，侧面是菱形，且，求直线与侧面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明：取的中点，连接，如图所示：
因为为的中点，所以，
又因为为的中点，所以，且，
又因为，所以，且，所以四边形是平行四边形，所以，
又因为平面平面，所以平面；
（2）解：取的中点，连接，因为底面是等边三角形，所以，
因为侧面是菱形，且，所以，
又侧面底面，侧面底面侧面，所以底面，
以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
设三棱柱的各棱长为2，则，，
，，
设平面的法向量为，则，即，
令，得，则平面的一个法向量为，
设直线与侧面所成的角为，
则，
故直线与侧面所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）取的中点，连接，由题意可得：四边形是平行四边形，再利用线面平行的判定定理证明平面即可；
（2）因为侧面底面，得到底面，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求线面角即可.
（1）如图，取的中点，连接.
因为为的中点，所以，且.
因为为的中点，所以.
又，所以，且，所以四边形是平行四边形，所以.
又平面平面，所以平面.
（2）如图，取的中点，连接.因为底面是等边三角形，
所以.
因为侧面是菱形，且，
所以.
又侧面底面，侧面底面侧面，
所以底面.
以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，
建立空间直角坐标系，不妨设三棱柱的各棱长为2，
则，，
故，.
设侧面的法向量为，
则即
令，得，所以侧面的一个法向量为.
设直线与侧面所成的角为，
则
，
故直线与侧面所成角的正弦值为.
18．（2025·建湖模拟）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A、B，左、右焦点分别为．过右焦点的直线l交椭圆于点M、N，且的周长为16．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）记直线AM、BN的斜率分别为，证明：为定值．
【答案】（1）解：由的周长为16和椭圆的定义，
可知：，即，
因为离心率为，所以，
则，
所以椭圆C的方程为：．
（2）解：依题意，直线l与x轴不重合，
设直线l的方程为：，
联立，得：，
因为在椭圆内，所以，
即，易知该不等式恒成立，
设，
由韦达定理得．
又因为，
则，
注意到，即：，
所以.
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由已知条件结合三角形周长公式、椭圆定义、离心率公式、椭圆中a，b，c三者的关系式，从而确定的值，进而得出椭圆的标准方程.
（2）设直线的方程为：，与椭圆方程联立，消去得到关于的一元二次方程，由韦达定理得到，，再把用，表示出来，从而化简证出为定值.
（1）由的周长为16，及椭圆的定义，可知：，即，
又离心率为所以
．
所以椭圆C的方程为：．
（2）依题意，直线l与x轴不重合，
设l的方程为：．
联立得：，
因为在椭圆内，所以，
即，易知该不等式恒成立，
设，
由韦达定理得．
又，则
注意到，即：
.
19．（2025·建湖模拟）在中国诗词大会的比赛中，选手需要回答两组题展示自己的诗词储备.
（1）第一组题是情境共答题，参与比赛者需根据情境填写诗句.小王知道该诗句的概率是，且小王在不知道该诗句的情况下，答对的概率是.记事件A为“小王答对第一组题”，事件B为“小王知道该诗句”.
（ⅰ）求小王答对第一组题的概率；
（ⅱ）在小王答对第一组题的情况下，求他知道该诗句的概率.
（2）小王答对第一组题后开始答第二组题.第二组题为画中有诗，该环节共有三道题，每一题答题相互独立，但难度逐级上升，小王知道第n题的诗句的概率仍为，但是在不知道该诗句的情况下，答对的概率为，已知每一题答对的得分表如下（答错得分为0）：
题号 第1题 第2题 第3题
得分 2分 4分 6分
若获得8分及以上则挑战成功，求小王挑战成功的概率.
【答案】（1）解：（i）由题意可知，所以.
而，，
所以小王答对第一组题的概率.
（ii）由贝叶斯公式可知，小王答对第一组题的情况下，他知道该诗句的概率为.
（2）解：设事件为“小王答对第二组题中的第题”（），
所以；
；
.
设事件D为“小王挑战成功"，则，且两两互斥，
因为.
.
.
所以小王挑战成功的概率.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；条件概率与独立事件；全概率公式；贝叶斯公式
【解析】【分析】（1）（i）根据已知条件可知，，，，
根据全概率公式计算即可求得小王答对第一组题的概率；
（ii）运用贝叶斯公式计算即可求得在小王答对第一组题的情况下，求他知道该诗句的概率；
（2）先分别计算答对每一题的概率，再根据获得分及以上的得分情况，分析出不同的答题组合，答对第、题，答错第题；答对第、题，答错第题；答对第、、题，利用相互独立事件概率的乘法公式计算出每种组合的概率，根据互斥事件的概率公式计算即可得到小王挑战成功的概率.
（1）（i）已知，则.
在知道诗句的情况下一定答对，即；在不知道诗句的情况下答对的概率.
根据全概率公式，将上述概率值代入可得：
.
（ii）计算在小王答对第一组题的情况下，他知道该诗句的概率
根据贝叶斯公式.
由前面计算可知，，，代入可得：
.
（2）设事件为“小王答对第二组题中的第题”（）.
已知小王知道第题诗句的概率为，不知道该诗句的情况下答对的概率为.
则；
；
.
因为获得分及以上则挑战成功，所以有以下几种情况：
答对第、题，答错第题，其概率为.
答对第、题，答错第题，其概率为.
答对第、、题，其概率为.
因为这几种情况互斥，所以小王挑战成功的概率为：
.
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